概率-摸球问题
高二复习公开课《摸球问题的三种题型及解题方法》
摸球问题是古典概型中一类重要而常见的问题。 由于摸球的方式、 球色的搭配及最终考虑的问题不同
，
其内容可以说是形形色色、千差万别。
在高考中以摸球为背景的概率问题多种多样，但同学们对这一类问
题始终不能很好地分析和解答，为此有必要对以摸球为背景的问题类型做一次深入的归纳总结，以期让同 学提高解决这一类问题的能力。
下面我们通过三个典型的摸球问题来阐述解决此类问题的思想方法。 引例：盒中装有大小、重量相同的 5个小球，其中白色2个，黑色3个，
求下列事件的概率：（1）从中摸出3个小球，恰有一个是白色； （2） 连续摸球3次，每次摸一个，摸后不放回，第三次摸到白球；
（3） 连续摸球三次，每次摸一个，摸后放回，恰有两次摸到白球。 总结：以上三个问题，分别代表了摸球问题中常见
的三种类型，即 （1） 一次性摸取：
摸球的特点：一次摸够，元素不重复，无顺序。 解决的方法：用组合的思想去解决。 （2） 逐次、每次不放回摸取：
摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素不重复，但有顺序。 解决的方法：用排列的思想或分步计数原理去解决。 （3） 逐次、每次有放回摸取：
摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素重复，同一个（种）球每次被摸到的概率都一样。 解决方法：独立重复实验某事件恰好发生
k 次的概率。
为了让大家更好地理解并应用这三种思想方法来解决相关问题，我们再通过三个三个例题来加深大家 的印象： 例1?一
个口袋中装有大小相同的 2个白球和4个黑球。 （1） 从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
（2） 采取不放回的抽样方式，从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率。
例2 ?袋中有同样的小球 5个，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸一个，当两 种颜色的小球都被摸到时，即停止摸球，求至少摸球三次才停止游戏的概率。 例3.袋子中有若干个均匀的小球，其中红球
5个，白球10个。从袋中有放回地摸球，每次摸一个，有 3
次摸到红球即停止。求恰好摸 5次停止的概率是多少 总结：（1）解决此类问题，审题时注意看是否有“放回”
、“不放回”、逐次（或逐个）”等关键词，借助于
它们可以辨别该问题属于哪一类题型，若没有这些词汇更要注意正确理解题意，以便采取恰当的解题思想 和方法。 （2）排列组合是解决摸球问题的基本功，应在平时复习中加强排列组合问题的解题能力。 例4.袋中有10个球,其中7个红球3个白球，，则
例5.已知盒中装有3只螺口与7支卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着 ，现需要一只卡
口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则
（1）从中取2个，先摸到红球，后摸到白球的概率是
c ；c ； 30 （2）从中取2个，后一个摸到的是红球的概率是
c ；c 3 A A 2
21 40
例6 :(山东卷)盒中装着标有数字1, 2, 3, 4的卡片各2张，从盒中任取 3张，每张卡片被抽出的可能 性都相等，求：
(I )抽出的3张卡片上最大的数字是 4的概率； (n )抽出的3张中有2张卡片上的数字是 3的概率； (川)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率 .
解：(I ) “抽出的3张卡片上最大的数字是 4”的事件记为 A ,由题意
P(A)
(II ) “抽出的3张中有2张卡片上的数字是
3”的事件记为
B,则
(HI ) “抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为
c , “抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件
P(B)
C ；C
3 28
记为D ,由题意，c 与D 是对立事件，因为
P(D) C 4
C
32C 6
3 4 所以 P c 1 P D 1 -- 7 7
例7 ?某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有 球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖； 甲摸一次，乙摸两次.求 (1) 甲、乙两人都没有中奖的概率； (2) 甲、乙两人中至少有一人获二等奖的概率. 9个白球、 摸出两个红球获得一等奖 个红球的箱子中每次随机地摸出一个 现有甲、乙两位顾客，规定：
9 解: (1) P —
1Q 2
_9_
1Q
9 1Q (2 )方法一:
1 1Q
9 1Q
1
1Q 1
1Q
9 1Q
18 1 1Q 2 1Q
18 262 1Q 2 1QQQ
方法二:
F 2
9
262
方法三:
P 2
1Q
1Q 1Q 1Q
1Q 1Q 1QQQ
262
1Q 1Q 1Q 1Q 1Q 1QQQ
(1)他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为
c 乞A
7
P 学 ;
(2)他三次内取得卡口灯泡的概率为
A A 3A A,A 119
A 1。 A Q
A 3
Q 12Q
C 83
摸球问题
盒子里有同样数目的黑球和白球。每次取出8个黑球和5个白球，取出几次以后，黑球没有了，白球还剩12个。一共取了几次？盒子里共有多少个球？ 解题思路： 两种球的数目相等，黑球取完时，白球还剩12个，说明黑球多取了12个，而每次多取（8-5）个，可求出一共取了几次。 答题： 解：12÷（8-5）=4（次） 8×4+5×4+12=64（个） 或8×4×2=64（个） 答：一共取了4次，盒子里共有64个球。 在一个正方形的箱子里有形状大小完全相同的小球40个，其中红、黄、蓝、绿的各有10个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的颜色相同? 解答：将红黄蓝绿四种颜色看作4个抽屉，要保证一个抽屉中至少有3个小球，最"坏"的情况是每个抽屉里有2个小球，共有：4×2=8 (个)，再取1个就能满足要求，所以一次至少要取出9个小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同.
