备战2022年高考数学(理)一轮复习考点10 函数模型及其应用
考点10函数模型及其应用
【命题趋势】
从近几年高考可以看出，越来越注重对应用问题的理解以及阅读能力的考查，而对函数模型的考查可以涉及此部分知识点，所以我们要引起重视，具体掌握以下几点：
（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.
【重要考向】
一、二次函数模型的应用
二、指数函数、对数函数模型的应用
三、分段函数模型的应用
四、函数模型的比较
二次函数模型的应用
解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：
（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.
用框图表示如下：
建模
审题、转化、抽象
问题 解决 解模 运算
还原 结合实际意义
【巧学妙记】
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.
根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值， 从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
【典例】
1.某电动小汽车生产企业，年利润=（出厂价-投入成本）⨯年销售量.已知上年度生产电动
小汽车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万/辆，年销售量为10000辆，本年度为打造绿色环保电动小汽车，提高产品档次，计划增加投入成本，若每辆电动小汽车投入成本增加的比例为x （01x <<），则出厂价相应提高的比例为0.75x .同时年销售量增加的比例为0.6x .
（1）写出本年度预计的年利润y （万元）与投入成本增加的比例x 的函数关系式； （2）为了使本年度的年利润最大，每辆车投入成本增加的比例应为多少？最大年利润是多少？
【答案】（1）26002002000y x x =-++（01x <<）；每辆车投入成本增加的比例为
1
6
时，本年度的年利润最大，且最大年利润是
6050
3
万元. 【解析】（1）由题意，得()()()
1.210.75111000010.6y x x x ⎡⎤=⨯+-⨯+⨯⨯+⎣⎦实际问题
数学问题
数学问题答案
实际问题结论
（01x <<），
即26002002000y x x =-++（01x <<）.
（2）2
216050600200200060063y x x x ⎛
⎫=-++=--+ ⎪⎝
⎭.
∴当16x =时，y 取得最大值，为6050
3
， ∴每辆车投入成本增加的比例为16时，本年度的年利润最大，且最大年利润是6050
3
万
元.
2.因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前()n n ∈*N 年的材料费、维修费、人工工资等共为（2
552
n n +）万元，每年的销售收入55万元.设使用该设备前n 年
的总盈利额为()f n 万元.
（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由. 【解析】（1）由题意得：
2255
()5590(5)509022
f n n n n n n =--+=-+-
由()0f n >得2
5509002
n n -+->即220360n n -+<，
解得218n <<
由n ∈*N ，设备企业从第3年开始盈利. （2）方案一总盈利额
25
()(10)1602
f n n =--+，当10n =时，max ()160f n =
故方案一共总利润16010170+=，此时10n = 方案二：每年平均利润
()5365
50()502022
f n n n n =-+-⨯≤，当且仅当6n =时等号成立 故方案二总利润62050170⨯+=，此时6n =
比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案只需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适.
【名师点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于中档题. （1）利用n 年的销售收入减去成本，求得()f n 的表达式，由()0f n >，解一元二次不等式求得从第3年开始盈利.
（2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润；
方案二：利用基本不等式求得6n =时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润. 比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案.
指数函数、对数函数模型的应用
（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为()1x
y N p =+(其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.
（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.
3.国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( ) A ．560万元 B ．420万元 C ．350万元 D ．320万元
【答案】 D
【解析】 设该公司的年收入为x 万元(x >280)，则有 280×p %＋(x －280)(p ＋2)%
x ＝(p ＋0.25)%，
解得x ＝320.故该公司的年收入为320万元．
4.某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A ．2017年 B ．2018年 C ．2019年 D ．2020年 【答案】 D
【解析】 设从2016年起，过了n (n ∈N *)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥lg
20
13lg 1.12≈0.30－0.11
0.05
＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2 016＝2 020.
故选D.
5.一片森林原来面积为a ,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p %,10年后森林面积变为
2a .为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的1
4
,已知到今年为止,森林面
积为
2
a . （1）求p %的值;
（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年? （3）今后最多还能砍伐多少年? 【解析】（1）由题意得()10
1%2a a p -=
,即()10
11%2
p -=, 解得110
1%1()2
p =- .
（2）设经过m a ,
则()
1%m
a p -=,即1102111())2210,2(m m ==，解得m =5,
故到今年为止,已砍伐了5年.
（3）设从今年开始,以后还可砍伐n 年,则n 年后的森林面积为
()1%2
n
a p -,
令()11%24n a p a -≥,即()1%4n
p -≥
,3102(11())2
2n
≥,3102n ≤,解得n ≤15,
故今后最多还能砍伐15年.
