高中数学 简单线性规划问题教案 新人教A版必修
3.3.2 简单线性规划问题
从容说课
本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个具体的二元一次不等式（组）入手，来研究一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作出其平面区域，并通过直线方程的知识得出最值.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的知识的巩固.
“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力.
依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次.
本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.
本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力.
教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.
教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.
课时安排 3课时
三维目标
一、知识与技能
1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;
2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.
二、过程与方法
1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;
2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.
三、情感态度与价值观
1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;
2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.
教学过程
第1课时
导入新课
师前面我们学习了二元一次不等式A x+B y+C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下.
（生回答）
推进新课
［合作探究］
师在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.
例如，某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，应如何列式？
生 由已知条件可得二元一次不等式组：?????
????≥≥≤≤≤+.
0,0,124,164,82y x y x y x
师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？
生 （板演）
师 对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P （x,y ）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x 、y 才有意义.
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得利润为z ，则如何表示它们的关系？
生 则z=2x+3y.
师 这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足上述不等式组并且为非负整数时，z 的最大值是多少？
［教师精讲］
师 把z=2x+3y 变形为z x y 3
132+-
=,这是斜率为32
-，在y 轴上的截距为31z 的直线.当z 变
化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.
生 当z 变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）
师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线
z x y 3
1
32+-=，这说明，截距z[]3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线
z x y 3
1
32+-=与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距3z 最大时，z 取
最大值，因此，问题转化为当直线z x y 31
32+-=与不等式组确定的区域有公共点时，可以在
区域内找一个点P ，使直线经过P 时截距3
z
最大.
由图可以看出，当直线z x y 3
1
32+-=经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，截
距3z 最大，最大值为3
14.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.
［知识拓展］
再看下面的问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l 0:2x+y=0.
然后，作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y∈［3,12］.
若设t=2x+y ，式中变量x 、y 满足下列条件??
?
??≥≤+-≤-.1,2553,34x y x y x 求t 的最大值和最小值.
分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC .
作一组与直线
l 0平行的直线：l:2x+y=t,t ∈R（或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y∈［3,12］.
(1)
从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l 0：2x+y=0上.作一组与直线l 0平行的直线（或平行移动直线l 0)l:2x+y=t,t∈R.
可知，当l 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x,y)满足2x+y ＞0,即t ＞0. 而且，直线l 往右平移时，t 随之增大（引导学生一起观察此规律）.
在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点B （5，2）的直线l 2所对应的t 最大，以经过点A （1，1）的直线l 1所对应的t
最小.所以t m a x =2×5+2=12,t min =2×1+3=3.
(2)
(3)
［合作探究］
师诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.
那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
课堂小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.
2.设t=0，画出直线l0.
3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.
4.最后求得目标函数的最大值及最小值.
布置作业
1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本 1 000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？
分析：将已知数据列成下表：
甲原料（吨）乙原料（吨）费用限额成本 1 000 1 500 6 000
运费500 400 2 000
产品90 100
解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则
?
?
?
?
?
?
?
≤
+
≤
+
≥
≥
,
2000
400
500
,
6000
1500
1000
,0
,0
y
x
y
x
y
x
z=90x+100y.
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：
由
?
?
?
=
+
=
+
.
20
4
5
,
12
3
2
y
x
y
x
得
?
?
?
??
?
?
=
=
.
7
20
,
7
12
y
x
令90x+100y=t，作直线:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t，当90x+100y=t过点M
（
7
12
,
7
20
）时，直线90x+100y=t中的截距最大.
由此得出t的值也最大，z m a x=90×
7
12
+100×
7
20
=440.
答：工厂每月生产440千克产品.
2.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？
解：设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，
则??
?
??≥≥≤+≤+.0,0,93,82y x y x y x 目标函数为z=2x+3y.
作出可行域：
把直线l ：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=2x+3y 取得最大值.
解方程?
??=+=+,93,82y x y x 得M 的坐标为（2，3）.
答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润.
3.课本106页习题 3.3A 组2.
第2课时
导入新课
师 前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.
师 同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.
生（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;
（2）设t=0，画出直线l 0;
(3)观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解;
(4)最后求得目标函数的最大值及最小值.
推进新课
师 【例1】 已知x 、y 满足不等式组????
???≥≥≤+≤+,
0,0,2502,
3002y x y x y x 试求z=300x+900y 的最大值时的整点的坐
标及相应的z 的最大值.
师分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点.
解：如图所示平面区域A O BC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组
?
?
?
?
=
+
=
+
250
2
300
2
y
x
y
x
?
?
?
??
?
?
=
=
,
3
200
,
3
350
y
x
得C（
3
350
,
3
200
），
令t=300x+900y，
即,
900
3
1t
x
y+
-
=,
欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距t[]900的最大值，从而可求t的最大值，因直线900
3
1t
x
y+
-
=与直线x
y
3
1
-
=平行，故作x
y
3
1
-
=的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，z m a x=300×0+900×125=112 500.
