数学史与高中数学

数学史与高中数学整合的理论依据

国外对数学史在数学教育中的功能的研究比国内早，而且比较详细、全面；针对数学史应用到数学教学中的研究也较早出现，主要是从数学史中挖掘对数学教育有用的资源，数学史作为一种教学工具。概括来讲，主要应用以下几个方面：数学史中的数学家的故事、数学史中问题、数学概念的产生过程，数学史上使用的方法和思想。然而，这方面的研究主要是“为数学史的使用作为一种数学教学工具辩护，理论方面的讨论的论文数量远超过对教学资源和上课的实践的论文数量。”[2](Gulikers&Blom,2001)

比较典型的实践方面的例子是，由Frank Swetz，John fauvel等主编的《向大师学习》[3]，此书中介绍了一些学者如何在数学教学中使用数学史的资料。还有John fauve和Jan van Maanen主编的《数学教育中的历史》，此书是HPM 的研究成果的整理，在此书中也介绍了一些实践方面的研究案例。然而，这些研究相对于整个数学课程来说似乎是相互孤立的，仅仅提供一些分散的实践案例。为此，Gulikers&Blom（2001）提到今后的研究目标是将数学史的研究结果转化为资源教材，以及为教师写一些关于如何使用这些教材的指导。

国内研究简述

近几年来，开始浮现将数学史运用到数学教学中的要求和呼吁，左太政(1997)研究发现教师如何在数学教学中透过数学史来启迪学生的视野及引发思考，大多数学生皆能提升学习兴趣而引起学习动机，对学生学习数学有实质上的帮助。谢丰瑞与郑芳枝(2001)的研究提到数学史中描述了数学的建构发展。浙江省路桥中学承担了张维忠教授主持的国家级课题《文化传统与数学教育现代化》的子课题《数学史与数学教育现代化》。他们的研究都比较宏观地提出了数学史教育问题，对于课堂教学与教师的专业发展提出了宝贵的建议。虽然，我国的数学史研究，已经拥有相当规模的队伍。但是，我们的研究似乎还没有注意到如何将数学史运用于教学过程，发挥它的应有效益，另外，几乎没有针对具体的高中

数学课程相对应的数学史的资源的研究。然而，在数学教学中，如何统整地使用数学史料，一直有技巧上的困难。

数学史与常规课堂数学整合的做法还没有真正涉及，本文就是要通过数学史与高中数学整合，设计适合高中数学课堂教学的教学资源，发挥数学史的教育功能，提高教学效果，为学生树立正确的数学学观。

数学史与数学教育结合的文献综述

数多学者和组织都赞成将数学史与数学教育结合起来，因为数学史能够发展数学是什么的观点，能够更好地理解数学的概念和理论。通过将数学史与数学教育结合，主要从以下三个方面可以支持、丰富和改进数学教学：

1.数学学习方面

2.数学指导方面

3.人文价值方面

1．数学的学习方面

著名数学家、数学教育家克莱因认为数学史教育能激励学生不断进取，他曾指出:“历史可以在教学中扮演很重要的角色。例如，假如告诉初学微积分的学生们:尽管牛顿和莱布尼兹是声名显赫的前辈，他们自己也没有透彻理解微积分的许多概念，数学家们大约经过200年的努力才把这些概念弄确实那么学生们在开始时不能很好地理解这些概念，也就不至于感到迷茫。相反他们将得到鼓舞而继续学习，历史还有许多其它的教育价值。当代杰出的美国数学家、教育家G．波里亚(G. Polya, 1887-1985)认为通过接触数学史可使学生加深对知识的理解，学习数学只有看到数学的产生，按照数学发展的历史顺序或亲自从事数学发现时，才能更好地理解数学。Gulikers和Blom（2001）声称：“有效的学习要求学习者不得不追溯某一学习主题在历史上演变的主要步骤。”这种方法有时被

