垂径定理练习题

一．选择题（共7小题）

1．（2014?凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为．cm cm C cm或cm D．cm或cm 2．（2014?舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）

3．（2014?毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）

4．（2014?三明）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）

5．（2014?南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）

6．（2014?安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P 是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）

．

7．（2014?沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（）

二．解答题（共7小题）

8．（2014?佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．

9．（2014?盘锦三模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，

（1）求AB的长；

（2）求⊙O的半径．

10．（2009?长宁区二模）如图，点C在⊙O的弦AB上，CO⊥AO，延长CO交⊙O于D．弦DE⊥AB，交AO于F．

（1）求证：OC=OF；

（2）求证：AB=DE．

11．（2009?浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．

（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；

（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．

12．（2008?长宁区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知∠A=∠ABO，连接OE、OF、OB．

（1）求证：四边形AEOF为菱形；

（2）若BO平分∠ABC，求证：BE=BC．

13．（2007?佛山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．

14．（2007?青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，如AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）

1．（2014?凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为．cm cm C cm或cm D．cm或cm

AM=×

OM==3cm

==4

==2cm

2．（2014?舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）

3．（2014?毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）

AB=12

OC=

4．（2014?三明）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）

=，

5．（2014?南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）

OM===60cm

6．（2014?安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P 是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）

．

BON=∠AON=

=OA=，

．

7．（2014?沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（）

二．解答题（共7小题）

8．（2014?佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．

AE=BE=

AB=

==3cm

9．（2014?盘锦三模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，（1）求AB的长；

（2）求⊙O的半径．

=，故可得出∠C=∠

C=∠

，

；

，

CE=BE=BC=

10．（2009?长宁区二模）如图，点C在⊙O的弦AB上，CO⊥AO，延长CO交⊙O于D．弦DE⊥AB，交AO于F．

（1）求证：OC=OF；

（2）求证：AB=DE．

11．（2009?浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．

（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；

（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．

AB=×

==0.4

12．（2008?长宁区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知∠A=∠ABO，连接OE、OF、OB．

（1）求证：四边形AEOF为菱形；

（2）若BO平分∠ABC，求证：BE=BC．

13．（2007?佛山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．

CD=

垂径定理最新中考试题讲解

垂径定理最新中考试题讲解垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例 1 （2015?衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m ，水面宽AB=1.2m ，某天下雨后，水管水面上升了0.2m ，则此时排水管水面宽CD 等于 m ．考点垂径定理的应用；勾股定理分析先根据勾股定理求出OE 的长，再根据垂径定理求出CF 的长，即可得出结论解：如图： ∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m ，∴AE=0.8m，∵水管水面上升了0.2m ，∴AF=0.8﹣0.2=0.6m ， ∴CF= m ，∴CD=1.6m．故答案为：1.6． B D

点评：本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键例2 （2015?遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 考点：垂径定理；勾股定理．. 分析：连接OA，先利用垂径定理得出AC的长，再由勾股定理得出OC的长即可解答．解：连接OA， ∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=AB=×6=3cm， ∵⊙O的半径为5cm，∴OC===4cm，故选B．点评：本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．例3 (2015·贵州六盘水，第18题4分)赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙。如图10，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝米．考点：垂径定理的应用；勾股定理．.分析：根据垂径定理和勾股定理求解即可．

中考数学专题模型—【专题2】垂径定理的模型研究(教师版)

【专题2】垂径定理的性质与运用【回归概念】垂径定理：垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如图，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD=半圆CBD。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为知二推三。1.平分弦所对的优弧；2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）；3.平分弦（不是直径）；4.垂直于弦；5.过圆心。【规律探索】 1.垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用； 2.圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线； 3.垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个。方法：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出第三个．【典例解析】： ①用垂径定理求点的坐标【例题1】（2019?山东威海?3分）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（） A133B．23C．2D．2+2

