有限元法基本原理与应用
有限元法基本原理与应用
班级机械2081 姓名方志平
指导老师钟相强
摘要：有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
关键词：有限元法；变分原理；加权余量法；函数。
Abstract：Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method.
Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。
引言
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计
算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。
1.1 有限元单元法的基本思路
弹性力学解法的问题弹性力学解法的问题在于：不论是应力函数解法数解法、扭转函数解法、挠曲函数解法、还是基于最小势能原还是基于最小势能原理的瑞利－李兹等方法，其困难在于如何给出一个在全求解区给出一个在全求解区域上均成立的试探函数。
在有限单元法里在有限单元法里，这个问题通过定义分片插值的位移或应力函数得到了巧妙的解决。
对于任意单元对于任意单元(i,j,m)，，以结点位移以结点位移(u,u ,u )为待定系数，可以给出该单元的插值函数：
线性代数方程组的求解在数学上是极其容易的。
也就是说有限元法通过单元离散和最小势能原理小势能原理，避开了微分方程直接求避微分方程直接求解在数学上的困难，把定解条件下的微分方程组的求解巧妙地转化为线性方程组的运算，实现了任何复杂弹性力学问题轻易分析计算。
1.2有限元单元法求解问题的的基本步骤
1.(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初
边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。
(2) 区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干
相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。
3) 确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插
值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。
(4) 单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼
近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单
元中各节点的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。
(5) 总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定
法则进行累加，形成总体有限元方程。
(6) 边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边
界条件)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。
(7) 解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量
的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。
1.3求解计算结果的整理和有限元法后处理
有限元方程是一个线性代数方程组，一般有两大类解法，一是直接解法，二是迭代法。直接法有高斯消元法和三角分解法，如果方程规模比较大时，可用分块解法和波前解法。迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法等。
通过选用合适的的求解法求解经过位移边界条件小处理的公式后，得到整体节点位移列阵，然后根据单元节点位移由几何矩阵和应力矩阵得到单元节点的应变和应力，对于非节点处的位移通过形函数插值得到，再由几何矩阵和应力矩阵求得相应的应变和应力。
应变要通过位移求导得到，精度一般要比位移差一些，尤其对于一次单元，应变和应力在整个单元内是常数，应变和应力的误差会比较大，尤其单元数比较少时，误差更大，因此对于应力和应变要进行平均化处理：
（1）绕节点平均法，即依次把围绕节点所有单元的应力加起来平均，以此平均应力作为该节点的应力。
（2）二单元平均法，即吧相邻的两单元的应力加以平均并以此作为公共边的节点出的应力。
整理并对有限元法计算结果进行后处理，一是要得到结构中关键位置力学量得数值（如最大位移、最大主应力和主应变，等效应力等）；二是得到整个结构的力学量得分布（根据计算结果直接绘制位移分布图，应力分布图等）。三是后处理要得到输入量和输出量之间的响应关系。
梁的有限元建模与变形分析
计算分析模型如图1所示。
NOTE：要求选择不同形状的截面分别进行计算。
梁承受均布载荷：1.0e5 P a
图1 梁的计算分析模型
梁截面分别采用以下三种截面（单位：m）：
矩形截面：圆截面：工字形截面：
B=0.1，H=0.2 R=0.1 w1=0.2，w2=0.2，w3=0.2，
