排队论模型及其应用

摘要：排队论是研究系统随机服务系统和随机聚散现象匸作过程中的的数学理论和方法，乂叫随机服务的系统理论，而且为运筹学的一个分支。乂主要称为服务系统，是排队系统模型的基本组成部分。而且在日常生活中，排队论主要解决存在大量无形和有形的排队或是一些的拥挤现象。比如：学校超市的排队现象或岀行车辆等现象，。排队论的这个基本的思想是在1910年丹麦电话工程师埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始逐渐形成的。后来，他在热力学统计的平衡理论的启发下，成功地建立了电话的统讣平衡模型，并山此得到了一组呈现递推状态方程，从而也导出著名的埃尔朗电话损失率公式。

关键词：出行车辆；停放；排队论；随机运筹学

引言：排队论既被广泛的应用于服务排队中，乂被广泛的应用于交通物流领域。在服务的排队中到达的时间和服务的时间都存在模糊性，例如青岛农业大学歌斐木的人平均付款的每小时100人，收款员一小时服务30人，因此，对于模糊排队论的研究更具有一些现实的意义。然而有基于扩展原理乂对模糊排队进行了一定的分析。然而在交通领域，可以非常好的模拟一些交通、货运、物流等现象。对于一个货运站建立排队模型，要想研究货物的一个到达形成的是一个复合泊松过程，每辆货车的数量为陷而且不允许货物的超载，也不允许不满载就发车，必须刚刚好，这个还是一个具有一般分布装车时间的一个基本的物流模型。

一.排队模型

排队论是运筹学的一个分支，乂称随机服务系统理论或等待线理论，是研究要求获得某种服务的对象所产生的随机性聚散现象的理论。它起源于A.K.Er-lang的著名论文《概率与电话通话理论》。

一般排队系统有三个基本部分组成⑴:

（1）输入过程：

输入过程是对顾客到达系统的一种描述。顾客是有限的还是无限的、顾客相继到达的间隔时间是确定型的也可能是随机型的、顾客到达是相互独立的还是有关联的、输入过程可能是平稳的还是不平稳的。

（2）排队规则：

排队规则是服务窗对顾客允许排队及对排队测序和方式的一种约定。排队

规则可以分为3种制式：

a损失制系统一…顾客到达服务系统时，如果系统中的所有服务窗均被占用，则顾客即时离去，不参与排队，因为这种服务机制会失掉许多顾客，故称损失制系统；

b等待制系统-顾客到达服务系统时，虽然发现服务窗均忙着，但系统设有场地供顾客排队等候之用，于是到达系统的顾客按先后顺序进行排队等候服务。通常的

服务规则有先到先服务，后到后服务、随机服务、优先服务等；

C混合制系统-它是损失制与等待制混合组成的排队系统。顾客到达服务系统时，若服务员都不空但有排队位置，就排队，如果服务员都不空且排队位置已满，顾客就立即离去。

（3）服务窗

a系统可以无窗口、一个窗口或多个窗口为顾客进行服务；

b在多个服务窗情形，顾客排队可以平行多队排列，串列或者并帘同时存在的混合排队：

c 一个服务窗可以为单个顾客或成批顾客进行服务；

d各窗口的服务时间可以为确定性或者随机型，服务时间往往假定是平稳的；

（4）排队系统中的口标参量

排队论中儿个性能指标：系统中的平均排队长度Lq，表示系统内排队等候顾客数的均值；顾客在系统中的平均等待时间Wq,顾客在系统中的平均逗留时间Ws,系统中的平均顾客数Ls;

排队论中儿个常用的数量指标：平均到达率入，平均服务率系统中并联服务台的数LI S,服务台强度，即每个服务台单位时间间隔内的平均服务时间P,系统的稳态概率P0和繁忙概率P。

二.M/M/s 模型

排队系统的一般形式符号为：X/Y/Z/A/B/Co

其中：X表示顾客相继到达时间间隔的分布；Y表示服务时间的分布；Z表示服务台的个数；A表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数：B表示顾客源的数LI; C表示服务规则。

