2020年电大离散数学(本)期末考试题库及答案

2020年电大离散数学（本）期末考试题库及答案

一、单项选择题

1．设P：a是偶数，Q：b是偶数。R：a + b是偶数，则命题“若a是偶数，b是偶数，则a + b 也是偶数”符号化为（D．P Q→R）。2．表达式?x（P（x，y）∨Q（z））∧?y（Q（x，y）→?zQ（z））中?x的辖域是（P（x，y）Q（z））。

3．设)

(

}),

({

{

S则命题为假的是（

S∈）。

4．设G是有n个结点的无向完全图，则G的边数（1/2 n（n-1））。

5．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r=（e-v+2）。

6．若集合A={1，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是( {1}?A )．

7．已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为( 5 )．

8．设无向图G的邻接矩阵为

则G的边数为( 7 )．

9．设集合A={a}，则A的幂集为({?，{a}} )．

10．下列公式中(?A∧?B ??(A∨B) )为永真式．

11．若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( 连通图)．

12．集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={|x=y且x, y∈A}，则R的性质为（传递的）．

13．设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系≤是A上的整除关系，则偏序集上的元素5是集合A的（极大元）．

14．图G如图一所示，以下说法正确的是( {(a, d) ,(b, d)}是边割集) ．图一

15．设A（x）：x是人，B（x）：x是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（(?x)(A(x)∧B(x)) ）．

16．若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是(A?B，且A∈B )．

17．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图一所示，则下列结论成立的是( （d）是强连通的)．

18．设图G的邻接矩阵为

则G的边数为( 5 )．

19．无向简单图G是棵树，当且仅当(G连通且边数比结点数少1 )．

20．下列公式((P→(?Q→P))?(?P→(P→Q)) )为重言式．

21．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是({a}?A)．

22．设图G＝，v∈V，则下列结论成立的是(E

)

deg(=

∑

∈

) ．

23．命题公式（P∨Q）→R的析取范式是(（?P∧?Q）∨R )

24．下列等价公式成立的为(P→(?Q→P) ??P→(P→Q) )．

25．设A={a, b}，B={1, 2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={, }，R2={, , }，R3={, }，则（R2）不是从A到B的函数．

26．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为(无、2、无、2)．

27．若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（1024）．

28．如图一所示，以下说法正确的是 (e 是割点)．图一

29．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ n 为奇数）时，K n 中存在欧拉回路．

30．已知图G 的邻接矩阵为，则G 有（ 5点，7边）．

二、填空题（每小题3分，共15分）

1．设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若A ∧C ?B ∧C ，那么A ?B 是重言式（重言式、矛盾式或可满足式）。

2．命题公式（P →Q ）∨P 的主合取范式为

)()(Q P Q P ∨?∧∨ 。

3．设集合A={?，{a}}，则P （A ）= }}}{,{}},{{},{,{a a ??? 。 4．设图G =〈V ，E 〉， G ′=〈V ′，E ′〉，若 V ′=V,E ′ E ,则G ′是G 的生成子图。 5．在平面G =〈V ，E 〉中，则

∑=r

i i

r 1

)deg(= 2|E| ，其中i

r （i=1，2，…，r ）是G 的面。6．命题公式P P ?∧的真值是假（或F ，或0）

．

7．若无向树T 有5个结点，则T 的边数为 4 ．

8．设正则m 叉树的树叶数为t ，分支数为i ，则(m -1)i = t-1 ．

9．设集合A ={1，2}上的关系R ＝{<1, 1>,<1, 2>}，则在R 中仅需加一个元素 <2, 1> ，就可使新得到的关系为对称的． 10．(?x )(A (x )→B (x ，z )∨C (y ))中的自由变元有 z ，y ．

11．若集合A={1，3，5，7}，B ={2，4，6，8}，则A ∩B = 空集（或?）．

12．设集合A ={1，2，3}上的函数分别为：f ={<1,2>,<2,1>,<3,3>,}，g ={<1,3>,<2,2>,<3,2>,}，则复合函数g ?f = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 2>,} ． 13．设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则G 的结点度数之和为 2|E |（或“边数的两倍”）． 14．无向连通图G 的结点数为v ，边数为e ，则G 当v 与e 满足 e=v -1 关系时是树． 15．设个体域D ＝{1, 2, 3}， P (x )为“x 小于2”，则谓词公式(?x )P (x ) 的真值为假（或F ，或0）． 16．命题公式)(P Q P

