初中数学竞赛第二十三讲平面几何的定值与最值问题(含解答)
第二十三讲平面几何的定值与最值问题
【趣题引路】
传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.??每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,?而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.
这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,?然后再到集市的路程最短呢?
(1) (2)
解析在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走,距离最短.
证明如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′.
连结BP?′与切线MN?交于R,AR+BR>AP+BP.
∵RP′+AP′>AR.
∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB>AR+BP>AP+BP.
不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.?“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.
【知识延伸】
平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.?所谓几何定值问题就是要求出这个定值.
在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变.
例1如果△ABC的外接圆半径R一定,求证: abc
S
是定值.(S表示△ABC的面积)
解析 由三角形面积S=12
absinC 和正弦定理sin c C =2R,
∴c=2RsinC. ∴
abc S =2sin c C =4sin sin R C
C
=4R 是定值. 点评
通过正弦定理和三角形面积公式经过变形,计算出结果是4R,即为定值.
平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系,例如在变动一些几何元素时,?某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,?这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).
例2
如图,已知⊙O 的半径
为⊙O 上一点,过A 作一半径为r=3的⊙O ′,
问OO ′何时最长?最长值是多少?OO ′何时最短?最短值是多少?
解析 当O ′落在OA 的连线段上(即⊙A 与线段OA 的交点B 时)OO ′最短,且最短长度为
当O ′落在OA 的延长线上(即⊙O 与OA 的延长线交点C 时)OO ′最长,且最长的长度为
点评
⊙O ′是一个动圆,满足条件的⊙O ′有无数个,但由
于⊙O ′过A 点,所以⊙O ′的圆心O ′在以A 为圆心半径为3的⊙A 上.
【好题妙解】
佳题新题品味
例1 如图,已知P 为定角O 的角平分线上的定点,过O
、P?两点任作一圆与角的两边分别交于A 、B 两点.
求证:OA+OB 是定值.
证明 连结AP 、BP,由于它们为有相同圆周角的弦,AP=PB,不妨记为r.?另记x 1=OA,x 2=OB.
对△POA 应用余弦定理,
得x 12+OP 2-2OP ·cos ∠AOP ·x 1=r 2.
故x 1为方程x 2-2OP ·cos 1
2
∠AOB ·x+(O P 2-r 2)=0的根,同理x 2亦为其根. 因此x 1,x 2为此方程的两根,由韦达定理,得x 1+x 2=2OP(1
2
∠AOB)是定值.
点评
当x 1=x 2时,x 1+x 2为此定值,事实上此时OP 一定是直径.
例2 如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=9,⊙O 与外切,且⊙O 与AB 、BC?相切.⊙O ′与AD 、CD 相切,设⊙O 的半径为x,⊙O 与⊙O ′的面积的和为S,求S?的最大值和最小值. 解析 设⊙O ′的半径为y,过O 与O ′分别作CD 与BC 的垂线OH,O ′F,?垂足分别为H,F,OH 、O ′F 交于点E,则有:O ′E=8-(x+y),OE=9-(x+y) 由勾股定理可得:
(x+y)2=[8-(x+y)]2+[9-(x+y)]2. 整理,得(x+y-29)(x+y-5)=0,
由题意知1≤x ≤4,∴x+y=5,y=-x+5,
∴S=πx+πy=π(2x-10x+25),
=2π[(x-
52)2+254], 故当x=52时,S min =25
2
π;
当x=4时,S=17π.
点评
先由已知求出⊙O ′的半径也⊙O 的半径x 之间的关系,然后再根据面积公式写出S 与x 之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过函数的性质得解.
中考真题欣赏
例 (南京市中考题)如图,⊙O 1与⊙O 2内切于点P,
切⊙O 2?的直径BE 于点C,连结PC 并延长交⊙O 2于点⊙O 1,⊙O 2的半径分别为r 、R,且R ≥2r.?求证:PC ·AC 解析 若放大⊙O 1,使⊙O 1切⊙O 2的直径于点O 2(如图显然此时有PC ·AC=PO 2·AO 2=2r ·R(定值). 再证明如图的情况:连结C O 1,PO 2,? 则PO 2?必过点O 1,?且O 1C ⊥BE,
得CO 2, 从而.
所以PC ·AC=EC ·BC=2Rr,故PC ·AC 是定值. 点评
解答几何定值问题时,可先在符合题目条件的前提下用
运动的观点,从特殊位置入手,找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般情况的证明.
