2020-2021学年江苏省南通中学高一(上)期中数学试卷(解析版)

2020-2021学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1．（5分）若命题p：?x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）

A．?x∈R，2x2+1≤0B．?x∈R，2x2+1＞0

C．?x∈R，2x2+1＜0D．?x∈R，2x2+1≤0

2．（5分）函数f（x）＝+的定义域是（）

A．[2，3）B．（3，+∞）

C．[2，3）∪（3，+∞）D．（2，3）∪（3，+∞）

3．（5分）已知命题p：﹣1＜x＜2，q：|x﹣1|＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．（5分）幂函数f（x）＝kxα过点（4，2），则k+α＝（）

A．B．3C．D．2

5．（5分）若实数x，y满足2x+y＝1，则x?y的最大值为（）

A．1B．C．D．

6．（5分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2，+∞），则bx+a＜0的解集是（）A．B．C．D．

7．（5分）函数的单调减区间为（）

A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[2，+∞）D．[2，3]

8．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从A开始沿A→B→C的方向以2个单位长/秒的速度运动到C点停止，同时动点F从点C开始沿CD边以1个单位长/秒的速度运动到D点停止，则△AEF的面积y与运动时间x（秒）之间的函数图象大致形状是（）

A．B．

C．D．

二、多选题（共4小题，每题5分，漏选3分）

9．（5分）下列命题是真命题的是（）

A．lg（lg10）＝0B．e lnπ＝π

C．若e＝lnx，则x＝e2D．ln（lg1）＝0

10．（5分）若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．B．ab＞b2

C．a|c|＞b|c|D．a（c2+1）＜b（c2+1）

11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）

A．若x＜0，，故x＜0时，的最大值是﹣2

B．当x＞1时，，当且仅当取等，解得x＝﹣1或2．又由x ＞1，所以取x＝2，故x＞1时，原式的最小值为

C．由于，故的最小值为2

D．当x，y＞0，且x+4y＝2时，由于，∴，又

，故当x，y＞0，且x+4y＝2时，的最小值为4

12．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）

A．函数y＝sgn（x）是奇函数

B．对任意的x∈R，sgn（e x）＝1

C．函数y＝e x?sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）

D．对任意的x∈R，|x|＝x?sgn（x）

三、填空题（本大题共4小题，每题5分）

13．（5分）已知函数f（x）＝x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z，则f（x）的值域是．14．（5分）设m＝﹣，n＝﹣，p＝﹣，则m，n，p的大小顺序为．15．（5分）若f（x）对于任意实数x都有2f（x）﹣f（）＝2x+1，则f（）＝．16．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2﹣x+1，若任意x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2都有

，则实数a的取值范围是．

四、解答题（本大题共6小题）

17．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|2x2+（5﹣2k）x﹣5k＜0}，k∈R．（1）若k＝1时，求?R B，A∪B；