（2013铁一）现有两沓质地、颜色完全相同的扑克牌，每沓三张且都是1、2、3，那么从两沓中随意各抽取一张，则抽取的两张扑克牌上的数字之积为质数的概率是（） （2013铁一）掷两粒骰子，出现点数和为7，为8的可能性小的是（） 一共36种情况，和是7的有6种，可能性为6/36=1/6；和是8的有5种，可能性为5/36.所以和为8的可能性小。 13、请你帮助数学兴趣小组的同学们共同解决如下问题： 【研究问题】一个透明的盒子中装有若干个只颜色不一样的黄球与蓝球，怎样估算不同颜色球的数量？ 【操作方法】先从盒中摸出12个球，画上记号放回盒中，再进行，摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续。 【活动结果】摸球实验一共做了80次，统计结果如右图。
概率-摸球问题
高二复习公开课《摸球问题的三种题型及解题方法》 摸球问题是古典概型中一类重要而常见的问题。由于摸球的方式、球色的搭配及最终考虑的问题不同,其内容可以说是形形色色、千差万别。在高考中以摸球为背景的概率问题多种多样，但同学们对这一类问题始终不能很好地分析和解答，为此有必要对以摸球为背景的问题类型做一次深入的归纳总结，以期让同学提高解决这一类问题的能力。 下面我们通过三个典型的摸球问题来阐述解决此类问题的思想方法。 引例：盒中装有大小、重量相同的5个小球，其中白色2个，黑色3个， 求下列事件的概率：（1）从中摸出3个小球，恰有一个是白色； （2）连续摸球3次，每次摸一个，摸后不放回，第三次摸到白球； （3）连续摸球三次，每次摸一个，摸后放回，恰有两次摸到白球。 总结：以上三个问题，分别代表了摸球问题中常见的三种类型，即 （1）一次性摸取： 摸球的特点：一次摸够，元素不重复，无顺序。 解决的方法：用组合的思想去解决。 （2）逐次、每次不放回摸取: 摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素不重复，但有顺序。 解决的方法：用排列的思想或分步计数原理去解决。 （3）逐次、每次有放回摸取: 摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素重复，同一个（种）球每次被摸到的概率都一样。 解决方法：独立重复实验某事件恰好发生k次的概率。 为了让大家更好地理解并应用这三种思想方法来解决相关问题，我们再通过三个三个例题来加深大家的印象： 例1.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球。 （1）从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率； （2）采取不放回的抽样方式，从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率。 例2.袋中有同样的小球5个，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸一个，当两种颜色的小球都被摸到时，即停止摸球，求至少摸球三次才停止游戏的概率。 例3.袋子中有若干个均匀的小球，其中红球5个，白球10个。从袋中有放回地摸球，每次摸一个，有3次摸到红球即停止。求恰好摸5次停止的概率是多少？ 总结：（1）解决此类问题，审题时注意看是否有“放回”、“不放回”、逐次（或逐个）”等关键词，借助于它们可以辨别该问题属于哪一类题型，若没有这些词汇更要注意正确理解题意，以便采取恰当的解题思想和方法。 （2）排列组合是解决摸球问题的基本功，应在平时复习中加强排列组合问题的解题能力。 例4．袋中有10个球,其中7个红球3个白球, ,则 （1）从中取2个，先摸到红球，后摸到白球的概率是 11 73 2 10 7 30 C C P A == （2）从中取2个，后一个摸到的是红球的概率是 112 737 2 10 21 40 C C A P A + == 例5.已知盒中装有3只螺口与7支卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡使用,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则
第1课时 与摸球相关的等可能事件的概率第1课时 与摸球相关的等可能事件的概率教案
6．3 等可能事件的概率 第1课时 与摸球相关的等可能事件的概率 1．进一步理解概率的意义并掌握计算事件发生概率的方法；(重点) 2．了解事件发生的等可能性及游戏规则的公平性．(难点) 一、情境导入 一个箱子中放有红、黄、黑三个小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出黑色小球为赢，那么这个游戏是否公平？ 二、合作探究 探究点一：与摸球有关的等可能事件的概率 【类型一】 摸球问题 一个不透明的盒子中放有4个白色乒乓球和2个黄色乒乓球，所有乒乓球除颜色 外完全相同，从中随机摸出1个乒乓球，摸出黄色乒乓球的概率为( ) A.23 B.12 C.13 D.16 解析：根据题意可得不透明的袋子里装有6个乒乓球，其中2个黄色的，任意摸出1 个，则P (摸到黄色乒乓球)＝26＝13 .故选C. 方法总结：概率的求法关键是找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目．二者的比值就是其发生的概率． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 与代数知识相关的问题 已知m 为－9，－6，－5，－3，－2，2，3，5，6，9中随机取的一个数，则m 4 ＞100的概率为( ) A.15 B.310 C.12 D.35