∨→的真值是

T （或1）．

17．若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为 W ≤|S| ．

18．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 0 ，则该序列集合构成前缀码． 19．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 5 ． 20．(?x )(P (x )→Q (x )∨R (x ，y ))中的自由变元为 R (x ，y )中的y ． 21．设集合A ={0, 1, 2, 3}，B ={2, 3, 4, 5}，R 是A 到B 的二元关系，},,{B A y x B y A x y x R ?∈∈∈><=且且则R 的有序对集合为

{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3> ．

22．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 v -e +r =2 ． 23．设G ＝是有6个结点，8条边的连通图，则从G 中删去 3 条边，可以确定图G 的一棵生成树． 24．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且所有结点的度数全为偶数． 25．设个体域D ＝{1,2}，则谓词公式)(x xA ?消去量词后的等值式为 A (1)∨A (2) ． 26．设集合A ＝{a ，b }，那么集合A 的幂集是 {?,{a ,b },{a },{b }} ．

27．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，则R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1-R 2中自反关系有 2 个．

28．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去 4 条边后使之变成树．

29．设连通平面图G 的结点数为5，边数为6，则面数为 3 ．

30．设个体域D ＝{a , b }，则谓词公式(?x )A (x )∧（?x ）B （x ）消去量词后的等值式为 (A (a )∧A (b ))∧(B （a ）∨B （b ）) ． 31. 设集合A={0，1 ，2} ，B={l ，2 ，3 ，剖，R 是A 到B 的二元关系，R= { |x ∈A 且y ∈B 且x ， y ∈A ∩B} 则R 的有序对集合为___{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}___

32. 设G 是连通平面图，v ， e ， r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则 v ， e 和r 满足的关系式__v-e+r=2_____ 33.G=是有20个结点，25 条边的连通图,则从G 中删去__6__条边，可以确定图G 的一棵生成树. 34. 无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 所有结点的度数全为偶数且_ 连通____ 35. 设个体域D={ 1, 2 } ，则谓词公式? xA(x)消去量词后的等值式为__A(1)∧A(2)___

三、化简解答题

11．设集合A={1，2，3，4}，A 上的二元关系R ，R={〈1，1〉，〈1，4〉，〈2，2〉，〈2，3〉，〈3，2〉，〈3，3〉，〈4，1〉，〈4，4〉}，说明R 是A 上的等价关系。解从R 的表达式知，,),(,R x x A x ∈∈?即R 具有自反性；

三、逻辑公式翻译

1．将语句“今天上课．”翻译成命题公式．

设P ：今天上课，则命题公式为：P ．

2．将语句“他去操场锻炼，仅当他有时间．”翻译成命题公式．

设 P ：他去操场锻炼，Q ：他有时间，则命题公式为：P Q ． 3．将语句“他是学生．”翻译成命题公式．

设P ：他是学生，则命题公式为： P ．

4．将语句“如果明天不下雨，我们就去郊游．”翻译成命题公式．

设P ：明天下雨，Q ：我们就去郊游，则命题公式为：? P → Q ． 5．将语句“他不去学校．”翻译成命题公式．

设P ：他去学校， ? P ．

6．将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．

设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， P →Q ． 7．将语句“所有的人都学习努力．”翻译成命题公式．

设P (x )：x 是人，Q (x )：x 学习努力，（?x ）(P (x )→Q (x ))． 8．将语句“如果你去了，那么他就不去．”翻译成命题公式．

设P ：你去，Q ：他去， P →?Q ． 9．将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．

设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， P ∧Q ． 10．将语句“所有人都去工作．”翻译成谓词公式．

设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去工作， (?x )(P (x )→Q (x ))．

11．将语句“如果所有人今天都去参加活动，则明天的会议取消．”翻译成命题公式．

设P ：所有人今天都去参加活动，Q ：明天的会议取消， P → Q ． 12．将语句“今天没有人来．” 翻译成命题公式．

设 P ：今天有人来， ? P ．

13．将语句“有人去上课．” 翻译成谓词公式．

设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去上课， (?x )(P (x) ∧Q (x ))．

1 1. 将语句"如果小李学习努力，那么他就会取得好成绩. "翻译成命题公式.

设P ：小李学习努力，Q:小李会取得好成绩，P →Q 12. 将语句"小张学习努力,小王取得好成绩. "翻译成命题公式.