【思路导引】连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，根据圆周角定理得到∠APB ＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB ＝∠PBA ＝30°，由垂径定理得到AD ＝BD ＝3，解直角三角形得到PD ＝3，PA ＝PB ＝PC ＝23，根据勾股定理得到CE ＝2 2 PC PE -＝124-＝22，于是得到结论．【解答】解：连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ， ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°， ∵PA ＝PB ， ∴∠PAB ＝∠PBA ＝30°， ∵A （﹣5，0），B （1，0）， ∴AB ＝6， ∴AD ＝BD ＝3， ∴PD ＝3，PA ＝PB ＝PC ＝23， ∵PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，∠AOC ＝90°， ∴四边形PEOD 是矩形， ∴OE ＝PD ＝3，PE ＝OD ＝2， ∴CE ＝2 2 PC PE -＝124-＝22， ∴OC ＝CE+OE ＝22+3， ∴点C 的纵坐标为22+3，故选：B ． ②巧用垂径定理解决最值问题(对称思想) 【例题2】如图，AB ，CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为直线EF 上的任意一点，求PA ＋PC 的最小值．

垂径定理及推论(各省市中考题)

E A B C O 1. (2013 浙江省舟山市) 如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为（ ▲ ）（A ）215 （B ）8 （C ）210 （D ）213 答案：D 4.2 垂径定理及推论选择题基础知识 2013-09-29 2. (2013 浙江省温州市) 如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB =4，OC =1，则OB 的长是（A ） 3 （B ） 5 （C ）15 （D ） 17 答案：B 4.2 垂径定理及推论选择题基础知识 2013-09-24 3. (2013 湖北省宜昌市) 如图，DC 是O ⊙的直径，弦AB CD ⊥于F ，连接BC DB ，．则下列结论错误．．的是（）．（A ）? ?AD BD = （B ）AF BF = （C ）OF CF = （D ）90DBC ∠=°

答案：C 4.2 垂径定理及推论选择题基本技能 2013-09-22 4. (2013 湖北省襄阳市) 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，其中水面的宽AB 为0.8m ，则排水管内水的深度为 m. 答案：0.2 4.2 垂径定理及推论填空题基本技能 2013-09-22 5. (2013 湖北省黄石市) 如右图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，3AC =，4BC =，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点 D ，则AD 的长为 A. 95 B. 245 C. 185 D. 52 C A D B

垂径定理练习题及答案

垂径定理一.选择题 ★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 答案：D ★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：B ★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41 答案：C ★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位答案：B ★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（） A ． B ． C ． D ．

答案：D ★★6．下列命题中，正确的是（） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案：D ★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A．5米 B．8米 C．7米 D．53米答案：B ★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm 答案：D ★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( ) A．2 B．8 C．2或8 D．3 答案：C 二.填空题 ★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm ★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm 答案：3 cm ★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于答案：6 ★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm ★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD ＝厘米

初中数学垂径定理中考题精选

初中数学垂径定理练习一．选择题（共13小题） 1．（2015?大庆模拟）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（） A．cm B．9 cm C．cm D．cm 2．（2015?东河区一模）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形的ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（） A．6B．13 C．D．2 3．（2015?上城区一模）一张圆心角为45°的扇形纸板和一张圆形纸板分别剪成两个大小相同的长方形，若长方形长和宽的比值为2：1，则扇形纸板和圆形纸板的半径之比为（） A．2：1 B．：1 C．2：1 D．：1 4．（2014?乌鲁木齐）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA 最大时，PA的长等于（） A．B．C．3D．2 5．（2014?安溪县校级二模）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）

A．点P B．点Q C．点R D．点M 6．（2014?简阳市模拟）如图，⊙O的半径为5，若OP=3，则经过点P的弦长可能是（） A．3B．6C．9D．12 7．（2014?宝安区二模）如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与AB垂直的半径OC交于点D且CD=2OD，则折痕AB的长为（） A．B．C．6D． 8．（2014?河北区三模）如图，以（3，0）为圆心作⊙A，⊙A与y轴交于点B（0，2），与x轴交于C、D，P为⊙A上不同于C、D的任意一点，连接PC、PD，过A点分别作AE⊥PC 于E，AF⊥PD于F．设点P的横坐标为x，AE2+AF2=y．当P点在⊙A上顺时针从点C运到点D的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象是（）