排队论的基本问题是研究一些数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征；系统数量指标的统计推断和系统的优化问题等。

当系统运行一定时间达到平稳后，对任一状态n来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应相等，即系统在统计平衡下“流

入二流出”。

据此，可得任一状态下的平衡方程如下:

0："的二无几

1:心“ ♦地戸=（占+刈）必

2：右》4"的=（色+坯）化

n~i： <21\< + "心=（A-I 4 如）也

2 A,""十—％ M （人十心）几

—•• • • • • • ••・•

由上述平衡方程，可求的：

平衡状态的分布为：p n = Cgn =1,2, (1)

其中：C” = C”-2 %,〃= 1,2,……⑵

“如…从

0C 00

有概率分布的要求：$>”=1，有：l + £c”几=1 ,则有：

n-0 _ ?r=O .

Po = --- 1 ..... (3)

i +》c”

8 X

注意：（3）当式只有当级数£c,r收敛时才有意义，即当£c\a时才能由

Hi 11^0

上述公式得到平稳状态的概率分布。

三.超市模型举例

假定去那个青岛农业大学歌斐木超市的学生在峰期这段时间达到的人数

9 ■

I* b

是无限的，并且一次以参数2的泊松过程达到，达到的时间间隔是随机的，服从负指数分布。

每个服务台以并联的方式连接，且每个服务台对学生来说都是一样的，服务时间服从参数为“的负指数分布。

超市实行先来先服务原则，且顾客可自由在队列间进行转移，并总向最短的对转移，没有顾客会因为队列过长而离去，故可认为排队方式是单一队列等待制。

以下数据来源于网络

高峰期超市的顾客流分布情况：共统汁了3059人次的数据（以10秒为一个

单位），见下表：表一每10秒到达人数

1 2 3 1 5 7 频数

257 111

894 956 350 161 由概率论的知识可知，若分布满足-^=-，则该分布为泊松分布。（其中p k

P k -i k

为泊松分布的密度，兄为泊松分布的参数）

由上表可知兄二3. 39o

3. 2模型建立及求解

基于以上的假设，我们的模型符合排队论中的多服务台等待模型（M/Nf/s ）. 该模型的特点是：服务系统中有s 个窗口（B|J s 个服务员），顾客按泊松流来到服务系统，到达强度为几；服务员的能力都是“，服务时间服从指数分布，每个顾客的平均服务时间人当顾客到达时，如果所有服务员都忙着，顾客便参加排队等待服务，一直等到有服务员为他服务为止。

由我的调查数据可知兄=3.39』=1.5,£ = 6（食堂现有窗口 6个）带入以上各式可得：

服务员能力：“ = 1 = 0.67 t

系统服务强度：p = - = 5.09,因为A =£ = 122 = O .85<1,所以极限存在。

s 6 系统中排队顾客的平均数："畀茶27

L 97 顾客平均排队时间：唁十磊“96

顾客平均逗留时间:VV =W+1 = 7.96 +1.5 = 9.46 系统中顾客的平均数：厶=5+0 = 27 + 5.09 = 32.09

山此可见，当我们在这个时间段超市买东西时，一进门就会发现里面已经是人满为患了，儿乎不可能找到空闲的服务台。而且，已经有32个顾客在排队付款， 27个人这在排队等待，平均一个窗口 5人。当我们开始排队时要过80秒钟才轮到我们，要过95秒钟才能付钱。空闲概率: 川（"一 Q ）

= 0.031 几=

排队论模型

排队论模型随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，又称排队论。排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设计与性能估价，等等。随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。排队论模型及其在医院管理中的作用每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。排队论就是对排队进行数学研究的理论。在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。一、医院系统的排队过程模型医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复杂的。如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。图1 医院系统的多级排队过程模型二、排队系统的组成和特征一般的排队系统都有三个基本组成部分： 1. 输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。 2. 排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗，在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。排队的列数还分单列和多列。 3. 服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的；服务时间的分布与时间有关或无关。