设P ：小张学习努力，Q:小王取得好成绩，P ∧Q

四、判断说明题

1．设集合A ={1，2}，B ={3，4}，从A 到B 的关系为f ={<1, 3>}，则f 是A 到B 的函数．

错误．因为A 中元素2没有B 中元素与之对应，故f 不是A 到B 的函数． 2．设G 是一个有4个结点10条边的连通图，则G 为平面图．错误．不满足“设G 是一个有v 个结点e 条边的连通简单平面图，若v ≥3，则e ≤3v-6．”

3．设N、R分别为自然数集与实数集，f：N→R，f (x)=x+6，则f是单射．

正确．设x1，x2为自然数且x1≠x2，则有f(x1)= x1+6≠x2+6= f(x2)，故f为单射．

4．下面的推理是否正确，试予以说明．

(1) （?x）F（x）→G（x）前提引入

(2) F（y）→G（y）US（1）．

错误．

（2）应为F（y）→G（x），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．

5．如图二所示的图G存在一条欧拉回路．

图二

错误．因为图G为中包含度数为奇数的结点．

6．设G是一个有6个结点14条边的连通图，则G为平面图．

错误．不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v-6．”

7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2是自反的．

正确．R1和R2是自反的，?x∈A， ∈R1， ∈R2，则 ∈R1?R2，所以R1∪R2是自反的．8．如图二所示的图G存在一条欧拉回路．

正确．因为图G为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数．

9．┐P∧（P→┐Q）∨P为永真式．

正确．

┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，

如果P的值为真，则┐P∧（P→┐Q）∨P为真，

如果P的值为假，则┐P与P→┐Q为真，即┐P∧（P→┐Q）为真，

也即┐P∧（P→┐Q）∨P为真，

所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．

另种说明：

┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，

只要其中一项为真，则整个公式为真．

可以看到，不论P的值为真或为假，┐P∧（P→┐Q）与P总有一个为真，

所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．

或用等价演算┐P∧（P→┐Q）∨P?T

10．若偏序集的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在．

图一

正确．

v v3

v5v4

图二

对于集合A 的任意元素x ，均有∈R （或xRa ），所以a 是集合A 中的最大元．按照最小元的定义，在集合A 中不存在最小元． 11. 如果R 1和R 2是A 上的自反关系，则R 1∩R 2是自反的。

正确，R 1和R 2，是自反的，?x ∈A,∈R 1,∈R 2,则 ∈R 1∩R 2，所以R 1∩R 2是自反的. 12. 如图二所示的图中存在一条欧拉回路.

正确，因为图G 为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数。

五．计算题（每小题12分，本题共36分） 1．试求出（P ∨Q ）→（R ∨Q ）的析取范式．

（P ∨Q ）→（R ∨Q ）? ┐(P ∨Q )∨（R ∨Q ）

? (┐P ∧┐Q )∨（R ∨Q ）

? (┐P ∧┐Q )∨R ∨Q （析取范式）

2．设A ={{1}, 1, 2}，B ={ 1, {2}}，试计算（1）（A ∩B ）（2）（A ∪B ）（3）A -（A ∩B ）．

（1）（A ∩B ）={1} （2）（A ∪B ）={1, 2, {1}, {2}} （3） A -（A ∩B ）={{1}, 1, 2}

3．图G =，其中V ={ a , b , c , d }，E ={ (a , b ), (a , c ) , (a , d ), (b , c ), (b , d ), (c , d )}，对应边的权值依次为1、2、3、1、4及5，试（1）画出G 的图形；（2）写出G 的邻接矩阵；

（3）求出G 权最小的生成树及其权值．

（1）G 的图形表示如图一所示：

（2）邻接矩阵：?

???

????

???011110111101111

（3）最小的生成树如图二中的粗线所示：

权为：1+1+3=5

4．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权．

最优二叉树如图三所示图三

权为1?3+2?3+2?2+3?2+4?2=27

图二

ο ο ο ο a b c

d 1

3 图一

ο ο ο a b c

d 1 1 2

3 ο ο ο ο ο

ο ο

ο ο 1 2

2 3 3 4 7 5

5．求（P∨Q）→R的析取范式与合取范式．

（P∨Q）→R??（P∨Q）∨R

? (?P∧?Q)∨R （析取范式）

? (

?P∨R)∧(?Q∨R) （合取范式）

6．设A={0，1，2，3}，R={|x∈A，y∈A且x+y<0}，S={|x∈A，y∈A且x+y≤2}，试求R，S，R?S，S -1，r(R)．R=?, S={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<2,0>}

R?S=?，

S -1= S，

r(R)=I A={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>}．

7．试求出（P∨Q）→R的析取范式，合取范式，主合取范式．

（P∨Q）→R?┐(P∨Q)∨R? (┐P∧┐Q)∨R（析取范式）

? (┐P∨R)∧(┐Q∨R)（合取范式）

? ((┐P∨R)∨(Q∧┐Q))∧((┐Q∨R)∨(P∧┐P))

? (┐P∨R∨Q)∧(┐P∨R∨┐Q)∧(┐Q∨R∨P)

∧(┐Q∨R∨┐P)