师【例2】求z=600x+300y的最大值，使式中的x、y满足约束条件3x+y≤300，x+2y≤250，x≥0,y≥0的整数值.
师分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.
解：可行域如图所示.
四边形A O BC，易求点A（0，126），B（100，0）,由方程组
?
?
?
?
=
+
=
+
252
2
300
3
y
x
y
x
?
?
?
??
?
?
=
=
.
5
1
91
,
5
3
69
y
x
得点C 的坐标为（5369
,5
1
91). 因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y 取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y ，可知当x=70,
y=90时，z 取最大值为z m a x =600×70+300×900=69 000.
师 【例3】 已知x 、y 满足不等式??
?
??≥≥≥+≥+,0,0,12,
22y x y x y x 求z=3x+y 的最小值.
师 分析：可先找出可行域，平行移动直线l 0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值.
解：不等式x+2y≥2表示直线
x+2y=2上及其右上方的点的集合；
不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合.
可行域如右图所示.
作直线l 0:3x+y=0，作一组与直线l 0平行的直线l:3x+y=t(t∈R). ∵x、y 是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.
由图可知：
当直线l:3x+y=t 通过P （0，1）时，t 取到最小值1，即z min =1.
师 评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解.
师 课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.
（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件??
?
??-≥≤+≤.1,1,
y y x x y
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
?
?
?
?
?
≥
-
+
≤
≤
+
.3
5
,1
,
15
3
5
y
x
x
y
y
x
［教师精讲］
师（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
?
?
?
?
?
-
≥
≤
+
≤
.1
,1
,
y
y
x
x
y
解：不等式组表示的平面区域如右图所示：
当x=0,y=0时，z=2x+y=0，
点（0，0）在直线l0:2x+y=0上.
作一组与直线l0平行的直线l:2x+y=t,t∈R.
可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.
所以z m a x=2×2-1=3.
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
?
?
?
?
?
≥
-
+
≤
≤
+
.3
5
,1
,
15
3
5
y
x
x
y
y
x
解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.
从图示可知直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直
线所对应的t最小，以经过点（
8
9
,
8
17
）的直线所对应的t最大.
所以
z min =3×(-2)+５×(-1)=-11,z m a x =3×89+5×8
17=14. ［知识拓展］
某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤4 t ；生产乙种产品需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过360 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过300 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t ），能使利润总额达到最大？
师 分析：将已知数据列成下表：
消耗量 产品 资源
甲产品（1 t ） 乙产品(1 t)
资源限额（t ）
A 种矿石（t ） 10 4 300
B 种矿石(t)
5 4 200 煤(t) 利润（元）
4 9 360
600
1 000
解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，
那么?????
????≥≥≤+≤+≤+;
0,0,36094,20045,
300410y x y x y x y x
目标函数为z=600x+1 000y.
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.
作直线l:600x+1 000y=0,
即直线:3x+5y=0,
把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y 取最大值.
解方程组??
?=+=+,
36094,
20045y x y x
得M 的坐标为x=
29360≈12.4,y=29
1000
≈34.4. 答：应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大.
课堂小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.
（2）设t=0，画出直线l 0.
（3）观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.
（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.
以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解.
当然也要注意问题的实际意义
布置作业
课本第105页习题3.3A 组3、4.
第3课时
导入新课
师 前面我们已经学习了
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤以及以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤.这节课我们继续来看它们的实际应用问题.
推进新课
师 【例5】 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食
物B 各多少克？
师
分析：将已知数据列成下表：
食物/kg
碳水化合物/k g
蛋白质/kg 脂肪/kg A 0.105 0.07 0.14 B
0.105
0.14
0.07
若设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，如何列式？
生 由题设条件列出约束条件①?????
????≥≥≥+≥+≥+0,
y 0,x 0.06,0.07y 0.14x 0.06,0.14y 0.07x 0.075,0.105y 105x .0
其目标函数z=28x+21y.
二元一次不等式组①等价于②?????
????≥≥≥+≥+≥+.
0,0,6714,6147,577y x y x y x y x
师 作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.请同学们在草稿纸上完成，再与课本上的对照.
生 考虑z=28x+21y,将它变形为
28
34z x y +-=,这是斜率为34
－、随z 变化的一族平行直
线.28z 是直线在y 轴上的截距，当28
z 取得最小值时，z 的值最小.当然直线与可行域相交，即
在满足约束条件时目标函数z=28x+21y 取得最小值.
由图可见，当直线z=28x+21y 经过可行域上的点M 时，截距z[]28最小，即z 最小.
解方程组???=+=+6
714,577y x y x 得点M(71,74)，因此，当71=x ,74
=y 时，z=28x+21y 取最小值，最
小值为16.