竞赛样题展示
例1 (第十五届江苏省初中数学竞赛题)如图,正方形ABCD 的边长为1,?点P 为边BC 上任意一点(可与点B 或点C 重合),分别过点B 、C 、D 作射线AP 的垂线,?垂足分别为点B ′、C ′、D ′.
求BB ′+CC ′+DD ′的最大值和最小值.
解析 ∵S △DPC = S △APC =
1
2
AP ·CC ′, 得S 四边形BCDA = S △ABP + S △ADP + S △DPC
=
1
2
AP(BB ′+DD ′+CC ′), 于是BB ′+CC ′+DD ′=2
AP
.
又1≤AP
BB ′+CC ′+DD?′≤2,
∴BB ′+CC ′+DD
最大值为2.
点评
本题涉及垂线可考虑用面积法来求. 例2 (2000年“新世纪杯”广西竞赛题)已知△ABC 内接于⊙O,D 是BC?或其延长线上一点,AE 是△ABC 外接圆的一条弦,若∠BAE=∠CAD.
求证:AD.AE 为定值
.
证明 如图 (1),当点D 是BC 上任意一点且∠BAE=∠CAD 时,连结BE, 则∠E=∠C,∠BAE=∠CAD, ∴△ABE ∽△ADC. ∴
AB AE
AD AC
=,即AD ·AE=AB ·AC 为定值. 如图 (2),当点D 在BC 的延长线上时,∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB. ∴△AEB ∽△ACD,∴
AB AE
AD AC
=
即AD·AE=AB·AC为定值.
综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时,只要∠CAD=∠BAE,总有AD·AE为定值. 点评
先探求定值,当AD⊥BC,AE为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD这一条件,?不难发现△ACD ∽△AEB,所以AD·AE=AB·AC,因为已知AB,AC均为定值.?再就一般情况分点D?在BC上,点D在BC的延长线上两种情况分别证明.
全能训练
A级
1.已知MN是⊙O的切线,AB是⊙O的直径.求证:点A、B与MN的距离的和为定值.
2.已知:⊙O与⊙O1外切于C,P是⊙O上任一点,PT与⊙O1相切于点T.求证:PC:PT是定值.
3.⊙O1与⊙O2相交于P、Q两点,过P作任一直线交⊙O1于点E,交⊙O2于点F.求证:∠EQF 为定值.
4.以O为圆心,1为半径的圆内有一定点A,过A引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS的最大值
和最小值.
5.如图,已知△ABC的周长为2p,在AB、AC上分别取点M和N,使MN?∥BC,?且MN与△ABC
的内切圆相切.求:MN的最值.
A
M N
B
A 级(答案)
1.定长为圆的直径;
2.利用特殊位置探求定值(当PC 构成直径时)
(R,r 是两圆的半径). 3.因∠E,∠F 为定角(大小固定)易得∠EQF 为定值.
4.如图,设OA=a(定值),过O 作OB ⊥PQ,OC ⊥RS,B 、C 为垂足, 设OB=x,OC=y,0≤x ≤a,(0≤y ≤a),且x 2+y 2=a 2.
所以
所以
∴(PQ+RS)2=4(2-a 2+
而x 2y 2=x 2(a 2-x 2)=-(x 2-
22a )2+4
4
a . 当x 2
=22a 时,(x 2y 2
)最大值=44
a .
此时
当x 2=0或x 2=a 2时,(x 2y 2)最小值=0,此时(PQ+RS )最小值=2（
）. 5.设BC=a,BC 边上的高为h,内切圆半径为r. ∵△AMN ∽△ABC,
2MN h r BC h -=,MN=a(1-2r
h
),? 由S △ABC =rp,∴r=
2ABC S ah
p p
?=, ∴MN=a(1-a p )=p ·a p (1-a p )≤p 2
(1)2a
a p p
??+-??????????
=4
p ,
当且仅当a p =1-a
p
,即a=2p 时,取等号,∴MN 的最大值为4p .
B级
1.如图1,已知正方形ABCD的边长为3,点E在BC上,且BE=2,点P在BD上,则PE+PC的最小值为( )
E D C
A
B P
S
Q
A B P
M
(1) (2) (3)
2.用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7.作为四条边构成一个梯形,?则在所构成的梯形中,中位
线长的最大值是__________.