? (┐P∨Q∨R)∧(┐P∨┐Q∨R)∧(P∨┐Q∨R)

8．设A={{a, b}, 1, 2}，B={ a, b, {1}, 1}，试计算

（1）（A-B）（2）（A∪B）（3）（A∪B）-（A∩B）．

（1）（A-B）={{a, b}, 2}

（2）（A∪B）={{a, b}, 1, 2, a, b, {1}}

（3）（A∪B）-（A∩B）={{a, b}, 2, a, b, {1}}

9．图G=，其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试

（1）画出G的图形；

（2）写出G的邻接矩阵；

（3）求出G权最小的生成树及其权值．

（1）G的图形表示为：

（2）邻接矩阵：

（3）粗线表示最小的生成树，

权为7：

10．设谓词公式)

(

)

(

))

(

)

(

∧

→

?，试（1）写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．

（1）?x量词的辖域为))

(

)

(

→，

?z量词的辖域为)

?y量词的辖域为)

R．

（2）自由变元为))

(

)

(

→与)

F中的y，以及)

R中的z

约束变元为x与)

Q中的z，以及)

R中的y．

11．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算

（1）（A-B）；（2）（A∩B）；（3）A×B．

（1）A-B ={{1},{2}}

（2）A∩B ={1,2}

（3）A×B={<{1},1>，<{1},2>，<{1},{1,2}>，<{2},1>，<{2},2>，

<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,2>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2,2>,

<2, {1,2}>}

12．设G=，V={ v1，v2，v3，v4，v5}，E={ (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) }，试

（1）给出G的图形表示；（2）写出其邻接矩阵；

（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．

（1）G的图形表示为：

（2）邻接矩阵：

（3）v1，v2，v3，v4，v5结点的度数依次为1，2，4，3，2

（4）补图如下：

13．设集合A={1，2，3，4}，R={|x, y∈A；|x-y|=1或x-y=0}，试

（1）写出R 的有序对表示；（2）画出R 的关系图；

（3）说明R 满足自反性，不满足传递性．

（1）R ={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>} （2）关系图为

3）因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R ，即A 的每个元素构成的有序对均在R 中，故R 在A 上是自反的。因有<2,3>与<3,4>属于R ，但<2,4>不属于R ，所以R 在A 上不是传递的。

14．求P →Q ∨R 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．

P →（R ∨Q ）

?┐P ∨(R ∨Q )

? ┐P ∨Q ∨R （析取、合取、主合取范式）

?(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R ) ∨(┐P ∧Q ∧R ) ∨(P ∧┐Q ∧┐R ) ∨(P ∧┐Q ∧R ) ∨(P ∧Q ∧┐R ) ∨(P ∧Q ∧R ) （主析取范式）

15．设图G =，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1, v 2)，(v 1, v 3)，(v 2, v 3)，(v 2, v 4)，(v 3, v 4)，(v 3, v 5)，(v 4, v 5) }，试

(1) 画出G 的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵； (3) 求出每个结点的度数； (4) 画出图G 的补图的图形．

（1）关系图

（2）邻接矩阵 ???

???

?????

???01100101101101101101

00110 （3）deg(v 1)=2

deg(v 2)=3 deg(v 3)=4 deg(v 4)=3

deg(v 5)=2 （4）补图

16．设谓词公式?x(A(x,y)∧? zB(x,y, z)) ∧? yC(y,z) 试 (1)写出量词的辖域; ?x 量词的辖域为(A(x,y)∧? zB(x,y, z)), ? z 量词的辖域为B(x,y,z), ? y 量词的辖域为C(y,z) (2)指出该公式的自由变元和约束变元.

自由变元为(A(x,y) ∧? zB(x,y, z))中的y,以及C(y,z)中的z. ?? ? ? 1 2 3

v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 ο ο

ο ο v 1 v 2 v 3 v 4 v 5

ο ο

ο ο ο

约束变元为(A(x,y) ∧? zB(x,y, z))中的x 与B(x,y,z)中的z,以及C(y,z)中的y 。六、证明题

1．试证明：若R 与S 是集合A 上的自反关系，则R ∩S 也是集合A 上的自反关系．

证明：设?x ∈A ，因为R 自反，所以x R x ，即< x , x >∈R ；

又因为S 自反，所以x R x ，即< x , x >∈S ．即< x , x >∈R ∩S 故R ∩S 自反．

2．试证明集合等式A ? (B ?C )=(A ?B ) ? (A ?C ) ．

证明：设S = A ? (B ?C )，T =(A ?B ) ? (A ?C )，若x ∈S ，则x ∈A 或x ∈B ?C ，即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ．也即x ∈A ?B 且 x ∈A ?C ，即 x ∈T ，所以S ?T ．

