武汉大学量子力学真题
研究生2005吉林大学量子力学真题
2005年吉林大学硕士研究生入学试题 一、[25分] 一维线性谐振子 [222 1)(x m x V ω=] 初始时刻的状态为： )()(5 1)(52)0,(210x C x x x ???Ψ++=， 其中，)(x n ?为谐振子的正交归一化能量本征函数。 １）若在)0,(x Ψ态上测量能量的平均值为ω=2 3，试求系数C 。 ２）写出时刻振子的波函数，并求出此时测量能量的取值不小于平均 值的几率。 0>t ３）求时刻振子宇称的可取值、取值几率和平均值。 0>t 二、[25分] 在位场)0()()(00>=V x V x V δ中，质量为的粒子从m ∞?处向右运动，试问能量E 如何取值，粒子刚好能有一半的几率被反射回来？ 三、[25分] 已知力学量的本征值谱和正交归一化本征态矢系分别为和 Q ?}{n q }{|>n (，)。现有算符方程，其中"3,2,1=n 0≠n q >>=ψ?||?Q >ψ|为已知态矢。 １）在表象中求出态矢Q >?|的表达式。 ２）若以和分别表示投影到?P ?ψ P ?>?|和>ψ|上的投影算符，试求出它们在表象中的矩阵表示之间的关系。 Q ３）试给出算符的定义，并论证其合理性。 3/1?Q 四、[25分] 设一自旋粒子的能量算符为 2/1z y x S C S B S A H ????++= 其中A 、B 、C 均为实数。 １）求粒子的能量本征值和本征态矢。 ２）若粒子处在H ?的一个本征态上，求粒子自旋分量向上的几率。 y
五、[25分] 设两个质量为m 、自旋为的全同粒子通过位势 2/12212)4()(r b s s a r V ???=G G = 作用，其中r 为两粒子间距离，1s G 和2s G 分别为两粒子的自旋算符，a 为大于 零的实数。 １）为使两粒子束缚在一起，b 应如何取值？ ２）若取，试求基态能量和简并度。 2/3=b ３）若0=b ，求处于基态时两粒子间距离的均方根。 六、[25分] 设体系能量算符为 且有 ,'???0H H H +=,||?)0(0 >>=i E i H i ,|ij j i δ>=<);2,1(=i ;2|1|1|'?>+>>=b a H 、b 均为实数，且为小量。 ,2|1|2|'?>?>>=a b H a １） 若，求体系能级至二级近似，并求出一级近似态矢量。 )0(2)0(1 E E ≠２） 若，求体系能级至一级近似，并求出零级近似态矢量。 )0(2)0(1E E =
武汉大学量子力学2013年期末试卷
武汉大学物理科学与技术学院2012－2013(二) 《量子力学》课程期末考试试题A卷 学号： 姓名： 专业： 得分： 一、单选题 每题 分，共 分 由氢原子理论知，当大量氢原子处于 的激发态时，原子跃迁将发出（ ）。 一种波长的光 两种波长的光 三种波长的光 连续光谱 根据玻尔氢原子理论，巴耳末线系中谱线最小波长与最大波长之比为（ ）。 下列各组量子数中，可以描述原子中电子的状态的一项是（ ）。 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 一价金属钠原子，核外共有 个电子。当钠原子处于基态时，根据泡利不相容原理，其价电子可能取的量子态总数为（ ）。 下列哪种论述不是定态的特点（ ）
几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化 几率流密度矢量不随时间变化 任何力学量的平均值都不随时间变化 定态波函数描述的体系一定具有确定的能量 在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的（ ） 能量是量子化的，而动量是连续变化的 能量和动量都是量子化的 能量和动量都是连续变化的 能量连续变化而动量是量子化的 在极坐标系下 氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为（ ） 在极坐标系下 氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为（ ） 和 是厄密算符 则（ ） 必为厄密算符 ? 必为厄密算符 必为厄密算符 ? 必为厄密算符 氢原子能级的特点是（ ） 相邻两能级间距随量子数的增大而增大 能级的绝对值随量子数的增大而增大 能级随量子数的增大而减小 dr r r R D rdr r R C r r R B r r R A nl nl nl nl 2 2 2 2 2 2 ) ( . ) ( . ) ( . ) ( .