解析：共有10个数，满足条件的有6个，则可得到所求的结果．∵m 为－9，－6，－5，－3，－2，2，3，5，6，9中随机取的一个数，只有(－3)4＝81，(－2)4＝16，34＝81，24＝16小于100，∴P (m 4>100)＝610＝35 .故选D. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题 探究点二：利用概率分析游戏规则是否公平 在一个不透明的袋中有6个除颜色外其他都相同的小球，其中3个红球，2个黄 球，1个白球． (1)小明从中任意摸出一个小球，摸到的白球机会是多少？ (2)小明和小亮商定一个游戏，规则如下：小明从中任意摸出一个小球，摸到红球则小明胜，否则小亮胜，问该游戏对双方是否公平？为什么？ 解析：(1)由题意可得共有6种等可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是白球的有1种情况，利用概率公式即可求得答案；(2)游戏公平，分别计算他们各自获胜的概率再比较即可． 解：(1)∵在一个不透明的口袋中有6个除颜色外其余都相同的小球，其中3个红球，2 个黄球，1个白球，∴P (摸出一个白球)＝16 ； (2)该游戏对双方是公平的．理由如下：由题意可知P (小明获胜)＝36＝12 ，P (小亮获胜)＝1＋26＝12 ，∴他们获胜的概率相等，即游戏是公平的． 方法总结：判断游戏是否公平，关键是看双方在游戏中所关注的事件所发生的概率是否相同． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 三、板书设计 1．等可能事件的概率计算 2．等可能事件的概率的应用 教学过程中，强调简单的概率的计算应确定事件总数及事件A 包含的数目．事件A 发生的概率P (A )的大小范围是0≤P (A )≤1，通过适当的练习，及时巩固所学知识，引导学生从练习中总结解题规律，培养学生独立思考与归纳总结的能力
摸球与概率考题题型透析
摸球与概率考题题型透析 摸球与概率问题是中考中的热点问题,这类问题涉及的类型比较多,如根据球的个数计算概率;根据概率估计球的个数等,下面以2008年中考出现的此类问题为例加以分析. 一、根据球的个数计算概率 例1（2008年自贡市）元旦游园晚会上，有一个闯关活动：将20个大小重量完全要样的乒乓球放入一个袋中，其中8个白色的，5个黄色的，5个绿色的，2个红色的.如果任意摸出一个乒乓球是红色，就可以过关，那么一次过关的概率为（ ）. （A ）32 （B ）41 （C ）51 （D ）101 分析:要计算一次过关的概率,实际是计算摸到红球的概率.根据袋子中有20个球,每个球除颜色外其他都相同,所以从中随机摸一个球,每个球被摸到的可能性相同,由于红球有2个,通过红球与总球数的比即可计算出概率. 解:一次摸到红球的概率为101 202 =,所以一次过关的概率为101 ,故选(D). 二、根据已知概率计算概率 例2 （2008年南京市）口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是 ． 分析：本题没有告诉口袋中总球数，而是告诉了一次摸出红球概率和白球的概率，要求一次摸出一个球为黑球的概率，只要用整体1减去摸出红球，黑球的概率即可. 解：摸出黑球的概率为1-0.2-0.5=0.3. 三、根据概率计算球的个数 例3（2008年贵阳市）在一个不透明的盒子中装有2个白球，n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为2 3，则n = ． 分析：要求黄球的个数，只要求出总球数，然后减去白球的个数即可. 解：因为盒子中有2个白球，而摸到白球的概率为2 3，所以总球数为3， 所以红球个数n=3-2=1. 四、计算概率判断说理 例4(2008年东莞市)一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个.若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5. (1)求口袋中红球的个数. (2)小明认为口袋中共有三种颜色的球，所以从袋中任意摸出一球，摸到红球、白球或黄 球的概率都是31 ，你认为对吗?请你说明理由. 分析: 本题是一道已知概率求球的个数,并通过计算概率来判断说理的试题.其中(1)要求红球的个数,可根据白球的概率计算出总球数,然后用总球数减去白球数再减去黄球数即可.(2)要判断小明的说法是否正确,只要求出从袋子中任摸一个球是各种球的概率，观察概率是否为31 即可作出判断.