分段函数模型的应用
分段函数模型的应用
（1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数． （2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点． （3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． 【巧学妙记】
数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围；
【典例】
6.已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
400－6x ，0 －40 000x 2，x >40. (1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式； (2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润． 【解析】 (1)当0 W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40， 当x >40时， W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000 x －16x ＋7 360. 所以W ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ －6x 2＋384x －40，0 (2)①当0 ②当x >40时，W ＝－40 000 x －16x ＋7 360， 由于40 000x ＋16x ≥2 40 000 x ×16x ＝1 600， 当且仅当40 000 x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号， 所以W 取最大值5 760. 综合①②，当年产量为32万只时，W 取最大值6 104万美元． 7.某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完.据统计，线上日销售量f (t )、线下日销售量g (t )（单位：件）与上市时间t (t ∈ N ∗)天的关系满足：f (t )={ 10t, 1≤t ≤10，−10t +200, 10 g(t)=−t 2+20t(1≤t ≤20)，产品A 每件的销售利 润为ℎ(t)={40, 1≤t ≤15，20, 15 （1）设该公司产品A 的日销售利润为F(t)，写出F(t)的函数解析式； （2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？ 【解析】（1（由题意可得： 当1≤t ≤10时，日销售量为10t +(−t 2+20t )=−t 2+30t ，日销售利润为：40(−t 2+30t )（ 当10 当15 综上可得：F(t)={40⋅(−t 2+30t)， 1≤t ≤10， 40⋅(−t 2+10t +200)， 10 （2）当1≤t ≤10时，由40(−t 2+30t)≥5000，解得5≤t ≤10（ 当10 函数模型的比较 几类函数模型的增长差异 函数 性质 ()1x y a a => ()log 1a y x a => ()0n y x n => 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓 介于指数函数与 对数函数之间,相对平稳 图象的变化 随x 的增大，图象与y 轴接近平行 随x 的增大，图象与x 轴接近平行 随n 值变化而各有不同 值的比较 存在一个0x ，当0x x >时，有log n x a x x a << 【巧学妙记】 根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时， 通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数， 即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型. 【典例】 10.某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：万件）与月份x 的关系. 模拟函数1:b y ax c x =+ +；模拟函数2:x y m n s =⋅+. （1）已知4月份的产量为13.7万件，问选用哪个函数作为模拟函数较好？ （2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量. 【解析】（1）若用模拟函数1：b y ax c x =+ +， 则有1012221333a b c b a c b a c ⎧ ⎪=++⎪ ⎪ =++⎨⎪ ⎪ =++⎪⎩ ，解得125,3,22a b c ==-=， 即32522 x y x = -+， 当4x =时，13.75y =． 若用模拟函数2：x y m n s =⋅+， 则有2 3101213mn s mn s mn s =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ ，解得18,,142m n s =-==， 即3142 x y -=-， 当4x =时，13.5y =． 所以选用模拟函数1较好． （2）因为模拟函数1：32522 x y x =-+是单调增函数，所以当12x =时，生产量远大于他的最高限量； 模拟函数2：3142 x y -=-也是单调增函数，但生产量14y <，所以不会超过15万件，所 以应该选用模拟函数2：3142x y -=-好． 当6x =时，36 142 13.875y -=-=， 所以预测6月份的产量为13.875万件. 一、单选题 1．下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（ ） ①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； ②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； ③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速. 其中y 表示离开家的距离，t 表示所用时间. A ．④①② B ．③①② C ．②①④ D ．③②① 2．某地区植被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷､0.4 万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y (万公顷)关于年数x (年)的函数关系较为近似的是（ ） A ．y =0.2x B ．210 =x y C ．y =110 x 2+2x D ．160.2log y x =+ 3．2021年初我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．经过数据分析得到某山区贫困户年总收入与各项投入之间的 关系是：贫困户年总收入y （元）=1200+4.1⨯年扶贫资金（元）+4.3⨯年自投资金（元） 900+⨯自投劳力（个）．若一个贫困户家中只有两个劳力，2016年自投资金5000元，以后每年的自投资金均比上一年增长10%，2016年获得的扶贫资金为30000元，以后每年获得的扶贫资金均比上一年减少5000元，则该贫困户在2021年的年总收入约为()51.1 1.6≈（ ） A ．48100元 B ．57900元 C ．58100元 D ．64800元 4．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强I 与标准声强0I (0I 约为1210-，单位：2W /m )之比的常用对数称作声强的声 强级，记作L (贝尔)，即0 lg I L I =.取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y (分贝)与喷出的泉水高度x (m )之间满足关系式2y x =，甲､乙两名 同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70m ， 60m .若甲同学大喝一声的声强大约相当于n 个乙同学同时大喝一声的声强，则n 的值约为（ ） A ．10 B ．100 C ．200 D ．1000 5．已知声音强弱的等级()f x (单位：dB)由声音强度x (单位：2W/m )决定．科学研究发现，()f x 与lg x 成线性关系，如喷气式飞机起飞时，声音强度为2100W/m 声音强弱的等级为140dB ；某动物发出的鸣叫，声音强度为21W/m ，声音强弱的等级为120dB ．若某声音强弱等级为90dB ，则声音强度为（ ）2W/m A ．0.001 B ．0.01 C ．0.1 D ．1 6．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系 20 10000.70.3v N v v d =++，其中0d 为安全距离，v 为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ） A ．135 B ．