排队论

11.排队论 11.1基本概念排队现象是指到达服务机构的顾客数量超过服务机构提供服务的容量,也就是说顾客不能够立即得到服务而产生的等待现象。顾客可以是人,也可以是物,比如说,在银行营业部办理存取款的储户,在汽车修理厂等待修理的车辆,在流水线上等待下一到工序加工的半成品,机场厂上空等待降落的飞机,以及等待服务器处理的网页等,都被认为是顾客。服务机构可以是个人,像理发员和美容师,也可以是若干人,像医院的手术小组。服务机构也还可以是包装糖果的机器,机场的跑道,十字路口的红绿灯,以及提供网页查询的服务器等等。 11因为顾客到达,服务时间具有不确定性,排队系统又称随机服务系统,它的基本结构如图1.所示: 商业服务理发店,银行柜台,机场办理登机手续的柜台,快餐店的点餐柜台运输行业城市道路的红绿灯,等待降落或起飞的飞机,出租车制造业待修理的机器,待加工的材料,生产流水线社会服务法庭,医疗机构为了描述一个排队系统,我们需要说明输入(到达)和输出(服务)过程,及其他基本特征。表2. 11列举了一些排队系统的到达和服务过程。表11.2: 排队系统举例 )1(到达过程通常,我们假设顾客的相继到达间隔时间是相互独立并且都具有相同概率分布。在许多实际 (Poisson流,或指数分布。顾客源可能是有限的,也可情况中,顾客的相继到达间隔是服从泊松) 能是无限的。顾客到来方式可能是一个接一个的,也可能是批量的。比如,到达机场海关的旅行团就是成批顾客。一般来说,我们假设到达过程不受排队系统中顾客数量的影响。以银行为例,无论银行内有3位顾客还是300位顾客,顾客来到银行的到达过程是不会受到影响的。但是在两种情况下到达过程与排队系统中的顾客数量相关。第一种情况发生在顾客源是有限的系统,比如某工厂共有五台机床,若在维修部中已有两台机床,接下来到达维修部的最大量是三台。另一种情况是当顾客到达排队系统时,如果服务机构的设施都被占用,顾客可能耐心等待,也可能选择离开。比如,当一家航空公司的电话订票中心出现排队时,如果顾客等待时间太长,他就可能挂断电话。顾客就会选择另外一家航空公司。

排队论模型及其应用

排队论模型及其应用摘要：排队论是研究系统随机服务系统和随机聚散现象匸作过程中的的数学理论和方法，乂叫随机服务的系统理论，而且为运筹学的一个分支。乂主要称为服务系统，是排队系统模型的基本组成部分。而且在日常生活中，排队论主要解决存在大量无形和有形的排队或是一些的拥挤现象。比如：学校超市的排队现象或岀行车辆等现象，。排队论的这个基本的思想是在1910年丹麦电话工程师埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始逐渐形成的。后来，他在热力学统计的平衡理论的启发下，成功地建立了电话的统讣平衡模型，并山此得到了一组呈现递推状态方程，从而也导出著名的埃尔朗电话损失率公式。关键词：出行车辆；停放；排队论；随机运筹学引言：排队论既被广泛的应用于服务排队中，乂被广泛的应用于交通物流领域。在服务的排队中到达的时间和服务的时间都存在模糊性，例如青岛农业大学歌斐木的人平均付款的每小时100人，收款员一小时服务30人，因此，对于模糊排队论的研究更具有一些现实的意义。然而有基于扩展原理乂对模糊排队进行了一定的分析。然而在交通领域，可以非常好的模拟一些交通、货运、物流等现象。对于一个货运站建立排队模型，要想研究货物的一个到达形成的是一个复合泊松过程，每辆货车的数量为陷而且不允许货物的超载，也不允许不满载就发车，必须刚刚好，这个还是一个具有一般分布装车时间的一个基本的物流模型。一.排队模型排队论是运筹学的一个分支，乂称随机服务系统理论或等待线理论，是研究要求获得某种服务的对象所产生的随机性聚散现象的理论。它起源于A.K.Er-lang的著名论文《概率与电话通话理论》。一般排队系统有三个基本部分组成⑴: （1）输入过程：输入过程是对顾客到达系统的一种描述。顾客是有限的还是无限的、顾客相继到达的间隔时间是确定型的也可能是随机型的、顾客到达是相互独立的还是有关联的、输入过程可能是平稳的还是不平稳的。（2）排队规则：排队规则是服务窗对顾客允许排队及对排队测序和方式的一种约定。排队规则可以分为3种制式： a损失制系统一…顾客到达服务系统时，如果系统中的所有服务窗均被占用，则顾客即时离去，不参与排队，因为这种服务机制会失掉许多顾客，故称损失制系统； b等待制系统-顾客到达服务系统时，虽然发现服务窗均忙着，但系统设有场地供顾客排队等候之用，于是到达系统的顾客按先后顺序进行排队等候服务。通常的