（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数k的取值范围．

18．已知定义在（﹣1，1）的函数满足：f（0）＝0，且．（1）求函数f（x）的解析式；

（2）证明：f（x）在（﹣1，1）上是增函数．

19．已知P＝80.25×，+log38．（1）分别求P和Q；

（2）若2a＝5b＝m，且＝Q，求m．

20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝4米．

（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长应在什么范围？

（2）当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足：

①对任意实数x，都有f（x）≥x；

②当x∈（1，3）时，有成立．

（1）求证：f（2）＝2；

（2）若f（﹣2）＝0，求函数f（x）的解析式；

（3）在（2）的条件下，若对任意的实数x∈[0，+∞），有恒成立，求实数m的取值范围．

22．（12分）设函数（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求t的值；

（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k 的取值范围；

（3）若函数f（x）的图象过点，是否存在正数m，（m≠1）使函数

在[1，log23]上的最大值为m，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每题5分）

1．（5分）若命题p：?x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）

A．?x∈R，2x2+1≤0B．?x∈R，2x2+1＞0

C．?x∈R，2x2+1＜0D．?x∈R，2x2+1≤0

【分析】根据含有量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定，即可写出否命题

解：由题意?x∈R，2x2+1＞0，

的否定是?x∈R，2x2+1≤0

故选：D．

2．（5分）函数f（x）＝+的定义域是（）

A．[2，3）B．（3，+∞）

C．[2，3）∪（3，+∞）D．（2，3）∪（3，+∞）

【分析】由函数解析式列出关于不等式组，求出它的解集就是所求函数的定义域．

解：要使函数有意义，则，解得x≥2且x≠3，

∴函数的定义域是[2，3）∪（3，+∞）．

故选：C．

3．（5分）已知命题p：﹣1＜x＜2，q：|x﹣1|＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【分析】根据不等式关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解：由|x﹣1|＜1，解得：0＜x＜2，

则p是q的必要不充分条件，

故选：B．

4．（5分）幂函数f（x）＝kxα过点（4，2），则k+α＝（）

A．B．3C．D．2

【分析】根据幂函数的定义求出k＝1，由函数图象过点（4，2）求出α，再计算k+α．解：幂函数f（x）＝kxα中，k＝1，

由函数图象过点（4，2），所以2＝4α，解得α＝；

所以k+α＝1+＝．

故选：A．

5．（5分）若实数x，y满足2x+y＝1，则x?y的最大值为（）

A．1B．C．D．

【分析】根据xy＝x（1﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+≤，即可求出最大值．

解：∵实数x，y满足2x+y＝1，

∴y＝1﹣2x，

∴xy＝x（1﹣2x）＝﹣2x2+x＝﹣2（x﹣）2+≤，

当x＝，y＝时取等号，

故选：C．

6．（5分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2，+∞），则bx+a＜0的解集是（）A．B．C．D．

【分析】由题意知，x＝2是方程ax+b＝0的根，且a＜0，推出b＝﹣2a，再代入bx+a＜0，解之即可．

解：由题意知，x＝2是方程ax+b＝0的根，且a＜0，

所以b＝﹣2a，

所以不等式bx+a＜0可化为﹣2ax+a＜0，

解得x＜，

故选：A．

7．（5分）函数的单调减区间为（）

A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[2，+∞）D．[2，3]

【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数的定义域，再求出内层函数t＝﹣x2+4x

﹣3的减区间，可得函数的单调减区间．

解：由﹣x2+4x﹣3≥0，得x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3，

∴函数的定义域为[1，3]，

令t＝﹣x2+4x﹣3，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x＝2，

则函数t＝﹣x2+4x﹣3在[2，3]上是减函数，开方不改变单调性，

又y＝2t是增函数，∴函数的单调减区间为[2，3]．

故选：D．

8．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从A开始沿A→B→C的方向以2个单位长/秒的速度运动到C点停止，同时动点F从点C开始沿CD边以1个单位长/秒的速度运动到D点停止，则△AEF的面积y与运动时间x（秒）之间的函数图象大致形状是（）

A．B．

C．D．

【分析】点E在线段AB上时，AE＝2x，（0≤x＜1），y＝2x×2＝2x．点E在线段BC 上时，BE＝2（x﹣1），（1≤x≤2），y＝+．利用一次函数与二次函数的单调性即可得出．

