最小区域公式

直线度 (给定平面内)

最小二乘法(LSM)：该方法是以最小二乘直线作为评定理想直线，求出实际直线对该直线的最大变动，从而得到直线度误差。

该方法的思路是：根据各量测点相对于起始位置的累积值，找到一条直线，使得曲线上各量测点到该直线的距离的平方和为最小。这条直线即为最小二乘直线，是唯一的。(但是，用最小二乘法求直线度的致命伤：评定准则与最小区域准则相悖，存在原理误差，故不能得到精确的直线度误差值。有些文献对之改进提出旋转控制直线法，可以得到直线度误差的精确解。)

设定：最小二乘直线为：bx a y +=

其中：∑∑∑∑∑∑∑=======--=-=-=n

i n 0i i n 0

i i n

0i i n

0i i n

i i

n 0i i _

_

x n y x n y b x n b y n x b y a 22

i i )(1x ))((1x 11 求得各测量点对bx a y +=的变动量，找出最小二乘直线两侧绝对值最大的两点，它们的绝对值之差即为直线度误差。 最大凸度：max i i max bx a y ΔL ][--= 最大凹度：in in ][m i i m bx a y ΔL --= 直线度： m i n m a x ΔL ΔL ΔL -=

直线度平均值：∑=--=n

i i n bx a y n ΔL 1

i )(1

直线度量测流程

最小区域法：评定给定平面内直线度误差的最小区域应符合如下两个最小包容区域判定条件：

①误差曲线全部位于两平行直线之间

②两平行直线与误差曲线组成高、低相间的三点接触

平面度

(给定平面内)

如下图所示，测量基准平面为o-o平面，实际被测平面每一测点对o-o平面的高度坐标z ij=f(x i，y i)。设理想评定基面与z轴的截距为α，与x轴的倾角为β，与y轴的倾角为γ，则理想评定基准平面的方程近似为：z=α+βx+γy

评定基准面到测量基准面的高度坐标值为z’ij=α+βx i+γy i

实际被测平面相对于评定基准平面的高度坐标值为

v ij=f(x i，y i)-(α+βx i+γy i)= z ij-(α+βx i+γy i)

三点法：以通过实际被测平面上任选三点的平面作为理想评定基准

面，作平行于该理想平面的两个包容实际平面的平面，则此两平行平面间的距离即为平面度误差。

或者如下定义：(以三等高点为基准平面，作平行于基准平面且过最高点和最低点两平行平面，则其平面度误差为上、下两平行平面之间的距离，即：最高点读数值减去最低读值。)

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最小二乘法：该方法是以最小二乘平面作为理想标定基准平面，做两个包容实际平面且平行于最小二乘平面的平面，则此两平面间的距离即为平面度误差。 设最小二乘平面方程为：

γy βx αz ++=

其中γβα、、由下面的方程组确定：

∑∑

∑∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑=================++=++=++n

1

j ij

j m

1

i m

1

i 2j n

1

j j

i m

1

i n

1

j j n

1

j ij

i m

1

i n

1

j j

i m

1

i m 1

i 2

i m 1i i n

1j ij m

1

i n 1

j j m 1

i i z

y )y

(m )y x ()y (m z

x )y x ()x (n )x (n z

)y (m )x (n mn γβαγβαγβα

求出各测量点对

γy βx αz ++=的变动，找出最小二乘平

面两侧绝对值最大的两点，它们的绝对值之差即为平面度误差。

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最小区域法：两平行理想平面与被测实际平面的接触状态符合下述三种情况之一，则两平行平面之间的区域为最小区域，两平行平面间的距离为平面度误差。

①三角形准则：被测实际平面与两平行理想平面的接触点，投影在

一个面上成三角形，且三高夹一低或三低夹一高

②交叉准则：被测实际平面与两平行理想平面的接触点，投影在一

个面上成两线段交叉形。

③直线准则：被测实际平面与两平行理想平面的接触点，投影在一个面上成一直线形，且两高间一低或两低间一高。

用最先区域法评定平面度误差，主要是确定符合最小区域的理想平面，然后将实际平面各点测得值换算成对它的坐标值，平面度误差即可求出。

圆度误差

最小二乘法：

圆度误差曲线如图所示。回转中心为o，各量测点到o的半径为R i，θi为回转角。设最小二乘圆的圆心为o’，各测点到o’的半径为R’i ,最小二乘圆半径为R LS

各量测点对xoy坐标系的坐标为：

?????==i sin θi R i

y i cos θi R i x 可以求得各量测点的R i ’与R LS 的差为Vi ，即 Vi= R i ’-R LS =R i +u1cos θi +u2sin θi -R LS

其中：????

??????-=?-=?+=∑∑∑===n

1i i

i 2n

1

i i i 1n

1

i LS sin R n 2u cos R n 2u )

R R (n 1R θθ

于是可以得到真圆度误差：

}i

sin 2u i cos 1u i R {min }i sin 2u i cos 1u i R {max θθθθ++?-++?=? 最小区域法：

如图所示，用两个同心圆包容实际被测轮廓，该轮廓上至少有四个实测点内外相间的与两个圆周接触，则这两个同心圆之间的区域就是最小包容区域(简称最小区域)，这两个同心圆就叫做最小区域圆，两同心圆的半径之差即为真圆度误差。

用最小区域法评定圆度误差主要是求解最小区域圆的圆心。 如下图所示，回转中心为o ，最小区域圆的圆心为o ’,实际测点到o 的半径为R i ，到o ’的半径为R i ’,

R i ’ =R i +u1cos θi +u2sin θi

设内、外包容最小区域圆与实际轮廓的1、2、3、4点接触，复合交叉准则，则有

???++=++++=++4241422212

3231312111sin u cos u R sin u cos u R sin u cos u R sin u cos u R θθθθθθθθ R R R i i +?=，R 是给定起始测量圆的半径，i R ?是实测值，故有

???++?=++?++?=++?4241422212

3231312111sin u cos u R sin u cos u R sin u cos u R sin u cos u R θθθθθθθθ (1) 由于i R ?和i θ已知，故可以求出最小区域圆的圆心坐标(u 1,u 2),则圆度误差为

)sin (sin u )cos (cos u )R R (R R 21221121'

2'1θθθθ-+-+?-?=-=?或

)

sin (sin u )cos (cos u )R R (R R 43243143'

4'3θθθθ-+-+?-?=-=?在评定圆度误差的过程中，先大致选符合交叉准则的四点代入(1)式计算出u 1,u 2然后以(u 1,u 2)为圆心作过所选四点两包容圆。若实际轮廓全部在两同心圆之间的区域，则计算出的圆度误差是符合最小条件的圆度误差；若实际轮廓超出两同心圆之间的区域，则应重新选点迭代，直到符合条件为止。

最小外接圆法：作实际轮廓的最小外接圆，以最小外接圆的圆心作出实际轮廓的最大内接圆的圆心，则两同心圆的半径差为圆度误差。 用最小外接圆法评定圆度误差主要是求出最小外接圆的圆心，其方法与最小二乘法和最小区域法类似。

最大内切圆法：做实际轮廓的最大内切圆，以最大内切圆的圆心作出实际轮廓的最小外接圆，则两同心圆的半径之差为圆度误差。

用最大内切圆法评定圆度误差主要是求出最大内切圆的圆心，其方法与最小二乘法和最小区域法类似。

用最小二乘法、最小外接圆法和最大内切圆法评定的圆度误差一般均比用最小区域法评定的圆度误差要大，因此，用最小区域法评定的圆

度误差是圆度合格性的最后仲裁依据。