苏教版高中数学必修一第一章 集合知识点整理

第一章集合§1．1集合基础知识点：⒈集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；*正整数集，记作N或N；N内排除0的集. +整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；5.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现

如:方程(x-2)(x-1)=0的解集表示为1, 2,而不是1, 的。. 2

1, 2 ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；2⑶非负奇数；⑷方程x+1=0的解；⑸徐州艺校校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点 6.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，

记作aA； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。 例如，（1）A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4A，等等。 （2）A={2，4，8，16}，则4A，

8A，32A. 典型例题 例1．用“∈”或“”符号填空：2⑴8 N；⑵0 N；⑶-3 Z；⑷ Q； 1

⑸设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，

印度 A，英国A。2例2．已知集合P的元素为, 若2∈P且-1P，求实数m的值。1,m,m m 3 第二课时基础知识点一、集合的表示方法 ⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的方法2322叫列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x，3x+2，5y-x，x+y}，…；说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；⑵一般不必考虑元素之间的顺序；⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；

⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；⑸列举法可表示有

限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方 能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为1,2,3,4,5,......例1．用列举法表示下列集合： (1)小于5的正奇数组成的集合；

(2)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合； (3)从

51到100的所有整数的集合； (4)小于10的所有自然数组成的

集合；2(5)方程的所有实数根组成的集合；x x⑹由1~20以内的所有质数组成的集合。⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 一般格式：x Ap(x)2如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x+1}，{x|直角三角形}，…；22说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x+3x+2}与 {y|y= x+3x+2}是 2

不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}也是错误的。用符号描述法表示集合时应注意：1、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？2、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。例2．用描述法表示下列集合：2(1) 由适合x-x-2>0的所有解组成的集合; 2（2）方程的所有实数根组成的集合x 2 0（3）由大于10小于20的所有整数组成的集合。说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。练习：21.由方程x－2x－3＝0的所有实数根组成的集合； 2.大于2且小于6的有理数；23.已知集合

A＝{x|-3

举法表示是 3、文氏图集合的表示除了上述两种方法以

外，还有文氏图法，即画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一

个集合，如下图所示： 3,9,27 表示{3，9，27} A

表示任意一个集合A 二、集合的分类观察下列三个集合的

元素个数 1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 2. {xR∣0

{xR∣x+1=0} 由此可以得到有限集:含有有限个元素的集合 集

合的分类无限集:含有无限个元素的集合 空集:不含有任何元素的集

合 (empty set) 3

典型例题【题型一】元素与集合的关系２1、设集合A＝｛１，｝,B=｛1,a｝,且A=B，求实数a的值。 2a 3２，2、

已知集合A＝｛a+2（a+1)｝若1∈A,求实数a的值。【题

型二】元素的特征61、已知集合M=｛x∈N∣∈Z｝,求M 1 x

巩固练习：一选择题： 1.给出下列四个关系式：①∈R；

②πQ；③0∈N；④0其中正确的个数是( ) 3 A.1

B.2

C.3

D.4 x y 3 2.方程组的解组成的集合是

A.｛2,1｝

B.｛-1,2｝

C.（2,1）

D.｛（2,1）｝

( ) x y 1

3.把集合｛-3≤x≤3,x∈N｝用列举法表示，正确的是( ) A.

｛3,2,1｝ B.｛3,2,1,0｝ C.｛-2,-1,0,1,2｝D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝

已知A＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是( ) 4.A．3∈A B．1∈A

C．0∈A D．－1?A 二填空题：25．已知集合A＝{1，a}，实数

a不能取的值的集合是________．6．已知P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，已知

集合P中恰有3个元素，则整数a＝________. 87. 集合M=｛y∈Z∣y=,x∈Z｝,用列举法表示是M＝。3 x2 8. 已知集合A＝｛2a,a-a｝，则a的取值范围是。三、解答题：29．已知集合A＝{x|ax－3x－4＝0，x∈R}．(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 4

1.1.2 集合间的基本关系基础知识点比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1），；A {1,2,3}B {1,2,3,4,5}（2），；C {北京一中高一一班全体女生}D {北京一中高一一班全体学生}观察可得：⒈子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合