吉林大学高等量子力学习题答案共11页word资料
高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符
()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h
高等量子力学考试知识点
1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v 7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符 1. 导语也成前言、导言，通常在学位论文或篇幅较长的论文中出现，导语应明确交待该领域的学术史，不能闭门造、车自说自话。下列哪个选项不属于导语基本要素 A. 研究方法 B. 研究的价值 C. 研究的计划 D. 研究所用材料的来源 2. 中国科协的一项调查发现，38.6%的科技工作者自认为对科研道德和学术规范缺乏足够了解，49.6%的科技工作者表示自己没有系统的了解和学习过科研道德和学术规范。这种现象所反映出在科学道德和学风问题中应该( ) A. 坚持教育引导 B. 加强制度规范 C. 强化监督约束 D. 坚持自我反省 3. 引文应当是作者在撰写论著时确实参考或引用过的文献，如果为了给人一种阅读了大量文献资料、研究基础扎实的印象，而故意在论著中加入大量实际没有参考或引用过的、或者与本文论题根本不相干的文献，做不相关引用、无效引用。这种行为属于 A. 过度他引 B. 不当自引 C. 模糊引注 D. 著而不引 4. 在合作研究中，故意隐瞒应共享的信息，不提供相关数据和资源等。根据相关加强科研规范的措施和意见，这种行为违反了科研人员须遵守科研规范中的( ) A. 诚实原则 B. 公开原则 C. 公正原则 D. 尊重知识产权 5. 1964年，新疆的一位年轻人郝天护给时任中国科学院力学研究所所长钱学森写信，指出钱学森近期发表的一边力学论文中有一处需要商榷，钱学森当时在力学界已是绝对权威，但收到来信后，不仅亲笔回信，承认了自己的错误，更鼓励郝天护将自己的观点写成文章，并推荐发表在《力学学报上》，这体现出钱学森作为一名合格科技工作者的( ) A. 严谨作风 B. 诚信品行 C. 责任意识 D. 人文素养 6. 解决科学道德和学风问题，关键在于抓好教育、制度和监督三个环节教育是( )，制度是( )监督是( )，惩防结合、标本兼治。 A. 基础关键保障 B. 基础保障关键 C. 核心手段保证 D. 手段保证核心 7. 科研规范是基于科研道德和科学共同体共识的，具有稳定性、连续性的规制和安排，因而具有文化的意义，要求研究者自觉遵守和共同维护。下列（不属于：题干错误）属于当代科技工作者应该坚持的规范是 A. 诚实原则B. 不伤害原则 C. 公正原则 D. 尊重原则 8.在一般学术性期刊中对于署名和单位地址下列描述不正确的是( ) A. 一个作者下写一个地址 B. 如果换了新地址，则应在脚注中写上新地址 C. 必须提供邮政编码 D. 必须提供作者全名，不可隐名发表 9. 学界公认的科研规范中，规定在保守国家秘密和保护知识产权的前提下，公开科研过程和结果相关信息，追求科研活动社会效益最大化。这条原则属于当代科研工作者应该坚持的 A. 公开原则 B. 诚实原则 C. 尊重知识产权原则 D. 声明与回避原则 10. 一搞多投是指同一作者，在法定或约定的禁止再投期间，或者在期限以外获知自己作品将要发表或已经发表，在期刊编辑和审稿人不知情的情况下，试图或已经在两种或多种期刊同时或相继发表内容相同或相近的论文。一稿多投的行为是严格被学界所禁止的行为。下列属于一稿多投行为的是 A. 不尊重科学和实验结果 B. 拼凑数据 C. 不尊重他人学术思想、学术观点 D. 将他人的论文翻译成外文发表在国际学术刊物上 11. 任鸿隽先生于1916 年在“科学精神论”一文中首次明确提出科学精神的概念“科学精神者何？求真理是已。”美国著名学者莱科维茨将科学精神概括为激情（enthusiasm）、创造性和诚信三个方面。可见，科学精神是在长期的科学实践活动中形成的、贯穿于科研活动全过程的共同信念、价值、态度和行为规范的总称。下列不属于科学精神的内涵的是 A. 求真精神 B. 理性的怀疑精神 C. 民主精神 D. 激情状态 12. 病态科学是科学研究者被其主观性错误所自我欺骗而导致的“科学式”的研究。在一定意义上看，病态科学实属科学的常态。下列情况不属于病态科学的是 A. 主观期望的科学 B. 一厢情愿的科学 C. 独断论式的科学 D. 