解：点E在线段AB上时，AE＝2x，（0≤x≤1），y＝2x×2＝2x．

点E在线段BC上时，BE＝2（x﹣1），（1＜x≤2），y＝22﹣2（x﹣1）﹣[2﹣2（x﹣1）]×x﹣×（2﹣x）＝x2﹣3x+4＝+．

利用一次函数与二次函数的单调性可知：A正确．

故选：A．

二、多选题（本大题共4小题，每题5分，漏选3分）

9．（5分）下列命题是真命题的是（）

A．lg（lg10）＝0B．e lnπ＝π

C．若e＝lnx，则x＝e2D．ln（lg1）＝0

【分析】直接利用对数的运算性质，判断命题的真假即可．

解：lg（lg10）＝lg1＝0，所以A正确；

e lnπ＝π，满足对数的运算法则，所以B正确；

若e＝lnx，则x＝e e，所以C不正确；

ln（lg1）＝ln0，无意义，所以D不正确；

故选：AB．

10．（5分）若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．B．ab＞b2

C．a|c|＞b|c|D．a（c2+1）＜b（c2+1）

【分析】取特殊值判断A，C，根据不等式的基本性质判断B，D即可．

解：取a＝﹣2，b＝﹣1，c＝0，显然A，C错误；

对于BD：a＜b＜0，故ab＜b2，a（c2+1）＜b（c2+1），BD正确，

故选：BD．

11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）

A．若x＜0，，故x＜0时，的最大值是﹣2

B．当x＞1时，，当且仅当取等，解得x＝﹣1或2．又由x ＞1，所以取x＝2，故x＞1时，原式的最小值为

C．由于，故的最小

值为2

D．当x，y＞0，且x+4y＝2时，由于，∴，又

，故当x，y＞0，且x+4y＝2时，的最小值为4【分析】利用基本不等式的性质逐项检查即可，需要注意取等的条件．

解：对于A，符合基本不等式中的“一正二定三相等”，即A的运算方法正确；

对于B，当x＞1时，x+＝x﹣1++1≥2+1＝+1，

当且仅当x﹣1＝，即x＝+1时，等号成立，即B的运算方法错误；

对于C，取等的条件是x2+4＝，即x2+4＝±3，显然均不成立，即C的运算方法错误；

对于D，第一次使用基本不等式的取等条件为x＝4y，而第二次使用基本不等式的取等条件为x＝y，两者不能同时成立，即D的运算方法错误．

故选：BCD．

12．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）

A．函数y＝sgn（x）是奇函数

B．对任意的x∈R，sgn（e x）＝1

C．函数y＝e x?sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）

D．对任意的x∈R，|x|＝x?sgn（x）

【分析】利用已知条件逐个判断选项的正误即可．

解：符号函数sgn（x）＝，显然函数是奇函数，所以A正确；

因为：e x＞0，所以，对任意的x∈R，sgn（e x）＝1，所以B正确；

函数y＝e x?sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，+∞），所以C不正确；

对任意的x∈R，|x|＝x?sgn（x）＝，所以D正确；

故选：ABD．

三、填空题（本大题共4小题，每题5分）

13．（5分）已知函数f（x）＝x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z，则f（x）的值域是{﹣1，0，3}．

【分析】求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可．

解：函数f（x）＝x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z

所以x＝﹣2，﹣1，0，1；对应的函数值分别为：0，﹣1，0，3；

所以函数的值域为：{﹣1，0，3}

故答案为：{﹣1，0，3}．

14．（5分）设m＝﹣，n＝﹣，p＝﹣，则m，n，p的大小顺序为p ＜n＜m．

【分析】分别求出对应的倒数，再比较即可．

解：m＝﹣，n＝﹣，p＝﹣，

则＝+，＝+，＝+，

∴＜＜，

∴p＜n＜m，

故答案为：p＜n＜m．

15．（5分）若f（x）对于任意实数x都有2f（x）﹣f（）＝2x+1，则f（）＝3．【分析】根据题意，用特殊值法分析：令x＝2可得：2f（2）﹣f（）＝2×2+1＝5，令x＝可得：2f（）﹣f（2）＝2×+1＝2，联立两个式子分析可得答案．

解：根据题意，f（x）对于任意实数x都有，

令x＝2可得：2f（2）﹣f（）＝2×2+1＝5，①

令x＝可得：2f（）﹣f（2）＝2×+1＝2，②，

联立①②解可得：f（）＝3；

故答案为：3

16．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2﹣x+1，若任意x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2都有