149 C ．165 D ．195 7．当x 越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（ ） A ．100y x = B ．e 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．2log y x = D ．100y x = 二、解答题 8．某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为(01)< （1）求x 的值； （2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的2 ，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的 116 ？ 9．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，*t N ∈，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为()p t . （1）求()p t 的解析式； （2）若该时段这条线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t -=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？ 10．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不大于90 万箱时，()991708p x x =--；当产量超过90万箱时， ()1001002000p x x x =+--，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． （（）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （（）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 11．杭州市将于2022年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节位、文明”为办赛理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()()()1802,0202000900070,201x x G x x x x x ⎧-<≤⎪=⎨+->⎪+⎩ （1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式：（利润=销售收入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润． 12．某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元， 已知总收入R （单位：元）关于月产量x （单位：台）满足函数：21400,0400280000,400x x x R x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩ （1）将利润()f x （单位：元）表示成月产量x 的函数 （2）当月产量x 为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入） 一、单选题 1．（2020·全国高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A ．10名 B ．18名 C ．24名 D ．32名 2．（2011·湖北高考真题（理））放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：M （t ）=M 0，其中M 0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M （60）=（ ） A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 3．（2014·湖南高考真题（理））某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A ． 2p q + B ．(1)(1)12p q ++- C D 1 4．（2020·海南高考真题）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天) 的变化规律，指数增长率r 与R 0， T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天 二、双空题 5．（2019·北京高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________． 三、填空题 6．（2011·陕西高考真题（理））植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_____（米）． 7．（2015·四川高考真题（理））某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k 、b 为常数）．若该食品在0 的保鲜时间设计192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是______小时. 四、解答题 8．（2012·全国高考真题（理））某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理. （1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式. （2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望及方差； （ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由. 9．（2015·上海高考真题（理）） 如图，A ， B ，C 三地有直道相通， 5AB =千米，C 3A =千米， C 4B =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往 B 地，经过t 小时，他们之间的距离为 f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是C A B ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与 ()1f t 的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当 11t t ≤≤时，求f t 的表达式，并判断 f t 在[] 1,1t 上得最大值是否超过3？说明理由. 10．（2018·上海高考真题）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 ()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩ ，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义． 11．（2012·江苏高考真题）如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20 y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 12．（2015·江苏高考真题）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得 点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ， 的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a y x b = +（其中a ，b 为常数）模型. （1）求a，b的值； （2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式f t，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度. 13．（2019·江苏高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型 道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆 ．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）． （1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长； （2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由； （3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q 两点间的距离． 一、单选题 1．