伪科学 量子力学知识精要与真题详解，益星学习网可免费下载题库 目录 第一章量子力学的诞生 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第二章波函数与Schr?dinger方程 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第三章一维定态问题 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第四章力学量用算符表达与表象变换 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第五章力学量随时间的演化与对称性 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第六章中心力场 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第七章粒子在电磁场中的运动 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第八章自旋 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第九章力学量本征值问题的代数解法 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第十章定态问题的常用近似方法 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第十一章量子跃迁 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第十二章散射 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 附录 1．南京大学2008年《量子力学》考研试题与答案2．浙江大学2009年《量子力学》考研试题与答案3．武汉大学2007年《量子力学》考研试题与答案4．吉林大学2009年《量子力学》考研试题与答案5．北京师范大学2009年《量子力学》考研试题与答案6．西安交通大学2006年《量子力学》考研试题与答案 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2 武汉大学研究生入学考试量子力学试题选解 5.全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系 的状态。 一． 计算题（20分×4题） 1.粒子以能量E 由左向右对阶梯势 ???><-=0,00 ,)(0 x x U x U 入射，求透射系数。讨论如下三种情况： （1）－U0 令： η2 01) (2U E k += μ， η222E k μ= 可将上述方程简化为： 一般解可写为： 考虑到没有从右向左的入射波，B ’＝0 由波函数连接条件，有： 解得： ???????+=+-='A k k k B A k k k k A 21121212 据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数 和透射系数 满足 R+D ＝1 可见，尽管E>0，但仍有粒子被反射。 ⑶ E>0,粒子从右向左入射 仿⑵，有 但 B ’为入射波系数，B 为反射波系数，A ’为透射波系数，A ＝0. 由波函数的标准条件，有 解得： 据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数 和透射系数 满足 R+D ＝1 可见，仍有粒子被反射。 2.一维谐振子在 t ＝0 时处于归一化波函数 )()(51 )(21)0,(420x C x x x φφφψ++= 所描述的态中，式中 ) (),(),(420x x x φφφ均为一维谐振子的归一化定态波函 数，求： 武汉大学物理科学与技术学院2012－2013(二) 《量子力学》课程期末考试试题A 卷 学号： 姓名： 专业： 得分： 一、单选题(每题2分，共50分) 1. 由氢原子理论知，当大量氢原子处于n=3的激发态时，原子跃迁将发出 （ ）。 A.一种波长的光 B.两种波长的光 C.三种波长的光 D.连续光谱 2. 根据玻尔氢原子理论，巴耳末线系中谱线最小波长与最大波长之比为 （ ）。 A. 5/9 B. 4/9 C. 7/9 D. 2/9 3. 下列各组量子数中，可以描述原子中电子的状态的一项是（ ）。 A. n=2，l=2，ml = 0， ms = 1/2 B. n=3，l=1，ml = -1，ms = -1/2 C. n=1，l=2，ml = 1， ms = 1/2 D. n=1，l=0，ml = 1， ms = -1/2 4. 一价金属钠原子，核外共有11个电子。当钠原子处于基态时，根据泡利不相 容原理，其价电子可能取的量子态总数为（ ）。 A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 5. 下列哪种论述不是定态的特点（ ） A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化. B.几率流密度矢量不随时间变化. C.任何力学量的平均值都不随时间变化. D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量. 6. 在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的（ ） A.