，则实数a的取值范围是[1，+∞）．

【分析】不妨设x1＞x2，由条件可得f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，构造新函数g（x）＝f（x）﹣x＝ax2﹣2x+1，显然g（x）在[1，+∞）上单调递增，再对a分情况讨论，利用g（x）的单调性即可求出a的取值范围．

解：不妨设x1＞x2，

∵，

∴f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2，即f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，

令g（x）＝f（x）﹣x＝ax2﹣2x+1，

∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，

①当a＝0时，g（x）＝﹣2x+1，显然不成立，

②当a≠0时，则，解得a≥1，

综上所述，实数a的取值范围是：[1，+∞），

故答案为[1，+∞）．

四、解答题（本大题共6小题）

17．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|2x2+（5﹣2k）x﹣5k＜0}，k∈R．（1）若k＝1时，求?R B，A∪B；

（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数k的取值范围．

【分析】（1）k＝1时，可得B，利用补集交集运算可得．

（2）由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，可得A?B，进而即可得出实数k的取值范围．

解：（1）k＝1时，2x2+3x﹣5＜0，解得﹣＜x＜1，即B＝（﹣，1），

则?R B＝（﹣∞，﹣]∪[1，+∞），A∪B＝（﹣，3），

（2）“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A?B，

由2x2+（5﹣2k）x﹣5k＜0可得（x﹣k）（x+）＜0，

当k＞﹣时，解得﹣＜x＜k，即B＝（﹣，k），

∵A?B

∴k≥3，

当k＝﹣时，解集为?，即B＝?，此时不满足A?B

当k＞﹣时，解得k＜x＜﹣，即B＝（k，﹣），此时不满足A?B，

∴实数k的取值范围是[3，+∞）．

18．已知定义在（﹣1，1）的函数满足：f（0）＝0，且．（1）求函数f（x）的解析式；

（2）证明：f（x）在（﹣1，1）上是增函数．

【分析】（1）根据题意，由f（0）＝0可得b的值，进而由计算可得a的值，即可得函数的解析式；

（2）任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，用作差法证明即可得结论．

解：（1）根据题意，对于函数f（x），

由f（0）＝0，即f（0）＝＝0，即b＝0；则，

又，所以a＝1；

则．

（2）证明：任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，

则

＝；

又﹣1＜x1＜x2＜1，∴，

从而f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；

故f（x）在（﹣1，1）上是增函数．

19．已知P＝80.25×，+log38．（1）分别求P和Q；

（2）若2a＝5b＝m，且＝Q，求m．

【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解．

（2）先把指数式化为对数式得到a＝log2m，b＝log5m，代入＝Q，即可求出m的值．

解：（1）P＝80.25×＝+﹣1＝

﹣1＝2+﹣1＝，

+log38＝+log38＝＝log39＝2．即，Q＝2．

（2）∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，

∴＝＝log m2+log m5＝log m10，

∴log m10＝2，

∴．

20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝4米．

（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长应在什么范围？

（2）当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

【分析】（1）设DN的长为x（x＞0）米，S AMPN＝AN?AM＝，表达AN＝（x+4）米和AM＝，要使矩形AMPN的面积大于50平方米，解不等式即可得DN的长

的范围；

（2）利用基本不等式可得当且仅当：3x＝，即：x＝4时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值48．

