高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学-函数零点问题及例题解析
一、函数与方程基本知识点
1、函数零点：（变号零点与不变号零点）
（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(
2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ?<的函数()y f x =
,通过不断地把函数
()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似
值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧
零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：
（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(
例、函数x
x x f 2
)1ln()(-
+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数x
x x f 2
)1ln()(-
+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(
x x f 2
)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B
（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：
1．对于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解,如： 例.求x x x f 2)(2-=零点的个数。
分析：本题直接求解，无法下手，由函数x x x f 2)(2-=的零点也是方程02)(2=-=x x x f 的根，即方程x x 22=的解，但这个方程不是熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的关系，可构造函数21x y =、x y 22=,在同一坐标系中作出它们的图象，可得出它们有三个交点，所以x x x f 2)(2-=零点的个数有三个。
2.对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征，作出函数的图象，确定图象与X 轴交点的情况求解。（导数专题再续讲）
（三）求函数的具体零点或求方程的根。对于某些特殊类型的函数，可通过研究式子的特征，构造新函数,转化求解。如：
例、求函数36)35()(55++++=x x x x f 的零点。
分析：考察036)35()(55=++++=x x x x f 的特点，直接求解难以入手，可转化为求
)()35()35(55x x x x +-=+++的解，根据式子特点构造函数x x x g +=5)(，显然)(x g 为奇函数，
且在R 上单调递增，由)()35()35(55x x x x +-=+++可化为)()()35(x g x g x g -=-=+，故利用函数)(x g 的性质可得x x -=+35，则21-
=x ，所以函数)(x f 的零点为2
1
-=x
基础练习
1、下列函数中，不能用二分法求零点的是（）答案B
2、已知函数)(x
f的图象是连续的，有如下表。函数)(x
f在区间]6,1[上的零点至少有（）答案C
x 1 2 3 4 5 6 )
(x
f123.56 21.45 －7.82 11.57 53.76 －126.49 A．2个B．3个C．4个D．5个
3. 设α、β分别是方程
2
log40240
x
x x x
+-=+-=
和的根，则α＋β＝。答案4 4. 已知函数b
a
b
ax
x
x
f,
(
)
(
2
+
=为常数），且方程0
12
)
(=
+
-x
x
f有两实根3和4
(1)求函数)
(x
f的解析式；(2)设1>
k，解关于x的不等式：
x
k
x
k
x
f
-
-
+
<
2
)1
(
)
(
解：（1）即方程0
12
2
=
+
-
+
x
b
ax
x有两根3和4，所以
?
?
?
??
?
?
=
+
+
=
+
+
8
4
16
9
3
9
b
a
b
a得
?
?
?
=
-
=
2
1
b
a
所以
x
x
x
f
-
=
2
)
(
2
（2）即
x
k
x
k
x
x
-
-
+
<
-2
)1
(
2
2
整理的0
)
)(1
)(
2
(>
-
-
-k
x
x
x
2
1<
1| {> < k x x或；2 = k时，不等式的解集}2 2 1| {> < x x或； 2 > k时，不等式的解集} 2 1| {k x x x> < <或 专题六重温高考压轴题----函数零点问题集锦 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题精选高考压轴题及最新高考模拟压轴题，形成函数零点问题集锦，例题说法，高效训练，进一步提高处理此类问题的综合能力. 【典型例题】 类型一已知零点个数，求参数的值或取值范围 例1.【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】 画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C. 例2.【2018年理数全国卷II】已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 （1）当时，等价于． 设函数，则． 当时，，所以在单调递减． 而，故当时，，即． （2）设函数． 在只有一个零点当且仅当在只有一个零点． （i）当时，，没有零点； （ii）当时，． 当时，；当时，． 所以在单调递减，在单调递增． 故是在的最小值． ①若，即，在没有零点； ②若，即，在只有一个零点； ③若，即，由于，所以在有一个零点， 由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点． 综上，在只有一个零点时，． 类型二利用导数确定函数零点的个数 例3.【2018年全国卷II文】已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点． 