B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。记作：读作：A包含于B，或B包含A A B(或B A)当集合A不包含于集合B时，记作A?B(或B?A) 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系： A 表示： A B B ⒉集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B 中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若，则。

A B且

B AA B 如：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，此时有A=B。 ⒊真子集定义：若集合，但存在元素，则称集合A是集合B 的真子集。 A Bx B,且x A 记作：A B（或B A）读作：A真包含于B（或B真包含A） 4.几个重要的结论：⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。 ⑵空集是任何非空集合的真子集；

⑶任何一个集合是它本身的子集；⑷对于集合A，B，C，如果，且，那

练习：填空：⑴2 N； N； A; {2}么。 A BB CA C

2⑵已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则 A B； A C； {2} C； 2 C 说明：⑴注意集合与元素是“属

于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；⑵在分

析有关集合问题时，要注意空集的地位。典型例题【题型１】集合

的子集问题 1.写出集合｛a,b,c｝的所有子集，并指出其中哪些是真子集，

哪些是非空的真子集。 2.已知集合M满足｛2,3｝M｛1,2,3,4,5｝求

满足条件的集合M。2xx3.已知集合A＝｛|x-2x-3=0｝,B=｛|ax=1｝，若BA，则实数a的值构成的集合是（）111A.｛-1,0,｝ B.｛-1,0｝ C.｛-1,｝ D.｛,0｝333 4.已知集合且，求实数m的取值范

围。 5

A BA x 2 x 5,

B x m 1 x 2m 1

巩固练习1、判断下列集合的关系. (1) N_____Z; (2) N_____Q; (3)

R_____Z; (4) R_____Q; 22 (5) A={x| (x-1)=0}，B={y|y-3y+2=0}; 2 (6)

A={1,3}，B={x|x-3x+2=0}; 2 (7) A={-1,1}，B={x|x-1=0}; 2、设A={0，1}，

B={-1,0,1,2,3}，问A与B什么关系？3、已知集合，≥，且满足，求实数

24、

的取值范围。a A B2}A {x|a x 5}B {x|x

a M NM xx x 6 0,N 若集合，且,求实数的值. x(x 2)(x a) 0

6

1.1.3 集合间的基本运算基础知识点考察下列集合，说

出集合C与集合A，B之间的关系： （1），；

B {2,4,6},

C 1,2,3,4,5,6A {1,3,5} （2），； B {xx是无理数},C xx

是实数A {xx是有理数}1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合

B的元素组成的集合，称为集合A与集合 B 的并集，即A与B的所有部

分，记作A∪B，读作：A并B 即A∪B={x|x∈A或x∈B}。 Venn

图表示：说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。讨论：

A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？ A∪A＝ , A∪Ф＝ , A∪B

B∪A A∪B＝A , A∪B＝B . 巩固练习（口答）：①．A

＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝; ②．设A＝{锐角三角形}，B＝

{钝角三角形}，则A∪B＝ ; ③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B

＝。 2.交集定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元

素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersection set），记作：A∩B

读作：A交B 即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} Venn图表示：（阴影

部分即为A与B的交集）常见的五种交集的情况：

B A B B A B A A A(B) 说明：当两个集合没有公共元素时，两个

集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集讨论：A∩B与A、B、

B∩A的关系？A∩A＝A∩＝A∩B B∩A A∩B＝A A∩B＝B 巩固练习（口答）：①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，

则A∩B＝; ②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝;

③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∩B＝。 3.一些特殊结论 B A

⑴若A,则A∩B=A；⑵若B,则AB=A； ⑶若A，B两集合中，B=，,则

A∩=, A=A。 7

典型例题【题型一】并集与交集的运算【例1】设A={x|-

1

1-2}，

B={x|x<3},求A∩B。解：在数轴上作出A、B对应部分如图 -2 3 A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2