由此可知每天食用食物A 约143克，食物B 约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.
师 【例6】 在上一节课本的例题（课本95页例3）中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元.那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？
学段 班级学生数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中 45 2 26/班 2/人 高中
40
3
54/班
2/人
师 由前面内容知若设开设初中班x 个，高中班y 个，收取的学费总额为z 万元,
此时，目标函数z=0.16×45x+0.27×40y,可行域如下图
把z=7.2x+10.8y 变形为54
532z x y +-=，得到斜率为-32－，在y 轴上截距为545z
，随z 变化的
一组平行直线.
由图可以看出，当直线z=7.2x+10.8y 经过可行域上的点M 时，截距
54
5z
最大，即z 最大. 解方程组??
?=+=+40
2,
30y x y x 得点M （20,10），因此，当x=20,y=10时，z=7.2x+10.8y 取最大值，最
大值为252.
由此可知开设20个初中班和10个高中班时，每年收取的学费总额最多，为252万元.
师 【例7】 在上一节例4中（课本96页例4），若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元，若生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
生 若设生产x 车皮甲种肥料，y 车皮乙种肥料，能够产生的利润z 万元.目标函数z=x+0.5y,
可行域如下图：
把z=x+0.5y 变形为y=-2x+2z,得到斜率为-2，在y 轴上截距为2z,随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线y=-2x+2z 经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大.
解方程组??
?=+=+10
4,
661518y x y x 得点M(2,2),因此当x=2,y=2时，z=x+0.5y 取最大值，最大值为3.
由此可见，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元.
［教师精讲］
师 以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解.
当然也要注意问题的实际意义. 课堂小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；
（2）设t=0，画出直线l 0；
（3）观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解；
（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.
以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解.
当然也要注意问题的实际意义. 布置作业
课本第105页习题3.3 B 组1、2、3
板书设计 第1课时
简单线性规划问题
图1
课堂小结 线性规划问题的相关概念
图2 第2课时
简单线性规划问题
例1
课堂小结 例3
例2 第3课时
简单线性规划问题
例5
课堂小结 例7
例6 习题详解
（课本第104页练习）
1.(1)目标函数为z=2x+y ，可行域如图所示，作出直线y=-2x+z,可知z 要取最大值，即直线经过点C 时，
解方程组?
??-==+,1,
1y y x 得C （2，-1），
所以z m a x =2x+y=3.
（2）目标函数为z=3x+5y,可行域如图所示，作出直线z=3x+5y,可知直线经过点B 时，z 取得最大值;直线经过点A 时，z 取得最小值.
解方程组
??
?=-+=35,1y x x y 和?
??=++=.1535,
1y x x y 可得点A （-2，-1）和点B （1.5,2.5）. 所以z m a x =17， z min
=-11.
2.设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z ，目标函数为z=3x+2y ，需要满足的条件是
????
??
?≥≥≤+≤+,
0,0,5002,4002y x y x y x 作直线z=3x+2y ，当直线经过点A 时，z 取得最大值.
解方程组
??
?=+=+,
5002,
4002y x y x 可得点A （200，100）,z 的最大值为800.
(课本第106页习题 3.3)
A 组
1.画图求解二元一次不等式：
（1）x+y≤2;
(2)2x-y ＞2;
(3)y≤-2;
(4)x≥3.
2.
3.解：设每周播放连续剧甲x 次，播放乙连续剧y 次，目标函数z=60x+20y,所以题目中包含的
限制条件为????
???≥≥≥+≤+,
0,0,
6,3204080y x y x y x 解方程组???=+=+6,3204080y x y x 得（2，4）.所以z 的最大值为200
（万）.
4.解：设每周生产空调器x 台、彩电y 台，则生产冰箱12-x-y 台，产值为z ，目标函数为z=4x+3y+2(120-x-y)=2x+y+240,所以题目中包含的限制条件为
????
????
?≥≥≥--≤--++,0,
0,
20120,40)120(413121y x y x y x y x 即???????≥≥≤+≤+.0,0,100,1203y x y x y x 可行域如图，解方程组??
?=+=+,
100,
1203y x y x 得M 点坐标为（10，90）.所以每周应生产空调器10台，
彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是1 050千元.
B 组
1.
2.
3.解：设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z ，则乙粮库要向A 镇运送大米（70-x ）吨、向B 镇运送大米（110-y ）吨，目标函数（总运费）为 z=12×20×x+25×10×y+15×12×(70-x)+20×8×(110-y)=60x+90y+30 200.
所以题目中包含的限制条件为
????
??
?≥≤≤≤-+-≤+.
0,700,80)110()70(,
100y x y x y x 所以当x=70,y=30时，总运费最省,z min =37 100（元），
所以当x=0,y=100时，总运费最不合理,z m a x =39 200（元）.