3.如图2,⊙O
、B两点在⊙O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB?延长线上
任一点,QS⊥OP于S,则OP·OS=_______.
4.已知,如图3,线段AB上有任一点M,分别以AM,BM为边长作正方形AMFE?、?MBCD.正方形
AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O′交于M、N两点,则直线MN的情况是( ?)
A.定直线
B.经过定点
C.一定不过定点
D.以上都有可能
5.如图,已知⊙O的半径为R,以⊙O上一点A为圆心,以r为半径作⊙A,?又PQ与⊙A 相切,
切点为D,且交⊙O于P、Q.求证:AP·AQ为定值
.
几何定值问题-第6讲几何中的学生版
第六讲 几何中的定值问题 一、基础知识 定值问题一般包括两类：一类是定量问题(如定长、定角、定和、定差、定积、定比、平方和或倒数 和为定值等)； 一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向等）； 求解此类问题主要是抓住数学问题中的动与静、变与不变、特殊与一般间的相互关系，从中寻找不变 的量来联立求解. 二、例题部分 第一部分 隐含的定值问题 例1. 如图，△ABC 是⊙0的内接正三角形，弦PQ 同时平分AB 、AC ，则PQ BC 等于 ( ) A ． 45 B ．62 C ．312+ D ．52 例2. 如图，OA 、OB 为任意两条半径，从B 作BE ⊥OA 于E ，过E 作EP ⊥AB 于P ，若⊙O 的半径为R ，则2OP +2EP 等于 ( ) A ．2R B ．2R C ．42R D ．14 2R 例3. 如图，AB 是⊙0的直径，C 为圆上一点，过C 点作CD ⊥AB 于D ，且∠COB=θ，则 AD BD ·2tan 2 θ＝ ．
例4. 如图，⊙O 的半径为2，A 、B 两点在⊙O 上，切线AQ 与BQ 相交于Q ，P 是AB 的延长线上任意一点， QS ⊥OP 于S ，则OP·OS= ． 例5. 如图，⊙0与⊙O '内切于点A ，以大⊙0上一点P 向小⊙O '引切线PT ，连结PA 与 小⊙O '交于点B ， 若⊙0与⊙O '的半径分别为R 和r ，则2 2PT PA ＝ ． 第二部分 变化量定值问题 例6. 如图，在△A BC 中，AB=AC ，若P 为BC 边上任意一点，则点P 到两边AB 、AC 距离之和为 ( ) A ．随点 P 的变化而变化 B ． 12 (AB+AC) C ．定值 D ．12(AB+BC) 例7. △A BC 是边长固定的正三角形。D 为BC 边上的动点，1O 和2O 分别为△ABD 和△ACD 的外心，1O 1E ⊥ BC 于1E ，2O 2E ⊥BC 于2E .则1O 2E +2O 2E 的值为 ．
初中数学几何最值问题典型例题
初中数学几何最值问题 典型例题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 1．如图：点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =PMN 的周长的最小值为 ． 【分析】作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长．根据对称的性质可以证得：△COD 是等腰直角三角形，据此即可求解． 【解答】解：作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长． ∵PC 关于OA 对称， ∴∠COP =2∠AOP ，OC =OP 同理，∠DOP =2∠BOP ，OP =OD ∴∠COD =∠COP +∠DOP =2（∠AOP +∠BOP ）=2∠AOB =90°，OC =OD ． ∴△COD 是等腰直角三角形． 则CD OC ． 【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN 周长最小的条件是解题的关键． 2．如图，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．
初中数学几何最值问题综合测试卷(含答案)
初中数学几何最值问题综合测试卷 一、单选题(共6道，每道16分) 1.如图,已知∠MON=40°,P为∠MON内一定点,OM上有一点A,ON上有一点B,当△PAB的周长取最小值时,求∠APB的度数为( ) A.100° B.110° C.140° D.80° 答案：A 解题思路：作定点P关于直线OM，ON的对称点，然后利用两点之间线段最短解题． 试题难度：三颗星知识点：最值问题 2.如图,当四边形PABN的周长最小时,a的值为( ) A. B.1 C.2 D. 答案：A 解题思路：先平移AP或BN使P，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点，然后利用两点之间线段最短解题． 试题难度：三颗星知识点：最值问题 3.如图,已知两点A,B在直线l的异侧,A到直线l的距离AC=6,B到直线l的距离BD=2,CD=3,点
P在直线l上运动,则的最大值为( ) A. B.3 C.1 D.5 答案：D 解题思路：作其中一个定点关于定直线l的对称点，然后利用三角形三边关系解题． 试题难度：三颗星知识点：最值问题 4.如图,直角梯形纸片ABCD中,AD⊥AB,AB=4,AD=2,CD=3,点E,F分别在线段AB,AD上,将△AEF 沿EF翻折,点A的落点记为P.当点P落在直角梯形ABCD内部时,PD的最小值为( ) A.2 B.1 C. D.3 答案：C 解题思路：找运动过程中的不变特征进行转化，转化成求DP+PE+EB的最大值，减少变量，然后利用两点之间线段最短来解题． 试题难度：三颗星知识点：最值问题 5.如图,∠MON=90°,等腰Rt△ABC的顶点A,B分别在OM,ON上,当点B在ON上运动时,点A
数学竞赛平面几何重要知识点绝对精华
数学竞赛平面几何重要知识点 梅涅劳斯定理： 设D 、E 、F 分别是ABC ?三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=??EA CE FC BF DB AD 。 斯德瓦特定理：设P 是ABC ?的边BC 边上的任一点，则 BC PC BP AP BC AB PC AC BP ??+?=?+?222 西摩松定理： 设P 是ABC ?外接圆上任一点，过P 向ABC ?的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。
6、共角定理：设ABC ?和C B A '''?中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A AC AB S S C B A ABC ' '?''?='''?? 与圆有关的重要定理 4.四点共圆的主要判定定理 （1）若∠1=∠2，则A 、B 、C 、D 四点共圆； （2）若∠EAB=∠BCD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆； （3）若PA ?PC=PB ?PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆； 三角形的五心 三角形的三条中线共点，三条角平分线共点，三条高线共点，三条中垂线共点。三角形的垂心、重心、外心共线（欧拉线），并且重心把连结垂心和外心的线段分成2∶1的两段。三角形的外心和内心的距离)2(r R R d -=。此公式称为欧拉式，由此还得到r R 2≥。当且仅当△ABC 为正三角形时,d=0,此时R=2r.其中R 和r 分别是三角形外接圆半径和内切圆半径。 与△的一边及另两边的延长线均相切的圆称为△的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。