第9专题训练 零点存在的判定与证明 一、基础知识: 1、函数的零点:一般的,对于函数()y f x =,我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数 ()y f x =的零点。 2、零点存在性定理:如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 ()()0f a f b ?<,那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点,即()0,x a b ?∈,使得()00f x = 注:零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续,如果()f x 是分段的,那么零点不一定存在 3、函数单调性对零点个数的影响:如果一个连续函数是单调函数,那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前,可尝试判断函数是否单调 4、几个“不一定”与“一定”(假设()f x 在区间(),a b 连续) (1)若()()0f a f b ?<,则()f x “一定”存在零点,但“不一定”只有一个零点。要分析()f x 的性质与图像,如果()f x 单调,则“一定”只有一个零点 (2)若()()0f a f b ?>,则()f x “不一定”存在零点,也“不一定”没有零点。如果()f x 单调,那么“一定”没有零点 (3)如果()f x 在区间(),a b 中存在零点,则()()f a f b ?的符号是“不确定”的,受函数性质与图像影响。如果()f x 单调,则()()f a f b ?一定小于0 5、零点与单调性配合可确定函数的符号:()f x 是一个在(),a b 单增连续函数,0x x =是()f x 的零点,且()0,x a b ∈,则()0,x a x ∈时,()0f x <；()0,x x b ∈时,()0f x > 6、判断函数单调性的方法: (1)可直接判断的几个结论: ① 若()(),f x g x 为增(减)函数,则()()f x g x +也为增(减)函数 ② 若()f x 为增函数,则()f x -为减函数；同样,若()f x 为减函数,则()f x -为增函数 函数与方程 考纲解读 1.求常见函数的零点；2.判断基本初等函数零点所在区间；3.判断二次函数零点个数及分布；4.根据函数零点与方程根的关系求参数范围；5.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． [基础梳理] 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫作函数y ＝f (x )的零点． (2)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系 (x 0)，(x 0) (x 0) 无交点 1．函数f (x )＝lg x ＋x －3的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：B 2．函数f (x )＝e x － 1＋4x －4的零点所在区间为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3) 答案：B 3．函数f (x )＝ln x －2 x 的零点所在的大致范围是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C.????1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞) 答案：B 4．用二分法求f (x )＝2x ＋3x －7的零点的近似解，若第一次零点区间为(1,2)，则第二次的零点区间为________． 答案：(1,1.5) 5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y ＝x 2＋1 x 的零点为__________． 答案：－1 [考点例题] 考点一 判定函数零点区间|方法突破 [例1] (1)函数f (x )＝2x ＋ln 1 x －1的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(1,2)与(2,3) [解析] f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，当1＜x ＜2时，ln(x －1)＜0，2 x ＞0，所以f (x )＞ 0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点．f (2)＝1－ln 1＝1，f (3)＝2 3－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83.∵8＝ 22≈2.828＞e ，∴8＞e 2，即ln 8＞2，即f (3)＜0.又f (4)＝1 2－ln 3＜0，∴f (x )在(2，3)内存在 一个零点． [答案] B (2)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋x ，h (x )＝x －1 x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．b ＜a ＜c [解析] 在同一坐标系下分别画出函数y ＝2x ，y ＝log 3x ，y ＝－1 x 的图象，如图，观察它们与y ＝－x 的交点可知a 高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如： 函数的零点及应用 一、要点扫描 1．函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续的曲线且f (a )f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内有零点． 2．函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f (x )＝0. 3．曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点的横坐标，实际上就是求函数y ＝f (x )－g (x )的零点，即求f (x )－g (x )＝0的根． 