反之，若x ∈T ，则x ∈A ?B 且 x ∈A ?C ，即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，也即x ∈A 或x ∈B ?C ，即x ∈S ，所以T ?S ．

因此T =S ．

3．试证明集合等式A ? (B ?C )=(A ?B ) ? (A ?C )．

证明：设S =A ∩(B ∪C )，T =(A ∩B )∪(A ∩C )，若x ∈S ，则x ∈A 且x ∈B ∪C ，即 x ∈A 且x ∈B 或 x ∈A 且x ∈C ，也即x ∈A ∩B 或 x ∈A ∩C ，即 x ∈T ，所以S ?T ．反之，若x ∈T ，则x ∈A ∩B 或 x ∈A ∩C ，即x ∈A 且x ∈B 或 x ∈A 且x ∈C

也即x ∈A 且x ∈B ∪C ，即x ∈S ，所以T ?S ．因此T =S ．

4．试证明集合等式A ? (B ?C )=(A ?B ) ? (A ?C ) ．

证明：设S = A ? (B ?C )，T =(A ?B ) ? (A ?C )，若x ∈S ，则x ∈A 或x ∈B ?C ，即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ．也即x ∈A ?B 且 x ∈A ?C ，即 x ∈T ，所以S ?T ．反之，若x ∈T ，则x ∈A ?B 且 x ∈A ?C ，即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，也即x ∈A 或x ∈B ?C ，即x ∈S ，所以T ?S ．

因此T =S ．

5．试证明（?x ）（P （x ）∧R （x ））? （?x ）P （x ）∧（?x ）R （x ）．

证明：

（1）（?x ）（P （x ）∧R （x ）） P

（2）P （a ）∧R （a ） ES(1) （3）P （a ） T(2)I （4）（?x ）P （x ） EG(3) （5）R （a ） T(2)I （6）（?x ）R （x ） EG(5) （7）（?x ）P （x ）∧（?x ）R （x ） T(5)(6)I

6．设m 是一个取定的正整数，证明：在任取m ＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m 的整数倍证明设

1a ，2a ，…，1+m a 为任取的m ＋1个整数，用m 去除它们所得余数只能是0，1，…，m －1，由抽屉原理可知，1a ，2a ，…，1

+m a 这m ＋1个整数中至少存在两个数

a 和

a ，它们被m 除所得余数相同，因此

a 和

a 的差是m 的整数倍。

7．已知A 、B 、C 是三个集合，证明A-(B ∪C)=(A-B)∩(A-C)

证明 ∵x ∈ A-（B ∪C ）? x ∈ A ∧x ?（B ∪C ）? x ∈ A ∧（x ?B ∧x ?C ）? （x ∈ A ∧x ?B ）∧（x ∈ A ∧x ?C ）? x ∈（A-B ）∧x ∈（A-C ）? x ∈（A-B ）∩（A-C ）∴A-（B ∪C ）=（A-B ）∩（A-C ）

8．（15分）设是半群，对A 中任意元a 和b ，如a ≠b 必有a*b ≠b*a ，证明：

(1)对A 中每个元a ，有a*a ＝a 。 (2)对A 中任意元a 和b ，有a*b*a ＝a 。 (3)对A 中任意元a 、b 和c ，有a*b*c ＝a*c 。证明由题意可知，若a*b ＝b*a ，则必有a ＝b 。 (1)由(a*a)*a ＝a*(a*a)，所以a*a ＝a 。

(2)由a*(a*b*a)＝(a*a)*(b*a)＝a*b*(a*a)＝(a*b*a)*a ，所以有a*b*a ＝a 。

(3)由(a*c)*(a*b*c)＝(a*c*a)*(b*c)＝a*(b*c)＝(a*b)*c ＝(a*b)*(c*a*c)＝(a*b*c)*(a*c)，所以有a*b*c ＝a*c 。 13. 设A,B 为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(B ∪C).

证明：(A-B)-C = (A ∩~B)∩~C

= A ∩(~B ∩~C)

= A∩~(B∪C)

= A-(B∪C)

9．求命题公式(?P→Q)→(P∨?Q) 的主析取范式和主合取范式

解：(?P→Q)→(P∨?Q)??(?P→Q)∨(P∨?Q)??(P∨Q)∨(P∨?Q)?(?P∧?Q)∨(P∨?Q) ?(?P∨P∨?Q)∧(?Q∨P∨?Q)?(P∨?Q)?M1?m0∨m2∨m3

10．例5在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过1/8。

证明：把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过小正方形的一半，即1/8。