精品解析：安徽省宿州市砀山县2020年九年级上学期12月月考数学试题(解析版)

砀山县2019-2020学年度九年级第一学期

阶段性检测数学试卷

一．选择题（本大题共10小题，每题4分，满分40分）

1. 一元二次方程3x 2﹣x ＝0的解是（ ） A. x ＝

13

B. x 1＝0，x 2＝3

C. x 1＝0，x 2＝

13

D. x ＝0

【答案】C 【解析】

【分析】根据题意对方程提取公因式x,得到x( 3x-1)=0的形式,则这两个相乘的数至少有一个为0,由此可以解出x 的值. 【详解】∵3x 2﹣x=0， ∴x（3x ﹣1）=0， ∴x=0或3x ﹣1=0， ∴x 1=0，x 2=， 故选C ．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的提点灵活选用合适的方法. 2. 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形

C. 菱形

D. 正方形

【答案】C 【解析】

【分析】根据三角形的中位线定理，得新四边形各边都等于原四边形的对角线的一半，进而可得连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形． 【详解】解：如图，矩形ABCD 中，

,AC BD ∴=

,,,E F G H 分别为四边的中点，

1//,,2EF BD EF BD ∴=

1//,,2GH BD GH BD = 1

,2

FG AC = //,,EF GH EF GH ∴=

∴ 四边形ABCD 是平行四边形，

11

,,,22

AC BD EF BD FG AC ==

= ,EF FG ∴=

∴ 四边形EFGH 是菱形．

故选C ．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定，以及三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线定理及菱形的判定．

3. 如图所示，该几何体的左视图是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】

【详解】解：在三视图中，实际存在而被遮挡的线用虚线表示， 故选D ．

【点睛】本题考查简单组合体的三视图.

4. 某农场的粮食总产量为1500吨，设该农场人数为x 人，平均每人占有粮食数为y 吨，则y 与x 之间的函数图象大致是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B 【解析】

【详解】解：∵xy=1500，∴

1500

y

x

（x＞0，y＞0），

故选B．

【点睛】本题考查反比例函数的应用及其图像性质，掌握反比例函数图像是双曲线是解题关键．

5. 小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是( )

A. 1

4

B.

1

5

C.

1

3

D.

1

2

【答案】A

【解析】

【分析】列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可. 【详解】用树状图列出所有情况，如下：

有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为：1

4

，

故选：A.

【点睛】此题主要考查概率的求解，熟练掌握，即可解题.

6. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是

A. 50（1+x2）=196

B. 50+50（1+x2）=196

C. 50+50（1+x）+50（1+x）2=196

D. 50+50（1+x）+50（1+2x）=196

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量：八、九月份的产量分别为50（1+x）、50（1+x）2，从而根据题意得出方程：

50+50（1+x ）+50（1+x ）2=196． 故选C ．

7. 当k ＞0时，反比例函数y ＝

k

x

和一次函数y ＝kx+2的图象大致是（ ） A. B. C. D.

【答案】C 【解析】

【详解】当k ＞0时，反比例函数k

y x

=的图象在一、三象限，同时一次函数y=kx+2的图象经过第一、二、三象限.故选C.

点睛:当k ＞0时，反比例函数图象分别在第一、三象限，一次函数图象成上升趋势，当k ＜0时，反比例函数图象分别在第二、四象限，一次函数图象成下降趋势；根据一次函数图象性质和反比例函数图象的性质，结合题目中的已知条件k ＞0，即可得出答案. 8. 对于反比例函数2

y x

=-

，下列说法不正确的是( ) A. 图象分布在第二、四象限 B. 当0x >时，y 随x 的增大而增大 C. 图象经过点（1,-2）

D. 若点()11,A x y ，()22,B x y 都在图象上，且12x x <，则12y y < 【答案】D 【解析】

【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A. k=?2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确； B. k=?2<0，当x>0时，y 随x 的增大而增大，故本选项正确； C.∵2

21

-

=-,∴点(1,?2)在它的图象上，故本选项正确； D. 若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）都在图象上，,若x 1<0< x 2,则y 2

【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键.

9. 如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是

线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段

CE的长为（）

A. 4

3

B.

2

3

C.

4

3

或3 D.

2

3

或4

【答案】C 【解析】

【分析】首先由∠ACD=∠ABC，得出∠A=∠DCE，然后由相似三角形的性质得出AB AC

CD CE

=或

AB AC

CE CD

=，

代入即可得解.

【详解】∵∠ACD=∠ABC，∴∠A=∠DCE，

∵△DCE和△ABC相似，

∴AB AC

CD CE

=或

AB AC

CE CD

=

∵AC=6，AB=4，CD=2，

∴46

2CE

=或46

2

CE

=

∴CE的长为4

3

或3

故选：C.