称作为“历史发生原理”（history-genetic-principle）(Schubring1977)，这个原

理被迁移到数学学习的领域就被描述为：个人数学知识的产生与发展遵循手数学观点的历史发展。相似地，个人数学理解的发展同样遵循数学观点的历史发展。有两位学者E.Harper和G.T.Bagni分别做了个实验，从实践上说明了上面的原理，E.Harper(1987)在两所文法学校的一至六年级各选12名学生（共144人），用丢番图《算术》中的问题进行测试，结果发现学生对符号代数的认知发展过程与符号代数的历史发展过程是相似的[4]。G.T.Bagni对一所理工科中学88名16-18岁的学生进行测试，测试内容为无限级数求和，结果发现：就无限级数而言，历史发展与个体认知发展是相似的[5]。

从上述观点来看，教育工作者的任务是要让学生的意识经历他们上一代人所经历的，迅速地通过某些阶段，但不会跳过任何阶段。对学生来说这是最自然的方法学习数学。

数学史对数学学习的功能

1．1 数学史为数学学习提供了资源

数学史为数学学习提供了大量的、相关的题目、问题、exposition。而这些资源不仅仅是它们的内容具有教育价值，而且它们对学习者是一种潜在的动机，可以激发学习数学的兴趣，吸引学生解决数学问题。（）

1．2数学史提供了数学学习的活动

历史上重要的题目、问题和解答为数学学习提供了广泛的活动，无论是对原始资源的直接使用，还是用现代语言重新建构的问题，学生们通过问题的错误的观点、启发式的观点，不确定的、怀疑的、直观的观点，争议的、可选择的方法学习，这不仅是合理的，而且是数学产生过程的一个完整部分（Arcavi,et,al 1982[6],1987[7]）。在数学课堂中，读和写的活动常与上述一些观点和方法有机地结合为一种自然的活动，这种活动不是人为造出来的。通过这些活动，学生会更加理解为什么（在过去的）推测和证明不能提供已经存在问题满意的回答，间接地，学生也许会被鼓励去形成自己的问题，产生推测，捕获它们（Friedelmeyer

1996[8]，Tzanakis 1996[9]）。通过数学史组织的数学活动可以发展学生个人的成长和技能，不仅仅是必须的数学方面的发展，如阅读、写、寻找资源和文献，讨论、分析和探讨数学（不是做数学）。

1．3数学史提供了一种非线性的方式学习数学

Grootendorst(1982)指出数学观点发展的进程不像现代教科书上所呈现得那

么平稳地发展。在教科书上呈的“作为完成品的数学”（mathematics-as-an-product）与“产生过程中的数学”（mathematics-in-its-making）是完全不同的[10]。大多

数数学的观点不会以它们被发现的方式呈现在教科书上，然而现代教科书将数学的发展假扮成非线性的方式，与此同时，这些教科书哄骗学生相信数学知识遵循着他们预先知道的那样平稳地发展。从本质上将人类的思考从数学的发展中除去。

当一个问题已经被解决，这个结果就转变为理论。教师将教这个理论，但是不会提及这个理论被发现时的问题。正如弗赖登塔尔（Freudenthal）所指出的：这个顺序被颠倒了。这被他称作为“反教学法的倒置”（anti-didactical inversion），因此他建议：“年轻的学习者重蹈人类学习过程，尽管方式改变了”[11]。他所建议的方式指的是：对于知识点P与Q，即使知识点P在逻辑上先于知识点Q，但是如果Q在历史上先于P出现，那么我们还是要先教Q，而数学史恰好可以

提供这种学习方式。

1．4数学史可以帮助列出学习的轨迹

Siu/Siu（1979）指出：数学史能够帮助列出学习的轨迹，在这个轨迹中学习的障碍和平稳地进步可以得到平衡。它能帮助学习者获得严格（证明）与想象力之间的平衡[12]。因此学生不会急促地一下子接触未建立的理论，他们将有机会进行不同方向的创造性思维的训练，这是大脑运作的自然方法。Horak和Horak （1981）指出：通过专门性技术的使用或应用，数学史可以导致对数学理论基础的更好理解[13]。Ransom(1991)也有相似地看法：历史问题提供了多样的解决问题的方式和促使学生的思考[14]。