能量是量子化的，而动量是连续变化的. B.能量和动量都是量子化的. C.能量和动量都是连续变化的. D.能量连续变化而动量是量子化的. 7. 在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为（ ） 8. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为（ ） 9. F 和G 是厄密算符,则（ ） dr r r R D rdr r R C r r R B r r R A nl nl nl nl 2222 22)(.)(.)(.)(. 2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令 ,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞ ∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成 由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中 其解为 由在右边波函数的有界性得为零 ∴ 再由连续性条件，即由 得 则 得 得 除以得 再由公式 ,注意到 令 , 学号: 姓名: 专业： 得分: 《量子力学》课程期末考试试题 A 卷 一、单选题（每题2分，共50分） 1. 由氢原子理论知，当大量氢原子处于 n=3的激发态时，原子跃迁将发出 （C ）。 A. 一种波长的光 B.两种波长的光 C.三种波长的光 D.连续光谱 2. 根据玻尔氢原子理论，巴耳末线系中谱线最小波长与最大波长之比为 （A ）。 A. 5/9 B. 4/9 C. 7/9 D. 2/9 3. 下列各组量子数中，可以描述原子中电子的状态的一项是（ B ）。 A. n=2 ，l=2，ml = =0， ms = :1/2 B. n=3 ，l=1，ml =-1， ms : =-1/ 2 C. n=1，l=2，ml = =1， ms = :1/2 D. n=1，l=0，ml = =1， ms = :-1/ 2 4. 一价金属钠原子，核外共有11个电子。当钠原子处于基态时，根据泡利不相 容原理，其价电子可能取的量子态总数为（ D ）。 A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 5. 下列哪种论述不是定态的特点（C ） A. 几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化. B. 几率流密度矢量不随时间变化. C. 任何力学量的平均值都不随时间变化. D. 定态波函数描述的体系一定具有确定的能量. 6. 在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的（ D ） A. 能量是量子化的，而动量是连续变化的. B. 能量和动量都是量子化的. C. 能量和动量都是连续变化的. D. 能量连续变化而动量是量子化的. 7. 在极坐标系下，氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为（D ） A. R ；（r ）r B. R ；（r ）r 2 2 2 2 C. R nl （r ）rdr D. R nl （r ）r dr 8. 在极坐标系下，氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为（D ） A 薦B 心（比卅.0几3冲）心 隊（％）「心 高等量子力学复习 主讲老师：张盈 记录整理：王宏辉 开始第一节课我们告诉大家了，什么是高等量子学，它和普通量子学的一个区别。其实按理说这门课学完，我们应该回过头来想一想，为什么？至少你可以通过描述一个问题来回答清楚，比如说量子力学适用于研究怎样的对象？ 这个问题并不是那么好回答，不能简单的说低速的就可以，微观的就行，不是这么简单。那么它有几个层次。 一个就是量子力学和薛定谔方程实际上是不一样，不能把薛定谔方程适用的对象看成是量子力学的对象。这个我给大家说过吧，因为你像狄拉克方程啊，克莱因-戈登方程都属于量子力学。所以量子力学适用于研究的对象是量子力学搭建的这个理论构架所适用研究的对象。这是我们说的第一个层次，你要区分量子力学和薛定谔方程。 第二个层次，你要从量子力学的基本原理，或者说薛定谔方程里面，其他的方面看出来，它适用研究的对象，为什么具有这个特点。也就是说，你说它适用于微观，我们从薛定谔方程或者狄拉克方程里面，怎么能看出来它适用微观。你说它适用于也就是这种粒子数不变的体系，你要能说明这一点，这个方程的体系里面，要能把这些东西对应上。这是第二个层次。 所以回答这个问题的时候应该是站在高等量子的高度，从你们学过的这个课程的基础之上来回答，不再是像以前那个量子力学低速微观OK。简单是这样子。所以这个问题有时候蛮复杂的。 首先我们说这门课的时候，你要理清几个大块，也就是我们这几章。 在第一个大章里面，我们给大家介绍的是量子力学的一个理论的构架。