t1=0.05，t2=0.05，t3=0.05
梁的弹性模量为：200GPa，泊松比为：0.3。试用ANSYS求该梁的挠度及应力分布（包含轴向应力），画出梁的弯矩图和剪力图。
（1）单元类型定义后，设置梁类型与实常数。
（2）设置材料属性。
（3）建立几何模型。
（4）创建线并划分网格与单元。
(5)施加载荷与约束。
（6）求解。
参考文献
1张晋红，吴凤林有限元法及其应用现状【J】。机械管理开发，2009,4
2樊杰，赵铁，徐清洁有限元法的一般思想【J】。科技情报开发与经济，2008,3 3杨桂通弹性力学【M】北京：高等教育出版社，1998
4邵敏有限元法基本原理和数值方法[M]。北京：清华大学出版社，1997
5傅永华有限元法分析基础【M】。武汉：武汉大学出版社，2003
机械原理基本概念
（2）运动副是两构件通过直接接触形成的可动联接。（3）两构件通过点或线接触形成的联接称为高副。一个平面高副所引入的约束数为1。（4）两构件通过面接触形成的联接称为高副，一个平面低副所引入的约束数为2。（5）机构能实现确定相对运动的条件是原动件数等于机构的自由度，且自由度大于零。（6）虚约束是对机构运动不起实际约束作用的约束，或是对机构运动起重复约束作用的约束。（7）局部自由度是对机构其它运动构件的运动不产生影响的局部运动。（8）平面机构组成原理：任何机构均可看作是由若干基本杆组依次联接于原动件和机架上而构成。（8）基本杆组的自由度为0。（1）瞬心是两构件上瞬时速度相等的重合点-------即等速重合点。（2）两构件在绝对瞬心处的速度为0。（3）相构件在其相对瞬心处的速度必然相等。（4）两构件中若有一个构件为机架，则它们在瞬心处的速度必须为0。（5）用瞬心法只能求解机构的速度，无法求解机构的加速度。（1）驱动机械运动的力称为驱动力，驱动力对机械做正功。（2）阻止机械运动的力称为阻抗力，阻抗力对机械做负功。（1）机械的输出功与输入功之比称为机械效率。（2）机构的损失功与输入功之比称为损失率。（3）机械效率等于理想驱动力与实际驱动力的比值。（4）平面移动副发生自锁条件：作用于滑块上的驱动力作用在其摩擦角之内。（5）转动副发生自锁的条件：作用于轴颈上的驱动力为单力，且作用于轴颈的摩擦圆之内。（1）机构平衡的目的：消除或减少构件不平衡惯性力所带来的不良影响。（2）刚性转子总可通过在转子上增加或除去质量的办法来实现其平衡。（3）转子静平衡条件：转子上各偏心质量产生的离心惯性力的矢量和为零（或质径积矢量和为零）。（4）对于静不平衡转子只需在同一个平面内增加或除去平衡质量即可获得平衡，故称为单面平衡。（5）对于宽径比b/D<0.2的不平衡转子，只做静平衡处理。（6）转子动平衡条件：转子上各偏心质量产生的离心惯性力的矢量和为零，以及这些惯性力所构成的力矩矢量的和也为零。（7）实现动平衡时需在两个平衡基面增加或去除平衡质量，故动平衡又称为双面平衡。（8）动平衡的转子一定是静平衡的，反之则不然。（9）转的许用不平衡量有两种表示方法：许用质径积+许用偏心距。（1）机械运转的三阶段：启动阶段、稳定运转阶段、停车阶段。（2）建立机械系统等动力学模型的等效条件：瞬时动能等效、外力做功等效。（3）机器的速度波动分为：周期性速度波动和非周期性速度波动。（4）周期性速度波动的调节方法：安装飞轮。（5）非周期性速度波动的调节方法：安装调速器。（6）表征机械速度波动程度的参量是：速度不均匀系数δ。（8）飞轮调速利用了飞轮的储能原理。（9）飞轮宜优先安装在高速轴上。（10）机械在安装飞轮后的机械仍有速度波动，只是波动程度有所减小。（1）铰链四杆机构是平面四杆机构的基本型式。（2）铰链四杆机构的三种表现形式：曲柄摇杆机构、双曲柄机构、双摇杆机构。（3）曲柄摇杆机构的功能：将曲柄的整周转动变换为摇杆的摆动或将摇杆的摆动变换为曲柄的回转。（4）曲柄滑动机构的功能：将回转运动变换为直线运动（或反之）。（5）铰链四杆机构存在曲柄的条件：最短杆与最长杆长度之和小于等于其它两杆长度之和；最短杆为连架杆或机架。（6）铰链四杆机构成为曲柄摇杆机构的条件：最短杆与最长杆长度之和小于等于其它两杆长度之和；最短杆为连架杆。(7）铰链四杆机构成为曲柄摇杆机构的条件：最短杆与最长杆长度之和小于等于其它两杆长度之和；最短杆为机架。（8）铰链四杆机构成为又摇杆机构的条件：不满足杆长条件；或者是满足杆长条件但最短杆为连杆。（9）曲柄滑块机构存在曲柄的条件是：曲柄长度r+偏距r小于等于连杆长度l（12）曲柄摇杆机构以曲柄为原动件时，具有急回性质。（13）曲柄摇杆机构以曲柄为主动件，当曲柄与连杆共线时，机构处于极限位置。（14）曲柄滑块机构以曲柄为主动件，当曲柄与连杆共线时，机构处于极限位置。（15）偏置曲柄滑块机构以曲柄为原动件时，具有急回性质。（16）对心曲柄滑块机构不具有急回特性。（17）曲柄导杆机构以曲柄为原动件时，具有具有急回性质。（18）连杆机构的传动角越大，对传动越有利。(19）连杆机构的压力角越大，对传动越不利。（20）导杆机构的传动角恒为90o。21）曲柄摇杆机构以曲柄为主动杆时，最小传动角出现在曲柄与机架共线的两位置之一。（22）曲柄摇杆机构以摇杆为主动件，当从动曲柄与连杆共线时，机构处于死点位置。（23）当连杆机构处于死点时，机构的传动角为0。（1）凸轮机构的优点是：只要适当地设计出凸轮轮廓曲线，就可使打推杆得到各种运动规律。（2）凸轮机构的缺点：凸轮轮廓曲线与推杆间为点、线接触，易磨损。（3）常用的推杆运动规律：等速运动规律、等加速等减速运动规律、余弦加速度运动规律、正弦加速度运动规律、五次多项式运动规律。