数模案例集

案例一: 买房问题— Buying a House

背景资料：

张丽和王跃夫妻俩工作时间不太长，在这座繁华的大都市里，他们还没拥有属于自己的房子。近年城市中心的房地产价格上涨迅猛，所以他们改变了最初买新房子的计划，而准备买一所合适的二手房。经过一段时间多方寻找，终于在城南了解到一处房产。今天是星期六，他俩早早地如约去看了房子和环境。房产中介人小李告诉他们，房屋标价是￥400,000，而有超过10个买主都有购买的意向。如果他俩看好此房，应该在近一两天拍板，因为据他了解的情况，另外有一个买主可能今天下午会提出其买价。所以小李给他俩建议，如有意买此房，则他们所提出的买价应该要很接近￥400,000。中介人小李还告诉他们，根据他的中介交易经验，如果有另外的买主的报价也接近这个标价时，在有这种竞争报价时，一般情况下房主会通知中介人，要求买主在第二天提出他们的最终报价。

小张和小王为了作出这次重大的决策，他俩又再次详细考察了该房的所有情况。小王决定采用决策树的方法来分析他的这次重大决策。夫妻俩都认为￥400000的价格是比较公平合理的，同时，如果他们能最终买得此房的话，他们还为此房添加了￥10000的“情感价值”，也就是说，在他们夫妻俩的心中，该房值￥410000。这样，假如最终他们能以￥390000成功地买到此房就相当于他们额外赚了￥20000。当然，假如最终他们没能买到此房，那么这额外的附加值就为￥0。最后，小王经过分析认为，他们是此房的唯一报价人的可能性很小，其概率估计只有0.3。

反复考虑之后，小王决定今天下午就给中介人小李回话。接下来他准备分析三种报价：￥390000，￥400000或￥405000。他估计，如果他是唯一的报价买主的话，那么￥390000能成交的概率是0.4，￥400000能成交的概率是0.6，而￥405000能成交的概率是0.9。然而，不管怎么说，有很大的可能性是买主不只他一人。这样，中介人小李就会告诉他：“房主要求第二天提出其最终报价”。这时，小王就不得不重新考虑他应该怎么办：他可以取消报价而放弃买该房，他也可以再次报出与第一次同样的价格，还可以在第一次报价的基础上增加￥5000。小王认为，在有多人竟价的情况下，最终他们能以￥390000成功地买到此房的概率是0.2，以￥395000成功地买到此房的概率是0.3，以￥400000成功地买到此房的概率是0.5，以￥405000成功地买到此房的概率是0.7，而以￥410000成功地买到此房的概率是0.8。

案例二：土地开发权购买战略（简化版）

背景资料：

李正华，海景发展公司的总裁，正在考虑投标购买一块土地，这块土地将会在城市税务抵押拍卖会上以封标的形式出售。李正华最初的判断是投500万元的标。根据以往的经验，李正华判断500万元的标为最高标的概率为0.2，而如果竞标成功，海景将获得这块土地的开发权。此时的日期是7月1日，而这块土地的的封标必须在8月15日之前投出，且在9月1日宣布获胜的标。

如果海景投出最高的标进而获得这块土地的开发权，公司计划建设并出售一期高档公寓楼。然而，使此问题变得复杂的一个因素是这块土地新近被划分为仅作为单身家庭居住建设用地。李正华相信在11月选举的时候，居民会对此规划进行复决投票，而复决投票的结果将可能改变土地原来的规划，并允许在这块土地上盖高档公寓楼。

封标程序要求投标者随标附上金额为标额10%的有效支票。如果没有中标，这笔资金会被退回；如果中标了，这笔资金就作为购买这块土地的现金支付款。然而，如果中标了，但竞标者没有在6个月内完成购买手续且满足其他的财务上的要求，那么这笔资金就被没收充公。如果是这种情况，市政府就会把这块土地的开发权转给下一个最高竞标者。

为了确定海景是否应该投这500万元的标，李正华作了一些预期的分析。依据这些准备工作，李正华判断复决投票改变原有规划计划的概率为0.3。估计高档公寓楼建好后随之带来的支出和收益如下表所示：

如果海景获得了这块土地的开发权，但在11月的复决投票中改变规划被否决，李正华认为公司最佳的选择是不要完成土地的开发权的购买手续。这样的话，海景随标附上的10%的资金就会被没收充公。

由于规划复决投票被通过的可能性在这一决策过程中起着至关重要的作用，李正华建议公司聘请一家市场调查咨询服务公司对投票者进行调查，这一调查将对复决投票通过重新规划的可能性做出更为准确的判断。曾经与海景公司合作过的一家市场调查咨询公司同意以150 000元的价格接受这一调查任务。调查结果可在8月1日出来，这样的话，海景就可以在8月15日的投标截止日之前获得这方面的信息。调查的结果要么是预计重新规划被通过，要么是预计重

新规划被否决。在参考了该市场调查公司在以往为海景所做的几次调查中的表现，李正华得出了以下所示的就市场调查信息的准确度方面的概率估计：

P（A︱S1）= 0.9 P（N︱S1）= 0.1 ； P（A︱S2）= 0.2 P（N︱S2）= 0.8其中 A = 咨询公司给出预计投票者会改变原来规划咨询报告，