在这个理论构架里面，我们先给大家讲了三条基本假设，大家还能举起来吗？第一条：态，就是关于希尔伯特空间的。第二条：厄米算符是力学量的候选者，第三条：统计解释。 那么我们一个一个来回顾一下。 第一条假设，物理的状态对应希尔伯特空间中的一个矢量，更准确的说，实 原 子 物 理 期 末 试 题 （物理学院 本科2010级用，试题共 3页。时间2.5小时。卷面共计 100 分。） 姓名 学号 班级 一、填空。答案按序写在答题纸上，答案字数与空格长度无关（每空1分，共20分） 1 用动能为E 的 α 粒子轰击 位置固定的92Zr 52 原子核，则二者之间可达到的 最短距离a=________；若E 过大致使a 小于核半径，则可能会导致________。 2 若Li 2+ 的某状态可通过释放108.8 eV 的能量而回到Li 2+ 的基态。则该状态的结合能为________ eV 、玻尔半径为_______?。 3 原子光谱＿＿＿＿特征和1914年＿＿＿＿实验都说明了原子能级的存在。 4 本课程中所学到的________、_______、______都说明电子自旋的存在。 5氢原子的 n=4 玻尔能级 在考虑精细结构后 将分裂为______个能级，其中 有____对 能级是简并的。(不考虑兰姆移动) 6相同波长的入射光子与质子、电子分别发生康普顿效应。在相同的散射角上,入射光子与____发生康普顿效应时,散射光子的波长更长。 7 根据量子力学，氢原子基态时的电子云呈现______形状。 8 自由粒子波函数 )](exp[0Et r p i -?ψ=ψ→→ 。能量E 对应的算符为_____。 9根据玻恩对波函数的统计解释，ψψ* 代表________。 10 ps 电子发生jj 耦合，生成的原子态中，J 值最大的原子态为_______。 11只考虑基态，随原子序数增加，当 Z=____时，3d 支壳层首次被电子占据；当Z=_____时，3d 支壳层被首次占满。 12质量为m 的微粒被限制在线度为L 的一维盒中，则利用海森堡不确定关系可知其动能最小值约为____。 13 只考虑1个价电子的激发，碱金属原子朗德g 因子的最小值为______。 学供习参考Q 研究生课程教学大纲 高等量子力学 一、课程编码：21-070200-B01-17 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理学，工学 三、先修课程：数理方法，理论力学，电动力学，量子力学，热力学统计物理 四、教学目标 通过本课程的学习，使研究生掌握希尔伯特空间，量子力学基本理论框架，了解狄拉克 方程，量子力学中的对称性与守恒定律，二次量子化等理论知识，提升在微观体系中运用量 子力学的基本能力。 五、教学方式：课堂讲授 六、主要内容及学时分配 1 希尔伯特空间10学时 1.1 矢量空间 1.2 算符 1.3 本征矢量和本征值 1.4 表象理论 1.5 矢量空间的直和与直积 2 量子力学基本理论框架20学时 2.1 量子力学基本原理 2.2 位置表象和动量表象 2.3 角动量算符和角动量表象 2.4 运动方程 2.5 谐振子的相干态 2.6 密度算符 3 狄拉克方程 6学时 4 量子力学中的对称性 5学时 5 角动量理论简介 5学时 6 二次量子化方法16学时 6.1 二次量子化 6.2 费米子 6.3 玻色子 复习 2学时七、考核与成绩评定：以百分制衡量。 成绩评定依据: 平时作业成绩占30%，期末笔试成绩占70%。 八、参考书及学生必读参考资料 1. 喀兴林，《高等量子力学》，.[M]北京：高等教育出版社，2001 2. Franz Schwabl,《Advanced Quantum Mechanics》，.[M]北京：世界图书出版公司：2012 3. 曾谨言，《量子力学》，.[M]北京：科学出版社：第五版2014或第四版2007 4. https://www.360docs.net/doc/256125407.html,ndau, M.E.Lifshitz，《Quantum Mechanics (Non-reativistic Theory)》，.[M]北京：世界 图书出版公司：1999 5. 倪光炯，《高等量子力学》，. [M]上海：复旦大学出版社：2005 九、大纲撰写人：曾天海 《高等量子力学》课程教学大纲 一、课程名称（中英文） 中文名称：高等量子力学 英文名称：Advanced Quantum Mechanics 二、课程代码及性质 课程编码： 课程性质：学科(大类)专业选修课/选修 三、学时与学分 总学时：64（理论学时：64学时） 学分：4 四、先修课程 先修课程：无 五、授课对象 本课程面向物理学各专业学生开设 六、课程教学目的（对学生知识、能力、素质培养的贡献和作用） 量子力学理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。 本课程是物理学专业本科课程《量子力学》的后续课程，用以弥补量子力学课程与学生实际进入科研前沿之间的知识鸿沟。其内容分为两部分：第一部分是在量子力学课程的基础上归纳阐述量子力学的基本原理（公设）及表述形式。