重要例题 例1.设M 是任意ABC ?的边BC 上的中点，在AB 、AC 上分别取点E 、F,连EF 与AM 交于N ，求证：)(21AF AC AE AB AN AM +=（1978年辽宁省中学数学竞赛） 例 2. 已知点O 在ABC ?内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ??与的面积之比为_________________. 例3. 如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点． ⑴如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点． ⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ． ①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
初中数学动态几何问题
[导读] 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线 摘要：本文结合笔者的教学实践对初中数学教学中的动态几何问题进行了探讨。 关键词：二次函数；动点；动线；动态 作者简介：郭兴淑，任教于云南腾冲一中。 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，函数为背景，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题。这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.本类问题主要有动点、动线、动面三个方面的问题。其中动点问题有单动点和双动点两种类型，无论是动点、动线、单动点还是双动点，我们都要注意到如何在动中求静，在静中求解，找到相应的关系式，把想知道的量用常量或含自变量的关系式表示出来。下面就以二次函数为背景的动态问题和单纯几何图形变化的动态问题采撷几例加以分类浅析，供读者参考。 动态问题在中考中占有相当大的比重，主要由综合性问题构成，就运动而言，可以分为三类：动点、动线、动形；就题型而言，包括计算题、证明题和应用题等。它的题型特点和考查功能决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。一般的，解题设计要因题定法。无论是整体考虑还是局部联想，确定方法都必须遵循的原则是：熟悉化原则、具体化原则；简单化原则、和谐化原则等。 动态问题一直是近几年数学中考的一个热点，随着编者的不断刨新，动态问题又有升温，比如双动问题就是中考中的最新风景区，他可以培养同学们在运动变化中发展空间想象能力．这类问题只要我们掌握“动中有静，静观其变，动静结合”的基本解题策略，我们就能以不变碰多变．以下列举近几年数学中考的两类双动问题供读者参考交流． 随着新课程改革的进行，全国各地的中考试卷异彩纷呈，尤其是解答题中的动态问题，集数与代数、空间与图形两大内容于一体，题型新颖，阅读量大，考查面广．为体现中考试
初中数学最值问题集锦 几何地定值与最值
几何的定值与最值 几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或 几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本 方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法， 先探求出定值，再给出证明． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量 (如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基 本方法有： 1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理(公理)法； 3．数形结合法等． 注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这 是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数 形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． 【例题就解】 【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以 AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ． 思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′， DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=2 1AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小， 本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值． 注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特 殊位置与极端位置是指： (1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等． 【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度 数（ ） ⌒
高中数学竞赛题之平面几何
第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,错角相等,同旁角互补.利用这些 性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA . 在△DBP ＝∠AQC 中,显然 ∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知 △DBP ≌△AQC . 有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP . 则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP . 所以AB ＝AC . 这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE . 由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . ∥＝ A D B P Q 图1 P E D G A B F C 图2