取球问题(概率)
一袋中有2白2黑球，按下列情况，求取得一球恰是白球得概率 所以P （B ）= 小结： 在(1)中，由于有放回取 2次，4 4中包含着顺序问题，所以分子也应包 2 2 2 2 1 含顺序，即“一白一黑和一黑一白” ，P(A)= =丄。在(2)中由于无放回的取 4 4 2 2次，可以认为一次取2个，即c 2 ，而c'中与顺序无关，所以分子也应与顺序无关， 即c 2c 2。 C 1c 1 2 所以P(B)= —。当然(2)也可以这样解，分母为 4 3，而分子应为2 2 2 2， c 2 3 这是因为分母4 3中包含顺序，所以分子也应包含顺序，即“一白一黑和一黑一白” ，共有 2 2 2 2 2 2 2 2 2种取法。所以P(B)=- 4 3 3 2、袋中有10球，6白4红，用不放回的方式抽取 2个球，求下列事件的概率 (1) 抽到一红一白 (2) 至少抽到一白球 解：不放回的方式取 2球可以认为一次取2个，所以共有C ：o 种取法。(1)事件A “抽到一 1人取 球 取球问题 1、 （1） 从中每次取 1个, （2 ） 从中每次取 1个, 解: (1 )有放回取 2次, 恰是白球” 共有 4种取法，(与顺序有关)。事件A “取得一球 (2)无放回取两次, 2 2 2 2种取法。 所以 P （A ）= 2 2 2 2 =1 。 4 4 2 _ 2 共有 C 4种取法。事件 B “取得一球恰是白球”共有 C 2C 2种取法, 有放回的取2次。 无放回的取2次。 每次1个，共有4
红一白”共有C ；C ；种取法，P(A)= CC ^ =— Go 15 立事件“抽到2个红球”共有C ：种，P( B )= 1 3、袋中有 6只球， 4白、 2红，从袋中任取两球，求下列事件的概率 （1） 取出两球均为白球 （ 2）取出一红一白 练习： 1、袋中有白球 5 只，黑球 6 只，从中任取 3 只。 （1）取出 3 球中有 2 黑 1 白的概率 （2）取出 3 球中有 1 黑 2 白的概率 2、袋中有 7 只大小相同的球， 4 白 3 黑。 （1）有放回的从中任取 3 次，每次取 1 只，求 3 次都取得白球得概率。 （2）无放回的从中任取 3 次，每次取 1 只，求 3 次中至少有 1 次取得白球得概率 3、有 10 件产品， 8件正品， 2 件次品。 ⑴无放回的任取 2 件，出现次品的概率。 ⑵有放回的任取 2 件，出现次品的概率。 4、盒中有 6只灯泡， 2 只次品， 4只正品，有放回的任取 2 只，每次取一只，求下列事件的 概率 ⑴取到 2 只都是次品 ⑵取到 2 只中正、次品各一个 (2)事件B “至少抽到一白球”的对 13 15
考研数学解题技巧：摸球问题的化学解法
考研数学解题技巧：摸球问题的化学解 法 摸球问题可以演化为浓度问题。 甲袋中有4个白球和6个黑球，乙袋中有5白5黑，今从甲中任取两个球， 从乙袋中任取一个球放在一起，再从这三个球中任取一个球，则最后得到的是白球的概率为?KEY=13/30,如何做? 变化一下! 甲烧杯中溶液浓度40%，乙烧杯中溶液浓度50% ，从甲烧杯中取2个单位，从乙烧杯中取1个单位，求混合溶液的浓度。 (2*40%+50%)/3=13/30 白球4，黑球6，先摸一球，再拿掉两个白球，问先摸的一球为白的概率 解： 根据乘法原理，我们先拿掉两个白球，白球浓度为2/(4-2+6)=1/4即得! 袋中有3白球，4黑球，任取3个，换成2白2黑放入，再从袋中任取一球为白的概率! 解： 原溶液白球浓度3/7 取出3个单位 加入4个单位1/2浓度的溶液 求混合溶液浓度 [(7-3)*3/7+4*1/2]/7-3+4=13/28 从有3个白求5个红球的第一袋中任取1个放入已有2个白求4个红球的第2袋中，再从第二袋中任取一球，已知该球是白，求其属于原第一袋的概率? 解： 从浓度为3/8的第一个烧杯中取单位体积的溶液倒入第二个烧杯中。 从第二个烧杯中结析出一个白球，求来自第一杯的白球的概率 就是(3/8)/(3/8+2)=3/19 凯程教育张老师整理了几个节约时间的准则：一是要早做决定，趁早备考;二是要有计划，按计划前进;三是要跟时间赛跑，争分夺秒。总之，考研是一场“时间战”，谁懂得抓紧时间，利用好时间，谁就是最后的胜利者。 1.制定详细周密的学习计划。 这里所说的计划，不仅仅包括总的复习计划，还应该包括月计划、周计划，甚至是日计划。努力做到这一点是十分困难的，但却是非常必要的。我们要把学习计划精确到每一天，这样才能利用好每一天的时间。当然，总复习计划是从备考的第一天就应该指定的;月计划可以在每一轮复习开始之前，制定未来三个月的学习计划。以此类推，具体到周计划就是要在每个月的月初安排一月四周的学习进程。那么，具体到每一天，可以在每周的星期一安排好周一到周五的学习内容，或者是在每一天晚上做好第二天的学习计划。并且，要在每一天睡觉之前检查一下是否完成当日的学习任务，时时刻刻督促自己按时完成计划。 方法一：规划进度。分别制定总计划、月计划、周计划、日计划学习时间表，并把它们贴在最显眼的地方，时刻提醒自己按计划进行。
取球问题--(概率)
取球问题--(概率)
取球问题 一、 1人取球 1、一袋中有2白2黑球，按下列情况，求取得 一球恰是白球得概率 （1） 从中每次取1个，有放回的取2次。 （2） 从中每次取1个，无放回的取2次。 解：（1）有放回取2次，每次1个，共有44?种 取法，（与顺序有关）。事件A “取得一球恰是白球”共有2222?+?种取法。所以P(A)= 2222 44 ?+??=12 。 （2）无放回取两次，共有2 4 C 种取法。事件B “取得一球恰是白球”共有112 2 C C 种取法，所以P(B)= 11222 42 3 C C C =。 小结：在（1）中，由于有放回取2次，44?中包 含着顺序问题，所以分子也应包含顺序，即“一白一黑和一黑一白”， P(A)= 2222 44 ?+??=12 。在（2）中由于无放回的取2次，可以认为一次取2个，即2 4 C ，而24 C 中与顺序无关，所以分子也应与顺序 无关，即112 2 C C 。所以P(B)= 11222 42 3 C C C =。当然（2）也 可以这样解，分母为43?，而分子应为2222?+?，这
