【名师整理高数最全知识点】大学高数考研高数知识点2

第五讲: 多元微分与二重积分

一. 二元微分学概念

1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ?=++?=+?=+V V V V

(2)lim ,lim ,lim y x x y f f

f f f x y

???==??

(3),x y f x f y df +V V @ (判别可微性)

注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 0

0(,0)(0,0)(0,)(0,0)

(0,0)lim

,(0,0)lim x y x y f x f f y f f f x y

→→--==

2. 特例:

(1)22

(0,0)(,)0,(0,0)xy

x y f x y ?≠?+=??=?

: (0,0)点处可导不连续;

(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==?

: (0,0)点处连续可导不可微;

二. 偏导数与全微分的计算:

1. 显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)y

x 型; (2)00(,)

x

x y z ; (3)含变限积分

2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): [(,),(,)]z f u x y v x y =

熟练掌握记号''"""

12111222,,,,f f f f f 的准确使用

3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0

(,,)0

F x y z

G x y z =??

=? (存在定理)

(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0x y z F dx F dy F dz ++= (要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程.

三. 二元极值(定义?);

1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)

2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)

(1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y ?=⊕=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y λλ?=+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).

(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ?=⊕∈=≤ (2)实例: 距离问题

四. 二重积分计算:

1. 概念与性质(“积”前工作): (1)

D

d σ??,

(2)对称性(熟练掌握): *D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; (3)“分块”积分: *12D D D =U ; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶 2. 计算(化二次积分):

(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 2

2

()f x y +

附: 2

2

2

:()()D x a y b R -+-≤; 22

22:1x y D a b

+≤;

双纽线222222

()()x y a x y +=- :1D x y +≤ 4. 特例:

(1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型

1

2

()D

k x k y dxdy +??, 且已知D 的面积D

S

与重心(,)x y

5. 无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():

;;;;f M d D L σΩ

?ΩΩΓ∑?):

1. “尺寸”: (1)

D D

d S

σ???;

(2)曲面面积(除柱体侧面);

2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;

3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.

第六讲: 无穷级数(数一,三)

一. 级数概念

1. 定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++L ; (3)lim n n S →∞

(如

1

(1)!n n

n ∞

=+∑) 注: (1)lim n n a →∞

; (2)

n q ∑(或1

n

a ∑

); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ?收敛. 2. 性质: (1)收敛的必要条件: lim 0n n a →∞

=;

(2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→?→?→; 二. 正项级数

1. 正项级数: (1)定义: 0n a ≥; (2)特征: n S Z ; (3)收敛n S M ?≤(有界)

2. 标准级数: (1)1

p n

∑, (2)ln k n n α∑, (3)1ln k

n n ∑ 3. 审敛方法: (注:2

2

2ab a b ≤+,ln ln b

a a

b =)

(1)比较法(原理):n p k

a n

:(估计), 如1

0()n f x dx ?;

()

()P n Q n ∑

(2)比值与根值: *1

lim

n n n

u u +→∞

*n (应用: 幂级数收敛半径计算)

三. 交错级数(含一般项):

1

(1)

n n a +-∑(0n a >)

1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a →; (3)绝对(条件)收敛? 注: 若1

lim

1n n n

a a ρ+→∞=>,则n u ∑发散

2. 标准级数: (1)

1

1(1)

n n +-∑; (2)11(1)n p n +-∑; (3)1

1(1)ln n p

n

+-∑ 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:

n

a

∑发散; (2)条件: ,0n n a a →]; (3)结论:

1

(1)

n n a +-∑条件收敛.

4. 补充方法:

(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +→→?→?→. 5. 注意事项: 对比

n

a

∑;

(1)n

n

a

-∑;

n

a

∑;

2

n

a

∑之间的敛散关系

四. 幂级数: 1. 常见形式: (1)

n

n

a x

∑, (2)

()

n

n

a x x -∑, (3)

20

()

n

n

a x x -∑

2. 阿贝尔定理:

(1)结论: *

x x =敛*0R x x ?≥-; *

x x =散*0R x x ?≤- (2)注: 当*x x =条件收敛时*R x x ?=- 3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n n

n n a na x x n

∑∑

与n n a x ∑同收敛半径 (2)

n

n

a x

∑与

20

()

n

n

a x x -∑之间的转换

4. 幂级数展开法:

(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域)

23

111,2!3!

x

e x x x R =++

++Ω=L 24

111()1,22!4!x x e e x x R -+=+++Ω=L

35

111(),23!5!

x x e e x x x R --=+++Ω=L

3511sin ,3!5!x x x x R =-+-Ω=L 24

11cos 1,2!4!

x x x R =-++Ω=L ;

211,(1,1)1x x x x =+++∈--L ; 21

1,(1,1)1x x x x

=-+-∈-+L

23

11ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-∈-L

23

11ln(1),[1,1)23x x x x x -=----∈-L

35

11arctan ,[1,1]35

x x x x x =-+-∈-L

(2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 021

,x x ax bx c

=++)

(3)考察导函数: ()'()g x f x @0

()()(0)x

f x

g x dx f ?=

+?