（4）采用等速运动规律会给机构带来刚性冲击，只能用于低速轻载。（5）采用等加速等减速运动规律会给机构带来柔性冲击，常用于中速轻载场合。（6）采用余弦加速度运动规律也会给机构带来柔性冲击，常用于中低速重载场合。（7）余弦加速度运动规律无冲击，适于中高速轻载。（8）五次多项式运动规律无冲击，适于高速中载。（9）增大基圆半径，则凸轮机构的压力角减少。（10）对凸轮机构进行正偏置，可降低机构的推程压力角。（11）设计滚子推杆盘形凸轮机构时，对于外凸的凸轮廓线段，若滚子半径大于理论廓线上的最小曲率半径，将使工作廓线出现交叉，从而使机构出现运动失真现象。（12）设计滚子推杆盘形凸轮机构时，对于外凸的凸轮廓线段，若滚子半径等于理论廓线上的最小曲率半径，将使凸轮廓线出现变尖现象。（1）圆锥齿轮机构可实现轴线相交的两轴之间的运动和动力传递。（2）蜗
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基本概念与原理：溶液
基本概念与原理：溶液 主要考点： 1．常识：温度、压强对物质溶解度的影响；混合物分离的常用方法 ① 一般固体物质．．．． 受压强影响不大，可以忽略不计。而绝大部分固体随着温度的升高，其溶解度也逐渐升高（如：硝酸钾等）；少数固体随着温度的升高，其溶解度变化不大（如：氯化钠等）；极少数固体随着温度的升高，其溶解度反而降低的（如：氢氧化钙等）。 气体物质．．．． 的溶解度随着温度的升高而降低，随着压强的升高而升高。 ② 混合物分离的常用方法主要包括：过滤、蒸发、结晶 过滤法用于分离可溶物与不溶物组成的混合物，可溶物形成滤液，不溶物形成滤渣而遗留在滤纸上； 结晶法用于分离其溶解度受温度影响有差异的可溶物混合物，主要包括降温结晶法及蒸发结晶法 降温结晶法用于提取受温度影响比较大的物质（即陡升型物质），如硝酸钾中含有少量的氯化钠； 蒸发结晶法用于提取受温度影响不大的物质（即缓升型物质），如氯化钠中含有少量的硝酸钾； 2．了解：溶液的概念；溶质，溶剂的判断；饱和溶液与不饱和溶液的概念、判断、转换的方法；溶解度的概念；固体 溶解度曲线的应用 ① 溶液的概念就是9个字：均一的、稳定的、混合物。溶液不一定是液体的，只要同时满足以上三个条件的物质， 都可以认为是溶液。 ② 一般简单的判断方法：当固体、气体溶于液体时，固体、气体是溶质，液体是溶剂。两种液体相互溶解时，通常把量多的一种叫做溶剂，量少的一种叫做溶质。当溶液中有水存在的时候，无论水的量有多少，习惯上把水看作溶剂。通常不指明溶剂的溶液，一般指的是水溶液。 在同一个溶液中，溶质可以有多种。特别容易判断错误的是，经过化学反应之后，溶液中溶质的判断。 ③ 概念：饱和溶液是指在一定温度下，在一定量的溶剂里，不能再溶解某种物质的溶液。还能继续溶解某种溶质的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液。 在一定温度下，某溶质的饱和溶液只是说明在该温度下，不能够继续溶解该物质，但还可以溶解其他物质，比如说，在20℃的饱和氯化钠溶液中，不能再继续溶解氯化钠晶体，但还可以溶解硝酸钾固体。 判断：判断是否是饱和溶液的唯一方法：在一定温度下，继续投入该物质，如果不能继续溶解，则说明原溶液是饱和溶液，如果物质的质量减少，则说明原溶液是不饱和溶液。 当溶液中出现有固体时，则该溶液一定是该温度下，该固体的饱和溶液。 转换：饱和溶液与不饱和溶液的相互转换： 改变溶解度，实际一般就是指改变温度，但具体是升高温度还是降低温度，与具体物质溶解度曲线有 ④ 溶解度曲线的意义： 饱和溶液 不饱和溶液 增加溶剂，增加溶解度 减少溶剂，增加溶质，减少溶解度
有限元分析及其应用思考题附答案2012
有限元分析及其应用-2010 思考题： 1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什 么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？ 答：基本思想：几何离散和分片插值。 基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。 离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。 2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？ 区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低； 里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解； 有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。 3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试 1）建立其受拉伸的微分方程及边界条件； 2）构造其泛函形式； 3）基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。4、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩 阵）。 