是因为分母43?中包含顺序，所以分子也应包含顺序，即“一白一黑和一黑一白”，共有2222?+?种取法。所以P(B)= 22222 433 ?+?= ? 2、袋中有 10球，6白4红，用不放回的方式抽 取2个球，求下列事件的概率 （1） 抽到一红一白 （2） 至少抽到一白球 解：不放回的方式取2球可以认为一次取2个， 所以共有2 10 C 种取法。（1）事件A “抽到一红 一白”共有116 4 C C 种取法，P(A)= 1164 210 C C C = 815 。（2） 事件B “至少抽到一白球”的对立事件“抽到2个红球”共有2 4 C 种，P(B )= 2421013115 C C -= 3、袋中有6只球，4白、2红，从袋中任取两球， 求下列事件的概率 （1） 取出两球均为白球 （2）取出一 红一白 练习： 1、袋中有白球5只，黑球6只，从中任取3只。 （1）取出3球中有2黑1白的概率 （2）取出3球中有1黑2白的概率
摸球与球放模型中的等可能概率问题的解决方案
摸球模型中的等可能概率问题 文/刘素梅 一、无放回的摸球概率问题 例1 设袋中有4个白球和2个黑球，现从袋中无放回地依次摸出2个球，求这2个球都是白球的概率. 解析 据题意可知基本事件数为26A ，取的2个球都是白球的事件记为事件A ，可能的 结果有2 4 A 种，所以这2个球都是白球的概率为()242625A P A A ==. 例2 设袋中有10个大小完全相同的小球，上面依次编号为1，2， ，10.每次从袋 中任取1个球，取出后不放回，求第5次取到1号球的概率. 解析 考虑到前5次取球的基本事件数为510A ，第5次取到1号球的事件记为事件A ， 可能的结果有4 9 A 种，所以第5次取到1号球的概率为()49510110A P A A ==.本题也可考虑10次取球的基本事件数为1010A ，第5次取到1号球的事件记为事件A ，可能的结果有99A 种，所 以第5次取到1号球的概率为()991010110 A P A A ==. 小结 解决无放回的摸球概率问题一定要坚持两条原则：(1)小球总是被看作互不相同； (2)分子与分母具有相同的意义. 二、有放回的摸球概率问题 例3 设袋中有4个红球和6个黑球，现从袋中有放回地摸球3次，求前两次摸到黑球第三次摸到红球的概率. 解析 (解法一)本题可以考虑用等可能事件的概率来求解.每次摸球的方法都是10种，摸球3次的方法总数，即基本事件总数为3 10101010??=，前两次摸到黑球第三次摸到红球的方法总数为66 4??，故前两次摸到黑球第三次摸到红球的概率为3 6640.14410P ??==. (解法二)本题也可以考虑用相互独立事件的概率来求解.设摸到红球为事件A ，摸到黑球为事件B ，由于每次摸到红球的概率都是0.4，每次摸到黑球的概率都是0.6，而每次摸到红球还是黑球相互独立，故前两次摸到黑球第三次摸到红球的事件为事件123B B A ，即()()()()1231230.60.60.40.144P B B A P B P B P A ==??=. 例4 设袋中有4个红球和6个黑球，现从袋中有放回地摸球200次，求红球恰好出现30次的概率. 解析 据题意可知基本事件数为20010，红球恰好出现30次的方法总数可理解为在200
数学概率中的摸球问题
1. （北京西城区）一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为. （Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率； （Ⅱ）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取3次，求恰有次抽到号球的概率； （Ⅲ）若一次从袋中随机抽取个球，记球的最大编号为，求随机变量的分布列. 2．（福州）一个袋子内装有若干个黑球，3个白球，2个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取一个白球得1分，每取一个红球得2分，用随机变量表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为 （Ⅰ）求袋子内黑球的个数； （Ⅱ）求的分布列与期望。 3、四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为、，记； (Ⅰ)求随机变量的分布列和数学期望； (Ⅱ)设“函数在区间上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率． 4、（温州十校）已知甲盒中装有1，2，3，4，5号大小相同的小球各一个，乙盒中装