(4)考察原函数: 0

()()x

g x f x dx ?@()'()f x g x ?=

5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)(),S x =

+∑∑

(2)'()S x =L ,(注意首项变化)

(3)()(

)'S x =∑,

(4)()"()"S x S x ?的微分方程 (5)应用:

()(1)n n

n n a

a x S x a S ?=?=∑∑∑.

6. 方程的幂级数解法

7. 经济应用(数三):

(1)复利: (1)n

A p +; (2)现值: (1)n

A p -+

五. 傅里叶级数(数一): (2T π=)

1. 傅氏级数(三角级数): 01

()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞

==

++∑ 2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ?(和函数) (2)1

()[()()]2

S x f x f x =

-++ 3. 系数公式: 01()cos 1

(),,1,2,3,1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx ππ

π

π

ππππ

π--

-?=??=

=??=??

???L

4. 题型: (注: ()(),?f x S x x =∈)

(1)2T π=且(),(,]f x x ππ=∈-L (分段表示) (2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5. 2T l =

6. 附产品: ()f x ?01

()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞

==

++∑ 00001()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞=?=

++∑001

[()()]2

f x f x =-++

第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)

一. 向量基本运算

1. 12k a k b +r r ; (平行b a λ?=v v )

2. a r ; (单位向量(方向余弦) 0

1(cos ,cos ,cos )a a a

αβγ=u u v v @v )

3. a b ?r r ; (投影:()a

a b b a

?=v v v

v v ; 垂直:0a b a b ⊥??=v v v v ; 夹角:(,)a b a b a b

?=v v v v S v v ) 4. a b ?r r ; (法向:,n a b a b =?⊥v v v v v ; 面积:S a b =?Y v v )

二. 平面与直线 1.平面∏

(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕=v

(2)方程(点法式): 000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=?+++= (3)其它: *截距式1x y z

a b c

++=; *三点式

2.直线L

(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕=v

(2)方程(点向式): 000

:

x x y y z z L m n p

---== (3)一般方程(交面式): 111122220

A x

B y

C z

D A x B y C z D +++=??

+++=?

(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t

=+-??

=+-∈??=+-?

)

3. 实用方法:

(1)平面束方程: 11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++= (2)距离公式: 如点000(,)M x y

到平面的距离d =

(3)对称问题;

(4)投影问题.

三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面

(1)形式∑: (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =)

(2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=?v (或(,1)x y n z z =--v

)

2. 曲线

(1)形式()

:()()

x x t y y t z z t =??

Γ=??=?, 或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =??=?;

(2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t =r (或12s n n =?v u v u u v

)

3. 应用

(1)交线, 投影柱面与投影曲线;

(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;

(3)锥面计算.

四. 常用二次曲面

1. 圆柱面: 2

2

2

x y R += 2. 球面: 2

2

2

2

x y z R ++=

变形: 2

2

2

2

x y R z +=-,

z =

,

222

2x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=

3. 锥面

: z =

变形: 2

2

2

x y z +=,

z a = 4. 抛物面: 22

z x y =+,

变形: 22

x y z +=, 2

2

()z a x y =-+

5. 双曲面: 222

1x y z +=± 6. 马鞍面: 2

2

z x y =-, 或z xy =

五. 偏导几何应用 1. 曲面

(1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =?=v , 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =?=-v

(2)切平面与法线:

2. 曲线

(1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===?=v

(2)切线与法平面

3. 综合: :Γ00F G =??=?

, 12s n n =?v u

v u u v

六. 方向导与梯度(重点)

1. 方向导(l v

方向斜率):

(1)定义(条件): (,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=?v

(2)计算(充分条件:可微):

cos cos cos x y z u

u u u l

αβγ?=++? 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==u r cos sin x y z

f f l

θθ??=+?r

(3)附: 222

2cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f l

θθθθ?=++?

2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G u r

:

(1)计算:

()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =?==u v

; ()(,,)(,,)x y z b u f x y z G gradu u u u =?==u v

(2)结论

()a u l

??0G l =?u r u

r ; ()b 取l G =u

r v 为最大变化率方向;

()c 0()G M u r

为最大方向导数值.

第八讲: 三重积分与线面积分(数一)

一. 三重积分(

fdV Ω

???)

