插值例题

例1 机床加工

待加工零件的外形根据工艺要求由一组数据(x, y)给出（在平面情况下），用程控

铣床加工时每一刀只能沿x 方向和y 方向走非常小的一步，这就需要从已知数据得到加工所要求的步长很小的(x, y)坐标。

表1 中给出的x, y数据位于机翼断面的下轮廓线上，假设需要得到x坐标每改变

0.1 时的y坐标。试完成加工所需数据，画出曲线，并求出x = 0处的曲线斜率和

13 ≤x ≤15范围内y的最小值。

表 1

x 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15

y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6

要求用Lagrange、分段线性和三次样条三种插值方法计算。

解编写以下程序：

clc,clear

x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];

x=0:0.1:15;

y1=lagrange(x0,y0,x); %调用前面编写的Lagrange插值函数

y2=interp1(x0,y0,x);

y3=interp1(x0,y0,x,'spline');

pp1=csape(x0,y0); y4=ppval(pp1,x);

pp2=csape(x0,y0,'second'); y5=ppval(pp2,x);

fprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n')

fprintf('x y1 y2 y3 y4 y5\n')

xianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5'];

fprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi')

subplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange')

subplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear') subplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1')

subplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2')

dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1)) %求x=0处的导数

ytemp=y3(131:151);

index=find(ytemp==min(ytemp));

xymin=[x(130+index),ytemp(index)]

计算结果略。

可以看出，拉格朗日插值的结果根本不能应用，分段线性插值的光滑性较差（特别

是在x = 14附近弯曲处），建议选用三次样条插值的结果。