垂径定理及推论(2020年各省市中考题)

1. (2013 浙江省舟山市) 如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为（ ▲ ）（A ）2 （B ）8 （C ）2 （D ）答案：D 07539 4.2 垂径定理及推论选择题基础知识 2013-09-29 2. (2013 浙江省温州市) 如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB =4，OC =1，则OB 的长是（A ） 3 （B ） 5 （C ）15 （D ） 17 答案：B 6232 4.2 垂径定理及推论选择题基础知识 2013-09-24 3. (2013 湖北省宜昌市) 如图，DC 是O ⊙的直径，弦AB CD ⊥于F ，连接BC DB ，．则下列结论错误．．的是（）．（A ）??AD BD = （B ）AF BF = （C ）OF CF = （D ）90DBC ∠=° 答案：C 7704 4.2 垂径定理及推论选择题基本技能 2013-09-22 4. (2013 湖北省襄阳市) 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，其中水面的宽AB 为0.8m ，则排水管内水的深度为 m. 答案：0.2 59477 4.2 垂径定理及推论填空题基本技能 2013-09-22 5. (2013 湖北省黄石市) 如右图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 A. 9 B. 24 C. 185 D. 52 答案：C 84700 4.2 垂径定理及推论选择题基础知识 2013-09-22 6. (2013 湖北省黄冈市) 如图，M 是CD 的中点，EM CD ⊥，若48CD EM ==，，则?CED 所在圆的半径为．答案：174 B

2013年中考数学试题分类汇编：圆的垂径定理

2013中考全国100份试卷分类汇编圆的垂径定理 1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（）. A.24 B.28 C.52 D.54 答案：D ．考点:垂径定理与勾股定理. 点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决. 2、(2013年黄石)如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 A. 95 B. 245 C. 185 D. 52 答案：C 解析：由勾股定理得AB ＝5，则sinA ＝4 5，作CE ⊥AD 于E ，则AE ＝DE ，在Rt △AEC 中，sinA ＝CE AC ，即453 CE =，所以， CE ＝125，AE ＝95，所以，AD ＝185 3、(2013河南省)如图，CD 是 O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与点D ，则下列结论中不一定正确的是【】（A ）AG BG = （B ）AB ∥EF （C ）AD ∥BC （D ）ABC ADC ∠=∠ 【解析】由垂径定理可知：（A ）一定正确。由题可知：EF CD ⊥，又因为AB CD ⊥，所以AB ∥EF ，即（B ）一定正确。因为 ABC ADC ∠∠和所对的弧是劣弧AC ，根据同弧所对的圆周角相等可知（D ）一定正确。【答案】C 4、（2013?泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（） C A B

九年级数学上垂径定理练习题

B F E O D C A 垂径定理综合训练习题一、垂径定理在证明上的应用 1、如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ∥CD ，求证：弧AC = 弧BD 。 2.如图，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE=DF ，连结OE 、OF ，并且它们的延长⊙O 于点A 、 B 。（1）试判断△OEF 的形状，并说明理由；（2）求证：? AC =? BD 。 3、如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C 、D 是直线AB 上两点，且AC ＝BD 求证：△OCD 为等腰三角形。 4、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点， AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2 1 BF. 二、垂径定理在计算上的应用（一）求半径，弦长，弦心距 1、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. A B C D O A B C D O O A E F

变式 2.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm 2：如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m ，拱高为4m ，求拱桥跨度AB 的长。 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。（二）、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径。. A C B D O C A D E

初三数学垂径定理讲义

学科教师辅导讲义体系搭建一、知识梳理

二、知识概念垂径定理 1、内容：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 2、逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 3、推论：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 4、使用条件：一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论（1）平分弦所对的弧（2）平分弦 (不是直径) （3）垂直于弦（4）经过圆心考点一：垂径定理及其推论例1、下列说法不正确的是（） A．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴 B．圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，且圆的半径是此直角三角形的斜边C．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等 D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧例2、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（） A．B．π C．2πD．4π