【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解决此问题要注意分类讨论.

10. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边中点，BE⊥AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；

②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝5

2

S△ABF．其中正确的结论有（）个

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1 【答案】A

【解析】

【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；

②由

11

22

AE AD BC

==，又AD∥BC，所以

AE AF

BC CF

=，进而得出

1

2

AF

CF

=，故②正确；

③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=1212BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；

④根据相似三角形的边长之比得出△ABF和△ABC的比值，从而得出四边形CDEF和△ABF的面积之比，即可判定④正确.

【详解】过D作DM∥BE交AC于N，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，

∵BE⊥AC于点F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正确；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴AE AF BC CF

=，

∵

11

22

AE AD BC

==，

∴

1

2 AF

CF

=，

∴CF=2AF，故②正确，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM=DE=1

2 BC，

∴BM=CM，∴CN=NF，

∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ， ∴DN ⊥CF ，

∴DF=DC ，故③正确； ∵

1

2

AF CF = ∴

13ABF ABC S S =△△，1

4

AEF BFC S S =△△ ∵ABC ACD S S =△△

设AEF S a =△，则2ABF S a =△，S 四边形CDEF =5ABC AEF S S a -=△△ ∴S 四边形CDEF ＝5

2

S △ABF ，故④正确； 故选：A .

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分２0分）

11. 已知a b ＝12

，则a b b +的值是_____．

【答案】3

2

【解析】

【分析】首先根据已知式子得出2b a =，然后代入所求式子即可得解. 【详解】∵a b =12

， ∴2b a =

∴

23

22

a b a a b a ++== 故答案为：3

2

.

【点睛】此题主要考查比例的基本性质，熟练掌握，即可解题.

12. 袋子中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有33次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有 _____ 个． 【答案】3 【解析】

【分析】首先求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球约有多少个.

【详解】∵摸了100次后，发现有33

次摸到红球，

∴摸到红球的频率=

33

0.3 100

≈，

∵袋子中有红球、白球共10个，

∴这个袋中红球约有10×0.3=3个，

故答案为：3.

【点睛】此题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，同时也考查了概率公式的应用.

13. 相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于________厘米．

【答案】12．36．

【解析】

【详解】试题分析：黄金分割即较大部分与较小部分之比值为1∶0.618，该矩形的较长边是20cm，那么

较小边x是

120

0.618x

=，解得x=0.618×20=12.36.

考点：黄金分割比例

点评：该题主要考查学生对黄金分割的意义，比值的熟记程度，同时提高学生明白数学在审美中的应用．

14. 反比例函数y1＝－3

x

，y2＝

k

x

的图象如图所示，点A为y1＝－

3

x

的图象上任意一点，过点A作x轴的

平行线交y2＝k

x

的图象于点C，交y轴于点B．点D在x轴的正半轴上，CD∥OA．若四边形AODC的面

积为2，则k的值为_____．

【答案】－1

【解析】

【分析】首先根据题意设点A坐标为

3

,a

a

??

-

?

??

，进而得出点B坐标为

3

0,

a

??

-

?

??

，点C坐标为

3

,

3

ak

a

??

--

?

??

，

然后利用四边形AODC的面积构建方程，即可得出k的值.

【详解】∵点A为y1=－3

x

的图象上任意一点

∴设点A坐标为

3

,a

a

??

-

???

，

∵点A作x轴的平行线交y2=k

x

的图象于点C，交y轴于点B

∴点B坐标为

3

0,

a

??

-

?

??

，点C坐标为

3

,

3

ak

a

??

--

?

??

，

∵CD∥OA，四边形AODC的面积为2 ∴AC×OB=2

∴

3

2

3

ak

a

a

????

---= ???

????

解得1

k=-，

故答案为-1.

【点睛】此题主要考查反比例函数的几何问题综合应用，解题关键是利用坐标和面积，构建关系式. 三．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分)

15. 解方程：2x2﹣1=3x．

【答案】x13+17

x2

317

-

.

【解析】

【分析】将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出值．

【详解】2x2-1=3x，

整理得：2x2-3x-1=0，

这里a=2，b=-3，c=-1，

∵△=b2-4ac=9+8=17，

∴317±

,

则x13+17

x2

317

-

【点睛】本题考查解一元二次方程-公式法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，计算出根的判别式，当根的判别式的值大于0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出解．

16. 一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形．请写出该几何体的形状，并根据图中所给的数据求出它的侧面积．

【答案】四棱拄，80cm2．

【解析】

【详解】解：这个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形，主视图、左视图是矩形，所以该几何体是四棱拄；

那么菱形的一条对角线长为3，另一条对角线长为4，

所以菱形的边长=

2

2

3255

2

242??

+==

?