5、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？ 答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用 节点载荷：作用于节点上的外载 6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自 由度和节点解释）？ 答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正 整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。 Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。 7、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？ 答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。 形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0； 单元内任一点的形函数之和恒等于1； 形函数的值在0~1间变化。 8、描述弹性体的基本变量是什么？基本方程有哪些组成？ 答：基本变量：外力、应力、应变、位移 基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、几何条件 9、何谓应力、应变、位移的概念？应力与强度是什么关系？ 答：应力：lim△Q/△A=S △A→0 应变：物体形状的改变 位移：弹性体内质点位置的变化 10、问题的微分方程提法、等效积分提法和泛函变分提法之间有何关系？何谓“强形 式”？何谓“弱形式”，两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？
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这就是应力边界条件 看到第二章2！！！！ 如果在质点系的任何虚位移上,质点系的所有约束反力的虚功之和等于零,则称这种约束为理想约束 可能功：当给出系统的一组可能位移时，作用在系统上的力将因作用点发生位移而做功，这种功就称为可能功，或虚功 虚位移原理：平衡状态中，弹性体上外力在可能位移上所作的功等于外力引起的应力在相应的虚应变上所作的功。 在发生虚位移时，若总势能改变为正（即总势能增加），则总势能为极小，反之为极大。由于稳定平衡系统要发生虚位移时，总需要外力做正功。所以在平衡位置时，势能取极小值。 力法： 力法是以应力分量为未知量进行求解 但在3个平衡方程中有6个应力分量，不能直接从中解出所有6个应力分量。需要在给定的应力边界条件下，由平衡方程和应力协调方程联合求解偏微分方程组 位移法： 以三个位移分量作为未知量求解，将物理方程和平衡方程由位移来表示，以满足位移边界条件和变形协调条件为前提 位移-力法（混合法）： 用3个位移，6个应力分量将物理方程中的应变消去，再利用协调方程和边界条件求解 x yx zx xy y zy xz yz z l m n X l m n Y l m n Z στττστττσ?++=?? ++=??++=??
有限元法基本原理与应用
有限元法基本原理与应用 班级机械2081 姓名方志平 指导老师钟相强 摘要：有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 关键词：有限元法；变分原理；加权余量法；函数。 Abstract：Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method. Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。 引言 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计
有限元分析基本理论问答 基础理论知识
1. 诉述有限元法的定义 答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法 2. 有限元法的基本思想是什么 答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。 3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些 答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。 4. 有限元法有哪些优缺点 答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。 缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。对无限求解域问题没有较好的处理办法。尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。 5. ?梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定 答：每个节点上有几个节点位移分量，就称每个节点有几个自由度 6. ?