解：（1）设DN的长为x（x＞0）米，则AN＝（x+4）米．

∵＝，∴AM＝，S AMPN＝AN?AM＝，

由矩形AMPN的面积大于50，

得：＞50，又x＞0，得：3x2﹣26x+48＞0，

解得：0＜x＜或x＞6，

即：DN长的取值范围是：（0，）∪（6，+∞）．

（2）矩形花坛AMPN的面积为，

y＝＝＝3x++24≥2+24＝48，

当且仅当：3x＝，即：x＝4时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值48．

故DN的长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为48平方米．

答：（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长的范围：（0，）∪（6，+∞）；

（2）当DN的长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为48平方米．

21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足：

①对任意实数x，都有f（x）≥x；

②当x∈（1，3）时，有成立．

（1）求证：f（2）＝2；

（2）若f（﹣2）＝0，求函数f（x）的解析式；

（3）在（2）的条件下，若对任意的实数x∈[0，+∞），有恒成立，求实数m的取值范围．

【分析】（1）根据题意可知：2≤f（2）≤2，由此确定f（2）＝2；

（2）根据f（x）≥x恒成立，利用判别式≤0恒成立、结合f（2）＝2可求出a的值，最后结合f（﹣2）＝0，即可求出系数b，c的值；

（3）根据x≥0，分离参数m，再利用基本不等式即可求出m的范围．

解：（1）由题意得2≤f（2），所以f（2）＝2．

（2）结合（1）知f（2）＝4a+2b+c＝2，

由f（x）≥x恒成立得ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，

故，将③代入②得，

故c＝4a…④．又f（﹣2）＝4a﹣2b+c＝0…⑤，

联立③④⑤解得．

所以．

（3）由x∈[0，+∞），且恒成立可得：

，

（i）x＝0时，恒成立，此时m∈R；

（ii）x＞0时，原式化为：恒成立，

因为，当且仅当时取等号．

故此时．

综合（i）（ii）可知m的取值范围为（）．

22．（12分）设函数（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求t的值；

（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k 的取值范围；

（3）若函数f（x）的图象过点，是否存在正数m，（m≠1）使函数

在[1，log23]上的最大值为m，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据f（x）为R上的奇函数，可得f（0）＝0，然后求出t的值，再检验

得到的t值是否符合题意；

（2）先根据f（1）＞0，求出a的范围，然后利用定义法判断f（x）的单调性，再根据f （kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，得到关于k的不等式，进一步求出k的范围；

（3）根据函数f（x）的图象过点，求出a，令t＝f（x）＝a x﹣a﹣x，根据f（x）是单调递增函数，得到t的范围，然后得到，再求出m的值即可．解：（1）∵是奇函数，∴f（0）＝0，1﹣（t﹣1）＝0，解得t＝2．

当t＝2时，，∴f（﹣x）＝a﹣x﹣a x＝﹣f（x），

∴f（x）是奇函数，满足题意，∴t＝2．

（2）∵，f（1）＞0，∴，又a＞0，∴a＞1，

设?x1，x2∈R，x1＜x2，则，

∴＝，

∵x1＜x2，a＞1，∴，又∵．

∴f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x2）＞f（x1）f（x）是单调递增函数．

f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0，f（kx﹣x2）＜﹣f（x﹣1）＝f（1﹣x）kx﹣x2＜1﹣x恒成立，即x2﹣（k+1）x+1＞0恒成立，∴△＝（k+1）2﹣4＜0，∴﹣3＜k＜1，

∴k的取值范围为（﹣3，1）．

（3）∵函数f（x）的图象过点，

∴（a＞0），解得a＝2，

设t＝f（x）＝a x﹣a﹣x，由（2）知f（x）是单调递增函数，

∴当x∈[1，log23]时，，t2＝a2x+a﹣2x﹣2，

∴，，其最大值为m，

也即t2﹣mt+2有最值1，二次函数最值只可能在端点或者对称轴处取∴只可能是以下三

种情况：

①，解得，此时对称轴为，左端点处取的是二次函数最小值，

而m＞1，也即h（t）最小值，不合题意舍去．

②，解得，此时对称轴为，右端点离对称轴更远，取的最大值，

而m＞1，也即h（t）最大值，符合．

③，解得m＝±2，此时对称轴为t＝±1，不在区间上，

∴最值不可能在对称轴处取到，不合题意舍去．

综上所述，．