3、设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∪B＝。

4、已知集合M＝{x|x-2<0},N={x|x+2>0},则M∩N等于。

5、设A＝｛不大于20的质数｝，B＝{x|x＝2n+1,n∈N*}，用列举法写出集合A∩B＝。2

6、若集合A＝｛1，3，x｝,B=｛1,x｝,A∪B＝｛1，3，x｝,则满足条件的实数

x=_____________ 7、满足条件M∪｛1｝＝｛1，2，3｝的集合M的个数是。8.已知集合A＝｛x|-1≤x≤2｝,B=｛x|2a＜x＜a+3｝,且满足A∩B＝，则实数a的取值范 围是。8

集合的基本运算㈡基础知识点思考1．U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。（一）. 全集、补集概念及性质：⒈全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

⒉补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有

元素组成的集合，叫作集合A相对于全集U的补集,

记作：，读作：A在U中的补集，即 CACA xx U,且x AU U Venn图

表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）UACA U说

明：补集的概念必须要有全集的限制讨论：集合A与之间有什么关

系？→借助Venn图分析 CAU ,A CA A CA ,UC(C)A AUUUU

巩固练习（口答）：①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，

CU ,C UUU

则= ，= ； CACBUU②．设U＝{x|x<8，且x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-

4)(x-5)＝0}，则＝； CAU③．设U＝{三角形}，A＝{锐角三角

形}，则＝。 CAU典型例题【题型1】求补集

【例1】．设全集， U xx是小于9的正整数,A 1，2，3，B 3，4，

5，6 求，．CACBUU 【例2】设全集，求，

CAU xx 4,集合A x 2 x 3,B x 3 x 3U ，。

（结论：）

A B,C(A B),(CA) (CB),(CA) (CB),C(A B)A BUUUUUU

22【例3】

C(A B) (CA) (CB),C(A B) (CA) (CB)UUUUUU

设全集U为R，，若

A xx px 12 0,

B xx 5x q 0 2,3,4(CA) B 2,A ( ) 4 ，求。（答案：）A BUU 2【例4】设全集U＝｛x|-1≤x≤3｝,A=

｛x|-1＜x＜3｝,B=｛x|x-2x-3=0｝,求，并且判CAU断和集合B的关系。

CAU 9

巩固练习 1.若S={2，3，4}，A={4，3}，则

CA=__________________；S2.若S={三角形}，B={锐角三角形}，

则CB=__________________-；S3.若S={1，2，4，8}，A=?，则

CA=___________；S24.若U={1，3，a+2a+1}，A={1，3}，

CA={5}，则a= ；U 5.已知全集U=R,集合A={x|0

CA=______________________; U6.已知集合M{4,7,8},且M中

至多有一个偶数,则这样的集合为__________________ 提高内

容：227.A={2，3，a+4a+2}，B={0，7，a+4a-2，2-a}，且AB

={3，7}，求B. 8.已知M={1}，N={1，2}，设A={（x，y）

|x∈M，y∈N}，B={（x，y）|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.