简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义 答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵 单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1，其他节点位移分量等于0时，对应的第m个节点力分量。 7. 有限元法基本方程中的每一项的意义是什么 答：整个结构的节点载荷列阵（外载荷、约束力），整个结构的节点位移列阵，结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。 8. 位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么 答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。 9. ?简述整体刚度矩阵的性质和特点 答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正。 11. 简述整体坐标的概念 答：单元刚度矩阵的坐标变换式把平面刚架的所有单元在局部坐标系X’Y’Z’下的单元刚度矩阵变换到一个统一的坐标系xOy下，这个统一的坐标系xOy称为整体坐标系。 13. 简述平面钢架问题有限元法的基本过程 答：力学模型的确定，结构的离散化，计算载荷的等效节点力，计算各单元的刚度矩阵，组集整体刚度矩阵，施加边界约束条件，求解降价的有限元基本方程，求解单元应力，计算结果的输出。 14. 弹性力学的基本假设是什么。 答：连续性假定，弹性假定，均匀性和各向同性假定，小变形假定，无初应力假定。 15.弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有什么不同。 答：研究对象：材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。研究方法：弹性力学和材料力学
有限元原理与步骤
2.1.1 有限元法基本原理（Basic Theory of FEM） 有限元法的基本思想是离散的概念，它是指假设把弹性连续体分割成数目有限的单元，并认为相邻单元之间仅在节点处相连。根据物体的几何形状特征、载荷特征、边界约束特征等，选择合适的单元类型。这样组成有限的单元集合体并引进等效节点力及节点约束条件，由于节点数目有限，就成为具有有限自由度的有限元计算模型，它替代了原来具有无限多自由度的连续体[24][25]。 有限元法从选择基本未知量的角度来看，可分为三类：位移法、力法和混合法。以节点位移为基本未知量的求解方法称为位移法；以节点力为基本未知量的求解方法称为力法；一部分以节点位移，另一部分以节点力作为基本未知量的求解方法称为混合法。由于位移法通用性强，计算机程序处理简单、方便，成为应用最广泛的一种方法[26]。 有限元法的求解过程简单、方法成熟、计算工作量大，特别适合于计算机计算。再加上它有成熟的大型软件系统支持，避免了人工在连续体上求分析解的数学困难，使其成为一种非常受欢迎的、应用极广泛的数值计算方法[27]。 2.1.2 有限元法基本步骤（Basic Process of FEM） 有限元法求解各种问题一般遵循以下的分析过程和步骤[28][29]： 1. 结构的离散化 结构的离散化是进行有限元法分析的第一步，它是有限元法计算的基础。将结构近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的计算模型，习惯上称为有限元网格划分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来，而单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形形态的需要和计算精度而定。所以有限元法分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同种材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果是近似的。显然，单元越小（网格越密）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量将增大，因此结构的离散化是有限元法的核心技术之一。有限元离散过程中又一重要环节是单元类型的选择，这应根据被分析结构的几何形状特点、载荷、约束等因素全面考虑。 2. 位移模式的选择 位移模式是表示单元内任意点的位移随位置变化的函数，位移模式的选择是有限元特性分析的第一步。由于多项式的数学运算比较简单、易于处理，所以通常是选用多项式作为位移函数。选择合适的位移函数是有限元分析的关键，它将决定有限元解的性质与近似程度。位移函数的选择一般遵循以下原则（有限元解的收敛条件）：
化工原理基本概念和原理