排队论及其应用

排队系统的符号表述描述符号：①/②/③/④/⑤/⑥ 各符号的意义： ①——表示顾客相继到达间隔时间分布，常用以下符号： M——表示到达的过程为泊松过程或负指数分布； D——表示定长输入； EK——表示K阶爱尔朗分布； G——表示一般相互独立的随机分布。 ②——表示效劳时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布一样。 ③——表示效劳台(员)个数：“1〞表示单个效劳台，“s〞(s>1)表示多个效劳台。 ④——表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量。如系统有K个等待位子，那么，0

数学建模排队论模型

数学建模排队论模型排队论模型是一种数学建模方法，用于研究排队系统中的等待时间、服务效率和资源利用率等问题。排队论模型可以应用于各种领域，如交通运输、医疗服务、银行业务等。本文将介绍排队论模型的基本概念和应用。一、排队论模型的基本概念排队论模型的基本概念包括：顾客到达率、服务率、队列长度、等待时间、系统利用率等。顾客到达率是指单位时间内到达系统的顾客数量，通常用λ表示。服务率是指单位时间内一个服务员能够完成服务的顾客数量，通常用μ表示。队列长度是指系统中正在等待服务的顾客数量。等待时间是指顾客在队列中等待服务的时间。系统利用率是指系统中所有服务员的利用率之和。排队论模型可以分为单队列模型和多队列模型。单队列模型是指系统中只有一个队列，多个服务员依次为顾客提供服务。多队列模型是指系统中有多个队列，每个队列对应一个服务员，顾客可以选择任意一个队列等待服务。二、排队论模型的应用排队论模型可以应用于各种领域，如交通运输、医疗服务、银行业

务等。下面以银行业务为例，介绍排队论模型的应用。在银行业务中，顾客到达率和服务率是两个重要的参数。顾客到达率受到银行营业时间、银行位置、顾客数量等因素的影响。服务率受到银行服务员数量、服务质量、服务时间等因素的影响。为了提高银行的服务效率和资源利用率，可以采用排队论模型进行优化。首先需要确定银行的顾客到达率和服务率，然后根据排队论模型计算出等待时间、队列长度、系统利用率等指标。根据这些指标，可以制定相应的服务策略，如增加服务员数量、优化服务流程、提高服务质量等。例如，如果银行的顾客到达率较高，服务员数量较少，导致顾客等待时间较长，可以考虑增加服务员数量或优化服务流程，以缩短顾客等待时间。如果银行的服务率较低，导致服务员利用率较低，可以考虑提高服务质量或增加服务时间，以提高服务员利用率。三、排队论模型的局限性排队论模型虽然可以应用于各种领域，但也存在一些局限性。首先，排队论模型假设顾客到达率和服务率是稳定的，但实际情况中这些参数可能会发生变化。其次，排队论模型假设顾客到达和服务时间是独立的，但实际情况中这些参数可能会相互影响。最后，排队论模型假设顾客在队列中等待服务的时间是无限制的，但实际情况中