例3、如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A 的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（） A．（0，0）B．（﹣1，1） C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣1）例4、如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点 D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（） A．6B．9﹣ C．D．25﹣3 例5、如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有（）个． A．1B．2C．3D．0 考点二：应用垂径定理解决实际问题例1、李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=40cm，BD=320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？

(完整word版)垂径定理典型例题及练习

典型例题分析：例题1、基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理 1、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. 2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm. 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长． 5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF. O A E F

例题3、度数问题 1、已知：在⊙O中，弦cm 12 = AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径. 2、已知：⊙O的半径1 = OA，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。例题4、相交问题如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长. 例题5、平行问题在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离. 例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为b a,.求证：2 2b a BD AD- = ?. 例题7、平行与相似已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于 CD AE⊥E，CD BF⊥于F.求证：FD EC=. A B D C E O

初三数学圆的垂径定理

圆的垂径定理 1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（）. A.24 B.28 C.52 D.54 答案：D ．考点:垂径定理与勾股定理. 点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决. 2、(2013年黄石)如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 A. 95 B. 245 C. 185 D. 52 答案：C 解析：由勾股定理得AB ＝5，则sinA ＝4 5 ，作CE ⊥AD 于E ，则AE ＝DE ，在Rt △AEC 中，sinA ＝CE AC ，即453 CE =，所以， CE ＝125，AE ＝95，所以，AD ＝185 3、(2013河南省)如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与点D ，则下列结论中不一定正确的是【】（A ）AG BG = （B ）AB ∥EF （C ）AD ∥BC （D ）ABC ADC ∠=∠ 【解析】由垂径定理可知：（A ）一定正确。由题可知：EF CD ⊥，又因为AB CD ⊥，所以AB ∥EF ，即（B ）一定正确。因为 ABC ADC ∠∠和所对的弧是劣弧 AC ，根据同弧所对的圆周角相等可知（D ）一定正确。【答案】C 4、（2013?泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ， cm B cm cm 或cm D cm 或cm B

垂径定理,圆周角定理练习题

C A P O D C E O A D B 九年级垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习一，填空题 1. 如图所示，OA 是圆O 的半径，弦CD ⊥OA 于点P ，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。 2.. 如图所示，在圆O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，若AC=2cm ，则圆O 的半径为____________cm 。 3. 如图所示，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。（2题图）（ 1题图）（3题图） 4. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为________________。 5. 如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。 6. 如图所示，圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（）（4题图） (5题图) （6题图）（9题图） 7. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（） 8. 如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（） 9. △ABC 中，∠C=90°，AB=cm 4，BC=cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________； 10. 圆的半径等于cm 2，圆内一条弦长 23cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________； 11. 在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4cm ，D 是AB 边的中点，以点C 为圆心，4cm 为半径作圆。则A 、B 、C 、D 四点在圆内有_____________。

10.中考数学垂径定理的应用原卷版

计算力专训四十三、垂径定理的应用 1．（2020·杭州市实验外国语学校初三月考）如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，4AP =，8BP =，45APC ∠=?，则CD 的长为（） A B ．C ． D ．12 2．（2020·江苏江都·初三月考）如图，O 过点B 、C ，圆心O 在等腰Rt ABC ?的内部，BAC 90?∠=， OA 1=，BC 8=．则O 的半径为（） A ．5 B C ．D 3．（2020·无锡市东北塘中学月考）下列语句，错误的是（） A ．直径是弦 B ．相等的圆心角所对的弧相等 C ．弦的垂直平分线一定经过圆心 D ．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 4．（2020·江苏南京·文昌初级中学月考）如图为一半径为3m 的圆形会议室区域，其中放有4个宽为1m 的长方形会议桌，这些会议桌均有两个顶点在圆形边上，另两个顶点紧靠相邻桌子的顶点，则每个会议桌的长