二、典型例题剖析 1．求函数的零点 例1 求函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点． 解 令f (x )＝x 3－3x ＋2＝0，∴(x ＋2)(x －1)2＝0. ∴x ＝－2或x ＝1， ∴函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点为－2,1. 评注 求函数的零点，就是求f (x )＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x 轴的交点问题． 2．判断函数零点的个数 例2 已知函数f (x )＝a x ＋x －2 x ＋1 (a ＞1)，判断函数f (x )＝0的根的个数． 解 设f 1(x )＝a x (a ＞1)，f 2(x )＝－x －2 x ＋1 ，则f (x )＝0的解，即为f 1(x )＝f 2(x )的解，即为函数f 1(x ) 与f 2(x )的交点的横坐标． 函数的零点和方程的根经典练习题 1．函数2()41f x x x =--+的零点为（ ） A 、12-+ B 、12-- C 、12 -± D 、不存在 2、函数32()32f x x x x =-+的零点个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3、函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）. A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 4、已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x 的零点，则g (x 0)等于________ 5、若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，且当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，则函数y ＝f(x)－log 3|x|的零点个数是 6、定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2log (1)(01)()|3|1(1)x x f x x x +≤x x ，若关于x 的函数 +=)(22x f y 1)(2+x bf 有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是____________． 11、求证方程231 x x x -= +在(0,1)内必有一个实数根. 12、已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围． 高中数学2017-2018高三专题复习 -函数（3）函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，322 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：22 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-= 或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： 所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ??-∞-+∞ ??? 的单调递减区间是,.2t t ? ?- ??? （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ?? ???内的单调递减，在,2t ?? +∞ ??? 内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当1,22 t t ≥≥即时，()f x 在（0，1）内单调递减， 2(0)10,(1)643644230.f t f t t =->=-++≤-?+?+< 所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。 （2）当01,022t t < <<<即时，()f x 在0,2t ?? ???内单调递减，在,12t ?? ??? 内单调递增，若33177(0,1],10.244t f t t t ?? ∈=-+-≤-< ??? 2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+> 所以(),12t f x ?? ??? 在内存在零点。 若()3377(1,2),110.244t t f t t t ?? ∈=-+-<-+< ? ?? (0)10f t =-> 所以()0,2t f x ? ? ??? 在内存在零点。 所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点。 综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。 2. 已知函数21 ()32 f x x = +，()h x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---； （Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥． 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力． 解：（Ⅰ）223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥， 2()312F x x '∴=-+． 函数典型题型集锦 一、 函数的表示法，分段函数，区间。 1．用“零点法”把绝对值符号去掉，将函数31--+=x x y 化为分段函数的形式。 31--+=x x y =?? ? ??--4224 x 3311>≤<--≤x x x 二、函数的解析式 1、已知?? ? ??+=10 )(x x f π ) 0()0()0(>= 解之?? ?==23b a 或 ???-=-=4 3 b a ∴f (x )=3x +2或f (x )=-3x -4 6．