上海市徐汇区2020-2020年八年级上期末数学试卷含答案解析

2020-2020学年上海市徐汇区八年级（上）期末数学试卷

一．选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】

1．下列各式中与是同类二次根式的是（）

A．B．C．D．

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，那么下列结论错误的是（）

A．∠A+∠DCB=90°B．∠ADC=2∠B C．AB=2CD D．BC=CD

3．如图，点P在反比例函数y=（x＞0）第一象限的图象上，PQ垂直x轴，垂足为Q，设△POQ的面积是s，那么s与k之间的数量关系是（）

A．B．C．s=k D．不能确定

4．如果y关于x的函数y=（k2+1）x是正比例函数，那么k的取值范围是（）

A．k≠0 B．k≠±1 C．一切实数D．不能确定

5．如果关于x的一元二次方程（a﹣c）x2﹣2bx+（a+c）=0有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC的形状是（）

A．直角三角形B．等腰三角形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

6．下列命题的逆命题是假命题的是（）

A．同位角相等，两直线平行

B．在一个三角形中，等边对等角

C．全等三角形三条对应边相等

D．全等三角形三个对应角相等

二．填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）

7．计算：=．

8．函数的定义域是．

9．在实数范围内因式分解：x2﹣3x+1=．

10．如果f（x）=，那么f（2）=．

11．已知变量x和变量x﹣2，那么x﹣2是不是x的函数？你的结论是：（填“是”或“不是”）．

12．如果反比例函数y=（k≠0）的图象在每个象限内，y随着x的增大而减小，那么请你写出一个满足条件的反比例函数解析式（只需写一个）．

13．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，∠D=30°，AB=DE，EF=BC，如果EF=，那么AC的长是．

14．已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，那么它的另一个根是．

15．如果点A（3，m）在正比例函数图象上，那么点A和坐标原点的距离是．

16．某产品原价每件价格为200元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件售价为162元，那么每次降价的百分率是．

17．在一个角的内部（不包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是

．

18．在△ABC中，AB=AC，MN垂直平分AB分别交AB、BC于M、N．如果△ACN是等腰三角形，那么∠B的大小是．

三、简答题（本大题共4题，每题5分，满分20分）

19．先化简再计算：（其中ab=9）．

20．解方程：（2x﹣3）2=x（x﹣5）+6．

21．如图，已知线段a，b，求作：△ABC，使AB=AC=a，BC=b．

22．如图，正比例函数y=kx（k≠0）与反比例函数y=﹣的图象交于点A（﹣1，m）和点B．求点B的坐标．

四、（本大题共3题，第23、24题每题7分，第25题8分，满分22分）

23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，DE垂直平分AB，分别交AB、BC 于点D、E．求CE的长．

24．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可以卖出（350﹣10a）件；但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，如果商店计划要赚400元，那么每件商品售价是多少元？

25．如图，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC，点E是AB的中点，BD=CE．

（1）求证：BD⊥CE；

（2）联结CD、DE，试判断△DCE的形状，并证明你的结论．

五、（本大题共2题，第26题10分，第27题12分，满分22分）

26．如图，点B（2，n）是直线y=k1x（k1≠0）上的点，如果直线y=k1x（k1≠0）平分∠yOx，BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C．

（1）求k1的值；

（2）如果反比例函数y=（k2≠0）的图象与BC、BA分别交于点D、E，求证：OD=OE；

（3）在（2）的条件下，如果四边形BDOE的面积是△ABO面积的，求反比例函数的解析式．

27．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，BC=CD．

（1）求∠DCB的大小；

（2）如图2，点F是边BC上一点，将△ABF沿AF所在直线翻折，点B的对应点是点H，直线HF⊥AB，垂足为G，如果AB=2，求BF的长；

（3）如图3，点E是△ACD内一点，且∠AEC=150°，联结DE，请判断线段DE、AE、CE 能否构成直角三角形？如果能，请证明；如果不能，请说明理由．

2020-2020学年上海市徐汇区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析

一．选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】

1．下列各式中与是同类二次根式的是（）

A．B．C．D．

【考点】同类二次根式．

【分析】先化简二次根式，再根据同类二次根式的定义判定即可．

【解答】解：A、与不是同类二次根式，

B、=3与不是同类二次根式，

C、=2与是同类二次根式，

D、=3与不是同类二次根式，

故选C．

【点评】本题考查了同类二次根式，解题的关键是二次根式的化简．

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，那么下列结论错误的是（）

A．∠A+∠DCB=90°B．∠ADC=2∠B C．AB=2CD D．BC=CD

【考点】直角三角形斜边上的中线．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AD=BD，根据等边对等角得出∠DCB=∠B，再逐个判断即可．