1．5数学史可以帮助增加学生学习数学的兴趣

对数学学科的不同看法和对这个学科中原始问题、概念、方法和证明的调查，可以引起学生的兴趣，并可以作为他们学习的动机。而数学史中有许多这样的一手的资源。这些可以使得数学课变得更加愉快和兴奋，减少学生学习数学的害怕，这也可以使聪明的学生进一步探索数学知识。

1．6数学史可以帮助学生理解数学

Van Breugel(1987)指出：数学的发展展示了数学是在一个特定的历史时期由人类发明的，而不是总是存在的，这使得数学更加具体，给学生更多的洞察。例如：通过重新检验已知的、已承认的数学概念、方法或证明的发展过程，学生可以看到现在被认为是杰出的数学家，在以前他们同样有疑惑和错误（Arcavi 1991[15],Ofir 1991[16]），这样会使学生获得安慰，因为他们知道不仅仅是他们会有问题，这样不仅会减少因犯错误和误概念而产生的沮丧（Fauvel

1991[17],Fisehbein 1987[18],Gulikers&Blom 2001[19]），而且学生可以从对这些错误的解释中获益，对学生来说这将是他们探索数学的动机和方法。

数学史可以使学生（教师）意识到数学现代形式的优缺点。通过过去和现在技术的比较，学生能够意识到方法正在改变，他们可以看到形式或组织上的改善已经使得数学学习更加容易。（Kool 1998[20]）

Freudental(1981)对数学史料可以帮助理解数学主题本身表示怀疑，用历史的线索来组织数学主题对学生来说是难以理解的，尤其是那些没有历史感的儿童和那些不能理解陌生的原始观点和技术的学生[21]。为了说明这一点，

Grattan-Guinness(1973)指出，当学生面对原始问题和技术时，将会花很多的时间对陌生的观点重建情境，他认为，数学史能够被应用到数学课堂的方法也就是学生体验创造性工作和模仿先前结论的个人发现的方法[22]。

2．数学指导方面

早在18世纪法国实证主义哲学家、社会学创始人孔德（https://www.360docs.net/doc/251902293.html,te）即提出：由于个体知识的发生与历史上人类知识的发生的一致性，因而对孩子的教育必须符合历史的顺序。美国著名数学史家卡约黎（K.Cajori）认为，如果孔德的理论正确的话，那么数学史对于数学教学来说就是一种十分有效、不可获缺的工具[23]。德国著名数学家F.克莱因（F.Klein）认为按照历史顺序教授数学能使学生看清一切数学观点的产生是如此迟缓，所有的观点最初出现时几乎常是草创的形式。法国著名数学家庞加莱（H.Poincare）主张数学课程的内容应该完全按照历史顺序呈现给读者。Gulikers$Blom宣称：“数学的教学要延着历史发展的路线”是必须的，然而，他们警告教师不能逐字地运用这个原理，引用了这样的例子：“没有人建议一个儿童应该远离零的概念，直到他完成了希腊几何的学习，在此过程中零的概念不会出现。”（Byers 1982,Scheid 1993）

数学史对教师教授数学的功能

2．1数学史提供了教师组织数学知识的方式

数学的教学总是以演绎推理的组织形式进行，然而数学历史的发展展示了数学原理的演绎推理的组织要在这个原理达到成熟才能产生，因此，在教学时有必要对这些逻辑的和完整的结构背后包含的现象进行描述。Freudental（1983）描述了这一现象：“没有数学观点是以它被发现的顺序公布，如果一个问题已经解决，那么解决问题的过程被隐藏。”[24]数学通常被全面地重新组织，一方面，这种重新组织可以防止扭曲和冗长的描述。另一方面，问题和题目（这些是构成观点发展的主要动机）被隐藏在线性组织和演绎知识的背后。这样新的知识以简单的积聚方式增加。