已知f (x )是一次函数, 且f [f (x )]=4x -1, 求f (x )的解析式。 解：（待定系数法）设f (x )=kx +b 则 k (kx +b )+b =4x -1 则?? ?? ?-==????-=+=3121)1(42b k b k k 或 ???=-=12b k ∴3 1 2)(- =x x f 或12)(+-=x x f 7．[]2 21)(,21)(x x x g f x x g -=-= (x ≠0) 求)2 1 (f 解一：令x t 21-= 则 21t x -= ∴2 222 21234 )1(4)1(1)(t t t t t t t f +--+=--- = ∴154 11141 13)2 1(=+ -- += f 8．动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A 。设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长，求y 关于x 的函数。 解：如图 当P 在AB 边上运动时, PA =x 当P 在BC 边上运动时 PA =2 )1(1-+x 当P 在CD 边上运动时PA =2 )3(1x -+ 当P 在DA 边上运动时PA =4-x ∴??? ????-+-+-=x x x x x y 410 6222 2 )43()32()21() 10(≤<≤<≤<≤≤x x x x 9．设,)(3 3 1 --+=+x x x x f 2 21)(--+=+x x x x g 求f [g (x )]。 解：)1 (3)1()1(3x x x x x x f +-+=+ ∴x x x f 3)(3-= A P B 函数零点经典习题 一．选择题 1．函数f(x)=-x2+4x-4在区间[1，3]上的零点情况是： A 没有零点 B 有一个零点 C 有两个零点 D 有无数个零点 2函数f(x)=(x2-4)/(x-2)的零点是 A -2，2 B 2 C -2 D 不存在 3.函数f(x)=x2+27/x的零点是 A -3 B -1/3 C 3 D 1/3 4.如果方程2ax2+x-3=0在区间（0，1）内有一个解，则a的取值范围是 A a<-1 B a>1 C -1 9.函数f(x)=x 2-ax-b 的两个零点是3，5 则函数g(x)=bx 2-ax-1的零点是 A -3，-5 B 3，5 C -1/3，-1/5 D 1/3，1/5 1.函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ） A.?? ? ??41,81 B.?? ? ??21,41 C.?? ? ??1,2 1 D.(1,2) 2.若0x 是方程31 )2 1 (x x =的解，则0x 属于区间（ ） A ． ?? ? ??1,3 2 . B ．?? ? ??32,21 . C ．?? ? ??21,31 D ．?? ? ? ?31,0 3.函数x x x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ） A ．)2,1( B ．)3,2( C ．)1 ,1(e 和)4,3( D ．),(+∞e 二．填空题 10．已知函数f9x)=x 2-1则函数f(x+2)的零点是------------ 11．方程x 2-2x-5=0在区间（2，3）内有实数根，取区间的中点x 0=2.5，下一个有根区间是------------- 12．若函数f(x)=ax+b 的零点是-3则函数g(x)=bx 2-ax 的零点是-------- 10.若函数 a x a x f x --=)( (0>a 且1≠a )有两个零点，则实数a 的取值范围 是 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如： 函数零点存在的典型题 函数的零点是函数的一个重要特性，在分析解题思路、探求解题方法中发挥着重要作用。函数的零点即方程的根，也就是函数的图像与x 轴交点的横坐标。主要考查二次函数及其性质，一元二次方程，函数的应用，解不等式等基础知识，考查数形结合，分类与整合的思想方法，以及抽象概括能力，运算求解能力。二次函数的零点情况分如下几种情况：(1)在某个区间上有一个零点，(2)在某个区间上有两个零点，(3)在某个区间上有零点，但没说多少个，(4) 在某个区间上有一个零点，且此零点大于零。例题如下： 例1. 若函数()12 --=x ax x f 在()1,0内有一零点，求a 的取值范围。 分析：把函数的零点问题转化为方程的根。此函数恰有一零点，即方程012 =--x ax 在()1,0内有一个根。可分为以下三种情况： (1)0=a (2)()内有一解，在10,0>?(3),0=?且根在()1,0内 解：由题意得 令012=--x ax ，因为最高次项系数是常数，所以首先要讨论最高次项系数为0的情况。 (1)当0=a 时，解得1-=x ,不在()1,0内，∴不符合题意 (2)方程有两个根，且有一个根在()1,0内，即 ()()? ???>?100f f 241>->a a 2>∴a (3)当方程有两个相等的根时，即0=?，解得41- =a ，解得2-=x ，不在()1,0内。 4 1-≠∴a 综上所述，当函数()12--=x ax x f 在()1,0内有一零点时，2>a 例2．已知a 是实数，函数(),3222 a x ax x f --+=如果函数()x f 在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。 分析：函数在区间上有零点，分以下几种情况讨论，首先最高次项系数是常数要讨论常数0=a 时；下面，当0≠a 时，就是二次函数，可分以下情况，有一个零点(即所对应的方程在给定区间上有一个根(在0>?的情况下)或有两个重根)，或两个零点。 解：由题意得 若0=a 时，则函数()32-=x x f ，在区间[]1,1-上没有零点 下面就0≠a 时分三种情况讨论： (1)方程()0=x f 在区间[]1,1-上有重根，此时() 016242=++=?a a ，解得2 73±-=a 当273--=a 时，()x f 0=的重根=x 2 73-[]1,1-∈ 【标题01】对零点这个概念没有理解清楚 【习题01】函数23)(2 +-=x x x f 的零点是 （ ） A ．()0,1 B ．()0,2 C ．()0,1，()0,2 D ．1,2 【经典错解】解方程2320x x -+=得1x =或x=2，所以函数的零点是()0,1，()0,2,故选 C . 