N = 咨询公司给出预计投票者不会改变原来规划咨询报告；

S1 = 投票者改变原来规划，

S2 = 投票者不改变原来规划。

案例三:渤海罐头食品厂

背景资料：

渤海罐头食品厂在东北地区算得上是一家比较完善的中型企业。该厂可以加工多种类型的罐头食品，全部以批发方式销售。由于该厂经营得力，信誉较高，因此其产品不仅畅销国内，还有相当数量已跻身海外，在过去的内外销售中盈利可观。

1986年8月10日（星期一）上午，主管生产经营的副厂长高东光通知财会科长、销售科长和质量管理科长到他的办公室商谈有关在本季节收获的西红柿果实的加工问题。按照预定合同，一批新鲜西红柿即将运到工厂，而西红柿罐头的成批生产必须在下个星期一开工。

按照通知的时间，财会科长魏连昆，销售科长叶荣祖首先来到高副厂长的办公室。几分钟后，质管科长田保善携带一份关于这批西红柿质量的调查报告也随后赶到。报告中指出：“这批西红柿共有1500吨，其中大约20%可评为纯 A 等，其余为混 C 等”。

高副厂长向叶科长仔细询问了下一年度中对西红柿罐头的需求情况，叶科长向大家汇报了有关这方面的需求预测（见表1）。他还告诉大家：“这些罐头产品的价格是根据本厂的长远战略规划而确定的，它们预示了本厂产品的潜在的销路。”

表1 渤海罐头食品厂西红柿罐头需求预测

听完叶科长的汇报后，魏科长首先发言。他认为本厂将有希望在西红柿罐头的生产中获利。根据他已建立的会计系统，可以有效地算出各种产品是利润。早在当年5月本厂与市郊农场签订了一份以每千克0.12元的平均价格购买一批西红柿的合同，魏科长便算出了该年加工西红柿果实可以获得的利润（见表2）。根据他分析，在加工整蕃茄罐头上可获得的且逐渐提高的利润远比其他产品的利润可观，而整蕃茄罐头的销路最佳，因此他认为本厂应当把这批西红柿果实全部用于加工整蕃茄罐头。

表２渤海罐头食品厂西红柿罐头利润（元／罐）

听到这里，田科长提醒魏科长注意：虽然工厂有足够的生产能力，但是将这批西红柿果实全部用于加工整蕃茄罐头是不可能的，因为这批西红柿原料中质量纯 A等的所占比例太小。根据本厂《质量管理规范》，西红柿原料及其制品的质量均按百分制评定，较高的分数代表较高的质量。依据《规范》，质管科对这批西红柿的质量评分为：纯 A等的每千克90分，混 C等的平均每千克40分。而用来制做整蕃茄罐头的西红柿原料的质量不得低于平均每千克80分，蕃茄汁不得低于平均每千克45分，而蕃茄酱不得低于平均每千克40分，这意味着可用于加工整蕃茄罐头的西红柿原料最多不超过300吨。

高副厂长认为这并不一定要作为对整蕃茄罐头产品的限制。他最近曾责令供应科派人跟农场商谈过以每千克0.18元的价格购买400吨纯 A等西红柿，但未谈成。不过，高副厂长仍然感到问题不是太大。

接着，叶科长根据他所做的一些计算结果发表了自己的见解。尽管他也同意魏科长关于本厂将有希望在西红柿罐头的生产中获利这一基本观点，但他认为这笔利润的获得并非取决于整蕃茄罐头的生产。叶科长说：“西红柿罐头的原料费用应是根据西红柿的质量与数量这两者来确定的，而不是单纯取决于数量。”基于这一观点，他重新计算了西红柿原料的费用：

设: x = 纯 A等西红柿的费用（元/千克）, y = 混 C等西红柿的费用（元/千克）

则有: 300000x + 1200000y = 1500000×0.12 , x/90 =y/40

解得: x = 0.216（元/千克）, y = 0.096（元/千克）

据此，再根据西红柿罐头的原料质量标准，他算出了每种西红柿罐头的原料费用与利润（见表3）。

表3 （单位：元/罐）

根据以上计算结果，叶科长认为：应取1000吨混 C等西红柿用于生产蕃茄酱，余下的200吨混 C等西红柿和所有的纯 A等西红柿用于生产蕃茄汁。若预测的需求量得以实现的话，则工厂将可以在本年度西红柿果实的加工中期望获得利润三万八千元。

案例四：特塞格公司（Texago Corporation）的选址问题

问题描述

特塞格公司（Texago Corporation）是一家设在美国本土的大型一体化石油公司。这家公司大部分的石油在公司自己的油田中生产，所需的其他部分从中东地区进口。公司拥有大型配送网络，把石油运送到公司的炼油厂，然后再把石油产品从炼油厂运送到公司的配送中心。这些设施的所在地如表1所示。