（2021·山东泰安市·高三三模）某化工厂对产生的废气进行过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间（单位：h ）间的关系为：0kt P Pe -=，其中0,P k 是正的常数．如果在前5h 消除了10%的污染物，则污染物减少50%需要花费的时间为（ ） （精确到1h ，参考数据0.9log 0.5 6.579≈） A ．30 B ．31 C ．32 D ．33 2．（2021·浙江高一期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（ ） A ．36m B ．39m C ．315m D ．318m 3．（2021·山东聊城市·高三三模）声强级I L （单位：dB ）由公式1210lg 10I I L -⎛⎫ = ⎪⎝⎭ 给出，其中I 为声强（单位：W /m 2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB ，平时常人交谈时声强级约为60dB ，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（ ） A ．104倍 B ．105倍 C ．106倍 D ．107倍 4．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据（lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30） A ．2021年 B ．2022年 C ．2023年 D ．2024年 5．（2021·河北沧州市·高三三模）生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某人侵物种的个体平均繁殖数量为Q ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T 为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型()ln K n n λ=来描述该物种累计繁殖数量n 与入侵时间K （单位：天）之间的对应关系，且1T Q λ=+，在物种入侵初期，基于现有数据得出9Q =，80T =.据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（ln 20.69≈，ln 3 1.10≈）（ ） A ．6.9天 B ．11.0天 C ．13.8天 D ．22.0天 二、多选题 6．（2021·浙江高一期末）如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =，关于下列说法正确的是（ ） A ．浮萍每月的增长率为2 B ．浮萍每月增加的面积都相等 C ．第4个月时，浮萍面积超过280m D ．若浮萍蔓延到2224m 2m 8m 、、所经过的时间分别是123t t t 、、，则2132t t t =+ 7．（2021·浙江高一期末）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km （不超过3km 按起步价付费）；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是（ ） A ．出租车行驶2km ，乘客需付费8元 第二章§9：函数模型及其应用 (与一轮复习课件对应的课时训练) 满分100，训练时间60分钟 一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在一次数学实验中，采集到如下一组数据： 则x ，y 的函数关系与下列哪类函数最接近(其中a ，b 为待定系数) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b x C ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋b x 2．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距 离地面3 m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m ，如图所 示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m) A ．6.9 m B ．7.0 m C ．7.1 m D ．6.8 m 3．一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变 绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12 t 2米，那么，此人 A ．可在7秒内追上汽车 B ．可在9秒内追上汽车 C ．不能追上汽车，但其间最近距离为14米 D ．不能追上汽车，但其间最近距离为7米 4．某市2008年新建住房100万平方米，其中有25万平方米为经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其中经济适用房每年增加10万平方米，按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据：1.052＝1.10,1.053＝1.16，1.054＝1.22,1.055＝1.28) A ．2010年 B ．2011年 C ．2012年 D ．2013年 课时作业(十二) 第12讲 函数模型及其应用 时间 / 45分钟 分值 / 90分 基础热身 1.某公司招聘员工,面试对象人数按拟录用人数分段计算,计算公式为 y={4x ,1≤x ≤10, 2x +10,10 5.[2018·成都七中模拟]某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系式y=e kx+b(e为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃时的保鲜时间是192小时,在22 ℃时的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃时的保鲜时间是小时. 能力提升 6.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总 收益R与产量x的关系式为R={400x-1 2 x2,0≤x≤400, 80 000,x>400, 则总利润最大时,生产的产品为 () A.100单位 B.150单位 C.200单位 D.300单位 7.气象学院用32万元购置了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启动的第1天开始连续使用,第n天的维修保养费为4n+46(n∈N*)元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止,则一共要使用() A.300天 B.400天 C.600天 D.800天 8.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量(单位:cm3)为y=a e-bt,经过8 min后发现容器内还有一半的细沙,则当容器内的细沙只有开始时的八分之一时,又经过的时间为() A.8 min B.16 min C.24 min D.32 min 9.[2018·北京东城区期中]光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度为y,则经过x块这样的玻璃后光线强度y=k·0.9x,若光线强度能减弱到原来的1 4 以下,则至少通过这样的玻璃(lg 3≈0.477,lg 2≈0.3)() A.12块 B.13块 C.14块 D.15块 图K12-1 高考数学复习专题四考点12《函数模型及其应用》练习题 （含答案） 1.某种动物繁殖的数量y (只)与时间x (年)的关系为log2(1)y a x =+.设这种动物第1年有100只，到第7年它们发展到( ) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只 2.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(1)x x >的函数关系是21()f x x =，2()2f x x =，32()log f x x =，4()2x f x =，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( ) A.21()f x x = B.2()2f x x = C.32()log f x x = D.4()2x f x = 3.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r 可定义为0.6lg r I =.若6.5级地震释放的相对能量为1I ，7.4级地震释放的相对能量为2I ，记2 1 I n I =，则n 约等于( ) A.16 B.20 C.32 D.90 4.