【解答】解：A、∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，

∴CD=AD=BD=AB，

∴∠DCB=∠B，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠A+∠DCB=90°，故本选项错误；

B、∵∠DCB=∠B，∠ADC=∠B+∠DCB，

∴∠ADC=2∠B，故本选项错误；

C、∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，

∴AB=2CD，故本选项错误；

D、根据已知不能推出BC=CD，故本选项正确；

故选D．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质的应用，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．

3．如图，点P在反比例函数y=（x＞0）第一象限的图象上，PQ垂直x轴，垂足为Q，设△POQ的面积是s，那么s与k之间的数量关系是（）

A．B．C．s=k D．不能确定

【考点】反比例函数系数k的几何意义．

【分析】根据点P在反比例函数图象上结合反比例函数系数k的几何意义就可以求出s与k 之间的数量关系．

【解答】解：∵点P是反比例函数y=图象上一点，且PQ⊥x轴于点Q，

=|k|=s，

∴S

△POQ

解得：|k|=2s．

∵反比例函数在第一象限有图象，

∴k=2s．即s=

故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是根据反比例函数系数k的几何意义找出△POQ面积s与k的关系．

4．如果y关于x的函数y=（k2+1）x是正比例函数，那么k的取值范围是（）

A．k≠0 B．k≠±1 C．一切实数D．不能确定

【考点】正比例函数的定义．

【分析】根据正比例函数的定义，列出方程求解即可．

【解答】解：∵函数y=（k2+1）x是正比例函数，

∴k2+1≠0，

∴k取全体实数，

故选C．

【点评】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义：形如y=kx（k≠0）的形式，叫正比例函数．

5．如果关于x的一元二次方程（a﹣c）x2﹣2bx+（a+c）=0有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC的形状是（）

A．直角三角形B．等腰三角形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

【考点】根的判别式．

【分析】由方程有两个相等的实数根以及该方程为一元二次方程，结合根的判别式即可得出关于a、b、c的方程组，解方程组即可得出a2=b2+c2，由此即可得出结论．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣c）x2﹣2bx+（a+c）=0有两个相等的实数根，∴，即，

解得：a2=b2+c2且a≠c．

又∵a、b、c是△ABC的三边长，

∴△ABC为直角三角形．

故选A．

【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是求出a2=b2+c2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．

6．下列命题的逆命题是假命题的是（）

A．同位角相等，两直线平行

B．在一个三角形中，等边对等角

C．全等三角形三条对应边相等

D．全等三角形三个对应角相等

【考点】命题与定理．

【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．

【解答】解：A、逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，为真命题；

B、逆命题为：在一个三角形中等角对等边，正确，是真命题；

C、逆命题为：三条边对应相等的三角形全等，正确，是真命题；

D、逆命题为：三个角对应相等的三角形全等，错误，为假命题，

故选D．

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题，难度不大．

二．填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）

7．计算：=2．

【考点】二次根式的乘除法．

【分析】先化简二次根式，再利用二次根式的除法运算法则求出即可．

【解答】解：原式=2÷=2，

故答案为：2．

【点评】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

8．函数的定义域是x≥3．

【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列不等式求得．

【解答】解：根据题意得：2x﹣6≥0，

解得x≥3．

【点评】当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

9．在实数范围内因式分解：x2﹣3x+1=．

【考点】实数范围内分解因式．

【分析】根据x2﹣3x+1=0的解为：x=，根据求根公式的分解方法和特点得出答案．

【解答】解：∵x2﹣3x+1=0的解为：x=，

∴x2﹣3x+1=（x﹣）（x﹣）．

故答案为：（x﹣）（x﹣）．

【点评】此题主要考查了实数范围内分解因式，利用求根公式法得出方程的根再分解因式是解决问题的关键．

10．如果f（x）=，那么f（2）=．

【考点】函数值．

【分析】将x=2代入公式，再分母有理化可得．

【解答】解：当x=2时，f（2）===，

故答案为：．

【点评】本题主要考查函数的求值，（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．

11．已知变量x和变量x﹣2，那么x﹣2是不是x的函数？你的结论是：是（填“是”或“不是”）．

【考点】函数的概念．

【分析】根据函数的概念进行判断，自变量与因变量需满足一一对应的关系．

【解答】解：∵对于变量x的每一个确定的值，变量x﹣2有且只有一个值与之对应，

∴根据函数的概念可知，x﹣2是x的函数．

故答案为：是

【点评】本题主要考查了函数，解决问题的关键是掌握函数的概念．设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．

