2017年解放军军考数学真题及参考答案

2017年士兵高中军考数学真题

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德方军

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一、单项选择（每小题4分，共36分）．

1. 设集合A={y|y=2x ，x ∈R}，B={x|x 2﹣1＜0}，则A ∪B=（ ） A ．（﹣1，1） B ．（0，1） C ．（﹣1，+∞） D ．（0，+∞）

2. 已知函数f （x ）=a x +log a x （a ＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为（log a 2）+6，则a 的值为（ ） A ． B ．

C ． 2

D ．4

3. 设a b 、

是向量，则||=||a b 是|+|=|-|a b a b 的（ ） A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4．已知4213

5

3

=2,4,25a b c ==，则（ ）

A ．b

B ．a

C ．b

D ． c

5. 设F 为抛物线C ：y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

6. 设数列{a n }是首项为a 1、公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1=（ ） A ．2 B ． C ．﹣2

D ．﹣

7. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．1

8. 已知A ，B ，C 点在球O 的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为（ ） A ．12π B ．16π C ．36π D ．20π

9. 已知2017ln f x x x =+（）（），0'2018f x =（

），则0

x =（ ） A. 2e

B.1

C. ln 2

D. e

二、填空题（每小题4分，共32分）

10. 设向量，，且，则m=．

11.设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为．

12. 已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为．

13. 已知函数f（x）=，则f（f（））= ．

14. 在的展开式中x7的项的系数是．

15. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼﹣15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是_______。

16. 在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=_______．

17. 已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（k≥2，

k为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n=时等式成立．

三、解答题（共7小题，共82分，解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

18.（本小题8分）对任意实数x，不等式﹣9＜

2

2

36

1

x px

x x

+-

-+

＜6恒成立，求实数p的取值范围。

19.（本小题12分）

20、（12分）已知数列{a n}中，a1=1，二次函数f（x）=a n?x2+（2﹣n﹣a n+1）?x的对称轴为x=．

（1）试证明{2n a n}是等差数列，并求{a n}通项公式；

（2）设{a n}的前n项和为S n，试求使得S n＜3成立的n值，并说明理由．

21、（10分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．

22、（12分）已知函数f（x）=ax+bsinx，当时，f（x）取得极小值．

（1）求a，b的值；

（2）设直线l：y=g（x），曲线S：y=f（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：

①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；

②对任意x∈R都有g（x）≥f（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．试证明：直线l：y=x+2为曲线S：y=ax+bsinx“上夹线”．

23、（14分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．

（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；

（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）求线段AB长度的最小值．

24、（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD

（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．

2017年士兵高中军考数学真题答案

一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）

1-5CCDAD 6-9DBAB

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

1．-2 2．-3 3．4．

5．-56 6.24 7.2 8. k+2

三、解答题（本大题共2小题，共26分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1．解：

2．解：

四．（12分）证明：

（1）∵二次函数f（x）=a n?x2+（2﹣n﹣a n+1）?x的对称轴为x=．∴=，

∴2n+1a n+1﹣2n a n=2，

∴2n a n=2+2（n﹣1）=2n，∴a n==n．

（2）∵S n=a1+a2+…+a n=1×+2×+3×+…+n，

∴S n=1×+2×+3×+…+n，

两式相减得，S n=++++…+﹣n=﹣n

=2﹣﹣n=2﹣∴S n=4﹣，

∵S n＜3，∴4﹣＜3∴n+2＞2n﹣1，

分别画出函数y=x+2（x＞0），与y=2x﹣1（x＞0）的图象，如图所示

由图象可知，当n=1，2，3时，S n＜3成立．

五．（10分）解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：

①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：

②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束）

，∴乙只用两次的概率为．

若乙验三次时，只有一种可能：

先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为

∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．

六（12分）解：（1）∵f（x）=ax+bsinx，∴f′（x）=a+bcosx，

而由已知得：，∴a=1，b=﹣2，

此时f（x）=x﹣2sinx，∴f′（x）=1﹣2cosx，

当x∈（0，）时，f′（x）＜0，

当∈（，）时，f′（x）＞0，

∴当x=时，f（x）取得极小值，即a=1，b=﹣2符合题意；

（2）证明：由f′（x）=1﹣2cosx=1，得cosx=0，

当x=﹣时，cosx=0，此时y1=x+2=﹣+2，y2=x﹣2sinx=﹣+2，∴y1=y2，

∴（﹣，﹣+2）是直线l与曲线S的切点；

当x=时，cosx=0，此时y1=x+2=+2，y2=x﹣2sinx=+2，∴y1=y2，

∴（，+2）也是直线l与曲线S的切点；

∴直线l与曲线S相切且至少有两个切点，

对任意x∈R，g（x）﹣f（x）=（x+2）﹣（x﹣2sinx）=2+2sinx≥0

即g（x）≥f（x），因此直线l：y=x+2为曲线S：y=x﹣2sinx“上夹线”．

七．（14分）解：（1）由题意知，圆M的半径r=2，M（0，4），设P（2b，b），

∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP=90°，

∴，解得，∴P（0，0）或．（2）设P（2b，b），∵∠MAP=90°，∴经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，

其方程为，即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，

由，解得或，∴圆过定点（0，4），．

（3）因为圆N方程为，

即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0，圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0，

②﹣①得：圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0，

点M到直线AB的距离，

相交弦长即：，

当时，AB有最小值．

八．（14分）（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，

则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），

又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．

由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），

∵?=0，MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；

（Ⅱ）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），

=（0，1，2），设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，

由，得，取z=1，得=（0，1，1），

设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，

由，得，取z=1，得=（0，﹣2，1），

∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，

∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为；

（Ⅲ）解：由题意可设=λ，其中λ∈[0，1]，

∴E=（0，λ，2），=（﹣1，λ+2，1），

又∵=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，

∴cos＜，＞===，

整理，得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=﹣2或﹣2﹣（舍），

∴线段A1E的长为﹣2．