因此教师可以用数学发展的顺序来组织数学知识，这样可以帮助发现“数学概念、结构、观点是怎样被发明用来作为一种工具，组织物理社会和思维世界的现象（Freudental 1983）[25]”。以这种方式，对于数学概念、结构、观点的学习，学生能够从它们是为什么被创造中获得动机（Barbin 1996[26], Tzanakis 1996[27]）。教师可以通过历史发展中数学原型的学习、认识数学知识背后的动

机，从而组织数学。当然，这种方式并不是要确切地遵循复杂的历史发展来描述数学主题，也不是数学学习应该由“个体发育史重蹈种族发展史”（“ontogenesis recapitulates phylogenesis”）的指导（Fauvel 1991[28]）。数学史能够以最自然地方式，最好的可能的方法描述数学，通过保持最少的逻辑代沟，特别地引进概念、方法和证明，以这种方式，数学史料可以帮助教师重新组织教科书上的知识，帮助教师教数学。

2．2数学史能够使教师意识到学生学习数学的困境

Schubring(1988)指出，学生的错误、认知障碍与数学历史发展中的问题之间有一定的联系。M.kline(1970)坚信历史上大数学家所遇到的困难正是学生也会遇到的学习障碍，因而历史是教学的指南[29]。他举了负数的例子：从一流数学诞生开始，数学家花了1000年才认识负数概念，又花了100年才接受负数概念，因此我们可以肯定，学生学习负数时必定会遇到困境，而且他们克服这些困难的方式与数学家也是大致相似的。历史的重要瞬间的知识能够提供教师一种工具来发现数学学习中的认知障碍[30]（Struve 1996），它能帮助教师更好地理解在某一主题中的错误和误概念，能够帮助解释现今学生发生的困难。

2．3数学史能丰富教案，提高教学水平

许多学者提到在教师培训课程中教授数学史的必要性，这样可以影响教师的观点，丰富教师的教案。教师可以通过使用数学史中的解释、例子、多样的方法来呈现数学主题或问题解决，从而丰富教学内容。这是一种提高教学技能的方法[31]（Swetz 1995）。Van Maanen (1997)指出：对一个“老的方法”的观察能够帮助教师和学生对他们的标准做出评价，从仅仅做数学离开一会儿，思考和讨论他们正在做什么，然后再回来做数学，但是现在他们会更加谨慎地做数学[32]。Jahnke(1996)也指出：“数学史能够激发关于数学和数学方法的个人观点的反思[33]。”数学史可以扩大并加深教师对某一数学主题的理解，用数学史中

的多样的例子和方法来呈现某一数学主题，教师可以通过阅读旧的资源，可以更好地洞察什么是数学的本质，从而改善教师的教学技巧。

2．4使用数学史可以对在职（未来）教师培训

Cooney(1999)指出：“教师对于如何教数学的观点或多或少包含着他们自己学习数学的经验，然而这种学习经验往往与现代数学教育改革相对[34]。”类似地，Skott(2001)发现：“新教师尤其依赖从他们自己在学校学习的经验来教数学。

[35]”为了改变这一现状，Thompson曾经建议用数学史来培训教师。Furinghetti(2007)认为数学史的引进的不是就其本身而论，而是作为一种数学教

学的媒介[36]，主要是使教师能够通过亲身经历数学建构来反思数学对象的意义，然后创造出数学教学方式，而不是用以前作为学生时的经验来创造教学方式。数学史可以使教师创造教学方式是因为它可以让教师了解数学知识产生的背景，体验数学知识产生的进程，这样教师可以进一步理解数学，从而可以用历史发展的观点来创造数学教学方式。

2．5数学史可以创造活跃的课堂气氛

数学总是给人一种严格的外形，不免使得数学的教学变得无聊、枯糙，这样就不利于数学的教学，降低数学教学效果。通过将数学史引用到数学教学中，不仅可以为数学教学带来动力，而且可以帮助教师创造一个活跃的课堂气氛，数学课变得越来越有趣，因此数学史会使得数学教学变得更加地成功[37]（Perkins 1991）。