初中数学动态几何问题
MC NC EC CD (这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键) 中考数学专题 动态几何问题 第一部分真题精讲 【例1】如图，在梯形 ABCD 中，AD II BC , AD 3 , DC 5 , BC 10,梯形的高为4 ?动 点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从C 点 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动?设运动的时间为t (秒)? (1 )当MN I AB 时，求t 的值； (2)试探究：t 为何值时，△ MNC 为等腰三角形. 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同 学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析 动态条件和静态条件之间的关系求解。 对于大多数题目来说， 都有一个由动转静的瞬间， 就 本题而言，M , N 是在动，意味着 BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和 这些动态的条件密切相关的条件 DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。 所以当题中设定 MN//AB 时，就变成了一个静止问题。 由此，从这些条件出发，列出方程， 自然得出结果。 【解析】 解：(1 )由题意知，当 M 、N 运动到t 秒时，如图①，过 D 作DE II AB 交BC 于E 点，则 四边形 ABED 是平行四边形. ??? AB II DE , AB II MN ? ??? DE II MN ? (根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将 MN 放在三角形 内，将动态问题转化成平行时候的静态问题)
九年级数学平面几何中的定值问题例题讲解
九年级数学平面几何中的定值问题例题讲解 知识点，重点，难点 所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的某种几何量却始终保持不变（或几何元素间的某种几何性质或位置关系不变）。 平面几何定值一般可分为两类：一类是定量问题（如定长度、定角、定比、平方和或倒数和为定值等）；一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向等），它们有共同的基本特点，即给定条件中一般由固定条件和变动条件两部分组成。 一般来说，求解定值问题的方法有： 图形分析法。画出符合条件的图形后，分析图中几何元素的数量关系及位置关系，直接寻求出定值并证明。 特殊位置法。不论图形如何变动，定值这一共性始终不变，因此可选择图形的特殊位置（如极限位置、临界位置）加以探求。 参数计算法。图形运动中，选取其中的变量（如线段长、角度、面积等）作为参数，将要求的定值用参数表出，然后消去参数即得定值。 例题精讲 例1：如图，已知⊙O 及弦AB ，P 为⊙O 上任一点，PA 、PB 分别交AB 中垂线于E 、F ，求证：OE ·OF 为定值。 分析 若在⊙O 上的点P 运动到特殊位置点Q ，则点E ，点F 都和Q 点重合，于是得到OE ·OF =OQ 2，由此可推 想，该定值可能为⊙O 半径的平方。 证明 因为OE 是弦AB 的中垂线，所以 AQ BQ =，所以∠AOE=∠BOE ， 所以 1.2m AOE AB ∠=又因为 1,2m PAB BP ∠= 1,2 m PBA AP ∠=∠EPB =∠PAB ＋∠ABP ，所以∠AOE = ∠EPB ，所以A 、O 、F 、P 四点共圆，所以∠OFB =∠OAE .又因为∠FOB =∠AOE ，所以△FOB ∽△OAE ，所以,OF OB OA OE =即OE ·OF ＝OA ·OB .因为OA =OB ，所以OE ·OF =OA 2（定值）。 例2：如图，设AB 、CD 是圆O 的两条定直径，P 是圆周上的任一点， 过P 作AB 垂线，过P 作CD 的垂线，其垂足分别为Q 、 R ，DT ⊥AB ，垂足为T ，求证：QR 是定长。 分析 把点P 沿⊙O 运动到特殊的点D 的位置，不难发现QR =DT ，那么当P 是圆周上的任一点时，只要证明QR =DT . 证明 设圆的半径为r ，作RS ⊥AB ，连结OP .因为PQ ⊥AB ，PR ⊥CD ，所以P 、O 、Q 、R 四点共圆，所以∠RQS =QR RS RS
中考数学重难点专题讲座第八讲动态几何与函数问题
中考数学重难点专题讲座 第八讲 动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E. （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积. （2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式. 【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二
的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当24t <<时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE 的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。 【解】 （1）由图（2）知，M 点的坐标是（2，8） ∴由此判断：24AB OA ==， ； ∵N 点的横坐标是4，NQ 是平行于x 轴的射线， ∴4CO = ∴直角梯形OABC 的面积为： ()()112441222 AB OC OA +?=+?=..... (3分) （2）当24t <<时， 阴影部分的面积=直角梯形OABC 的面积-ODE ?的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系) ∴1122S OD OE =-? ∵142 OD OD t OE ==-， ∴()24OE t =- . ∴()()()21122441242 S t t t =-?-?-=-- 284S t t =-+-. 【例2】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x =>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
解析几何中的定点、定值问题(含答案)