??

，

而四棱拄的四个面都是矩形，矩形的宽都是菱形的边长，

所以它的侧面积=

5

48

2

??=80．

【点睛】本题考查四棱拄，三视图，考生解答本题需要掌握四棱拄的性质，对四棱拄侧面图形的形状要了解，熟悉三视图，会观察几何体的三视图．

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. 如图，路灯（P点）距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

【答案】变短了2.8米.

【解析】

【详解】试题分析：

试题解析：根据AC ∥BD ∥OP ，得出△MAC ∽△MOP ，△NBD ∽△NOP ，再利用相似三角形的性质进行求解，即可得出答案． 试题解析：如图：

∵∠MAC=∠MOP=90°， ∠AMC=∠OMP ， ∴△MAC ∽△MOP ，

∴

=

MA AC

MO OP ， 即

1.5

=209

MA MA ， 解得，MA=4米；

同理,由△NBD ∽△NOP ，可求得NB=1.2米， 则马晓明的身影变短了4?1.2=2.8米． ∴变短了，短了2.8米．

18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的

三个顶点坐标分别为A （﹣2，1）

、B （﹣3，2）、C （﹣1，4）． （1）以原点O 为位似中心，在第二象限内画出将△ABC 放大为原来的2倍后的△A 1B 1C 1． （2）画出△ABC 绕C 点逆时针旋转90°后得到的△A 2B 2C ．

【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析． 【解析】

【分析】（1）把点,,A B C 的横纵坐标都乘以2得到111,,A B C 的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点,,A B C 的对应点222,,A B C 即可得到222A B C △． 【详解】解：(1)如图, 111A B C △为所作； (2)如图, 222A B C △为所作；

五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A ．唐诗；B ．宋词；C ．论语；D ．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．

（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？

（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，

且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．

【答案】(1) 1

4

；（2）

1

12

.

【解析】

【分析】（1）直接利用概率公式求解；

（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．

【详解】（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=1

4

；

（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=．

20. 已知：如图，平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：AOD EOC

△≌△；

（2）连接AC，DE，当B AEB

∠=∠=?四边形ACED是正方形？请说明理由．

【答案】（1）见解析

（2）45°，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADO＝∠ECO，再根据中点定义可得DO=CO，然后可利用ASA证明△AOD≌△EOC；

（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形，由（1）得四边形ACED是平行四边形，再证对角线

互相垂直且相等可得四边形ACED 是正方形． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BE ∴∠ADO ＝∠ECO 又∵O 是CD 的中点 ∴OD ＝OC 在△AOD 和△EOC 中

AOD ECO OD OC AOD EOC ∠=∠??

=??∠=∠?

∴△AOD ≌ △EOC （ASA ）

（2）45°

由（1）知，OA=OE,OC=OD ∴四边形ACED 是平行四边形 ∴AD ＝CE 又∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ＝BC ∴BC ＝CE 当∠B ＝∠AEB ＝45°时，

AC CE ⊥且AC CE =

∴四边形ACED 是正方形．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的判定，关键是掌握对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．

六、解答题（本大题满分12分）

21. 某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问： (1)应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？

(2)店主想要获得每天800元的利润，小红同学认为不可能，如果你同意小红同学的说法，请进行说明；如果你不同意，请简要说明理由．

【答案】（1）每件售价定为12元或16元；（2）同意小红同学的说法，见解析 【解析】

【分析】（1）首先设将每件商品提价x 元，则每天可售出该商品(200－100.5

x

?)件，然后根据题意列出方程，即可得解；

（2）首先设将每件商品提价y 元，则每天可售出该商品(200－100.5

y

?)件，然后根据题意列出方程，由根的判别式得出方程无解，即可得解.

【详解】(1)设将每件商品提价x 元，则每天可售出该商品(200－100.5

x

?)件， 根据题意，得(10－8＋x )(200－100.5

x

?)=640， 解得x 1=2，x 2=6． ∴10＋x =12或16，

答：每件售价定为12元或16元； (2)同意小红同学的说法，理由如下：

设将每件商品提价y 元，则每天可售出该商品(200－

100.5

y

?)件，

根据题意，得(10－8＋y )(200－100.5

y

?) =800， 整理，得y 2－8y ＋20=0，

∵Δ= (－8)2－4×1×20=－16＜0， ∴该方程无实数解，即小红的说法正确．

【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握，即可解题.