有3，4，5，6，7号大小相同的小球各一个，现从甲、乙盒中各摸一小球（看完号码后放回），记其号码分别为，如果是3的倍数，则称摸球人为“好运人”． （1）求某人能成为“好运人”的概率； （2）如果有4人参与摸球，记能成为“好运人”的人数为，求随机变量的分布列（只需写出概率的式子）及数学期望． 5．(温州市适应性测试理科)盒子中装有大小相同的10只小球，其中2只红球，4只黑球，4只白球．规定：一次摸出3只球，如果这3 只球是同色的，就奖励10元，否则罚款2元． （I）若某人摸一次球，求他获奖励的概率； （II）若有10人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变量为获奖励的人数， （i）求（ii）求这10人所得钱数的期望． （结果用分数表示，参考数据：） 6. (承德)某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”. （Ⅰ）若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率； （Ⅱ）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为， 如果，求的取值范围；
二年级奥数 可能性与摸彩球
专题九 可能性与摸彩球 我发现： 生活中总有一些事情是一定发生的，有一些事情是一定不会发生的，还有一些事情会可能发生，例如早上太阳一定从东边升起，晚上一定不会从东边落下，有时阴天我们可能不会看到太阳。像这样可能会发生也可能不会发生的事情，我们叫可能性问题。 1、学会判断“一定”“一定不”“可能” 2、判断可能性的大小 例题一： 选择“可能”、“一定”、“一定不”填空。 （1）三十几加五十几，（）是80多。 （2）两位数乘一位数，积（）是三位数。 我身后还藏着两个直角呢！ （3）（）是正方形 （4）在除法中，余数（）比除数小。 （5）在分数中，分子、分母相等的分数（）等于1。
1、掷出一个骰子。 （1）骰子停止后朝上的点数一定是1~6中的一个数吗？（） （2）骰子停止后朝上的点数一定是1吗？（） （3）停止后朝上的点数是1与点数为双数相比，（）的可能性大？ 2、用符号表示下列事件。（一定——√、可能——○、不可能——×） ⑴.天空中飘过一片云彩，马上就会下雨。（） ⑵.在玩扑克牌时，每次都抓到大王。（） ⑶.天空晴朗时，用望远镜总能看到北斗星。（） ⑷.去商场的人，都买了商品。（） ⑸.地球在不停地转动。（） 例题二： 口袋里放着3个黄球和1个白球，眼睛不准偷看，任意从袋子里摸出一个球，会出现什么情况？请你实验一下。
1、当抽屉里放着5个红球，1个白球时，任意取一个球，很有可能是什么颜色？不大可能是什么颜色？ 2小红摸彩票想得头奖，这件事的可能性怎么样？ 例题三： 桌子上放着三只箱子，如下图，里面都分别装着10只球。如果任意摸一个，想要摸到黄球，从几号箱子里摸？ 3个白球 10个黄球 10个红球 （一） （二） （三） 习题三：
关于古典概型的计算(摸球问题)
关于古典概率的计算（抽签问题） 1. 两种抽样方法 在古典概率的计算中，将涉及到两种不同的抽取方法，我们以例子来说明：设袋内装有n 个不同的球，现从中依次摸球，每次摸一只，就产生两种摸球的方法。 （1） 每次摸出一只后，仍放回原袋中，然后再摸下一只，这种摸球的方法称为有放 回的抽样。显然，对于有放回的抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限 地进行下去。 （2） 每次摸出一球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称 为无放回的抽样。显然，对于无放回的抽样，依次摸出的球不出现重复，且摸 球只能进行有限次。 2. 计算古典概型的基本原则 初学者往往对于一些古典概率的计算望而生畏，究其原因，大都是没有掌握好计算古典概率的基本原则。拿到一个问题，首先应该分清问题是否与顺序有关？元素是否允许重复？如问题与顺序有关，元素不允许重复，那么应考虑用排列的工具，如此等等，计算 当然，我们并不排除对于某些问题用特殊的方法去解决。 3．例1 （抽签问题）袋中有a 根红签，b 根白签，它们除颜色不同外，其它方面没有差别， 现有a+b 个人依次无放回的去抽签，求第k 个人抽到红签的概率。 解：这是一个古典概型问题，问题相当于把一根一根抽出来，求第k 次抽到红签的概率。如 考虑把签一一抽 排成一列，问题与顺序有关，是一个排列问题，就产生以下几种解法： 记A k =“第k 个人抽到一根红签”。 （1） 把a 根红签和b 根白签看作是不同的（例如设想把它们编号），若把抽出的 签依次排成一列，则每个排列就是试验的一个基本事件，基本事件总数就 等于a+b 根不同签的所有全排列的总数为（a+b ）！ 事件A k 包含的基本事件的特点是：在第k 个位置上排列的一定是红签，有 a 种排法；在其它a+b-1个位置上的签的排列种数为（a+b-1）！，所以A k 包 含的基本事件数为a.（a+b-1）！，所求概率为： P A k =a . a +b?1 ！ a + b ！=a a + b （1≤k ≤a +b ） （2） 把a 根红签、b 根白签均看作是没有区别的，仍把抽出的签依次排列成一 列，这是一个含有相同元素的全排列，每一个这样的全排列就是一个基本 事件，基本事件总数就等于（a+b ）根含有相同签的全排列总数为 a +b ！ a ！. b ！。 事件A k 可看成在第k 个位置上放红签，只有一种放法，在其余的a+b-1个 位置上放余下的a+b-1根签，其中a-1根是没有区别的红签，b 根是没有区 别的白签，共有 a +b?1 ！ a?1 ！b ！种放法，所以A k 包含的基本事件数为 a +b?1 ！ a?1 ！b ！，
取球问题 (概率)