解析几何中的定点和定值问题 【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不 变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用． 【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学方法】讨论式 【教学过程】 一、基础练习 1、过直线4x =上动点P 作圆224O x y +=：的切线PA PB 、，则两切点所在直线AB 恒过一定点．此定点的坐标为_________． 【答案】(1,0) 【解析】设动点坐标为(4,t P ），则以OP 直径的圆C 方程为：(4)()0x x y y t -+-= ， 故AB 是两圆的公共弦，其方程为44x ty +=． 注：部分优秀学生可由200x x y y r += 公式直接得出． 令4400x y -=??=? 得定点(1,0). 2、已知PQ 是过椭圆22:21C x y +=中心的任一弦，A 是椭圆C 上异于P Q 、的任意一点．若AP AQ 、 分别有斜率12k k 、 ，则12k k ?=______________． 【答案】-2 【解析】设00(,),(,)P x y A x y ，则(,)Q x y -- 220001222 000y y y y y y k k x x x x x x -+-?=?=-+-， 又由A 、P 均在椭圆上，故有：22 0022 21 21 x y x y ?+=??+=??，
两式相减得2 2 2 2 002()()0x x y y -+-= ，22 0122 2 02y y k k x x -?==-- 3，过右焦点F 作不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点， AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则_______.1=24 e 【解析】 设直线AB 斜率为k ，则直线方程为()3y k x =-, 与椭圆方程联立消去y 整理可得() 22223424361080k x k x k +-+-=, 则22121222 2436108 ,3434k k x x x x k k -+== ++, 所以122 1834k y y k -+= +, 则AB 中点为222129,3434k k k k ?? - ?++?? . 所以AB 中垂线方程为22291123434k k y x k k k ?? +=-- ?++??, 令0y =,则2 2334k x k =+,即22 3,034k N k ?? ?+?? , 所以2222 39(1) 33434k k NF k k +=-=++. () 22 36134k AB k += =+,所以14 NF AB =. F A ,是其左顶点和左焦点，P 是圆222b y x =+ 上的动点，若PA PF =常数，则此椭圆的离心率是
(完整)初中数学“最值问题”_集锦
“最值问题”集锦 ●平面几何中的最值问题 (01) ●几何的定值与最值 (07) ●最短路线问题 (14) ●对称问题 (18) ●巧作“对称点”妙解最值题 (22) ●数学最值题的常用解法 (26) ●求最值问题 (29) ●有理数的一题多解 (34) ●4道经典题 (37) ●平面几何中的最值问题 在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例． 在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种： （1）应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆中的所有弦中，直径最长。 ⑵运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ②运用一元二次方程根的判别式。 例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。 分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’，
在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB 与直线L无交点，所以这种思路错误。 取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝ AP， 在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时 A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。 1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？ 分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry， 所以 所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可． -x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2， 上式只有当x=R时取等号，这时有 所以2y=R=x． 所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D， 这时，梯形的底角恰为60°和120°． 2 .如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出 最大面积，使得窗户透光最好？ 分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+πx=8，
人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题(含答案)
人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案） 【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧上任意一点.求证：为定值. AD ⌒ PA PC PB P A B C D 【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦 CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A.到CD 的距离保持不变 B.位置不变 C.等分 D.随C 点的移动而移动 DB ⌒ A
【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂 线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角. B 【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是上异于A ，B 的动点，过点C AB ⌒ 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形； （2）当点C 在上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段AB ⌒ 的长度； （3）求证：CD 2+3CH 2是定值. B O A C E H G D 【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8.