排队论模型

排队论模型随机服务系统理论是研究山顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，乂称排队论。排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设讣与性能估价，等等。随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。排队论模型及其在医院管理中的作用每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。排队论就是对排队进行数学研究的理论。在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。山于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队儿乎是不可避免的。但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。一.医院系统的排队过程模型医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复朵的。如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。图1医院系统的多级排队过程模型二、排队系统的组成和特征一般的排队系统都有三个基本组成部分： 1.输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。 2.排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗, 在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。排队的列数还分单列和多列。 3.服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的; 服务时间的分布与时间有关或无关。三、排队模型的分类方法

(完整版)排队论模型

排队论模型排队论也称随机服务系统理论。它涉及的是建立一些数学模型，藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。现实世界中排队的现象比比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。排队的内容虽然不同，但有如下共同特征： ?有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为“顾客”。 ?有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员”。由顾客和服务员就组成服务系统。 ?顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时候服务员又空闲无事。排队论主要是对服务系统建立数学模型，研究诸如单位时间内服务系统能够服务的顾客的平均数、顾客平均的排队时间、排队顾客的平均数等数量规律。一、排队论的一些基本概念为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分： ?输入过程即顾客来到服务台的概率分布。排队问题首先要根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布，然后按照统计学的方法（如卡方检验法）确定服从哪种理论分布，并估计它的参数值。我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布，且顾客的达到是相互独立的、平稳的输入过程。所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的影响。 ?排队规则即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待制两种。所谓即时制就是服务台被占用时顾客便随即离去；等待制就是服务台被占用时，顾客便排队等候服务。等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论先到先服务的系统。 ?服务机构服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单独顾客进行服务，也可以对成批顾客进行服务。和输入过程一样，多数的服务时间都是随机的，且我们总是假定服务时间的分布是平稳的。若以ξ n 表示服务员为第n个顾客提供服务所需的时间，则服务时间所构成的序列{ξ n }，n=1，2，… 所服从的概率分布表达了排队系统的服务机制，一般假定，相继的服务时间ξ 1 ， ξ 2，……是独立同分布的，并且任意两个顾客到来的时间间隔序列{T n }也是独立的。如果按服务系统的以上三个特征的各种可能情形来对服务系统进行分类，那么分类就太多了。因此，现在已被广泛采用的是按顾客相继到达时间间隔的分布、服务时间的分布和服务台的个数进行分类。研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率，估计服务质量，确定系统参数的最优值，以决定系统的结构是否合理，设计改进措施等。所以，必须确

排队论在实际当中的应用

第一章排队论问题的基本理论知识排队是日常生活中经常遇到的现象，本章将介绍排队论的一些基本知识和常见的排队论的模型，使我们对排队论有一个基本的认识。 1.1 预备知识下图是排队过程的一般模型：各个顾客由顾客源（总体）出发，到达服务机构（服务台、服务员）前排队等候接受服务，服务完成后离开。我们说的排队系统就是图中虚线所包括的部分顾客到达顾客源排队规则排队系统示意图一般的排队系统都有三个基本组成部分：输入过程；排队规则；服务机构。 1•输入过程输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。对于随机型的情形，要知道单位时间内的顾客到达数或到达的间隔时间的概率分布。 2.排队规则排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。当顾客到达时，所有服务机构都被占用，贝U顾客排队等候，即为等待制。在等待制中，为顾客进行服务的次序可以是先到先服务，或后到先服务，或是随机服务和有优先权服务。如果顾客来到后看到服务机构没有空闲立即离去，则为损失制。有些系统因留给顾客排队等待的空间有限，因此超过所能容纳人数的顾客必须离开系统，这种排队规则就是混合制。 3.服务机构可以是一个或多个服务台。服务时间一般也分成确定型和随机型两种。但大多数情形服务时间是随机型的。对于随机型的服务时间，需要知道它的概率分布。