取球问题 一、 1人取球 1、一袋中有2白2黑球，按下列情况，求取得一球恰是白球得概率 （1） 从中每次取1个，有放回的取2次。 （2） 从中每次取1个，无放回的取2次。 解：（1）有放回取2次，每次1个，共有44?种取法，（与顺序有关）。事件A “取得一球 恰是白球”共有2222?+?种取法。所以P(A)= 2222 44 ?+??= 12 。 （2）无放回取两次，共有24C 种取法。事件B “取得一球恰是白球”共有11 22C C 种取法， 所以P(B)= 11 222 4 23 C C C = 。 小结：在（1）中，由于有放回取2次，44?中包含着顺序问题，所以分子也应包 含顺序，即“一白一黑和一黑一白”， P(A)= 2222 44 ?+??= 12 。在（2）中由于无放回的取 2次，可以认为一次取2个，即2 4C ，而2 4C 中与顺序无关，所以分子也应与顺序无关，即1 1 22C C 。所以P(B)= 1 1 222 423 C C C = 。当然（2）也可以这样解，分母为43?，而分子应为2222?+?， 这是因为分母43?中包含顺序，所以分子也应包含顺序，即“一白一黑和一黑一白”，共有 2222?+?种取法。所以P(B)= 2222 243 3 ?+?= ? 2、袋中有10球，6白4红，用不放回的方式抽取2个球，求下列事件的概率 （1） 抽到一红一白 （2） 至少抽到一白球 解：不放回的方式取2球可以认为一次取2个，所以共有2 10C 种取法。（1）事件A “抽到一 红一白”共有1 16 4 C C 种取法，P(A)= 11 64210 C C C = 815 。（2）事件B “至少抽到一白球”的对 立事件“抽到2个红球”共有2 4 C 种，P(B )= 2 4 2 10 13115 C C - = 3、袋中有6只球，4白、2红，从袋中任取两球，求下列事件的概率 （1） 取出两球均为白球 （2）取出一红一白
摸球中的概率
摸球中的概率 例1. （2005年武汉市）一个暗箱里装有10个黑球，8个白球，12个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（） A. B. C. D. 分析：因为每个球除颜色外都相同，所以从中任意摸出一个球的机会是等可能的，暗箱中共有球30个，其中白球8个，因此从中任意摸出一个球，那么，摸到白球的概率是，故应选取C。 例2. （2005年潍坊市）盒子里装有大小形状相同，质地均匀的3个白球和2个红球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀后，再摸出第二个球，则取出的恰是两个红球的概率是______________。 解析：因为球的大小形状相同，质地均匀，所以从中随机摸出一个球的机会是等可能的，盒子中共有球5个，其中红球2个，因此每次从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是，从而两次取出的恰是两个红球的概率应为：。 例3. （2005年长春市）袋中有一个红球和两个白球，它们除了颜色外都相同，任意摸出一个球，记下球的颜色，放回袋中，搅匀后再任意摸出一个球，记下球的颜色，为了研究两次摸球出现某种情况的概率，画出如下树状图1，（1）请把树状图填写完整；（2）根据树状图可知摸到一红一白两球的概率是______________。 图1 解析：（1）填写完整的树状图如图2所示； 图2 （2）根据树状图可知共可等可能地出现9种情况，而出现一红一白两球的情况有4次，所以摸到一红一白两球的概率是。 例4. （2005年贵阳市）一个盒子里有4个除颜色外其余都相同的玻璃球，1个红色，1个绿色、2个白色，现随机从盒子里一次取出两个球，则这两个球都是白球的概率是________________。 解析：可以看作是两次取球，第一次取球：盒子里共有球4个，其中白球2个，取得白球的概率为；第二次取球：盒子里只有球3个，其中白球只剩1个，取得白球的概率为，所以这两个球都是白球的概率为。 例5. （2005年宁波市）一个袋子中有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋子中任取2个珠子，都是蓝色珠子的概率是（） A. B. C. D. 解析：与例5类似，故应选D。 例6. （2005年宁夏回族自治区）口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，除颜色外，其余都相同，其中有红球4个，绿球5个，任意摸出一个绿球的概率是。求： （1）口袋里黄球的个数； （2）任意摸出一个红球的概率。 解析：（1）设黄球的个数为x个
与摸球相关的概率2
1. 某口袋中有20个球,每个球除颜色外都相同,其中白球x个,绿球2x个,其余为黑球,甲从袋中任意摸出一个球,若为绿球则获胜,甲摸出的球放回袋中,乙从袋中摸出一个球,若为黑球则获胜.若对甲、乙双方公平,则x等于( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 用8个除颜色外均相同的球设计一个游戏,使摸到白球与摸不到白球的可能性一样大,摸到红球的可能性比摸到黄球的可能性大,则游戏设计中白、红、黄球的个数可能是( ) A. 4,2,2 B. 3,2,3 C. 4,3,1 D. 5,2,1 3. 小杰想用6个除颜色外均相同的球设计一个游戏,下面是他设计的4个游戏方案.不成功的是( ) A. 摸到黄球的概率为,红球的概率为 B. 摸到黄、红、白球的概率都为 C. 摸到黄球的概率为,红球的概率为,白球的概率为 D. 摸到黄球的概率为,摸到红球、白球的概率都是 4. 如图,如果摸到黑球能获胜,你会选的盒子是( ) 5. 小颖和小明做游戏:一个不透明的袋子中装有6个完全一样的球,每个球上分别标有 1,2,2,3,4,5,从袋中任意摸出一个球,然后放回.规定:若摸到的球上所标数字大于3,则小颖赢,否则小明赢.你认为这个游戏公平吗?为什么?如果不公平,请修改游戏规则,使游戏公平.