溶液的酸碱度是通过pH 来刻画的，已知某溶液的pH 等于lg H +⎡⎤-⎣⎦，其中H + ⎡ ⎤⎣⎦表示该溶液中氢离子的浓度，且该溶液中氢离子的浓度为610mol /L -，则该溶液的pH 为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 5.某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为如何定价而发愁.通过进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/ 桶 480 440 400 360 320 280 240 A.每桶8.5元 B.每桶9.5元 C.每桶10.5元 D.每桶11.5元 6.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ℃，经过一段时间t min 后的温度是T ℃，则()012t h a a T T T T ⎛⎫ -=-⋅ ⎪⎝⎭ ，其中a T （单位：℃）表示环境 温度，h （单位：min ）称为半衰期.现有一份88℃的热饮，放在24℃的房间中，如果热饮降温到40℃需要20 min ，那么降温到32℃时，需要的时间为( ) A.24 min B.25 min C.30 min D.40 min 数学建模——函数模型及其应用 基础巩固组 1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是() A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 km B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时,消耗10 L汽油 D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0 课时达标检测（十三） 函数模型及应用 1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( ) 解析：选C 出发时距学校最远，先排除A ，中途堵塞停留，距离没变，再排除D ，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B. 2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2015年5月1日 12 35 000 2015年5月15日 48 35 600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升 解析：选B 因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)． 3．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( ) A ．800米 B ．900米 C ．1 000米 D ．1 200米 解析：选A 设这个广场的长为x 米，则宽为40 000x 米，所以其周长为l ＝2⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x ＋40 000x ≥800，当且仅当x ＝40 000x ，即x ＝200时取等号． 4．(2016·安阳一模)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析：选C 由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获得利润为y ＝＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10，k ∈N)，配方可得y ＝－6(k －9)2 ＋864，所以当k ＝9时，获得利润最大．选 C. 第12讲函数模型及其应用1.三种函数模型的性质的比较 2.常见的函数模型 = 常用结论 1.函数f(x)=+(a>0,b>0,x>0)在区间(0,]上单调递减,在区间[,+∞)上单调递增. 2.直线上升、对数缓慢、指数爆炸. 题组一常识题 1.[教材改编]函数模型y1=0.25x,y2=log2x+1,y3=1.002x,随着x的增大,增长速度的大小关系是.(填关于y1,y2,y3的关系式) 图2-12-1 2.[教材改编]在如图2-12-1所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是. 3.[教材改编]某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件, 则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.把平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S表示为x的函数是. 4.[教材改编]已知某物体的温度Q(单位:摄氏度)随时间t(单位:分钟)的变化规律为 Q=m·2t+21-t(t≥0,且m>0).若物体的温度总不低于2摄氏度,则m的取值范围是. 题组二常错题 ◆索引:审题不清致错;忽视限制条件;忽视实际问题中实际量的单位、含义、范围等;分段函数模型的分界把握不到位. 5.一枚炮弹被发射后,其升空高度h与时间t的函数关系式为h=130t-5t2,则该函数的定义域是. 6.某物体一天中的温度T是关于时间t的函数,且T=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是℃,当t=0时表示中午12:00,其后t值为正,则上午8时该物体的温度是. 7.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(米/秒)关于燃料的质量M(千克)、火箭(除 燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v=2000·ln.当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒. 8.已知A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,则汽车离开A地的距离S(千米)关于时间t(小时)的函数表达式是. 探究点一一次、二次函数模型 例1 某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12 000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:若公司参加培训的员工人数不超过30人,则每人的培训费用为850元;若公司参加培训的员工人数多于30人,则给予优惠,每多一人,培训费减少10元,但参加培训的员工人数最多为70.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为x,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元. (1)写出y与x(x>0,x∈N*)之间的函数关系式. (2)当公司参加培训的员工有多少人时,培训机构可获得最大利润?并求出最大利润. [总结反思] 在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围,即函数的定义域,解决函数应用问题时,最后还要还原到实际问题中. 变式题整改校园内一块长为15 m,宽为11 m的长方形草地(如图2-12-2),将长减少1 m,宽增加1 m,问草地面积是增加了还是减少了?假设长减少x m,宽增加x m(x>0),试研究以下问题: x取什么值时,草地面积减少?x取什么值时,草地面积增加? 2.9函数模型及其应用 必备知识预案自诊 知识梳理 1.常见的函数模型 （1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)； (2)二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c（a，b,c为常数,a≠0）； (3）反比例函数模型:f（x）=k k （k为常数，k≠0)； （4）指数型函数模型：f(x)=ab x+c（a，b,c为常数,a≠0，b〉0，b≠1）； （5)对数型函数模型：f(x）=m log a x+n（m,n，a为常数,m≠0,a〉0,a≠1); （6)幂型函数模型：f(x）=ax n+b(a,b，n为常数,a≠0）； (7）分段函数模型：y={k1(k),k∈k1, k2(k),k∈k2, k3(k),k∈k3; （8）对勾函数模型:y=x+k k （a为常数，a>0）。 2。指数、对数、幂函数模型的性质比较 性质函数 y=a x (a>1） y=log a x （a〉1) y=xα （α〉0） 在(0，+∞)内 的 增 减 性 增 长 速 度 越来越快越来越慢相对平稳 图像的变化随x的增 大 逐渐表现 为 与 平行 随x的增 大逐 渐表现为 与 平行 随α值变 化 而各有不 同 值 的比较存在一个x0,当x〉x0时，有log a x 考点自诊 1。判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×"。 (1）幂函数增长比一次函数增长更快。