使国家造成不该有的损失2 100元.
答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向
B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37 100元.最不合理的调运方案是甲粮库要向A 镇运
送大米0吨、向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨、向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39 200元，使国家造成损失2 100元.
备课资料
备用习题
1.某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润40元，B 种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间：（单位：分钟）
混合 烹调 包装 A 1 5 3 B
2
4
1
每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多只能用30小时，包装的设备只能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？
分析：找约束条件，建立目标函数.
解：设生产A 种糖果x 箱，B 种糖果y 箱，可获得利润z 元，则此问题的数学模式在约束条件
?????
????≥≥≤+≤+≤+0
,0,9003,180045,7202y x y x y x y x 下，求目标函数z=40x+50y 的最大值，作出可行域，其边界O A ：y=0，AB ：
高中数学简单的线性规划教案教学设计
课题：简单的线性规划 一、教材分析： 1、教材的地位与作用： 线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用。本节 内容是在学习了不等式、直线方程的基础上，利用不等式和直线方程的有关知识 展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解。通过这一部分的学习， 使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，体验数形结合和转化的思想方 法，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。 2、教学重点与难点： 重点：画可行域；在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。 难点：在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。 二、目标分析： 在新课标让学生经历“学数学、做数学、用数学”的理念指导下，本节课 的教学目标分设为知识目标、能力目标和情感目标。 知识目标： 1、了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行 域和最优解等概念； 2、理解线性规划问题的图解法； 3、会利用图解法求线性目标函数的最优解． 能力目标： 1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力。 2、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力。 3、在对具体事例的感性认识上升到对线性规划的理性认识过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力。 情感目标： 1、让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用，品尝学习数学的乐趣。
2、让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神； 3、让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。 三、过程分析： 数学教学是数学活动的教学。因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节：1、创设情境，提出问题；2、分析问题，形成概念；3、反思过程，提炼方法；4、变式演练，深入探究；5、运用新知，解决问题；6、归纳总结，巩固提高。 1、创设情境，提出问题： 在课堂教学的开始，我以一组生动的动画（配图片）描述出在神奇的数学王 国里，有一种算法广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划等领域， 应用它已节约了亿万财富，还被列为20世纪对科学发展和工程实践影响最大的十 大算法之一。它为何有如此大的魅力？它又是怎样的一种神奇算法呢？我以景激 情，以情激思，点燃学生的求知欲，引领学生进入学习情境。 接着我设置了一个具体的“问题”情境，即2006世界杯冠军意大利足球队（插 图片）营养师布拉加经常遇到的这样一类营养调配问题： 甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本如下表： 布拉加想购这三种食物共10千克，使之所含维生素A不少于4400单位，维生 素B不少于4800单位，问三种食物各购多少时成本最低，最低成本是多少？ 同学们，你能为布拉加解决这个棘手的问题吗？ 首先将此实际问题转化为数学问题。我请学生完成这一过程如下： 解：设所购甲、乙两种食物分别为x、y千克，则丙食物为10－x－y千克. 由题意可知x、y应满足条件：
数学3.3《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教案二(新人教A版必修五)
二元一次不等式(组)与平面区域 第二课时 （1）教学目标 （a ）知识与技能：懂得将实际问题转化为线性规划问题 （b ）过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第二节课，学生已经学会了如何画出一元二次不等式(组)所表示的平面区域.这节课主要是通过实际生活中的例子提供给学生应用数学的实践机会。教师要善于引导学生思维,调动学习兴趣,让他们乐学并巧学,真切体会到数学在生活中的妙用.针对本堂课的特点,采用多媒体教学可更好地促进教学双赢 （c ）情感与价值：培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，加强学生之间的合作互助精神,并从数形结合中得到辨证唯物主义的思想教育 （2）教学重点、教学难点 教学重点：探讨如何将实际问题转化为线性规划问题 教学难点：如何将实际问题转化为线性规划问题 （3）学法与教学用具 通过分组讨论,让学生在活动中学会沟通和合作,提高分析和处理信息的能力.充分尊重学生的自主性,以学生探究为主,教师点拨为辅,重在培养创新 直角板、投影仪（多媒体教室） （4）教学设想 1、 设置情境 提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。 2、 新课讲授 例1、（幻灯片放映）某人准备投资1200万元兴办一所完全学校，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位） 请学生分组讨论,寻找共同点,汇总结论,互相补充，得到正确解答 解：设开设初中班x 个，高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20到30之间，所以有 2030x y ≤+≤ 考虑到所投资金的限制，得到 265422231200,x y x y ++?+?≤ 即 240x y +≤ 另外，开设的班数不能为负，则 0,0x y ≥≥ 把上面四个不等式合在一起，得到 （学生口答）
《简单的线性规划问题》教案
《简单的线性规划问题》教学设计 （人教A版高中课标教材数学必修5第三章第3.3.2节） 祁东二中谭雪峰 一、内容与内容解析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中第3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 本课内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法． 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.本节内容是在学习了不等式和直线方程的基础上，利用不等式和直线方程的有关知识展开的.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出.简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想. 通过这一部分的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，体验数形结合和转化的思想方法，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力. 二、教学目标 一）、知识目标 1.了解线性规划的意义、了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念. 2.理解线性规划问题的图解法 3. 会用图解法求线性目标函数的最优解. 二）、能力目标 1.在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力. 2.在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力.