【详细正解】由()0232 =+-=x x x f 得，x ＝１和２，故选D ． 【习题01针对训练】已知函数()? ? ?>+≤-=,1,log 2,1,222x x x x f x 则函数()f x 的零点为( ) A ．4 1 和1 B ．4-和0 C ．41 D ．1 【标题02】误认为()()0f a f b ?<时函数在区间(,)a b 至少有一个零点 【习题02】已知函数1 ()f x x x =+，且(1)2f -=-，(1)2f =，(1)(1)0f f -<，则()f x 在(1,1)-内____. A ．有且只有一个零点 B ．至少有一个零点 C ．只有两个零点 D ．没有零点 【经典错解】由零点定理得()f x 在(1,1)-内至少有一个零点，故选B . 【详细正解】函数()f x 的定义域是{|0}x x ≠ ，所以它在区间(1,1)-上不是连续函数，所以不能利用零点定理，当0x < 时，()0f x < ，当0x >时，()0f x >，所以()f x 在(1,1)-内与x 轴没有交点，故选D . 【深度剖析】（1）经典错解错在误认为()()0f a f b ?<时函数在区间(,)a b 至少有一个零点. （2）零点定理的使用必须满足两个条件：①函数在区间[,]a b 上连续；②()()0f a f b < ，才能得到一个结论：函数在区间(,)a b 内至少有一个零点.所以解答零点定理的题目时，一定要认真审题，认真分析，才能做出判断.错解就是没有注意到函数1 ()f x x x =+在(1,1)-不是连续函数,因为0x ≠,所以不能使用零点定理分析解答. 【习题02针对训练】单调函数()f x 在区间[,]a b 上的图象是连续不断的，且 ()()0f a f b <，用二分法求零点时，取02 a b x += ，若计算得0()0f x =，则有______. A ．函数()f x 的零点在0(,)a x 内 B ．函数()f x 的零点在0(,)x b 内 C ．函数()f x 在(,)a b 内无零点 D ．函数()f x 的零点为0x 【标题03】误认为()()0f a f b ?>时函数在区间(,)a b 没有零点 【习题03】对于函数()2 f x x mx n =++，若()()0,0f a f b >>，则函数()f x 在区间 (),a b 内（ ） A ． 一定有零点 B . 一定没有零点 C. 可能有两个零点 D. 至多有一个零点 【经典错解】由于不满足()()0f a f b ?<, 所以函数()f x 在区间(),a b 内没有零点，故选 B . 【详细正解】画出二次函数的草图，可以观察得到()f x 在区间(),a b 内可能有两个零点，也可能有一个零点，也可能没有零点，故选C . 【习题03针对训练】关于x 的方程32 30x x a --=有三个不同的实数解，则实数a 的取值 范围是________． 【标题04】误认为分段函数就没有零点 函数的零点二分法练习题精选 一、填空题 1．设f (x )的图象在区间(a ，b )上不间断，且f (a )·f (b )<0，取x 0＝a ＋b 2， 若f (a )·f (x 0)<0，则用二分法求相应方程的根时取有根区间为________． 答案：(a ，a ＋b 2) 2．一块电路板的AB 线路之间有64个串联的焊接点，如果电路不通的原因是因为焊口脱落造成的，要想用二分法检测出哪一处焊口脱落，至多需要检测________次． 解析：由二分法可选AB 中点C ，然后判断出焊口脱落点所在的线路为AC ，还是BC .然后依次循环上述过程即可很快检测出焊口脱落点的位置，至多需要检测6次． 答案：6 3．根据表中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间是 解析：设f (x )＝e x －x －2，由图表可知f (－1)<0，f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，f (3)>0.所以f (1)·f (2)<0，所以根在(1,2)内． 答案：(1,2) 4 函数f (x )在区间(1,6)内的零点至少有________个． 解析：在区间(2,3)，(3,4)，(5,6)内至少各有一个． 答案：3 5．设f (x )＝3x ＋3x －8，由二分法求方程3x ＋3x －8＝0在(1,2)内近似解的过程中，得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程根所在的大致区间是________． 解析：虽然f (1)·f (1.5)<0，f (1.5)·f (1.25)<0，但(1.25,1.5)比(1,1.5)更精确． 答案：(1.25,1.5) 6．下列方程在区间(0,1)内存在实数解的有________． 高中数学-函数零点问题及例题解析 、函数与方程基本知识点 1、 函数零点：(变号零点与不变号零点) (1 )对于函数y f (x)，我们把方程f(x) 0的实数根叫函数y f(x)的零点。 (2)方程f (x) 0有实根 函数y f(x)的图像与x 轴有交点 函数y f (x)有零点。 若函数f(x)在区间a ,b 上的图像是连续的曲线，则f(a)f(b) 0是f(x)在区间a ,b 内有零点的 充分不必要条件。 2、 二分法：对于在区间［a,b ］上连续不断且f(a) f(b) 0的函数y f(x)，通过不断地把函数 y f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似 值的 方法叫做二分法； 二、函数与方程解题技巧 零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下： (一) 函数零点的存在性定理指出：“如果函数y f (x)在区间［a,b ］上的图象是连续不断的一 条曲线，并且f(a)f(b) 0，那么，函数y f(x)在区间(a,b )内有零点，即存在c (a,b), 使得f(c) 0,这个c 也是方程f (x) 0的根”。根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区 间上是否有零点(或方程在某个区间上是否有根)时，一定要注意该定理是函数存在零点的充 分不必要条件：如 2 例、函数f(x) In(x 1)-的零点所在的大致区间是() x (A )( 0, 1)； ( B )( 1, 2)； ( C ) ( 2, e ); ( D )( 3, 4)。 