10

高一数学必修1集合单元综合练习（Ⅰ）一、

填空题(本大题包括14小题；每小题5分，满分70分) 1、U＝｛1，2，3，

4，5｝，若A∩B＝｛2｝，(CA)∩B＝｛4｝，(CA)∩(CB)＝｛1，5｝，则UUU下

列结论正确的是 .错误！未指定书签。①、3A且3B；②、3A

且3B；③、3A且3B；④、3A且3B。，则k的取值范围是

2、设集合M=｛x｜－1≤x＜2｝，N=｛x｜x－k≤0｝，若M∩N≠R｝，

3、已

知全集I=｛x｜xR｝，集合A=｛x｜x≤1或x≥3｝，集合B=｛x｜k＜x＜k＋1，

k且(CA)∩B＝，则实数k的取值范围是 I4、已知全集，，则为

U Z2A { 1,0,1,2},B {x|x x}A

CB U b 5、设，集合，则

，a b，a 0，，b a k1k16、设集合

b a a，b R 1

2442 ) 、

M=，则M N。(选填、、、{x|x ,k Z},N {x|x ,k Z}

＝、、 M N MN x 7、设集合, , 则A∩B=

、设和是两个

8

B x 0,x R x 3

A x4x 1 9,x R

集合，定义集合，如果，P Q x|x P

，且x QP x|logx 1

P Q2 ，

9、已知集合，．若，则

那么等于 Q x|x 2 1P Q

围是实数的取值范a2A B B xx 5x 4≥0A x|x a≤1 10、设集合S={A，A，A，A}，在S上定义运算为：AA=A，其中k为I+j

被4除 01231b的余数，I，j=0，1，2，3.满足关系式=(xx)A=A的

、集合，的取值范

x(x∈S)的个数为 20 11

围是 . bA x,y|y |x 2|,x 0,B x,y|y x b,A B

A 1,2

B 0,212、定义集合运算：.设,,则集合

A BA

B zz xy,x A,y B的所有元素之和为

且x 13、设集合N}的真子集的个数是．．．14、

A {x0 x 3

某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参

加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有____ 人。 11

二、解答题(本大题包括5小题；满分90分)解答时要有答题过

15、(13分)已知全集U=，若A=，，求实数的a，程！

16、(14分)若集合S=，T，

b b,2CA 522,3,a 2a 3U值。

求集合且S∩T=，P=S∪1T x|0 x a 3,x Z

P的所有子集

23,a

17、(16分)已知集合A=，B={x|2

元素；a 3A(2)0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，

再求出中的所有元素？a AAA(3)根据(1)(2)，你能得出什么结论

19、(14分)集合，，

222

a满

B x|x 5x 6 0A x|x ax a 19 0 2

C x|x 2x 8 0

足，求实数的值。 A B ,A C , 12

高一数学必修1集合单元综合练习（Ⅱ）一、

填空题(本大题包括14小题；每小题5分，满分70分) 1、集合{a，b，c }

、以下六个关系式：，，, , ，

的真子集共有个 2

00.3 Q 2 是空集中，错误的个数是

0 a,b b,a0 N0

x|x 2 0,x Z23、若，，用列举法表示 B B {x|x t,t A}A { 2,2,3,4}24、集合A={x| x+x-6=0}, B={x| ax+1=0},

若BA，则a=__________ 25、设全集U=，A=，

、集合，，

CA=，则= ，= 。52,bab2,3,a 2a 3U 6

或x 4A B 27、已知集

____________. A x|x 3

或x 3B x|x 1

8、50

合A={x|}, 若A∩R=，则实数m的取值范围是 x x m 0

名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化

学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都

做对的有人. 9、某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱

好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育

又爱好音乐的有人. y 210、设集合U={(x，y)|y=3x－1}，A={(x，

y)|=3}，则CA= . U x 12211、集合M=｛y∣y= x +1，x∈ R｝，N=

｛y∣ y=5- x，x∈ R｝，则M∪N= ．612、集合M={a| ∈N，且

a∈Z}，用列举法表示集合M=｛｝5 a213、已知集合至多有一

有一个元素，个元素，则的取值范围；若至少aA {x|ax 3x 2 0}

则的取值范围。a214、已知集合至多有一个元

素，若至少有一个元素，则的取值范围。 a二、A {x|ax 3x 2 0}

解答题(本大题包括5小题；满分90分)解答时要有答题过程！ 215、

若A是空集，求的取值范围；(15分)已知集合A= xax 3x 2 0,a R.a(1)

a(2)若A中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； a(3)若A中至

多只有一个元素，求的取值范围。 13

2216、(13分)已知全集U=R，集合A=

，试用列举法表示集合A。若xx px 2 0,B xx 5x q 0,

CA B 2U22217、(14分)设，其中，如果

，求实数的取值范围。

1)x a 1 0}

x RA {xx 4x 0},B {xx 2(a

a A B B22218、(16分)已知集合，，

(1)若，求实数a的

A {x|x 3x 2 0}

B {x|x 2(a 1)x (a 5) 0}

值；(2)若，求实数a的取值范围；A B AA B {2}219、

，且(14分)已知集合，B={x|2

满足，，求b、c的值。

C {x|x bx c 0}(A B) C (A B) C R 14