化工原理基本概念和原理 蒸馏––––基本概念和基本原理 利用各组分挥发度不同将液体混合物部分汽化而使混合物得到分离的单元操作称为蒸馏。这种分离操作是通过液相和气相之间的质量传递过程来实现的。 对于均相物系，必须造成一个两相物系才能将均相混合物分离。蒸馏操作采用改变状态参数的办法（如加热和冷却）使混合物系内部产生出第二个物相（气相）；吸收操作中则采用从外界引入另一相物质（吸收剂）的办法形成两相系统。 一、两组分溶液的气液平衡 1．拉乌尔定律 理想溶液的气液平衡关系遵循拉乌尔定律： p A=p A0x A p B=p B0x B=p B0（1—x A） 根据道尔顿分压定律：p A=Py A而P=p A+p B 则两组分理想物系的气液相平衡关系： x A=（P—p B0）/（p A0—p B0）———泡点方程 y A=p A0x A/P———露点方程 对于任一理想溶液，利用一定温度下纯组分饱和蒸汽压数据可求得平衡的气液相组成； 反之，已知一相组成，可求得与之平衡的另一相组成和温度（试差法）。 2．用相对挥发度表示气液平衡关系 溶液中各组分的挥发度v可用它在蒸汽中的分压和与之平衡的液相中的摩尔分率来表示，即v A=p A/x A v B=p B/x B 溶液中易挥发组分的挥发度对难挥发组分的挥发度之比为相对挥发度。其表达式有：α=v A/v B=（p A/x A）/（p B/x B）=y A x B/y B x A 对于理想溶液：α=p A0/p B0 气液平衡方程：y=αx/[1+（α—1）x] Α值的大小可用来判断蒸馏分离的难易程度。α愈大，挥发度差异愈大，分离愈易；α=1时不能用普通精馏方法分离。 3．气液平衡相图 （1）温度—组成（t-x-y）图 该图由饱和蒸汽线（露点线）、饱和液体线（泡点线）组成，饱和液体线以下区域为液相区，饱和蒸汽线上方区域为过热蒸汽区，两曲线之间区域为气液共存区。 气液两相呈平衡状态时，气液两相温度相同，但气相组成大于液相组成；若气液两相组成相同，则气相露点温度大于液相泡点温度。 （2）x-y图 x-y图表示液相组成x与之平衡的气相组成y之间的关系曲线图，平衡线位于对角线的上方。平衡线偏离对角线愈远，表示该溶液愈易分离。总压对平衡曲线影响不大。 二、精馏原理 精馏过程是利用多次部分汽化和多次部分冷凝的原理进行的，精馏操作的依据是混合物中各组分挥发度的差异，实现精馏操作的必要条件包括塔顶液相回流和塔底产生上升蒸汽。精馏塔中各级易挥发组分浓度由上至下逐级降低；精馏塔的塔顶温度总是低于塔底温度，原因之一是：塔顶易挥发组分浓度高于塔底，相应沸点较低；原因之二是：存在压降使塔底压
有限元法及其在工程中的应用
机械与汽车学院 曹国强 主要内容： 1、有限元法的基本思想。 2、结构力学模型的简化和结构离散化。 3、有限元法的实施过程。 一、有限元法的基本思想 有限元法是随着计算机的发展而发展起来的一种有效的数值方法。其基本思想是：将连续的结构分割成数目有限的小单元体（称为单元），这些小单元体彼此之间只在数目有限的指定点（称为节点）上相互连接。用这些小单元体组成的集合体来代替原来的连续结构。再把每个小单元体上实际作用的外载荷按弹性力学中的虚功等效原理分配到单元的节点上，构成等效节点力，并按结构实际约束情况决定受约束节点的约束。这一过程称为结构的离散化。其次，对每个小单元体选择一个简单的函数来近似地表示其位移分量的分布规律，并按弹性力学中的变分原理建立起单元节点力和节点位移之间的关系（单元刚度方程），最后，把全部单元的节点力和节点位移之间的关系组集起来，就得到了一组以结构节点位移为未知量的代数方程组（总体刚度方程），同时考虑结构的约束情况，消去那些结构节点位移为零的方程，再由最后的代数方程组就可求得结构上有限个离散节点的各位移分量。求得了结构上各节点的位移分量之后，即可按单元的几何方程和物理方程求得各单元的应变和应力分量。 有限元法的实质就是把具有无限个自由度的连续体，理想化为有限个自由度的单元的集合体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。 经典解法（解析法）与有限元法的区别 解析法 { } 建立一个描述连续体性质的偏微分方程组 有限元解法 连续体 数目增加到∞ 大小趋于0 微元 有限元 离散化 （单元分析）集合 总体分析 求得近似解
二、结构力学模型的简化和结构离散化 （一）结构力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构问题时，首先要从工程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件、约束条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能地反映实际情况，不至于使简化后的解答与实际差别过大，但也不要带来计算上的过分复杂，在力学模型的简化过程中，必须判断实际结构的问题类型，是二维问题还是三维问题。如果是平面问题，是平面应力问题，还是平面应变问题。同时还要搞清楚结构是否对称，外载荷大小和作用位置，结构的几何尺寸和力学参数（弹性模量E、波松比μ等）。 （二）结构的离散化 将已经简化好的结构力学模型划分成只在一些节点连续的有限个单元，把每个单元看成是一个连续的小单元体，各单元之间只在一些点上互相联结，这些点称作节点，每个单元体称为一个单元。用只在节点处连接的单元的集合体代替原来的连续结构，把外载荷按虚功等效原理移置到有关受载的节点上，构成节点载荷，把连续结构进行这样分割的过程称为结构的离散化。现举例说明。 设一平面薄板，中间有一个园孔，其左端固定，右端受面力载荷q，试对其进行有限元分割和力学模型简化。
有限元法基础重点归纳(精)