最新初中数学动态几何探究题汇总大全
最新初中数学动态几何探究题汇总大全 【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角 函数等知识的综合运用. 【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解 决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等. 【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、 覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含 的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决. 【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综 合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势. 为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题. 类型1 操作探究题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D 作DF⊥AC于点F. (1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC； (2)若∠DAF＝∠DBA. ①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由； ②当点F在线段CA上时，设BE＝x，请用含x的代数式表示线段AF.
解析几何中定值与定点问题
解析几何中定值与定点问题 【探究问题解决的技巧、方法】 (1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究． 【实例探究】 题型1：定值问题: 例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的 焦点，离心率等于 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 为定值. 解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b= 1. ∴椭圆C的方程为 （II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为 易知F点的坐标为（2，0）. 将A点坐标代入到椭圆方程中，得
去分母整理得 方法二：设A、B、M点的坐标分别为 又易知F点的坐标为（2，0）. 显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 又 例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0). 1）求椭圆方程 2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值 （1）a2-b2=c2 =1 设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1 将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b2-9=0 解得b2=3 （另一值舍） 所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1 （2） 设AE斜率为k 则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①
初中数学《几何最值问题》典型例题
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD
2018中考数学专题复习 几何最值问题综合课(pdf,无答案)
知识板块 考点一：几何图形中的最小值问题 方法： 1.找对称点求线段的最小值； 步骤：①找已知点的对称点，动点在哪条线上动，就是对称轴； ②连接对称点与另一个已知点； ③与对称轴的交点即是要找的点；通常用勾股定理求线段长； 2.利用三角形三边关系：两边之差小于第三边； 3.转化成其他线段，间接求线段的最小值；例如：用点到直线的距离最短，通过作垂线求最值； 4.用二次函数中开口向上的函数有最小值； 考点二：几何图形中的最大值问题 方法： 1.当两点位于直线的同侧时，与动点所在的直线的交点，这三点在同一直线时，线段差有最大值； 2.当两点位于直线的异侧时，先找对称点，同样三点位于同一直线时，线段差有最大值； 3.利用三角形三边关系：两边之和大于第三边； 4.用二次函数中开口向下的函数有最大值； 例题板块 考点一：几何图形中的最小值问题 例1.如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE=2，AE=3BE ，P 是AC 上一动点，则PB+PE 的最小值是 _________ ． 图1 图2 图3 例2.如图2，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 ． 例3.如图3，点P 是Rt △ABC 斜边AB 上的一点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，BC=6，AC=8，则线段EF 长的最小值为 ； 第一节 几何最值问题专项
例4.如图，在Rt △ABC 中，AB=BC=6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE=3，CF=1，P 是斜边AC 上的一个动点，则△PEF 周长的最小值为 . 图4 图5 例5.如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 的坐标为（9，0），点C 的坐标为（2，0），tan ∠BOA= A ．67 B ．231 C. 6 D ．193+ 例6．如图6，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C 的半径为1，点P 在斜边AB 上，PQ 切⊙O 于点Q ，则切线长PQ 长度的最小值为（ ） 图6 图7 图8 例7.如图7，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 上两个动点，且PQ=3，当CQ= _________ 时，四边形APQE 的周长最小． 考点二：几何图形中的最大值问题 例1.已知点A （1，2）、B （4，-4），P 为x 轴上一动点． （1）若|PA |+|PB |有最小值时，求点P 的坐标； （2）若|PB |-|PA |有最大值时，求点P 的坐标． 例2.如图8所示，已知A 11 (,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1y x =图像上的两点，动点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是 .