为_________． 5．（2020·常州市武进区遥观初级中学初三月考）如图，⊙O 的半径为10，弦AB 的长为12，OD⊙AB ，交AB 于点D ，交⊙O 于点C ，则CD=______． 6．（2020·兰溪市实验中学初三月考）已知O 的半径为5，弦6AB =，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的最小值为_____． 7．（2020·北京市三帆中学初三月考）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，连接OC 并延长交O 于点D ．若1,4CD AB ==，则O 的半径是_________．

8．（2020·滨海县滨淮初级中学初三月考）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，2BD =，则直径AB 的长为__________． 9．（2020·浙江温州·初三月考）如图，D 是O 弦BC 的中点，A 是BC 上一点，OA 与BC 交于点E ，已知8AO =，12BC =．（1）求线段OD 的长．（2）当EO =时，求ED ，EO 的长． 10．（2020·杭州市实验外国语学校初三月考）如图，在O 中，DE 是O 的直径，AB 是O 的弦，AB 的中点C 在直径DE 上．已知8AB cm =，2CD cm =．（1）求O 的半径；（2）连接AE ，过圆心O 向AE 作垂线，垂足为F ，求OF 的长．

垂径定理经典练习题

圆垂径定理专题练习题 4.如图，AB 是。O 的弦，AB 长为8, P 是。O 上一个动点(不与A , B 重合)，过点0作0C 丄AP 于点C , 0D 丄PB 于点D ,则CD 的长为___. (1) 请写出四个不同类型的正确结论； (2) 若 BE = 4, AC = 6,求 DE 的长. 6. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 0B = 10,垂径定理：垂直于弦的直径 _____ 这条弦，并且 ____ 弦所对的两条弧. 5 cm 的OO 中，弦 AB = 6 cm , OC 丄AB 于点 C ,贝U OC =( ) 4 cm C . 5 cm D . 6 cm 已知。O 的半径为5,弦AB = 6, M 是AB 上任意一点，则线段 0M 的长可能是( ) B . 3.5 C . 4.5 D . 5.5 5.如图，圆内接四边形于点E. ABDC , AB 是O O 的直径，OD 丄BC 1如图, 3.

水面宽AB= 16,则截面圆心O到水面的距离0C是（） A. 4 B. 5 C . 6 D . 8 7.为了测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：cm）,则该铁球的直径为 & H5N1亚型高致病性禽流感是一种传染速度很快的传染病，为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄，道路实行全封闭管理.现有一条笔直的公路AB通过禽流感疫区，如图所示，0为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在免疫区内有多少千米？ 10.如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的。O 交于点G, B, F, E，GB = 8 cm，AG= 1 cm，DE = 2 cm，贝U EF = __ cm. MN = 10，PR= 6,贝U MP =

中考数学一轮专题复习垂径定理圆心角圆周角定理

垂径定理圆心角圆周角定理一选择题： 1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（） A．42°B．48°C．52°D．58° 2.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为( ) A．50° B．55° C．60° D．65° 3.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，则∠BOC是（） A．100° B．110° C．120° D．130° 4.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM取值范围是（） A.3≤OM≤5 B.3≤OM＜5 C.4≤OM≤5 D.4≤OM＜5 5、如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠

A．15°B．28° C.29°D．34° 7.如图，C为⊙O直径AB上一动点,过点C的直线交⊙O于D、E两点,且∠ACD=45°,DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时,设AF=x,DE=y,下列中图象中,能表示y与x的函数关系式的图象大致是( ) 8.如图.⊙O 中，AB、AC是弦，O在∠ABO的内部，，，，则下列关系中，正确的是（） A. B. C． D. 9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD=DC，∠ADB=20o，则∠ACB，∠DBC分别为（） A．15o与30o B．20o与35o C．20o与40o D．30o与35o 10.图中∠BOD的度数是（） A．55° B．110° C．125° D．150° 11.如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O=140°，则∠I为（）