12．如果反比例函数y=（k≠0）的图象在每个象限内，y随着x的增大而减小，那么请你写出一个满足条件的反比例函数解析式y=（答案不唯一）（只需写一个）．

【考点】反比例函数的性质．

【分析】先根据函数的增减性判断出k的符号，进而可得出结论．

【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象在每个象限内，y随着x的增大而减小，

∴k＞0，

∴满足条件的反比例函数解析式可以是y=．

故答案为：y=（答案不唯一）．

【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．

13．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，∠D=30°，AB=DE，EF=BC，如果EF=，那么AC的长是3．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】先利用含30度的直角三角形三边的关系得到DF=3，然后利用“HL”证明Rt△ABC ≌Rt△DEF，再利用全等三角形的性质得到AC的长．

【解答】解：在Rt△DEF中，∵∠F=90°，∠D=30°，

∴DF=EF=×=3，

在Rt△ABC和Rt△DEF中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF，

∴AC=DF=3．

故答案为3．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

14．已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，那么它的另一个根是﹣3．

【考点】根与系数的关系．

【分析】设方程的另一根为a，由一个根为2，利用根与系数的关系列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即为方程的另一根．

【解答】解：∵方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，设另一个为a，

∴2a=﹣6，

解得：a=﹣3，

则方程的另一根是﹣3．

故答案为：﹣3．

【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．

15．如果点A（3，m）在正比例函数图象上，那么点A和坐标原点的距离是5．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】先把A（3，m）代入中求出m，从而确定A点坐标，然后利用勾股定理计算点A和坐标原点的距离．

【解答】解：把A（3，m）代入得m=×3=4，则点A的坐标为（3，4），

所以点A和坐标原点的距离==5．

故答案为5．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式，于是解决此类问题时把已知点的坐标代入解析式求解．

16．某产品原价每件价格为200元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件售价为162元，那么每次降价的百分率是10%．

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】解答此题利用的数量关系是：衬衫原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．

【解答】解：设这种衬衫平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，

200×（1﹣x）2=162，

解得x1=0.1，x2=﹣1.9（不合题意，舍去）；

答：这种衬衫平均每次降价的百分率为10%．

故答案为：10%．

【点评】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，此题列方程得依据是：衬衫原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格．

17．在一个角的内部（不包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线

（除顶点）．

【考点】轨迹；角平分线的性质．

【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行解答．

【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，

∴在∠AOB的内部且到这个角的两边距离相等的点的轨迹是∠AOB的平分线（端点除外），

故答案为∠AOB的平分线（端点除外）．

【点评】此题考查了点的轨迹问题，要熟悉角平分线的性质是解题的关键．

18．在△ABC中，AB=AC，MN垂直平分AB分别交AB、BC于M、N．如果△ACN是等腰三角形，那么∠B的大小是45°或36°．

【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．

【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得出NA=NB，即可得到∠B=∠BAN=∠C．然后对△ANC中的边进行讨论，然后在△ABC中，利用三角形内角和定理即可求得∠B的度数．

【解答】解：∵MN是AB的中垂线，

∴NB=NA．

∴∠B=∠BAN，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

设∠B=x°，则∠C=∠BAN=x°．

1）当AN=NC时，∠CAN=∠C=x°．

则在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：4x=180，

解得：x=45，则∠B=45°；

2）当AN=AC时，∠ANC=∠C=x°，而∠ANC=∠B+∠BAN，故此时不成立；

3）当CA=CN时，∠NAC=∠ANC=．

在△ABC中，根据三角形内角和定理得到：x+x+x+=180，

解得：x=36．

即∠B的度数为45°或36°．

故答案为45°或36°．

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确对△ANC的边进行讨论是解题的关键．

三、简答题（本大题共4题，每题5分，满分20分）

19．先化简再计算：（其中ab=9）．

【考点】二次根式的化简求值．

【分析】先将题目中的式子化简，然后将ab=9代入即可解答本题．

【解答】解：

=

=

当ab=9时，原式==．

【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确如何化简二次根式．

20．解方程：（2x﹣3）2=x（x﹣5）+6．

【考点】解一元二次方程-公式法．

【分析】原方程化为，3x2﹣7x+3=0，找出a，b，c，求出△=b2﹣4ac的值，再代入求根公式即可．

【解答】解：原方程化为，3x2﹣7x+3=0；

∴△=（﹣7）2﹣4×3×3=13；

∴；

∴原方程的根是，．

【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，找出a，b，c，求出△=b2﹣4ac的值，是解此题的关键．

21．如图，已知线段a，b，求作：△ABC，使AB=AC=a，BC=b．

【考点】作图—复杂作图．

【分析】先作线段BC=b，然后分别以B、C两点为圆心，a为半径画弧，两弧相交于点A，再连结AB、AC，则△ABC满足条件．

【解答】解：如图，△ABC为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

22．如图，正比例函数y=kx（k≠0）与反比例函数y=﹣的图象交于点A（﹣1，m）和点B．求点B的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】只需把点A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得m，能够根据对称的性质，求得另一个交点B的坐标．