3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想. 三)、情感目标 1.让学生体验数学来源于生活，服务于生活，品尝学习数学的乐趣. 2.让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神. 三、教学重点、难点 重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解. 难点：借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y 轴上的截距与z最值之间的关系. 四、学习者特征分析 1. 已经掌握用平面区域表示二元一次不等式（组） 2. 初步学会分析简单的实际应用问题 3. 能根据实际数据假设变量，并从中抽象出不等的线性约束条件并用相应的平面区域进行表示 本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难： 1.将实际问题抽象成线性规划问题； 2.用图解法解线性规划问题中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？如何想到要这样转化？ 3.数形结合思想的深入理解. 五、教学与学法分析 本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法.课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等. 1.设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望； 2.提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验.
简单的线性规划教案[1]
简单的线性规划教案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
简单的线性规划【教学目标】 1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】 1.课题导入 [复习提问] 1、二元一次不等式0 +C Ax在平面直角坐标系中表示什么图形？ By + > 2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域应注意哪些事项 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 2.讲授新课 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组： 2841641200 x y x y x y +≤??≤?? ≤??≥?≥?? (1) （2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题： 进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ （4）尝试解答： 设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为： 当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？ 把z=2x+3y 变形为233z y x =-+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3z 的直线。 当z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，
人教版 高中数学 简单的线性规划问题教案
简单的线性规划问题 一、教学内容分析 普通高中课程标准教科书数学5（必修）第三章第3课时 这是一堂关于简单的线性规划的“问题教学”． 线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科 学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题. 简单的线性规划（涉及两个变量）关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源 一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以 最少的人力、物力、资金等资源来完成.突出体现了优化的思想． 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等的概 念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用. 二、学生学习情况分析 本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，又通过实例，理解了平面区域的意义， 并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问 题转化为数学问题. 从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关 系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日， 这都成了学生学习的困难． 三、设计思想 本课以问题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，以几何画 板作为平台，激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验 “从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象思维过程，应用“数形结 合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。 四、教学目标 1．了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；理解线性规划问题的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最优解． 2．在实验探究的过程中，让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、探索能力、合情推理能力及动手操作、勇于探索的精神； 3、在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力，体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用. 五、教学重点和难点 求线性目标函数的最值问题是重点；从数学思想上看，学生对为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？以及如何想到要这样转化？存在一定疑虑及困难；教学应紧扣问题实际，通过突出知识的形成发展过程，引入数学实验来突破这一难点．
高中数学 简单线性规划问题教案 新人教A版必修
3.3.2 简单线性规划问题 从容说课 本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个具体的二元一次不等式（组）入手，来研究一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作出其平面区域，并通过直线方程的知识得出最值.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的知识的巩固. “简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力. 依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次. 本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材. 本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力. 教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域. 教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.
简单线性规划问题教案
332简单线性规划问题 “简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简 单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视?线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益?它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题?中学 所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法一一数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力 依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等 价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知 识内容定为了解层次 本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材 本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力 教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答?解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解?为突 出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化课时安排2课时 三维目标 一、知识与技能 1. 掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念； 2. 运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题I 二、过程与方法 1. 培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力； 2. 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新. 三、情感态度与价值观 1. 通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、 归纳等数学能力； 2. 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于 创新.