中考数学专题复习及练习：圆-垂径定理

1.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5 cm,CD=8 cm,则AE=( ) A.8 cm B.5 cm C.3 cm D.2 cm 2.如图,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为点E,∠A=15°,半径为2,则弦CD的长为( ) A.2 B.-1 C.√2 D.4 3.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为( ) A.√15 B.2√5 C.2√15 D.8 4.如图,已知☉O的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别是∠AOB,∠COD,若∠AOB与∠COD互补,弦CD=6,则弦AB的长为( ) A.6 B.8 C.5√2 D.5√3 5.如图,在☉O中,弦AB=8 cm,OC⊥AB,垂足为C,OC=3 cm,则☉O的半径为__ __cm.

6.已知:如图,AB是☉O的弦,半径OC,OD分别交AB于点E,F,且OE=OF. 7. 如图,☉O的半径为5,AB为弦,OC⊥AB,交AB于点D,交☉O于点C,CD=2,求弦AB的长. 8. 如图,☉O的直径CD=20,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为点M,OM∶OC= 3∶5.求AB的长度. 1.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就,它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,锯口深一寸,锯道长一尺.问径几何?” 译为:“今有一圆柱形木材埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯木料,锯口深一寸(ED=1寸),锯道长一尺(AB=1尺=10寸).问这块圆形木材的直径是多少?” 如图所示,请根据所学知识计算:圆形木材的直径是( )

初中数学垂径定理(中考题精选)

45。的扇形纸板和一张圆形纸板分别剪成两个大小相 2: 1,则扇形纸板和圆形纸板的半径之比为（） C . 2: 1 D. - L : 1 初中数学垂径定理练习 ?选择题（共13小题） 1.（ 2015?大庆模拟）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm ， 2. （ 2015?东河区一模）如图，O O 过点B 、C,圆心O 在等腰直角三角形的 ABC 的内部, BC=6，则O O 的半径为（） 4. （20PP?乌鲁木齐）如图，半径为3的O O 内有一点 A , OA= 乙点 P 在O O 上，当/ OPA 最大时，PA 的长等于（） C. 3 5. （ 20PP?安溪县校级二模）如图，在 5X5正方形网格中，一条圆弧经过 A , B, C 三点, 那么这条圆弧所在圆的圆心是（）则该半圆的半径为（） A . （ 4+寸 5）cm B ? 9cm B . 13 3. （ 2015?上城区一模）一张圆心角为同的长方形，若长方形长和宽的比值为

C . 9 D . 12 7. （ 20PP?宝安区二模）如图，将半径为 6的O O 沿AB 折叠，.「与AB 垂直的半径 0C 交于点D 且CD=20D ，则折痕AB 的长为（） A . 「 B .2 C. 6 D | '； &（20PP?河北区三模）如图，以（3, 0）为圆心作O A , O A 与P 轴交于点B （ 0, 2），与 G 轴交于 C 、 D , P 为O A 上不同于C 、D 的任意一点，连接PC 、PD,过A 点分别作A E 丄PC 2 2 于E, AF 丄PD 于F.设点P 的横坐标为G, AE +AF =P.当P 点在O A 上顺时针从点 C 运到点D 的过程中，下列图象中能表示 P 与G 的函数关系的图象是（） O A . 3

(完整word版)垂径定理及其推论练习题

B A P O y x 垂径定理及其推论练习题 1．下面四个命题中正确的一个是（） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 3、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤ （C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<< 4、已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（） A 、3cm B 、2.5cm C 、2cm D 、1cm 5过⊙O 内一点P 的最长弦为10cm ，最短的弦为6cm ，则OP 的长为 . 6、如图，在⊙O 中，直径AB 丄弦CD 于点M ，AM=18，BM=8，则CD 的长为__________ . 7、如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD=3cm ，DB=10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是_________ cm ． 8、如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A 、B 重合），过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为_____________ ． 9、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB ，垂足为E ，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为 ____________． 10、如图所示，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离5cm ，则弦AB 的长为______________ ． 11、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则弦的中点到弦所对弧的中点的距离为__ _____。 12、在弓形ABC 中，弦AB=24，弓形高CD=6，则弓形所在圆的半径等于。 13、在半径为5cm 的⊙O 中，有一点P 满足OP ＝3 cm ，则过P 的整数弦有条。 14、如图，⊙O 中弦AB ⊥CD 于E ，AE ＝2，EB ＝6，ED ＝3，则⊙O 的半径为。 15．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B 的坐标是 16．如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm 17．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那 ? E O D C B A