2．6数学史可以提供有用的资源材料

Russ(1991)[38]指出：数学史能够使数学教师获得有用的资源材料用于数学

教学。数学史中的数学家的故事、时代的背景，数学发展过程中的问题、观点都能为教师所用。这些都可以激发教师对某一主题的设计，以一种发展的观点看待数学。

3数学史使得数学具有人文属性

数学不是一些结果的严格的结构化系统，而是一个连续的进化着的人类智力进程，与其它学科、文化和社会紧密相连。在HIMED’90（History in Mathematics Education）的会议上提出了这样一个问题：数学是否应该发展更多

的人文化的侧面，这个问题的回答是肯定的（Fauvel 1991[39],Ofir 1991[40], Russ 1991[41]）。在一些情况下，展示数学文化是一种目标。在另一些情况下，作为在历史的观点中的教学结果[42]（Heiede 1992）。

3．1数学史作为联结数学与其它学科的桥梁

Grugnetti[43](1994)和Proia/Menghini[44](1984)认为不应该将数学与学校其

它学科孤立起来，各学科的教学要让学生看得到各学科之间的相互联系和相互影响。数学史为学生提供了一些机会了解数学与其它科学理论之间交叉学科的关系。例如与物理学和天文学（Bkouche,1990）。数学史揭示了数学活动与结果之间的相互依赖。因此，将数学史整合到数学教学中可以将看上去似乎无关的学科建立联系，能够展示数学不同领域或与其它学科之间的相互联系。

3．2数学史可以揭示数学发展过程中数学与社会、文化的关系

数学的发展不仅仅是因为数学内部发展的需要（无论是否因为功利或纯正的因素影响），从更广泛的角度讲，文化和社会的因素同样推动数学的发展，

Rickey(1996)提出的教师的责任中强调了数学教师是数学文化的传递者[45]。而通过数学史恰恰可以揭示其中的联系。

数学史可以帮助提供鼓励多文化的方法。现代形式下的数学几乎被看成是西方文化的产物，通过历史的学习，出现在其它文化背景下的很少被人所知的数学方法（民俗数学）可以被考虑到（Barta[46] 1995,Katz[47] 1994）。让学生认识到这些民俗数学方法在他们的进程中所起的作用。在一些情况下，这些文化能够帮助教师在多种族的班级中教学，通过重新评价当地文化遗产，能够帮助发展同学之间的坚韧性和相互尊重[48]（Nouet 1996）。

数学史给学生一个历史的模型，使数学学习与人类的情感和动机联系起来。通过数学史料的研究，学生能够有机会看到推动数学发展不仅仅是功利的原因，而且还有数学自身的利益[49]（Hallez 1990）。Tzanakis(1997)提出了推动数学发展的动力有美学的标准、智力上的好奇、挑战和愉快、再创造的目的等[50]，通过数学史可以使学生了解这些动力，从而为学生学习数学提供动力。

向学生展示数学的发展是一种人类的活动，可以帮助创造一种活跃的课堂气氛，帮助增加学生对数学的兴趣（Gulikers&Blom 2001）。Russ(1991)对数学史的特征作出了总结，数学史能过使学生获得更加准确的数学图式和他们在学习过程中的角色，它使学生确信一个人文的侧面被放置到课题中，而这些则被长期忽视。使用数学史的一个重要方面是与作出数学贡献的人的真实故事相联系，通过将学生带入到数学家的调查和特殊数学发展所在背景的调查，可以提供学生对数学作为人类文化活动的意识[51]（Nodding.S 1993），而且使得数学不会很枯燥，从而提高学生对数学学习的兴趣。最重要的是通过数学史学生意识到：“数学不是偶然发生的，而是在数学家所工作的时代精神（流行文化的本质）和政策、社会经济情况的影响下，数学被促进或阻碍[52]（Lightener 2001）。”