第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。在分析清楚各类基本应用问题的物理内容基础上，掌 握量子力学对一些基本问题的处理方法。 课程的教学目的是使得学生掌握微观粒子的运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方法，掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理，并了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。 七、教学重点与难点： 课程重点：本课程所讲授的内容均为学生从事前沿科学研究所必备，因此所有内容均为重点 课程难点：本课程所讲授的内容抽象程度较高，理论推导计算量大，因此所有内容均为难点 八、教学方法与手段： 教学方法：采用课堂讲授、讨论、习题等多种授课形式相结合的教学新模式。课堂讲授基本概念、基本原理，通过讨论课加深学生对基本内容的理解，通过习题课提高学生运用基本理论分析问题、解决问题的能力。 教学手段：采用多媒体与板书相结合的教学手段，传统授课手段与现代教育技术手段相互取长补短，相得益彰。特别的，将Mathematica 和Matlab等计算软件引入本课程的教学，以实现抽象复杂的数学物理问题的直观展现，提高学生的学习兴趣。重要理论推导采用板书与多媒体相结合的手段，以形成师生的良好互动。 九、教学内容与学时安排 （一）量子力学的公理体系（教师课堂教学6小时+ 学生课后学习12小时） 教学内容：Hilbert空间、左矢、右矢、算符矩阵表示与表象变换 第六章 表象理论 （习题） 1． 应用δ-函数的性质，证明傅立叶变化的两个定理：如果 ()()ikx f x g k e dx ∞ -∞ = 则 （1 ）()()ikx g k f x e dx ∞ --∞ = ? （2） 2 2 ()()g k dk f x dx ∞ ∞ -∞ -∞ =? ? 2．试求“波包”函数()x ψ的傅立叶变换()F k 。()x ψ定义为 ()2ikx d ae x x ψ?≤≤?=???d 当-20 其它情形 3．?x e 是由坐标x 构成的算符，写出它在坐标、动量表象中的表示式。 4．求线谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。 5．求在动量表象中线性谐振子能量本征函数。 6．求三维各向同性谐振子在动量表象中的能量本征值和本征函数。 7．设粒子在周期场0()cos V x V bx =中运动，写出它在p 表象中的薛定格方程。 8．一个电子被限制在一块电介质（无限大）平面的上方（0x ≥）运动，介质的介电常数为ε，不可穿透。 按电象法可求出静电势能为()V x a α =-，其中2(1) 04(1)e e e α-=>+。 设在动量表象中求电子的能级（0E <）。 9．用动量表象计算粒子（能量0E >）对于δ势垒0()()V x V x δ=的透射几率。 10．粒子处于δ势阱0()()V x V x δ=-（ 00V >）中。用动量表象中的薛定格方程求解其束缚态的能量本征值及相应的本征函数。 11．求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式，然后算出2x p 。用在坐标表象中氢原子波函数算出2 x ，验证测不准关系。 12．已知线谐振子哈密顿量2 221??22 p H m x m ω=+的本征方程为?||n H n E n >=>，计算 （1） ?||m x n <>； （2） 2 ?||m x n <>； 量子计算机中的量子力学 ——量子力学理论在现代科技中的应用 06级物理学2班 张洪（40606085） 从1946年第一台计算机诞生以来，其在冯·诺依曼体系结构上已经走过了60余年，其采用Alan Turing 于1936年提出的图灵机模型为计算模型。但随着科学的不断发展，以及计算机制造工艺的不断进步，计算机的尺寸也越来越小，其集成度也越来越高。按照摩尔定律，计算机芯片的集成度不久将达到原子分子量级，但是当电子器件小到原子分子量级的时候，这便受到了量子效应的干扰，这便把量子力学引入了计算机。物理学家Feynman 于1982年提出量子计算机的概念，并指出量子计算机在速度上对于传统计算机可能有本质的超越。 所谓量子计算机，是指利用处于多现实态下的原子进行运算的计算机。某种条件下，原子世界存在着多现实态，即原子和亚原子粒子可以同时存在于此处和彼处，可以同时表现出高速和低速，可以同时向上和向下运动。如果用这些不同原子状态分别代表不同的数字或数据，就可以利用一组具有不同潜在状态组合的原子，在同一时间对某一问题的所有答案进行探寻，就可以使代表正确答案的组合快速脱颖而出。 量子计算机的存储原理 传统计算机信息系统采用物理上最容易实现的二进制数据位存储数据或程序，每一个二进制数据位由0或1表示，成为一个比特（bit ）或位，以其作为最小的信息单元。在传统计算机中，每一个数据位要么是0，要么是1，二者必取其一。