1.2 模型理论分析 1.2.1模型分类排队模型的表示： X/Y/Z/A/B/C X—顾客相继到达的间隔时间的分布；丫一服务时间的分布； M—负指数分布、D—确定型、Ek— k阶爱尔朗分布。 Z—服务台个数； A—系统容量限制（默认为％）； B—顾客源数目（默认为％）； C—服务规则（默认为先到先服务FCFS）。 1.2.2模型求解一个实际问题作为排队问题求解时，只有顾客到达的间隔时间分布和服务时间的分布须要实测的数据来确定，其他的因素都是在问题提出时给定的。并且必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标，解排队问题就是首先求出这些数量指标的概率分布或特征值。这些指标通常是：（1 ）队长：系统中排队等待服务和正在服务的顾客总数，其期望值记为L S；排队长（队列长）：系统中排队等待服务的顾客数，其期望值记为L g ；［系统中顾客数］=［在队列中等待服务的顾客数田正被服务的顾客数］（2）逗留时间：一个顾客在系统中停留时间，包括等待时间和服务时间，其其期望值记为Ws ；等待时间：一个顾客在系统中排队等待时间，其期望值记为Wg ；［逗留时间］=［等待时间］+［服务时间］（3）忙期：从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲这段时间长度；系统状态：即指系统中的顾客数；状态概率：用P n t表示，即在t时刻系统中有n个顾客的概率；要解决排队问题，首先要确定排队系统的到达间隔时间分布与服务时间分布。要研究到达间隔时间分布与服务时间分布需要首先根据现有系统原始资料统计出它们的经验分布，然后与理

排队论在公共交通调度中的应用

排队论在公共交通调度中的应用随着城市化进程的不断加快，公共交通系统的重要性日益凸显。公共交通调度是保障城市交通有序运行的关键环节，而排队论作为一种重要的数学工具，为公共交通调度提供了有效的解决方案。本文将探讨排队论在公共交通调度中的应用，并分析其在提高运输效率、优化资源配置、减少拥堵等方面所取得的成效。首先，排队论可以帮助提高公共交通系统的运输效率。在高峰时段，人们集中出行导致车站拥堵、车辆满载等问题频发。通过排队论模型可以分析乘客到达车站和乘车时间之间的关系，并据此优化发车间隔和乘客上下车时间。例如，在地铁站点设置自助售票机和自动闸机，可以减少人工售票和验票所需时间，加快乘客进出站速度；通过合理设置发车间隔和增加运力，在高峰时段保证足够多列地铁列车供人们选择。其次，排队论可以优化资源配置，在有限资源下提供更多服务。城市中有限数量的公交车辆需要满足大量乘客的出行需求，如何合理配置车辆成为调度的关键问题。排队论可以通过模拟乘客到达和乘车的过程，预测不同时间段和不同线路的客流量。根据预测结果，可以调整车辆运行路线和数量，以满足不同线路上的需求。例如，在繁忙的商业区增加公交车数量，以应对高峰时段的客流压力；在低峰时段缩减运力，以减少资源浪费。此外，排队论还可以减少拥堵现象。城市交通拥堵是公共交通系统面临的重要问题之一。排队论模型可以通过分析乘客到达时间、上下车时间和运输能力之间的关系，在高峰时段合理安排发车间隔和增加运力。例如，在高峰时段增加地铁列车数量，并根据实际情况调整发车间隔；在繁忙路段设置优先通行公交道，并对公交优先信号进行优化控制。此外，排队论还可以提供决策支持工具，在应急情况下提供快速响应方案。例如，在突发事件或自然灾害发生时，排队论可以通过模拟乘客流动和车辆调度过程，分析不同应急方案的可行性和效果，为