高二数学教案：简单的线性规划(Word版)
高二数学教案：简单的线性规划 （2021最新版） 作者：______ 编写日期：2021年__月__日 【一】 教学目标 （1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域； （2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、
线性规化问题、可行解、可行域以及解等基本概念； （3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； （4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力； （5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新． 教学建议 一、知识结构 教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域．再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用． 二、重点、难点分析
本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域． 对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次： （1）二元一次不等式表示平面区域．首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念．明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）．其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线． （2）二元一次不等式组表示平面区域．在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础． 难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答． 对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的
二元一次不等式组与简单的线性规划问题教案样本
3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 课标要求与教材分析: 1．课标要求: ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。 ②了解二元一次不等式的几何意义, 能用平面区域表示二元一次不等式组。 ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题, 并能加以解决。 2．教材分析: 本单元包含两节, 3.3.1 主要内容是用平面区域表示二元一次不等式组的解集, 3.3.2主要内容是从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题, 并能加以解决。其中3.3.1是解决二元线性规划问题的基础, 应作为本单元的重点要求所有学生掌握。学情分析: 在初中, 学生已学过一元一次不等式组的的解法, 学生普遍具有利用不等式组解决问题的思想, 能熟练解一元一次不等式组及有关应用问题, 这用利于学生理解列二元一次不等式组解实际问题。也有利于学生理解二元一次不等式组解法。 在必修2中, 学生已学习了直线方程的有关知识, 多数学生能画出二元一次方程表示的直线, 这有利于学生学习用平面区域表示二元一次不等式的解集, 也有利于学生理解线性规划问题中最优解的确定方法。 教学目标: 1．.知识与技能目标: 了解二元一次不等式( 组) 、二元一次不等式的解和解集以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念; 了解二元一次不等式的几何意义, 能用平面区域表示二元一次不等式组。能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题, 并能加以解决。 2．过程与方法目标: 经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等式的过程, 体会类比的思想, 数学建模的思想。
3．情感态度与价值观目标: 经过解决线性规划实际问题, 使学生体会数学在解决工作生活问题时巨大作用, 增强学生学习的主动性经过探索二元一次不等式解集的过程, 培养学生的探索方法与精神。 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域 教学目标: 1．知识与技能目标: 了解二元一次不等式( 组) 、二元一次不等式的解和解集的概念。了解二元一次不等式的几何意义, 能用平面区域表示二元一次不等式组。 2．过程与方法目标: 经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等式的过程, 体会类比的思想、数学建模的思想。 3．情感态度与价值观目标: 经过探索二元一次不等式解集的过程, 培养学生的探索方法与精神。 教学重点与难点: 重点: 求二元一次不等式表示的平面区域。 难点: 理解二元一次不等式解集的几何表示。 教学方法与手段: 经过列表分析实例, 引导学生从复杂实际问题中抽象出二元一次不等式( 组) 。引导学生用类比喻法探索出解二元一次不等式的思路, 借助多媒体, 使学生认识到理解二元一次不等式解集的几何表示。 使用教材的构想: 1．3.3.1节分两课时完成, 第一课时学习二元一次不等式解集几何表示。第二课时学习如何求二元一次不等式组的解集。这样安排是因为理解二元一次不等式( 组) 解集的几何表示是一个难点, 而这一点直接关系到求二元一次不等式组的解集的学习以及后
《简单的线性规划问题》教案正式版
《简单的线性规划问题》教案 第三课时 （1）教学目标 (a) 知识和技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、 最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值 (b)过程与方法：本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性 (c)情感与价值：渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣 （2）教学重点、教学难点 — 教学重点：线性规划的图解法 教学难点：寻求线性规划问题的最优解 （3）学法与教学用具 通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模的思想；学生要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系 直角板、投影仪，计算机辅助教材 （4）教学设想 1、 设置情境 师：在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如教材第98页所例（投影） / （板书）设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，由已知条件可的二元一次不等式组： ※ 28,416,412,00 x y x y x y +≤??≤?? ≤??≥?≥??将上述不等式组表示成平面上的区域，如图中阴影部分的整点。 2、 新课讲授 （1）尝试 若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大 设生产甲产品x 乙产品y 件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为： 当x 、y 满足不等式※并且为非负整数时，z 的最大值是多少 ① 变 形 — — 把 22333 z z x y y x =+=-+转变为，这是斜率为 23-z ，在y 轴上的截距为的直线3 ；当z 变化时，可以得到一组互相平行的直线；233 z y x =-+当直线与不等式组确定的平面区域内有公共点时， 在区域内找一个点P ，
简单的线性规划教案
简单的线性规划教案文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