1、有限元这种数值计算方法起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。 2、有限单元法的基本思想:在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定 大小的单元,这些单元仅在有限个节点上相连接,并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。 3、节点:网格间相互连接的点。 4、边界:网格与网格的交界线。 5、有限元的优点:①理论基础简明,物理概念清晰,且可在不同的水平上建立起对该法的 理解②具有灵活性和适用性,应用范围极为广泛③该法在具体推导运算中,广泛采用了矩阵方法。 6、有限单元法分类(从选择基本未知量的角度:位移法(以节点位移为基本未知量,通用 性广、力法(以节点力、混合法(一部分以节点位移,另一部分以节点力 7、有限元法分析计算的基本步骤:①结构的离散化②单元分析(选择位移模式,建立单元 刚度方程,计算等效节点力③整体分析④求解方程,得出节点位移⑤由节点位移计算单元的应变与应力。 8、单元划分:将某个机械结构划分为由各种单元组成的计算模型。 9、有限元法基本近似性------几何近似。
10、弹性力学的任务:分析弹性体在受外力作用并处于平衡状态下产生的应力、应变和位移状态及其相互关系等。 11、弹性力学假设所研究的物体是连续的、完全弹性的、均匀的、各向同性的、微小变形的和无初应力的 12、外力:体力(分布在物体体积内的力---重力、惯性力、电磁力面力(分布在物体表面上的力---流体压力、接触力、风力 13、应力:物体受外力作用,或由于温度有所改变,其内部发生的内力。σ={ σx σy σz τx τy τz } = [σx σy σz τx τy τz ]T 14、应变:物体受到外力作用时,其形状发生改变时的形变。---长度和角度。 ε={ εx εy εz γx γy γz } = [εx εy εz γx γy γz ]T 15、位移:弹性体在载荷作用下,不仅会发生形变,还将产生位移,即弹性体位置 的移动。 δ={u v w }=[u v w ]T 16:、变形协调条件:设想在变形前,把弹性体分为许多微小立方单元体。变形后,每个单元体都产生任意变形而变成一些六面体。可能发生这样的情况,这些六面体
有限元方法理论及其应用
1 课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分） 撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。 1.1 对一维杆单元有限元形式的理解 我对此提出了几点疑问： 1)为什么边界条件u1=0，就要划去刚度矩阵[K]中对应的行列再解方程？ 2)为什么刚度矩阵[K]会奇异？ 3)为什么平衡方程本身是矛盾的，而加上边界条件u1=0之后就能解出一 个唯一的近似解？ 4)为什么刚度矩阵[K]是对称的？ 下面我谈谈自己的理解:节点平衡方程是在u1不定的前提下，假设单元内位移都是线性变化推导出来的，由此u1相当于一个不确定的定值约束，再加上中间两个节点的连续性要求，系统实际上只有三个独立的自由度（广义坐标）。 对于第一个问题，其实刚度矩阵[K]中的元素不是一成不变的，相反它是伴随边界条件动态变化的。当u1=0时由刚度矩阵的推导过程可以知道，刚度矩阵的第一行和第一列都会变为0，所以此时第一行和第一列对于求解方程是没有作用的。 对于第二个问题，由于系统自由度（广义坐标）只有三个，而我们的方程却列出
了四个，显然
这四个方程不可能线性无关，所以刚度矩阵奇异。 对于第三个问题，首先我们应该明确方程区别于等式，虽然左右两边都是用“=”连接，但是方程只在特殊条件下取得定解。由于平衡方程是在没有约束的条件下推导出来的，显然它不可能满足等式要求。宏观上看，系统在没有外部约束，而又施加有外力，显然系统会产生加速度而绝不会平衡。所以平衡方程本身是矛盾的。而加上边界条件之后，不但满足了平衡的前提，还改变了矩阵的结构和性质，所以有解。但是，由于我们提前假设了位移线性变化，相当于人为对单元施加了额外约束，让位移按照我们假设的规律变化，所以得到的解是过刚的近似解。但对于方程本身而言是精确解。 对于第四个问题，其力学的作用机理类似于作用力与反作用力，由于刚度矩阵不表征方向，所以其大小是相等的。 1.2 有限元法的思想 有限元法是求解连续介质力学问题的数值方法，更一般意义是一种分析结构问题和连续场数学物理问题的数值方法。 有限元法的基本思想是离散化和分片插值。 即把连续的几何机构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题。 求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至个集合体上的场函数。对每个单元，选取适当的插值函数，使得该函数在子域内部、在子域分界面上以及子域与外界面上都满足一定的条件。单元组合体在已知外载荷作用下处于平衡状态时，列出一系列以节点、位移为未知量的线性方程组，利用计算机解出节点位移后，再用弹性力学的有关公式，计算出各单元的应力、应变，当各单元小到一定程度，那么它就代表连续体各处的真实情况。
建筑力学基本概念和基本原理