垂径定理练习题(精选)

垂径定理练习题 1、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（） A ．∠COE ＝∠DOE B ．CE ＝DE C ．OE ＝BE D ．BD =BC 2、如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于E ，CD=10，BE=1，则AB= 。 3、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。 4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。 5、在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为_____ _。 6、如图，在⊙O 中，OA 是半径，弦AB ＝310cm ，D 是弧AB 的中点，OD 交AB 于点C ，若∠OAB ＝300，则⊙O 的半径____cm 。 7、在⊙O 中，半径OA ＝10cm ，AB 是弦，C 是AB 弦的中点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。 8、在弓形ABC 中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于。 9．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，则AC 的长为_____。 10、如图所示，P 为弦AB 上一点，CP ⊥OP 交⊙O 于点C ，AB ＝8，AP:PB ＝1:3，求PC 的长。 11、如图，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的3 1 ，圆的半径为2cm ，求AB 的长。 2题图 6题图 1题图 C D A O B E

(名师整理)最新中考数学专题复习《垂径定理》精品教案

中考数学人教版专题复习：垂径定理一、考点突破 1. 掌握垂径定理及推论的内容及证明。 2. 应用垂径定理解决问题。二、重难点提示重点：理解垂径定理与推论的关系。难点：应用知识解决实际问题。考点精讲垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。劣弧中点、优弧中点、弦中点、直径、垂直这五个元素，知二推三。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 1

2 如果AB ∥CD ，则=AC BD ? ? 。【要点诠释】如果直径平分的弦是直径，则会出现如图所示的情况，直径不一定垂直弦。典例精析例题1 已知⊙O 的直径CD ＝10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则AC 的长为（） A. 25cm B. 45cm C. 25cm 或45cm D. 23cm 或43cm 思路分析：先根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论。答案：解：连接AC ，AO ， ∵⊙O 的直径CD ＝10cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8cm ， ∴AM ＝12AB ＝1 2 ×8＝4cm ，OD ＝OC ＝5cm ，当C 点位置如图1所示时， ∵OA ＝5cm ，AM ＝4cm ，CD ⊥AB ， ∴OM ＝22OA AM -＝2254-＝3cm ， ∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8cm ， ∴AC 22AM CM +2248+5；

初三垂径定理的中考题集讲解

个性化辅导讲义课题圆的对称性教学目标1．理解圆的对称性及有关性质． 2．理解同圆或等圆中，圆心角、弧、弦各组量之间的关系，并会应用．3．探索垂径定理并会应用其解决有关问题．重点、难点垂径定理的理解与应用考点及考试要求熟练掌握垂径定理的应用教学内容知识框架 1.圆是轴对称图形（重点）通过折叠与旋转的方法，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴为任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，其对称中心是圆心． 2.圆心角，弧，弦之间的关系（重点）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 (1)在具体运用以上定理解决问题时，可根据需要选择，如“在等圆中，相等的弧所对的圆心角相等”． (2)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果丢掉这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等． (3)要结合图形深刻理解圆心角、孤、弦这三个概念和“所对应的”一词的含义，因为一条弦所对的弧有两条，所以由“弦等”得出“弧等”，这里的“弧等”指的是对应的劣弧和劣弧相等，对应的优弧和优弧相等。 3.圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系（1）1°的弧：将顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份．我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧．（2）圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等． 1.垂径定理的应用（难点）（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，