1. Ω域的特征(不涉及复杂空间域):

(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心 (2)投影法: 22212{(,)}(,)(,)xy D x y x y R z x y z z x y =+≤⊕≤≤ (3)截面法: 222(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+≤⊕≤≤ (4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f 的特征:

(1)单变量()f z , (2)2

2

()f x y +, (3)2

2

2

()f x y z ++, (4)f ax by cz d =+++ 3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *

dv Ω

???; *利用对称性(重点)

(2)截面法(旋转体): ()

b

a

D z I dz

fdxdy =

?

??

(细腰或中空, ()f z , 22()f x y +)

(3)投影法(直柱体): 21(,)

(,)

xy

z x y z x y D I dxdy fdz =

???

(4)球坐标(球或锥体): 220

sin ()R

I d d f d π

α

θ??ρρ=

????

??,

(5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V Ω=+++ 4. 应用问题:

(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss 公式 二. 第一类线积分(L

fds ?)

1. “积”前准备:

(1)L

ds L =?

; (2)对称性; (3)代入“L ”表达式

2. 计算公式:

()

[,]((),(()b a

L

x x t t a b fds f x t y t y y t =?∈?=?=???

3. 补充说明: (1)重心法:

()()L

ax by c ds ax by c L ++=++?;

(2)与第二类互换: L

L

A ds A dr τ?=???u v v u v v

4. 应用范围 (1)第一类积分 (2)柱体侧面积 (),L

z x y ds ?

三. 第一类面积分(

fdS ∑

??)

1. “积”前工作(重点): (1)

dS ∑

=∑??; (代入:(,,)0F x y z ∑=)

(2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片 2. 计算公式:

(1)(,),(,)(,,(,xy

xy D z z x y x y D I f x y z x y =∈?=

??

(2)与第二类互换: A ndS A d S ∑

∑

?=?????u v v u v u v

四: 第二类曲线积分(1):

(,)(,)L

P x y dx Q x y dy +? (其中L 有向)

1. 直接计算: ()

()x x t y y t =??=?

,2112:['()'()]t t t t t I Px t Qy t dt →?=+?

常见(1)水平线与垂直线; (2)22

1x y += 2. Green 公式: (1)

(

)L

D

Q P

Pdx Qdy dxdy x y

??+=-??????; (2)()

L A B →?

: *

P Q y y ??=???换路径; *P Q y y

??≠???围路径 (3)

L

??(x

y Q

P =但D 内有奇点)

*

L

L =??

蜒(变形)

3. 推广(路径无关性):

P Q

y y

??=?? (1)Pdx Qdy du +=(微分方程)()

B

A L A

B u →?

=?

(道路变形原理)

(2)(,)(,)L

P x y dx Q x y dy +?

与路径无关(f 待定): 微分方程.

4. 应用

功(环流量):I F dr Γ

=??u v v

(Γ有向τv ,(,,)F P Q R =u v ,(,,)d r ds dx dy dz τ==v v )

五. 第二类曲面积分: 1. 定义: Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑

++??, 或(,,)R x y z dxdy ∑

?? (其中∑含侧)

2. 计算:

(1)定向投影(单项):

(,,)R x y z dxdy ∑

??, 其中:(,)z z x y ∑=(特别:水平面);

注: 垂直侧面, 双层分隔

(2)合一投影(多项,单层): (,,1)x y n z z =--v

[()()]x

y

Pdydz Qdzdx Rdxdy P z Q z R dxdy ∑

∑

?

++=-+-+????

(3)化第一类(∑不投影): (cos ,cos ,cos )n αβγ=v

(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑

∑

?

++=++????

3. Gauss 公式及其应用:

(1)散度计算: P Q R

divA x y z

???=++???u v (2)Gauss 公式: ∑封闭外侧, Ω内无奇点

Pdydz Qdzdx Rdxdy divAdv ∑

Ω

++=?????u v

ò

(3)注: *补充“盖”平面:0

∑

∑+????

; *封闭曲面变形

∑

??

ò(含奇点)

4. 通量与积分:

A d S ∑

Φ=???u v u v (∑有向n v ,(),,A P Q R =u v

,(,,)d S ndS dydz dzdx dxdy ==u v v )

六: 第二类曲线积分(2):

(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ

++?

1. 参数式曲线Γ: 直接计算(代入)

注(1)当0rot A =u v v 时, 可任选路径; (2)功(环流量):I F dr Γ

=??u v v

2. Stokes 公式: (要求: Γ为交面式(有向), 所张曲面∑含侧)

(1)旋度计算: (,

,)(,,)R A P Q R x y z

???

=??=????u v u v (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 0

0F G =???=?

同侧法向{,,}x y z n F F F =v 或{,,}x y z G G G ;

(3)Stokes 公式(选择): ()A dr A ndS Γ

∑

?=??????u v v u v v

?

(a )化为

Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑

++??; (b )化为(,,)R x y z dxdy ∑

??; (c )化为fdS ∑

??