建筑力学基本概念和基本原理 一、判断 1、材料的横向变形系数(泊松比)和弹性模量E、剪切模量G都是材料固有的力学性质。 2、一对等大反向的平行力(即力偶)既可使物体发生转动，也可使物体发生移动。 3、铸铁试件压缩破坏是沿45度斜截面被剪断。 4、矩形梁危险截面的最大拉、压应力发生在截面的上下边缘处。 5、梁的合理截面是使大部分材料分布于靠近中性轴(梁的横截面与线应变=0的纵向面的交线)。 6、梁在集中力偶作用处，剪力图有突变。 7、忽略杆件自重，杆件上无荷载，荷载作用于结点上的杆件都是二力杆。 8、作用于弹性体一小块区域上的载荷所引起的应力，在离载荷作用区较远处，基本上只同载荷的主矢和主矩有关；载荷的分布情况只影响作用区域附近的应力分布，这就是圣维南原理。 9、轴向拉(压)直杆的斜截面只有正应力，没有剪应力。 10、铸铁和砖石、混凝土等材料的抗拉能力远小于抗压能力。 11、某T形铸铁梁最大弯矩为正(截面下侧受拉、上侧受压)，该T形梁应该正放而不是倒放。 12、某矩形钢筋混凝土梁最大弯矩为负(截面上侧受拉、下侧受压)，钢筋应该配置在截面的下侧。 13、杆件某截面内力反映的是该截面处两部分杆件因为外力作用发生小变形而产生的相互作用，内力成对出现、等大反向，因此求内力要用截面法。 14、构件的内力与横截面的尺寸大小和材料的力学性质都有关。 15、应力是内力的分布集度。 16、平面一般力系向平面内某点平移的简化结果可能有三种情形：平衡状态、合力不为零、合力矩不为零。 17、各种材料对应力集中的敏感程度相同。 18、当某力的作用线通过某点时，该力对该点存在力矩。 19、因为杆件受到外力作用发生的变形是小变形，所以求支座约束力和杆件内力时，杆件都使用原始尺寸。 20、杆件的稳定性是针对细长压杆的承载能力，此时稳定性要求超过强度要求。 二、填空 1. 理想弹性体模型包括四个基本简化假设：假设、假设、假设、线弹性假设；在变形体静力学分析中，对所研究的问题中的变形关系也作了一个基本假设，它是假设。
有限元法中的几个基本概念
诚信·公平·开放·共赢 Loyalty Fair Opening Win-win 有限元法中的几个基本概念 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。 这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。 离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。 通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。 在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 附：FELAC 2.0软件简介 FELAC 2.0采用自定义的有限元语言作为脚本代码语言，它可以使用户以一种类似于数学公式书写和推导的方式，非常自然和简单的表达待解问题的微分方程表达式和算法表达式，并由生成器解释产生完整的并行有限元计算C程序。 FELAC 2.0的目标是通过输入微分方程表达式和算法之后，就可以得到所有有限元计算的程序代码，包含串行程序和并行程序。该系统采用一种语言(有限元语言)和四种技术(对象技术、组件技术、公式库技术生成器技术)开发而成。并且基于FELAC 1.0的用户界面，新版本扩充了工作目录中右键编译功能、命令终端输入功能，并且丰富了文本编辑功能，改善了用户的视觉体验，方便用户快速便捷的对脚本或程序进行编辑、编译与调试。其中并行版在前后处理上进行了相应的改进。
最新有限元法基础试题
有限元法基础试题（A ） 一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵e T k B DBd Ω = Ω? 中，矩阵B 为__________，矩阵D 为___________。 1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。 1.3内部微元体上外力总虚功： ()(),,,,e x x xy y bx xy x y y by d W F u F v dxdy δστδτσδ??=+++++??+(),,,,x x y y xy y x u v u u dxdy σδσδτδδ??+++??的表达式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。 1.4弹簧单元的位移函数1N +2N =_________。 1.5 ij k 数学表达式：令j d =_____，k d =_____，k j ≠，则力i ij F k =。 二、判断题（5×2分） 2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。 （ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。 （ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 三、简答题（26分） 3.1列举有限元法的优点。（8分） 3.2写出有限单元法的分析过程。（8分） 3.3列出3种普通的有限元单元类型。（6分） 3.4简要阐述变形体虚位移原理。（4分） 四、计算题（54分） 4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（10分） 4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E 为10GPa ，杆单元长L 均为2m ，横截面面积A 均为2×10-4m 2，弹簧常数为2000kN/m ，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（10分）