七、解答题（本大题满分12分）

22. 如图，直线y =mx +n 与双曲线y =

k

x

相交于A （﹣1，2）、B （2，b ）两点，与y 轴相交于点C ．

（1）求m ，n 的值；

（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积；

（3）在坐标轴上是否存在异于D 点的点P ，使得S △PAB =S △DAB ？若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，说明理由。

【答案】（1）m =﹣1，n =1；（2）3；（3）存在，P 点坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（0，3） 【解析】

【分析】（1）首先根据点A 的坐标求出反比例函数的解析式，进而得出点B 坐标，然后用待定系数法即可得出m ，n 的值；

（2）分别求出点C 、D 的坐标，即可求出△ABD 的面积； （3）分类求解，当点P 在x 轴上和y 轴上时，即可得解． 【详解】（1）∵点A （﹣1，2）在双曲线y=k

x

上， ∴2=

1

k -， 解得，k =﹣2，

∴反比例函数解析式为：y=﹣2x

， ∴b =

2

2

-=﹣1， 则点B 的坐标为（2，﹣1），

∴

2 21

m n

m n

-+=

?

?

+=-

?

，

解得，m=﹣1，n=1；

（2）由（1）知y=﹣x+1，当x=0时，y=1，∴点C的坐标为（0，1），

∵点D与点C关于x轴对称，

∴点D的坐标为（0，﹣1），

∴△ABD的面积=1

2

×2×3=3；

（3）对于y=﹣x+1，当y=0时，x=1，

∴直线y=﹣x+1与x轴的交点坐标为（1，0），当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），

S△PAB=1

2

×|1﹣a|×2+

1

2

×|1﹣a|×1=3，

解得，a=﹣1或3，

∴P点坐标为（-1，0）或（3，0），

当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b），

S△PAB=1

2

×|1﹣b|×2+

1

2

×|1﹣b|×1=3，

解得，b=﹣1或3，

∴P点坐标为（0，-1）或（0，3），

又∵点P异于D点，D（0，-1），

∴P（0，3），

综上，P点坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（0，3）．

【点睛】此题主要考查一次函数和反比例函数的综合运用，熟练掌握，即可解题．

八、解答题（本大题满分14分）

23. 某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：

（1）如图1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，则EF GH；（填“＞”“=”或“＜”）

（2）如图2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，

求证：EF

GH

=

AD

AB

；

（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=3，CD=5，AD=7．5，AM⊥DN，点M，N分

别在边BC，AB上，求DN

AM

的值．

【答案】（1）=；（2）见解析；（3）

4

9

= DN AM

【解析】

【分析】（1）首先过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T，然后根据正方形的性质以及△ABP≌△BCQ的判定与性质，即可得出EF=GH；

（2）首先过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，然后根据矩形的性质以及

△PDA∽△QAB的判定与性质，即可得出EF AD GH AB

=；

（3）首先过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，判定平行

四边形ABSR是矩形，由（1）结论得出DN AR

AM AB

=，然后判定△ARD∽△DSC，运用其性质和勾股定理

构建方程，求解即可.

【详解】（1）如图1中，过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，AD∥BC，AB=BC，∠ABP=∠C=90°

∴四边形BEFQ、四边形PHGA都平行四边形，

∴AP=GH，EF=BQ．

又∵GH⊥EF，

∴AP⊥BQ，

∴∠PBT+∠ABT=90°，∠ABT+∠BA T=90°，

∴∠CBQ=∠BA T，

在△ABP和△BCQ中，BAP CBQ

ABP AB BC C

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ABP≌△BCQ，

∴AP=BQ，

∴EF=GH，

故答案为：=；

（2）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图2，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，AD∥BC．

∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，

∴AP=EF，GH=BQ．

又∵GH⊥EF，

∴AP⊥BQ，

∴∠QA T+∠AQT=90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=∠D=90°，

∴∠DAP+∠DPA=90°，

∴∠AQT=∠DPA，

∴△PDA∽△QAB，

∴AP AD BQ AB

=，

∴EF AD GH AB

=；

（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，

则四边形ABSR是平行四边形．

∵∠ABC=90°，

∴平行四边形ABSR是矩形，

∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．∵AM⊥DN，

∴由（1）中的结论可得DN AR AM AB

=，

设SC=x，则AR=BS=3+x，

∵∠ADC=∠R=∠S=90°，

∴∠ADR+∠RAD=90°，∠ADR+∠SDC=90°，∴∠RAD=∠CDS，

∴△ARD∽△DSC，

∴DR AD

SC DC

==

AR

DS

=

7.53

52

=，

∴DR=3

2

x，DS=

3

2

（x+3），

在Rt△ARD中，∵AD2=AR2+DR2，

∴7.52=（x+3）2+（3

2

x）2，

整理得13x2+24x﹣189=0，解得x=3或﹣63 13

，

∴AR=6，AB=RS=27

2

，

∴DN AR

AM AB

==

4

9

.

【点睛】此题主要考查矩形、正方形的性质以及全等三角形、相似三角形的判定与性质，解题关键是作好辅助线，找出等量关系.