而量子计算机是根据物理系统的量子力学性质和规律执行计算任务的装置，其计算方式是量子计算。在量子计算机中，量子位（量子计算机的数据位）可以是0或者1，也可以是0和1的任何线性叠加它以一定的概率存在于0和1之间。 为了便于量子系统的表示和运算，狄拉克提出用符号|x>来表示量子态，|x>是一个列向量，称为右矢；其共轭转置用 武汉大学物理科学与技术学院2012－2013(一) 《量子力学》课程期末考试试题A 卷 学号： 姓名： 专业： 得分： 1. Only one of the four selections is correct for every problem, please choose it. (3 points every one, total 36 points) (1). A particle, is in a combination of stationary states: ()∑=n n n t x c t x ),(,ψψ,what will we get if we measure its energy?( ) A. H B. ∑n n n E c C. one of the values of {}n E D. ∑n n E (2). A particle, is in a combination of stationary states: ()∑=n n n t x c t x ),(,ψψ, What is the probability of measuring the energy n E ?( ) A. n c B. ∑n n n c c C. 2n c D. ∑m m n c c 2 2 (3). How many terms are in the Schr?dinger equation?( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (4). A particle emits a certain radiation of energy E with a band width E ?. What can we say about its characteristic emission time?( ) A. Emission time is a least 2ηE E ? B. Emission time is a most 2 ηE E ? C. Emission time is a least E ?2η D. Emission time is a most E ?2η (5). Which one of the following quantities could not physically correspond to a spherical harmonic?( ) A. ()?θ,ll Y B. ()?θ,1,+-l l Y C. ()?θ,1,+l l Y D. ()?θ,1,2Y 吉林大学物理学院期末考试 《量子力学》试题（2013年） （试题共100分，考试时间2.5小时） 一、简答题（40分） 1、设r 为球坐标系下的径向坐标，在坐标表象下定义两个算符r A ≡?和?r B i ??≡ ，试推导A ?和B ?算符的厄米共轭算符。 2、设某一维微观粒子处于势场()V x 中，该体系具有分立的本征能谱n E (0,1,)n = ，相应的本征态矢记为n 。已知在0t =时刻，该粒子的状态 为 (0)02ψ= ，试给出()t ψ在能量表象中的表达式。 3、两个自旋为1/2的一维全同粒子同处于谐振子势场2221)(x m x V ω=中，若不计两个粒子之间的相互作用，分析该体系第一激发态的简并度，并写出相应的波函数。 4、以Gaussian 函数2 )()(bx e b A x -=ψ作为试探波函数，b 为变分参数，利用变分法求一维谐振子的基态能量。 5、对于氢原子，当仅考虑电子与核之间的库仑相互作用时，其电子态有严格的本征解，求库仑势能r e x V 2 )(-=在本征态上的期望值。 二、（14分）质量为m 的一维微观粒子处于如下半壁有限深方势阱 中，其中0V 为常数。若该粒子具有一个20V E = 的能级，试计算阱宽a 的大小。 三、（12分）设()V r 为某微观粒子所处的三维势场，?P 为该粒子的动量算符，定义算符 ??()Q V r P ≡?? ，分析?Q 是否为厄米算符。 四、（14分）设两个自旋为1/2的粒子组成一个二粒子体系，其哈密顿量为 1212 ?()z z H A B σσ=++?σσ 其中，1σ和2σ分别为粒子1和粒子2的泡利矩阵，1z σ和2z σ分别为1σ和2σ的z 分量， A 和 B 均为常数。求该体系的本征能量。 五、（20分）y x -平面内的二维微观粒子被限制在边长为a 的正方形区域内运动，其势场描述为 0,0(),,0x a V x x a x ≤≤?=?∞>?2018吉林大学《科学道德与学术规范》
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