(完整版)正弦定理余弦定理应用实例练习含答案

课时作业3应用举例

时间：45分钟满分：100分

课堂训练

1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()

A．103海里B．106海里

C．52海里D．56海里

【答案】 D

【解析】如图，∠A＝60°，∠B＝75°，

则∠C＝45°，

由正弦定理得：

BC＝AB·sin A

sin C

＝10×sin60°

sin45°

＝5 6.

2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()

A ．502m

B ．503m

C ．252m D.2522m

【答案】 A

【解析】 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根

据正弦定理可知，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB

，即50sin30°＝AB sin45°，解得AB ＝502m ，选A.

3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是________m.

【答案】 521

【解析】 如图所示，塔高为OC ，则∠OAC ＝60°，∠AOB ＝180°－30°＝150°，∠CBO ＝45°，AB ＝35，

设电视塔高度为h m，则OA＝3

3h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，

即352＝(3

2＋h2－2×33h×h×(－32)

3h)

解得h＝521.

4．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？

【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可．

【解析】 在△ABC 中，BC ＝30，∠B ＝30°，∠ACB ＝135°， ∴∠BAC ＝15°

由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，即：30sin15°＝AC sin30°

∴AC ＝60cos15°＝60cos(45°－30°)

＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)，

∴A 到BC 的距离为d ＝AC sin45°＝15(3＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．

课后作业

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )

A ．北偏东10°

B ．北偏西10°

C ．南偏东10°

D ．南偏西10°

【答案】 B

【解析】 如图所示，∠ECA ＝40°，∠FCB ＝60°，∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，

∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠ABC ＝180°－80°2

＝50°，∴∠ABG ＝180°－∠CBH －∠CBA ＝180°－120°－50°＝10°.故选B.

2．某市在“旧城改造”工程中，计划在如下图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a 元/m 2，则购买这种草皮需要( )

A ．450a 元

B ．225a 元

C ．150a 元

D ．300a 元

【答案】 C

【解析】 S △＝12×20×30×sin150°＝12×20×30×12

＝150(m 2)，

∴购买这种草皮需要150a 元，故选C.

3．有一长为10m 的斜坡，倾斜角为75°.在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )

A ．5

B ．10

C ．10

2

D ．10 3

【答案】 C

【解析】 如图，设将坡底加长到B ′时，倾斜角为30°.在△ABB ′中，利用正弦定理可求得BB ′的长度． 在△ABB ′中，∠B ′＝30°，

∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10m. 由正弦定理，得

BB ′＝AB sin45°sin30°＝10×2212

＝102(m)．

∴坡底延长102m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.

4．一船以226km/h 的速度向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的南偏东15°，则灯塔S 与B 之间的距离为( )

A ．66 km

B ．132 km

C ．96 km

D ．33 km

【答案】 A

【解析】 如图，∠ASB ＝180°－15°－45°＝120°，

AB ＝226×32＝336， 由正弦定理336sin120°＝SB sin45°，

∴SB ＝66(km)．

5．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，树尖与地面成45°角，树干也倾斜，与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( ) A.2063米

B ．106米 C.1063米

D ．202米

【答案】 A

【解析】 设树干底部为O ，折断点为P ，树尖着地处为M ，如图，△OPM 中，∠P ＝180°－∠M －∠O ＝180°－45°－75°＝60°，由正弦

定理得PO sin M ＝MO sin P ，∴PO ＝MO sin M sin P ＝20×sin45°sin60°＝2063.

6．甲船在B 岛的正南A 处，AB ＝10km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )

A.1507min

B.157h C ．21.5min

D ．2.15h

【答案】 A

【解析】

如图，设经过x 小时时距离为s ，则在△BPQ 中，由余弦定理知： PQ 2＝BP 2＋BQ 2－2BP ·BQ ·cos120°，

即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)×6x×(－1

2) ＝28x2－20x＋100.

当x＝－b

2a ＝5

14

时，s2最小，此时x＝5

14h＝

150

7min.

7．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°角的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过3h，该船实际航程为() A．215km B．6km

C．221km D．8km

【答案】 B

【解析】如图，

∵|OA→|＝2，|OB→|＝4，∠AOB＝120°，

∴∠A＝60°，|OC→|＝22＋42－2×2×4cos60°＝2 3.

经过3h，该船的航程为23×3＝6(km)．

8．如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上的两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为()

A ．75°

B ．60°

C ．50°

D ．45°

【答案】 C

【解析】 如图，作CE ⊥平面ABD 于点E ，则∠CDE 是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE ＝40°，延长DE 交直线AB 于点F ，连接CF ，则∠CFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S △ABD 最大，只需DF 最大．

在△CFD 中，CF sin40°＝DF sin (140°－α)

. ∴DF ＝CF ·sin (140°－α)sin40°

. ∵CF 为定值，∴当α＝50°时，DF 最大．

二、填空题(每小题10分，共20分)

9．如图在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，又测得山顶P 的仰角为γ，则山高为________．

【答案】 a sin α·sin (γ－β)sin (γ－α)

m 【解析】 在△P AB 中，已知∠BAP ＝α－β，∠APB ＝γ－α，AB ＝a ，

由正弦定理可得P A ＝a sin (γ－β)sin (γ－α)

， 在Rt △P AQ 中，PQ ＝P A sin α＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α)

. 10．一只蚂蚁沿东北方向爬行x cm 后，再向右转105°爬行20cm ，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x ＝________.

【答案】 203 6

【解析】 如图△ABC 中，∠A ＝45°＋15°＝60°，∠B ＝45°＋30°

＝75°，∠ACB ＝45°，由正弦定理知 x sin ∠ACB

＝20sin A ，∴x ＝203 6. 三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

11．A 、B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD .

【分析】 如图，由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD .因此，只需在△ABD 中求出AD 即可．

【解析】 在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，

由AB sin15°＝AD sin45°，

得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－2

4

＝800(3＋1)(m)．

∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°

∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)．

答：山高CD 为2 186 m.

12．如图，一辆汽车从O 点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/小时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O 点南偏东方向距O 点500千米且与海岸距离为300千米的海上M 处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？并求快艇以最小速度行驶时方向与OM 所成的角．

【分析】 根据题意画出示意图如图所示．在△MON 中，利用余弦定理得到速度v 关于时间t 的函数关系式，然后利用二次函数求最值．

【解析】 如图所示，设快艇从M 处以v 千米/小时的速度出发，沿MN 方向航行，t 小时后与汽车相遇．在△MON 中，MO ＝500，ON ＝100t ，MN ＝v t ，

设∠MON ＝α，由题意得

sin α＝35，则cos α＝45.

由余弦定理，得

MN 2＝OM 2＋ON 2－2OM ·ON ·cos α，

即v 2t 2＝5002＋1002t 2

－2×500×100t ×45. v 2＝5002

×1t 2－2×500×80×1t ＋1002＝(500×1t －80)2＋3 600. 当1t ＝80500，即t ＝254时，v 2min ＝3 600.

即快艇至少必须以60千米/小时的速度行驶，

此时MN ＝60×254＝375，MQ 是M 到ON 的距离，且MQ ＝300.

设∠MNO ＝β，则sin β＝300375＝45.所以可得α＋β＝90°，

即MN 与OM 所成的角为90°.