2005年江苏省普通高校专转本数学真题

2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

注意事项：

1、考生务必将密封线内的各项填写清楚；

2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效；

3、本试卷共8页，五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在题后的括号内）

1、0=x 是x

x x f 1sin )(=的 A 、可去间断点

B 、跳跃间断点

C 、第二类间断点

D 、连续点

2、若2=x 是函数)21

ln(ax x y +-=的可导极值点，则常数=a A 、1- B 、21 C 、2

1-

D 、1

3、若

?+=C x F dx x f )()(，则?=dx x xf )(cos sin

A 、C x F +)(sin

B 、

C x F +-)(sin C 、C F +(cos)

D 、C x F +-)(cos

4、设区域D 是xoy 平面上以点)1,1(A 、)1,1(-B 、)1,1(--C 为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，则：=+??dxdy y x xy D

)sin cos (

A 、??1

)sin (cos 2

D dxdy y x

B 、??1

2

D xydxdy

C 、??+1

)sin cos (4

D dxdy y x xy

D 、0

5、设y

x

y x u arctan

),(=，22ln ),(y x y x v +=，则下列等式成立的是 A 、

y

v x u ??=?? B 、

x

v

x u ??=

?? C 、x v y u ??=?? D 、y v y u ??=?? 6、正项级数(1)

∑∞

=1

n n u 、(2)

∑∞

=1

3

n n u ，则下列说法正确的是

A 、若（1）发散、则（2）必发散

B 、若（2）收敛、则（1）必收敛

C 、若（1）发散、则（2）不定

D 、若（1）、（2）敛散性相同

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

7、=----→x x x

e e x x x sin 2lim

； 8、函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上满足拉格郎日中值定理的=ξ ； 9、

=++?

-1

1

2

11

x

x π ；

10、设向量{}1,4,3-=α、{}k ,1,2=β；α、β互相垂直，则=k ； 11、交换二次积分的次序=?

?-+-dy y x f dx x x 2

11

1

),( ；

12、幂级数

∑∞

=-1

)12(n n

x

n 的收敛区间为 ；

三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）

13、设函数??

???+=a x

x x f x F sin 2)()( 00

=≠x x 在R 内连续，并满足：0)0(=f 、6)0('

=f ，求a . 14、设函数)(x y y =由方程???-==t

t t y t x cos sin cos 所确定，求dx dy 、2

2dx y

d . 15、计算?

xdx x sec tan 3.

16、计算

?1

arctan xdx

17、已知函数),(sin 2

y x f z =，其中),(v u f 有二阶连续偏导数，求x z

??、y

x z ???2

18、求过点)2,1,3(-A 且通过直线1

2354:

z

y x L =+=-的平面方程. 19、把函数2

2

2)(x

x x x f --=展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间. 20、求微分方程0'=-+x

e y xy 满足e y x ==1的特解.

四、证明题（本题8分）

21、证明方程：0133

=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根.

五、综合题（本大题共4小题，每小题10分，满分30分）

22、设函数)(x f y =的图形上有一拐点)4,2(P ，在拐点处的切线斜率为3-，又知该函数的二阶导数a x y +=6'

'，求)(x f .

23、已知曲边三角形由x y 22

=、0=x 、1=y 所围成，求： （1）、曲边三角形的面积；

（2）、曲边三角形饶X 轴旋转一周的旋转体体积.

24、设)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，dx x f dy u F u

y

u

?

?=)()(1

，)1(>u

（1）、交换)(u F 的积分次序； （2）、求)2('

F .

2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学参考答案

1、A

2、C

3、D

4、B

5、A

6、C

7、2

8、1-e

9、2

π

10、5

11、

dx y x f dy y y ?

?---1

11

2

),(

12、)1,1(-

13、因为)(x F 在0=x 处连续，所以

)0()(lim 0

F x F x =→，

8262)0(2)

0()(sin 2)()('0

lim lim

lim =+=+=+-=+=→→→f x f x f x x x f x F x x x ，

a F =)0(，故8=a .

14、t t t t t t dt

dx dt dy

dx dy -=-+-==sin sin cos cos ，t t x y dx y d t

t csc sin 1)('''22=--==. 15、原式

C x x x x xd x d x xdx x x +-=-=-==???sec sec 3

1

sec sec sec sec )1(sec sec tan tan 3222.

16、原式??++-=+-=102

21

021

1)

1(2141arctan x x d dx x x x x π 102)1ln(21

4x +-=

π

2ln 2

1

4-=π 17、'

1cos f x x

z ?=??，''12''122cos 2)2(cos xf y y f x y x z =?=??? 18、{}1,2,5=l ，{}0,3,4-=B ，{}2,4,1-=

{}22,9,82

4112

5

--=-=?=k

j i l π

平面点法式方程为：

0)2(22)1(9)3(8=+----z y x ，即592298=--z y x .

19、x x x x x x x x f -?++?=-++=1132

116)1121(3)(222

n

n n n x x ∑∞

=+??

????+-=01212)1(3

，收敛域为11<<-x .

20、x

e y x y x

=?+1'

，通解为

x e x C C dx e x e e y x dx x x dx x +=???

? ??+??=?-

11

因为e y =)1(，C e e +=，所以0=C ，故特解为x

e y x

=.

21、证明：令13)(3

+-=x x x f ，[]1,1-∈x ，且03)1(>=-f ，01)1(<-=f ，0)1()1(

由连续函数零点定理知，)(x f 在)1,1(-上至少有一实根. （致远为学cn dinyuan www ..提醒：本题亦可用反证法证明）

22、设所求函数为)(x f y =，则有4)2(=f ，3)2('

-=f ，0)2('

'=f .

由a x y +=6''，0)2(''=y 得12-=a ，即126'

'-=x y .

因为126'

'-=x y ，故12

'

123C x x y +-=，由3)2('

-=y ，解得91=C . 故22

3

96C x x x y ++-=，由4)2(=y ，解得22=C . 所求函数为：2962

3

++-=x x x y . 23、（1）6

16

1211

3

1

02=

==?y dy y S （2）4

021

)()21(2

210

2

π

ππ

=-=-=?

x x dx x V x

24、解：积分区域D 为：u y ≤≤1，u x y ≤≤ （1）??

???-===

u

x

u D

dx x f x dy x f dx d x f u F 1

1

1

)()1()()()(σ；

（2）)()1()('

u f u u F -=，1)2()2()12()2('

==-=f f F .