初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第18章整数几何试题新人教版
第18章 整数几何 ABC △，第三条高的长数，求这条高之长的所有可能值． 解析 由面积知，三条高的倒数可组成三角形三边，这是它们的全部条件． 设第三条高为h ，则 解得1515 45 h <<，h 可取4、5、6、7这四个值． ABC △3AB n x =+，2BC n x =+，CA n x =+，且BC 边上的高AD 的长为n ，其中n 为正整数，且01x <≤，问：满足上述条件的三角形有几个？ 解析 注意AB 为ABC △之最长边，故90B ∠，而z 可正可负． 由2y z n x +=+，及()()()2 2 223242y z n x n x n x x -=+-+=+?，得4y z x -=，32 n y x = +，由勾股定理，知()2 22332n x n n x ?? ++=+ ??? ，展开得12n x =，由01x <≤及n 为正整数，知 1n =，2，…，12，这样的三角形有12个． ，其中一条直角边不超过20，其外接圆半径与内切圆半径之比为52∶，求此三角形周长的最大值． 解析 设该直角三角形直角边长为a 、b ，斜边为c ，则外接圆半径2 c R = ，内切圆半径2 a b c r +-= ，不妨设20a ≤． 由条件知 5 2 c a b c =+-，557a b c +=，平方，得()() 222225249a b ab a b ++=+，即 ()2212250a b ab +-=， ()()34430a b a b --=， 于是3a k =，4b k =，5c k =，或4a k =，3b k =，5c k =，周长为12k ，k 为正整数．k 的最大值为6，此时各边为18、24、30，周长最大值为72． ABC △，60A ∠=?，7BC =，其他两边长均为整数，求ABC △的面积． 解析 设AB x =，AC y =，则由余弦定理，有 2249x y xy +-=． 由条件x y ≠，不妨设x y <，则AB 为ABC △之最小边，x 只能取值1、2、3、4、5、6，分别代入，发现当3x =或5时，8y =，其余情形均无整数解． 于是1 sin 602 ABC S xy = ?=△． P ，求经过P 且长为整数的弦的条数． 解析 如图，O 半径为15，9OP =，过P 的弦ST 长为整数，APB 为直径，6AP =，24PB =，则144SP TP PA PB ?=?=，因此 24ST SP TP =+≥．
解析几何中定点、定值、定直线问题
解析几何中定点、定值、定直线问题
解析几何中定点定值问题 2 例1已知椭圆 —=1(2)的上顶点为M( 0, 1),过M a 的两条动弦MA MB 满足MAL MB 对于给定的实数a(a 1), 证明：直线AB 过定点。 解：由MA MB =0知MA_MB ,从而直线MA 与坐标轴不垂直， 故可 设直线MA 的方程为y 二kx 1，直线MB 的方程为 1 y x 1 k 将y 二kx1代入椭圆C 的方程，整理得 (1 a 2 k 2 )x 2 2a 2 k=x 0 例3已知椭圆的中心为坐标原点 O ,焦点在x 轴上， 斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点, OA OB 与 a =(3,-1) 共线. (1) 求椭圆的离心率； 解得x=0或 -2a 2 k 1 a 2k 2 故点A 的坐标为 -2a 2 k 1 a 2k 2 2 2 1-a k ) 1 a k 同理，点B 的坐标为 2 2 2 (2a k k -a ) k a k a 知直线l 的斜率为 k 2 - a 2 1 -a 2k 2 k 2 a 2 1 a 2k 2 = k _1 2a k _ -2a k (a 2 1)k ~T2 2 ^~2 k a 1 a k 直线l 的方程为 k 2 -1 2 (a 2 - (x- 2a 2k k 2 a 2 k 2 a 2 k 2 -1 a 2 -1 2 (a 2 - a 2 1 -直线l 过定点0, a 2 -1 a 2 1
化简得(a 2 b 2 )x 2 —2a 2 cx a 2c 2 -a 2b 2 令 A(x i ,y i ), B(X 2 , y 2), 2 贝 y X i X 2 |a -c ^,x i x 2 a +b 2 2 a c 2 2 a b a 2 b 2 由OA OB =(为 X 2 ,% y 2 ), a =(3,- 1),OA OB 与a 共线，得 3(% y 2)(x i X 2) =0. y i =Xi -cy 7 -c, 3( x 2 -2c)区 x 2) = 0, 3c 2 . 二至,所以a 2 =3b 2. X-| x 2 2a 2c a 2 b 2 2 2 16a c = a 「b , 3 I 故离心率e = c —. (II )证明：由(I )知a 2 =3b 2 ，所以椭圆 2 2 0 y__ a 2 b 2 x 2 3y 2 =3b 2 . 设OM =(x,y),由已知得(x,y) = (Xi,y )；； ■丄化 小), x =檢1 + %, 「? J y =环卡%. (2)设M 为椭圆上任意一点，且OM 「OA .OB(.i R), 证明，」为定值. 2 2 笃与=1(a b ■ 0), F(c,0), a b 2 2 则直线AB 的方程为y=x —c,代入笃吕 a b (I )解：设椭圆方程为