2 分析：显然函数f (x) ln(x 1) 在区间［1,2］上是连续函数，且f (1) 0, f(2) 0,所 x 以由根的存在性定理可知，函数 f(x) ln(x 1) 2 的零点所在的大致区间是(1, 2),选B x (二) 求解有关函数零点的个数(或方程根的个数)问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的 个 课时作业(二十)方程的根与函数的零点 [学业水平层次] 一、选择题 1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是() A．0B．1C．2D．3 【解析】令log5(x－1)＝0，解得x＝2，∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是2，故选C. 【答案】 C 2．函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】注意到f(－1)×f(0)＝1 2×(－1)＜0，因此函数f(x)在(－1，0)上必有零点，又f(2)＝f(4)＝0，因此函 数f(x)的零点个数是3，故选D. 【答案】 D 3．函数f(x)＝ln x＋2x－8的零点所在区间为() A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 【解析】∵f(4)＝ln4＋2×4－8＝ln4>0， f(3)＝ln3＋2×3－8<0，∴f(4)·f(3)<0. 又f(x)在(3，4)上连续， ∴f(x)在区间(3，4)内有零点． 【答案】 C 4．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1，2)上的零点() A．至多有一个B．有一个或两个 C．有且仅有一个D．一个也没有 【解析】若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)＜0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx ＋c为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)·f(2)＞0，与已知矛盾．故选C. 【答案】 C 二、填空题 5．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________． 【解析】由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a>0，即a<1.【答案】(－∞，1) 6．若函数f(x)＝ax＋b的零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．【解析】由题意可知f(2)＝2a＋b＝0，即b＝－2a. ∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)＝0， ∴x＝0或x＝－1 2. 【答案】0或－1 2 7．(2014·温州高一检测)根据表格中的数据，若函数f(x)＝ln x－x＋2在区间(k，k＋1)(k∈N*)内有一个零点，则k的值为________. 【解析】f(1)＝ln1－1＋2＝1 f(2)＝ln 2－2＋2＝ln 2＝0.69＞0， f(3)＝ln 3－3＋2＝1.10－1＝0.10＞0， f(4)＝ln 4－4＋2＝1.39－2＝－0.61＜0， f(5)＝ln 5－5＋2＝1.61－3＝－1.39＜0， 拓展延伸 应用点一 判断零点个数 【例1】判断下列函数零点的个数． (1)f (x )＝x 2－7x ＋12；(2)f (x )＝x 2－1 x . 思路分析：(1)中f (x )为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数． 解：(1)由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0， 得△＝49－4×12＝1＞0， ∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4. ∴函数f (x )有两个零点． (2)解法一：由x 2－1x ＝0，得x 2＝1x . 令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1 x . 在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象，如图3.1.1-3所示，两图只有一个交点，故函数f (x )＝x 2－1 x 只有一个零点． 图3.1.1-3 解法二：令f (x )＝0，即x 2－1 x ＝0. ∵x ≠0，∴x 3－1＝0.∴(x －1)(x 2＋x ＋1)＝0. ∴x ＝1或x 2＋x ＋1＝0. ∵方程x 2＋x ＋1＝0的根的判别式△＝12－4＝－3＜0， ∴方程x 2＋x ＋1＝0无实数根．∴函数f (x )只有1个零点． 已知函数f (x )在区间(a ，b )上单调，且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在区间(a ，b )上( )． A ．至少有三个零点 B ．可能有两个零点 C ．没有零点 D ．必有唯一的零点 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c ＜0，则函数的零点个数为( )． A ．1 B ．2 C ．0 D ．无法确定 应用点二 求零点所在的区间 【例2】函数f (x )＝lg x －9 x 的零点所在的大致区间是( )． A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10) 思路分析：据f (a )·f (b )＜0判断零点所在区间为(a ，b )．专题06 重温高考压轴题----函数零点问题集锦-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)
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