（) (2）在（0，+∞）内,随着x的增大，y=a x（a〉1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α〉0)的增长速度.（） (3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题。()（4)f（x)=x2,g(x)=2x,h（x）=log2x,当x∈（4,+∞）时，恒有h(x）〈f(x)〈g(x）。（） (5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a>0，b>1)增长速度越来越快的形象比喻。(）2。(2020山东潍坊临朐模拟二,3）某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。 加油时间加油量 (升） 加油时的 累计里程 (千米) 2020年1235 000 应用建模1 函数模型及其应用 1.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)之间的函数关系用图象表示为(). 2.(2022·湖北武汉模拟)复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元,存入银行,年利率为2.25%,若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝,年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适的方式存满5年,可以多获利息().(参考数据:1.02254≈1.093,1.02255≈1.118,1.04015≈1.217) A.176元 B.99元 C.77元 D.88元 3.已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足函数关系R=a√A(a为常数),广告效应为D=a√A-A,那么精明的商人为了取得最大的广告效应,投入的广告费应为.(用常数a表示) 4.(2022·上海青浦模拟)某温室大棚规定,一天中,从中午12点到第二天上午8点为保温时段,其余4小时为工作作业时段,从中午12点连续测量20小时,得出此温室大棚的温度y(单位:℃)与 ,其中b为大棚内一天中保温时段的时间t(单位:小时),t∈[0,20]近似满足函数关系y=|t-13|+b t+2 通风量. (1)当t≤13时,若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变,求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到0.1 ℃); (2)若要保持一天中保温时段的最低温度不小于17 ℃,求大棚一天中保温时段通风量的最小值. 5.(2022·千校联盟模拟)“绿水青山就是金山银山”,党的十九大以来,城乡深化河道生态环境治理,科学治污.某乡村一条污染河道的蓄水量为v 立方米,每天的进出水量为k 立方米.已知污染源以每天r 个单位污染河水,某一时段t (单位:天)河水污染质量指数为m (t )(每立方米河水所含的污染物)满足 m (t )=r k +(m 0-r k )e -k v t (m 0为初始质量指数),经测算,河道蓄水量是每天进出水量的 80 倍.若从现在开始关闭污染源,要使河水的污染水平下降到初始时的10%,需要的时间大约是( ).(参考数据:ln 10≈2.30) A .1个月 B .3个月 C .半年 D .1年 6.(2022·湖南衡阳模拟)在数字通信的研究中,需要解决在恶劣环境(噪声和干扰导致极低的信噪比)下的网络信息正常传输问题.根据香农(shannon)公式C=W log 21+S N ,式中W 是信道带宽(赫兹),S 是信道内所传信号的平均功率(瓦),N 是信道内部的高斯噪声功率(瓦),C (单位:bit/s)是数据传送速率的极限值,S N 是信号与噪声的功率之比,为无量纲单位如:S N =1000,即信号功率是噪声功率的1000倍,但是在讨论信噪比时,常以分贝(dB)为单位,即SNR=10lg S N (信噪比,单位为dB).在信息最大速率C 不变的情况下,要克服恶劣环境影响,可采用提高信号带宽(W )的方法来维持或提高通信的性能.现在从信噪比SNR=30 dB 的环境转到SNR=0 dB 的环境,则信号带宽(W )大约要提高( ).(参考数据:lg 2≈0.3) A .10倍 B .9倍 C .2倍 D .1倍 第十讲 函数模型及其应用 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理 知识点 函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax ＋b(a ，b 为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝k x ＋b(k ，b 为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax 2 ＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blog a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝ax n ＋b(a ，b 为常数，a≠0) 2．三种函数模型的性质 函数 性质 y ＝a x (a>1) y ＝log a x(a>1) y ＝x n (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行 随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行 随n 值变化而各有不 同 值的比较 存在一个x 0，当x>x 0时，有log a x 重要结论 1．函数f(x)＝x a ＋b x (a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增． 2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸 双基自测 题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2 的函数值大．( × ) (2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a·b x ＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) (3)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (4)不存在x 0，使ax 0 专题13 函数模型及其应用 【考点预测】 1.几种常见的函数模型： 2.解函数应用问题的步骤： (1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型; (3)解模：求解数学模型，得出结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 【题型归纳目录】 题型一：二次函数模型，分段函数模型 题型二：对勾函数模型 题型三：指数函数、对数函数模型 【典例例题】 题型一：二次函数模型，分段函数模型 例1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））如图为某小区七人足球场的平面示意图，AB 为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的P 点处接球，此时5 tan 31 APB ∠= ，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点Q 处射门，为获得最佳的射门角度（即AQB ∠最大），则射门时甲离上方端线的距离为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】 先根据题意解出AB 长度，设QH h = ，得到2cos AQB ∠=件即可求解. 【详解】 设AB x =，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：25PH =，10BH =， 所以102tan 255BH BPH HP ∠= ==，且5 tan 31 APB ∠=， 所以()52 3315tan tan 5251315APH APB BPH +∠=∠+∠= =-⨯， 又10tan 25AH AB BH x APH PH PH ++∠= ==，所以103 255 x +=，解得5x =，即5AB =， 设QH h =，[]0,25h ∈ ，则AQ ， BQ =AQB 中， 高考数学一轮复习考点知识专题讲解 函数模型的应用 考点要求 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异. 2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义. 3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 知识梳理 1．