表1 特塞格公司目前设施的所在地

特塞格公司正在持续增加其几种主要产品的市场占有率。因此管理层决定建立一个新的炼油厂来增加公司的产量，同时增加从中东地区进口石油的数量。接下来所要作出的决策就是确定在什么地方建设新的炼油厂。新的炼油厂的加入对整个配送系统都将产生巨大的影响，其中包括要确定从每一个出发地运输到新的炼油厂的原油数量，以及从每一个炼油厂运送石油制品到每一个配送中心的数量。因此，影响管理者选择新炼油厂建设地点的三个关键因素是：

1、从出发地运送原油到所有炼油厂（包括新炼油厂）的成本；

2、从所有炼油厂（包括新炼油厂）运送石油制品到每一个配送中心的成本；

3、新的炼油厂的运作成本，包括劳动力成本、税赋、原料（不包括原油）成本、能源成本、

保险成本，等等。（资金成本并不是一个所要关心的因素，因为任何地点的资金成本几乎都是相同的。）

管理层决定成立一个特别工作小组来专门研究在什么地点建造这个新炼油厂的问题。经过大量的研究，特别工作组确定了三个非常有潜力和吸引力的备选地点。这些地点以及每一个地点的主要优势如表2。

表2 特塞格公司新炼油厂的备选建造地点他们的主要优势

收集必要的数据

特别工作小组需要收集大量的数据，其中一些数据甚至需要进行大量的挖掘工作，以此来对管理层提出的问题——新炼油厂的选址问题进行分析。

管理者希望所有的炼油厂（包括新炼油厂）都能够满负荷运转。因此，特别工作组需管理者希望所有的炼油厂（包括新炼油厂）都能够满负荷运转。因此，特别工作组需要确定这种种条件下每一个炼油厂每年所需要的原油数量是多少。使用100万桶为计量单位，这些需求量的数据如表3-1所示。表3-2各个油田每年的石油产量。这些数据在未来几年中预计将保持稳定。由于炼油厂所需要的原油总量为3.6亿桶，而公司的油田只能自己生产出2.4亿桶，所以不得不从中东进口1.2亿桶原油。

表3-1 特塞格公司的生产数据

表3-2

由于不管炼油厂建在什么地方，原油需总求量是不会改变的，特别工作小组以此得出结论：相关的生产和购买成本（不包括运输成本）与新炼油厂的选址无关；另一方面，原油从出发地运输到炼油厂的运输成本和新炼油厂的建立地点紧密相关。表4给出了从原油产地到现有三个炼油厂以及三个备选新炼油厂地点的运输成本。

另一个紧密联系的因素是把石油制品从炼油厂运送到公司配送中心的运输成本。如果加工一个单位原油就可以得到一个单位石油制品（中间没有什么消耗）的话，就可以列出这些运输成本，如表5所示，单位是百万桶。这个表的最后一行显示了每一个配送中心所需要的石油制品数量。

最后一个关键数据是每一个备选地点新炼油厂的运营成本。要对这些数据进行估计就要派出几名特别工作组的成员来收集相关的劳动力成本、税赋等详细数据。参照一个现在正在运营的炼油厂运营成本，可以帮助我们对这些数据进行提炼。而且特别工作组还要收集在这个地点建设新炼油厂所需要的土地成本、建设成本以及其他成本。然后以年金的形式摊销这些成本，就可以得到如表6所示的计算结果。

表4 特塞格向炼油厂运输原油的运输成本数据

表5 特塞格公司把石油制品运送到配送中心的运输成本数据

表6 特塞格公司在每一个备选地点建新炼油厂的估计运营成本数据

案例分析报告写作基本要求：

1、对问题背景材料的理解、认识。

2、对决策者应考虑的问题的分析、归纳。

3、针对问题应采用的优化模型的适应性描述。

4、对决策方案的应用环境分析。

5、报告完成过程的总结,体会。

案例五：邮件分检系统— Letter Mail System

背景资料：

美国辛辛拉提市邮局每日需处理大量邮件的分检，经调查，每日邮件量在400,000至4,000,000件之间。此外，对整日工作的邮政单位的统计表明 40%~60% 搜集和接受的邮件（一类）是在午后（16：00~18：00）来的。这种多变的情况表明，要充分利用自动系统（分信机）是困难的，且每台分信机的价格十分昂贵，市邮局现有一台分信机。

另一方面，采用人工分信却很灵活，因为在一天的高峰时间和一年的高峰期间可以将处理非重要信件的劳动力调去加强处理重要信件。同时，分信员是计时付酬的，因此可分配其在高峰时间工作。该邮局有三种不同信件用手工或机器处理。邮局信件处理系统如图1。

作为输入数据，对2,000,000封信件的典型总量进行分析。表一，表二分别给出了费用比较和分信能力的实际数据。图2描述了信件到达模式。

表一手工分信与机器分信费用的比较

表二分信机每班（8小时）单独处理信件的能力和每日信件数量

案例分析报告要求：

1．简述对案例的分析和理解；

2．决策变量的分析确定；

3．系统的目标分析；

4．分信系统的约束分析；

a．系统的能力约束

b．邮件到达量变化约束

5．建立线性规划模型来反映分信系统决策问题，求解并对其进行简单分析阐述。