【解答】解：由题意，得，

∴A（﹣1，2）；

又∵2=﹣k，

∴k=﹣2，

∴y=﹣2x；

∴，

解得，，

∴B（1，﹣2）．

【点评】本题利用了待定系数法确定m，k的值，并且用到了过原点的直线与反比例函数图象的两个交点坐标关于原点对称的知识．

四、（本大题共3题，第23、24题每题7分，第25题8分，满分22分）

23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，DE垂直平分AB，分别交AB、BC 于点D、E．求CE的长．

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】由在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，根据勾股定理可求得BC的长，又由DE垂直平分AB，可得AE=BE，然后设CE=x，则AE=BE=8﹣x；利用勾股定理即可求得方程x2+62=（8﹣x）2，解此方程即可求得答案．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，

∴；

∵DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，

∴AE=BE；

设CE=x，则AE=BE=8﹣x；

在Rt△ACE中，∠C=90°，

∴CE2+AC2=AE2；

即x2+62=（8﹣x）2，

解得，

即．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．

24．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可以卖出（350﹣10a）件；但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，如果商店计划要赚400元，那么每件商品售价是多少元？

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】本题的等量关系是商品的单件利润=售价﹣进价．然后根据商品的单价利润×销售的件数=总利润，设商品的售价为a，列出方程求出未知数的值后，根据“物价局限定每次商品加价不能超过进价的20%”将不合题意的舍去，进而求出卖的商品的件数．

【解答】解：设每件商品售价是x元，

由题意，得（x﹣21）（350﹣10x）=400；

化简，得x2﹣56x+775=0；

解得x1=25，x2=31；

又21×（1+0.2）=25.2，

∴x=31不合题意，舍去．

答：每件商品售价是25元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用．可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

25．如图，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC，点E是AB的中点，BD=CE．

（1）求证：BD⊥CE；

（2）联结CD、DE，试判断△DCE的形状，并证明你的结论．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【分析】（1）由条件可证明Rt△ABD≌Rt△BCE，则可求得∠EFD=90°，可证得结论；

（2）过点D作DG⊥BC于G，结合条件可证明△ABD≌△GDB，则可证得BD=CD，结合条件可证得CD=CE，可证明△CDE为等腰三角形．

【解答】（1）证明：

∵AD∥BC，

∴∠A+∠CBE=180°，

又∠A=90°，

∴∠CBE=90°；

∵AB=BC，BD=CE，

在Rt△ABD和Rt△BCE中

∴Rt△ABD≌Rt△BCE（HL），∴∠D=∠BEC，

∵∠D+∠ABD=90°，

∴∠BEC+∠ABD=90°，

∵∠EFB+∠BEC+∠ABD=180°，∴∠EFB=90°，

∴BD⊥CE；

（2）解：△DCE是等腰三角形．证明如下：

∵Rt△ABD≌Rt△BEC，

∴AD=BE，

又AB=BC，

点E是AB的中点，

∴，

如图，过点D作DG⊥BC于G，

∴∠DGB=90°=∠A，

∵AD∥BC，

∴∠GBD=∠ADB，

在△ABD和△GDB中

∴△ABD≌△GDB（AAS），∴；

∴DF垂直平分BC，

∴BD=CD，

又BD=CE，

∴CD=CE ， ∴△DCE 是等腰三角形．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．

五、（本大题共2题，第26题10分，第27题12分，满分22分）

26．如图，点B （2，n ）是直线y=k 1x （k 1≠0）上的点，如果直线y=k 1x （k 1≠0）平分∠yOx ，BA ⊥x 轴于A ，BC ⊥y 轴于C ．

（1）求k 1的值；

（2）如果反比例函数y=（k 2≠0）的图象与BC 、BA 分别交于点D 、E ，求证：OD=OE ；

（3）在（2）的条件下，如果四边形BDOE 的面积是△ABO 面积的，求反比例函数的解析式．

【考点】反比例函数综合题．

【分析】（1）根据角的平分线的性质，可得B 的横、纵坐标相等，则利用待定系数法即可求得k 1的值；

（2）利用k 2表示出D 和E 的坐标，然后利用勾股定理求得OD 和OE 的长，从而判断；

（3）S △BOE =S 四边形BDOE ，则S △BOE =S △AOB ，据此即可求得AE 的长，则k 2即可求得．

【解答】解：（1）∵直线y=k 1x （k 1≠0）平分∠yOx ，BA ⊥x 轴于A ，BC ⊥y 轴于C ，

∴AB=BC ；又B （2，n ），