三种函数模型的性质 函数 性质y＝a x(a>1) y＝log a x(a>1) y＝ x n(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表 现为与y轴平行随x的增大逐渐 表现为与x轴平 行 随n值变 化而各有 不同 2.常见的函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模 型f(x)＝ k x ＋b(k，b为常数且k≠0) 指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1， b≠0) 幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×) (2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利．(×) (3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)和y＝log a x(a>1)的增长速度．(√) (4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(×) 教材改编题 1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.500.99 2.01 3.98 y －0.99－0.010.98 2.00 课时作业13 函数模型及其应用 一、选择题 1．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，下列选项中正确的是( )．A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x) C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x) 2．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为( )． A．2 B．6 C．8 D．10 3．对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]＝2；[2.1]＝2；[－2.2]＝－3，这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，那么[log31]＋[log32]＋[log33]＋…＋[log3243]的值为( )．A．847 B．850 C．852 D．857 4．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t之间的数据，将其整理后得到如下的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间的关系的是( )． A．y＝2t B．y＝2t2 C．y＝t3D．y＝log2t 5．某地区的一种特色水果上市时间仅能持续几个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨的态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，为准确研究其价格走势，下面给出的四个价格模拟函数中合适的是(其中p，q为常数，且q＞1，x∈[0,5]，x ＝0表示4月1日，x＝1表示5月1日，…以此类推)( )． A．f(x)＝p·q x B．f(x)＝px2＋qx＋1 C．f(x)＝x(x－q)2＋p D．f(x)＝p ln x＋qx2 6．图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成的，函数S＝S(a)(a≥0)是图形M介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分面积，则函数S(a)的图象大致是( )． 第二章函数的概念与基本初等函数I 第八讲函数模型及其应用 1.[2021长春市第一次质量监测]中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感。为分析泡制一杯最佳口感的茶水所需的时间，某研究人员每隔1 mIn测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图2-8-1所示的散点图。观察散点图的分布情况,下列可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律的函数模型是（） 图2-8-1 A。y=mx2+n（m>0) B。y=mx+n（m〉0） C。y=ma x+n(m〉0,a>0且a≠1) D.y=m log a x+n(m〉0，a〉0且a≠1） 2。[2021晋南高中联考］2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录。良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了华夏五千年文明史。考古学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律。已知样本中碳 14的质量N随时间t（单位:年）的衰变规律满足:N=N0·2-t5730（N0表示碳14原来的质量），经过测定，良渚古城某文物样本中碳14的质量是原来的0.6倍，据此推测良渚古城遗址存在的时期距今大约是(参考数据：log23≈1.6,log25≈2。3）(） A。3 440年 B。4 011年 C。4 580年 D。5 160年 3。［2021山东新高考模拟]中国的5G技术处于领先地位，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=W log2(1+S N )。它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信 道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功 率N的大小,其中S N 叫作信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计。按照香农公式,若不改变带宽W，而将信噪 比S N 从1 000提升至4 000，则C大约增加了(附:lg 2≈0。301 0)（) A.10%B。20%C。50％D。100% 4。［2020四川绵阳中学模拟]某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为如何定价而发愁。通过进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表: 销售单价/元6789 1 1 1 1 2 配餐作业(十二) 函数模型及其应用 (时间：40分钟) 一、选择题 1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( ) A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100 解析根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得，故选C。 答案 C 2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( ) A．118元B．105元 C．106元D．108元 解析设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108。故选D。 答案 D 3．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案。据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( ) 解析选项B中，Q的值随t的变化越来越快。故选B。 答案 B 4．(2017·模拟)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x年，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y＝f(x)的图象大致为( ) 解析 设某地区起始年的绿化面积为a ， 因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x 年，绿化面积g (x )＝a (1＋18%)x ， 因为绿化面积与原绿化面积之比为y ， 则y ＝f (x )＝ g x a ＝(1＋18%)x ＝1.18x ， 因为y ＝1.18x 为底数大于1的指数函数，故可排除C ，当x ＝0时，y ＝1，可排除A ，B ，故选D 。 答案 D 5．某校为了规X 教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x (正常情况下0≤x ≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y (元)。要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少。则下列函数最符合要求的是( ) A ．