简单的线性规划 【教学目标】 1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】 1.课题导入 [复习提问] 1、二元一次不等式0 Ax在平面直角坐标系中表示什么图形 By + > +C 2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域应注意哪些事项 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 2.讲授新课 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题： 引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从
配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么 （1）用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组： 2841641200 x y x y x y +≤??≤?? ≤??≥?≥?? (1) （2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题： 进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大 （4）尝试解答： 设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为： 当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少 把z=2x+3y 变形为23 3 z y x =-+，这是斜率为23 -，在y 轴上的截距为3 z 的直线。当z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（2 83 3 y x =-+），这说明，截距3z 可以由平面内的一个点的坐标唯一确
2014人教A版数学必修五 3.3《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教案(4)
二元一次不等式组与简单的线性规划问题 【知识网络】 1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法； 2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值； 3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。 【典型例题】 例1：（1）已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则（ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0 C ．82300<+y x D ．82300>+y x 答案: D 。解析：将（1，2）代入l 得小于0，则003280x y +->。 （2）满足2≤+y x 的整点的点（x ，y ）的个数是 （ ） A ．5 B ．8 C ．12 D ．13 答案：D 。解析：作出图形找整点即可。 （3）不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域是 （ ） 答案：C 。解析：原不等式等价于?? ?≤-+≥+-?? ?≥-+≤+-0 30 1203012y x y x y x y x 或 两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域． （4）设实数x , y 满足20 240230 x y x y y --≤?? +-≥??-≤? ，则y x 的最大值为 ． 答案: 32 。解析：过点3(1,)2时，y x 有最大值32。 （5）已知12 24 a b a b ≤-≤??≤+≤?，求42t a b =-的取值范围 ． 答案： ]10,5[。解析：过点31 (,)22 时有最小值5，过点（3，1）时有最大值10。
例2：试求由不等式y ≤2及|x |≤y ≤|x |＋1所表示的平面区域的面积大小． 答案: 解：原不等式组可化为如下两个不等式组： ①???????≤+≤≥≥210y x y x y x 或 ②???????≤+-≤-≥≤2 10y x y x y x 上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分． 它所围成的面积S ＝21×4×2－2 1 ×2×1＝3． 例3：已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2 ＋2x ． (Ⅰ)求函数g (x )的解析式； (Ⅱ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围。 答案: (Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ， 则000 0,,2 .0,2 x x x x y y y y +?=?=-????+=-??=??即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上 ∴()2 2 2 22,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故 （Ⅱ）()()()21211h x x x λλ=-++-+ ①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数， 1λ∴=- ②11.1x λ λλ -≠-= +当时，对称轴的方程为 ⅰ）111, 1.1λ λλλ-<-≤-<-+当时,解得 ⅱ）111,10.1当时,解得λ λλλ ->-≥-<≤+ 0.λ≤综上， 例4：要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数量少？
简单的线性规划教案一
简单的线性规划教案一 【教学目标】 1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】 用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】 准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】 1.课题导入 [复习提问] 1、二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示什么图形？ 2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？ 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 2.讲授新课 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题： 引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组： 2841641200 x y x y x y +≤??≤?? ≤??≥?≥?? ……………………………………………………………….（1） （2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题： 进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ （4）尝试解答： 设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为： 当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？
简单的线性规划问题精品教案
简单的线性规划问题
附件一：教学结构流程图 附件二：《简单线性规划》复习提纲 附件三：《简单线性规划复习课》课堂导航
附件一：教学结构流程图 附件二：《简单线性规划》复习提纲 一、二元一次不等式表示的平面区域 1．给定一条直线0Ax By C ++=，它就将平面上的所有点划分成几类呢？ 2．给出一个二元一次不等式，它表示什么？表示时要注意什么？ 3．我们如何正确判断不等式所表示的平面区域是对应直线的哪一侧呢？你能用简单的一句话表述我们判断平面区域的方法吗？ 4．我们常用什么点代入直线方程来判断不等式所表示的平面区域是直线的哪一侧呢？ 二、二元一次不等式组表示的平面区域 1．二元一次不等式组表示的平面区域是怎样的？ 2．画二元一次不等式组所表示的平面区域时应注意哪些事项？ 三、线性规划问题 解线性规划问题需要了解以下概念：