6. 小华要设计一个摸球游戏,使得摸到红球的概率为,如果设计符合要求,那么他周末就可以逛公园了,但妈妈对他的设计作出如下要求:(1)至少有四种颜色的球; (2)至少有一个球是黄球.小华应该怎样设计呢? 7. 在一个不透明的袋中装有2个黄球,3个黑球和5个红球,它们除颜色外其他都相同. (1)将袋中的球摇均匀后,求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率; (2)现在再将若干个红球放入袋中,与原来的10个球均匀混合在一起,使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是,请求出后来放入袋中的红球的个数. 8. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球,其中红球4个,黑球6个. (1)先从袋子中取出m(m>1)个红球,再从袋子中随机摸出1个球,将“摸出黑球”记为事件A,请完成下列表格: 事件A 必然事件随机事件 m的值
青岛版数学六年级上册第二单元《摸球游戏——可能性》单元分析
《摸球游戏——可能性》单元分析 一、教学目标 1．借助摸球游戏，充分体验有些事情的发生是确定的，有些事情的发生是不确定的，能对生活中简单的随机现象发生的可能性大小作出确定性描述。 2．经历事件发生的可能性大小的探索过程，初步形成判断、推理的能力，获得初步的概率思想。 3．在解决问题的过程中，培养积极参与数学学习活动的兴趣，形成合作学习的意识，感受学习数学的乐趣。 二、教学内容： 本单元安排了1个信息窗。信息窗呈现的是甲、乙、丙三个小朋友捂着眼睛摸球的情境，借助问题“从甲袋里任意摸一个球，结果会怎样”、“从乙袋里任意摸一个球，结果会怎样”、“丙袋里有4个红球和1个黄球，任意摸一个，结果会怎样”，引入对事件发生的确定性、不确定性以及可能性大小的学习。 本单元教材编写的基本结构如下： 三、教材解读及学与教建议 （一）单元教材解读 本单元是学生在小学阶段唯一一次对概率知识的学习，是在学生已经积累了一些“可能性”方面的模糊的生活经验基础上学习的，又是以后学习较复杂的概率知识的基础。这部分学习内容相对抽象，因此，教学时要注重从学生已有的生活经验出发，引导学生借助有趣的游戏活动和直观图示进行学习，为后续学习打好基础。 本单元的教学重难点是初步感受不确定性事件发生的可能性有大有小。
教材编写特点是： 1．选取的素材富于趣味性与典型性。 针对学生的年龄特点，课本选取的素材生动有趣。通过摸球游戏，激发学生的学习兴趣，调动学生主动参与学习，使学生经历“激疑、猜想、验证”的过程。学生在生活中已经积累了“可能性”方面的一些模糊的生活经验，教材设计了简单鲜明的反映“确定性”与“不确定性”的摸球活动，使学生理解起来更直观，这种教学素材设计颇具典型性。 2．强调让学生亲自参与数学活动。 “合作探索”中，重视让每位学生参与活动，而且设计了与学生经验密切联系的统计方法，旨在引导学生经历统计和猜测的过程，感受统计的必要性和事件发生的可能性。 （二）单元学与教建议 1．联系实际，创设有趣的活动情境。 教学时，教师要组织学生积极参与教学活动，指导学生充分联系生活经验，经历摸球、统计、猜测和验证的全部过程，体会统计的必要性和事件发生的可能性。 2．加强小组合作，分享思维成果。 教学时，要组织学生小组分工合作，进行摸球实验，充分展开讨论，在交流中对事件发生的可能性有一个多角度的认识，从而拓宽学生的思路，提高思维的灵活性。 3．注重过程性评价。评价时，除了要对学生进行知识技能的评价外，更要关注学生在教学活动中的表现。比如，参与实验过程的主动性，小组讨论中的积极性等。 4．在活动设计环节中，教师要注意强调让学生在设计活动时考虑的要周全一些，要注意随机事件的影响，让学生明白一般情况下设计活动次数越多越能更好地反映规律。 5．本单元建议课时数：2课时。