y ＝(x －50)2 ＋500 B ．y ＝＋500 C ．y ＝ 11 000 (x －50)3 ＋625 D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)] 解析 由题意知，拟定函数应用满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x ＝50左右增长速度较慢，最小值为500。A 中，函数y ＝(x －50)2 ＋500先减后增，不符合要求；B 中，函数y ＝ ＋500是指数型函数，增长速度是越来越快的，不符合要求； D 中，函数y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢的，不符合要求；而C 中，函数y ＝11 000(x －50)3＋625是由函数y ＝x 3 经过平移和伸缩变换得到的，符合要求。 故选C 。 答案 C 二、填空题 第9节函数模型及其应用 知识点、方法题号用函数(图象)刻画实际问题中两变量的变化过程1,2 一次函数、二次函数模型4,5 函数y=x+(a>0)模型10 指数函数模型3,8,9,11 分段函数模型6,7,9,12,13,14 1.如图,下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有( A ) (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 解析:将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来,图①是匀速的,故下面的图象不正确,②中的变化率是越来越慢的,正确;③中的变化规律是逐渐变慢再变快,正确;④中的变化规律是逐渐变快再变慢,也正确,故只有①是错误的. 2.若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( B ) 解析:根据题意得解析式为h=20-5t(0≤t≤4),其图象为B. 3.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩余的物质为原来的,当剩余的物质为 时,需要经过( C ) 原来的64 125 (A)5年(B)4年(C)3年(D)2年 解析:由指数函数模型知（）x=64 , 125 解得x=3. 4.(2014高考北京卷)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c 是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( B ) 函数模型及其应用 导学目标： 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 自主梳理 函数性质y＝a x(a>1) y＝log a x (a>1) y＝x n(n>0) 在(0，＋∞) 上的单调性 增长速度 图象的变化随x增大逐渐表现为与 ____平行 随x增大逐渐表现为与 ____平行 随n值变化而不同 (1)指数函数y＝a x (a>1)与幂函数y＝x n (n>0) 在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n，但由于y ＝a x的增长速度________y＝x n的增长速度，因而总存在一个x0，当x>x0时有________． (2)对数函数y＝log a x(a>1)与幂函数y＝x n (n>0) 对数函数y＝log a x(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会________y＝x n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有____________． 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有_____________________．3．函数模型的应用实例的基本题型 (1)给定函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题． 4．函数建模的基本程序 自我检测 1．下列函数中随x的增大而增大速度最快的是( ) A．v＝ 1 100 e x B．v＝100ln x C．v＝x100D．v＝100×2x 2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 ( ) 新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 考点知识总结10 幂函数与二次函数 高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度 考纲 研读 1.了解幂函数的概念 2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2 ，y ＝x 3 ，y ＝x －1 ，y ＝x 1 2的图象，了解它们的变 化情况 3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质 4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题 一、基础小题 1．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152 3，因为y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12x 是 减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223 新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第10讲幂函数与二次函数 1．幂函数 (1)定义 形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类 幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 1 2，y＝x－1. (2)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛ ⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 单调性 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫ －b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫ －b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ －b 2a ，4ac －b 24a 对称性 图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形 ➢考点1 ****** [名师点睛] 1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．[典例] 1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()m n (m，n∈N*，m，n互质)的图像如图 f x x 所示，则（） A．m，n是奇数，且m <1 n >1 B．m是偶数，n是奇数，且m n <1 C．m是偶数，n是奇数，且m n D．m是奇数，n是偶数，且m >1 n 【答案】C 【解析】一轮复习课时训练§2.9：函数模型及其应用
高考数学函数模型及其应用
高考数学复习专题四考点12《函数模型及其应用》练习题(含答案)
高考数学一轮复习练习 数学建模——函数模型及其应用
高考数学(理)大一轮复习习题：函数模型及应用 word版含答案
通用版2020版高考数学大一轮复习第12讲 函数模型及其应用 学案(理数)人教A版 含答案
数学一轮复习第二章函数2.9函数模型及其应用学案理
2023年高考数学一轮复习试题：应用建模1 函数模型及其应用
高考一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用
2023年新高考数学大一轮复习专题13 函数模型及其应用(解析版)
高考数学一轮复习考点知识专题讲解12---函数模型的应用
高考数学一轮复习 第二章函数2.10函数模型及其应用练习 理 新人教A版
数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第8讲函数模型及其应用试题2理
高考数学一轮复习 配餐作业12 函数模型及其应用(含解析)理-人教版高三全册数学试题
高三数学一轮复习第二篇函数及其应用函数模型及其应用基丛点练理
高考数学大一轮复习 2.9 函数模型及其应用导学案 理
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 10 幂函数与二次函数
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第10讲 幂函数与二次函数