1．线性约束条件： 2．目标函数： 3．线性目标函数： 4．可行解： 5．可行域： 6．最优解： 7．线性规划问题： 8．图解法解线性规划问题的步骤： ①画—— ②移—— ③求—— ④答—— 四、思考问题 请大家思考并总结出迅速判断二元一次不等式表示平面区域方法。 提示：大家可以画出几种不同的直线，分析直线的正、负区域，再考虑正、负区域与0Ax By c ++=中参数A B C 、、的符号的关系。 附件三：《简单线性规划复习课》课堂导航 一、课前准备 1．打开网页课件：打开IE ，输入网址“http://192.168.1.10”； 2．打开网上测试系统：打开“网上邻居”—“临近的计算机” —“teacher ”—“student ”—“Projectstudent.exe ”—选择自己的姓名—以自己的座号为密码登陆，再最小化。 二、课堂导航 1．我的学习我了解 打开网页中“学习要求”页面，分别点击左边三个链接，了解本节课的“学习目标”、“重点难点”以及本课的“学习提示”； 2．复习巩固 打开网页中“学习内容”页面，点击左边的三个链接，对复习提纲中的内容进行订正；点击问题，就会显示答案； 3．完成探究任务 考虑复习提纲中最后留给大家的思考问题，并打开几何画板课件（点击“探究实践”，选择“打开”）进行实验，填写下表：
3.3.2简单的线性规划(2)教案
3.3.2简单的线性规划问题(第四课时) 一、设计问题,创设情境 练习1：(1)作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分),即可行域. 将z1=x+y变形为y=-x+z1,这是斜率为-1、随z1变化的一簇平行直线. z1是直线在y轴上的截距.当然直线要与可行域相交,即在满足约束条件时目标函数z1=x+y取得最值. 由图可见,当直线z1=x+y经过可行域上的点B时,截距z1最小. 得B点的坐标为x=,y=. 所以z1的最小值为. 同理,当直线z1=x+y与可行域的边界x+y=6重合时,z1最大为6. (2)同理将z2=3x+y化为y=-3x+z2,这是斜率为-3的一簇平行直线.如图所示,当它过可行域上的点A(0,6)时,z2最小为6. (3)同理将z3=x+4y化为y=-x+,它是斜率为-的一簇直线.如图所示,当直线经过可行域上的点C时,最大,即z3最大. 解方程组 得点C的坐标为x=,y=. 所以z3的最小值为. 问题1：是目标函数对应的直线的斜率与可行域中边界对应的直线的斜率的大小关系不同导致的. 练习2：解：z=ax+y可化为y=-ax+z, 因为z=ax+y在可行域中的点B处取得最小值,
所以,直线z=ax+y与可行域只有一个公共点B或与边界AB重合,或与边界BC重合. 所以-2≤-a≤-. 所以实数a的取值范围是. 练习3：学生探究一：能够把可行域中的所有“整点”都求出来.求这些最优解时,可根据可行域对x的限制条件,先令x去整数,然后代入到可行域,求出y的范围,并进一步求出y的整数值. 学生探究二：因为x,y∈N,则必有x+y∈N.又因为当x=,y=时,z1的最小值为,且直线z1=x+y应该向上方(或右方,或右上方)移动,所以相对应的z1的值大于. 所以令z1=x+y=5,即y=-x+5,代入得 即1≤x≤3,所以当或时,z1取得最小值5. 问题2：结合等量关系,将“二元”问题转化为“一元”问题求解.当可行域范围较小,包含的整点个数很少时,方法一比较简洁;反之,方法二较为简洁. 二、使用规律,解决问题 【例题】解：设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,则 用图形表示以上限制条件,得到如图所示的平面区域(阴影部分). 由题意,得目标函数为z=x+y. 可行域如图所示. 把z=x+y变形为y=-x+z,得到斜率为-1、在y轴上截距为z的一族平行直线. 由图能够看出,当直线z=x+y经过可行域上的点M时,截距z最小. 解方程组 得点M.而此问题中的x,y必须是整数,所以M不是最优解.经过可行域内整点且使截距z最小的直线是
简单线性规划问题教案
3.3.2 “简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力 依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次 本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材 本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的 意识以及解决实际问题的能力 教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域 教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根 据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数 学化、代数问题几何化 课时安排2课时 三维目标 一、知识与技能 1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 二、过程与方法 1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力 2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新. 三、情感态度与价值观 1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力 2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.
简单的线性规划教案
简单的线性规划教案 ●教学目标 （一）教学知识点 用图解法解决简单的线性规划问题. （二）能力训练要求 能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题. （三）德育渗透目标 1.增强学生的应用意识. 2.培养学生理论联系实际的观点. ●教学重点 线性规划的两类重要实际问题：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小. ●教学难点 根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.尤其是最优解是整数解. ●教学方法 讲练结合法 结合典型的实际问题讲解怎样用图解法解决线性规划的两类重要实际问题. ●教具准备 投影片三张（或多媒体课件） 第一张：记作§7.4.3 A 内容：课本P 62图7—24. 第二张：记作§7.4.3 B 内容：课本P 63图7—25. 第三张：记作§7.4.3 C 内容如下： 解：设每天应配制甲种饮料x 杯，乙种饮料y 杯.则， ????? ????≥≥≤+≤+≤+0 03000103200054360049y x y x y x y x 作出可行域： 目标函数为：z =0.7x +1.2y 作直线l :0.7x +1.2y =0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点
C ，且与原点距离最大，此时z =0.7x +1.2y 取最大值. 解方程组?? ?=+=+, 3000103, 200054y x y x 得点C 的坐标为（200，240）. 所以，每天应配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯，能使该咖啡馆获利最大. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 上节课，我们一起探讨了如何运用图解法解决简单的线性规划问题. 生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题，其中有两类重要实际问题，下面我们就结合这两类问题的典型例题来探讨一下如何解决线性规划的实际问题. Ⅱ.讲授新课 第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大？ 例如：某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤4 t ；生产乙种产品需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过360 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过300 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t ），能使利润总额达到最大？ 产品 消耗量 资源 甲产品（1 t ） 乙产品(1 t) 资源限额（t ） A 种矿石（t ） 10 4 300 B 种矿石(t) 5 4 200 煤(t) 4 9 360 利润（元） 600 1000 那么????? ????≥≥≤+≤+≤+; 0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x 目标函数为：z =600x +1000y . 作出以上不等式组所表示的平面区域（或打出投影片§7.4.3 A ），即可行域.