排队论

实用排队论排队论又称随机服务系统，它应用于一切服务系统，包括生产管理系统、通信系统、交通系统、计算机存储系统。它通过建立一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统预测。现实生活中如排队买票、病人排队就诊、轮船进港、高速路上汽车通过收费站、机器等待修理等等。一、排队论的基本构成（1）输入过程输入过程是描述顾客是按照怎样的规律到达排队系统的。包括①顾客总体：顾客的来源是有限的还是无限的。②到达的类型：顾客到达是单个到达还是成批到达。③相继顾客到达的时间间隔：通常假定是相互独立同分布，有的是等间隔到达，有的是服从负指数分布，有的是服从k 阶Erlang 分布。（2）排队规则排队规则指顾客按怎样的规定的次序接受服务。常见的有等待制，损失制，混合制，闭合制。当一个顾客到达时所有服务台都不空闲，则此顾客排队等待直到得到服务后离开，称为等待制。在等待制中，可以采用先到先服务，如排队买票；也有后到先服务，如天气预报；也有随机服务，如电话服务；也有有优先权的服务，如危重病人可优先看病。当一个顾客到来时，所有服务台都不空闲，则该顾客立即离开不等待，称为损失制。顾客排队等候的人数是有限长的，称为混合制度。当顾客对象和服务对象相同且固定时是闭合制。如几名维修工人固定维修某个工厂的机器就属于闭合制。 (3)服务机构服务机构主要包括：服务台的数量；服务时间服从的分布。常见的有定长分布、负指数分布、几何分布等。二、排队系统的数量指标 (1)队长与等待队长队长（通常记为s L ）是指系统中的平均顾客数（包括正在接受服务的顾客）。等待队长（通常记为q L ）指系统中处于等待的顾客的数量。显然，队长等于等待队长加上正在服务的顾客数。 (2)等待时间等待时间包括顾客的平均逗留时间（通常记为s W ）和平均等待时间（通常记为q W ）。顾客的平均逗留时间是指顾客进入系统到离开系统这段时间，包括等待时间和接受服务的时间。顾客的平均等待时间是指顾客进入系统到接受服务这段时间。 (3)忙期从顾客到达空闲的系统，服务立即开始，直到再次变为空闲，这段时间是系统连续繁忙的时期，称之为系统的忙期。它反映了系统中服务机构工作强度，是衡量服务系统利用效率的指标，即服务强度=忙期/服务总时间=1─闲期/服务总时间闲期与忙期对应的系统的空闲时间，也就是系统连续保持空闲的时间长度。

排队论在运输规划中的应用

排队论在运输规划中的应用运输规划是现代城市发展中的重要组成部分，它涉及到人员和货物的流动，对城市的发展和居民的生活质量有着重要的影响。而排队论作为一种数学模型，可以帮助我们优化运输规划，提高交通效率，减少拥堵和排队时间。首先，排队论可以应用于公共交通系统的规划中。城市中的公共交通系统往往面临着巨大的运力压力，特别是在高峰时段。通过排队论的应用，我们可以对公交车站的服务水平进行评估，并确定合理的发车间隔，以平衡乘客的等待时间和车辆的利用率。同时，排队论还可以帮助我们优化公交车站的布局，减少乘客的拥堵现象，提高整个公交系统的运行效率。其次，排队论也可以应用于货物运输领域。在物流运输过程中，货物的装卸和运输往往需要排队等待，而排队论可以帮助我们确定合理的装卸和运输顺序，减少货物的等待时间和运输成本。此外，排队论还可以帮助我们优化仓库的布局和货物的存储方式，提高货物的周转率和运输效率。此外，排队论还可以应用于交通信号灯的优化。交通信号灯的设置直接影响着交通流量的控制和道路的通行能力。通过排队论的应用，我们可以确定合理的信号灯时序，减少车辆的等待时间和排队长度，提高交通的流畅性和道路的通行能力。此外，排队论还可以帮助我们优化交通信号灯的配时方案，根据不同时间段的交通需求，合理调配信号灯的绿灯时间，提高交通的效率和安全性。最后，排队论还可以应用于机场和火车站等交通枢纽的规划中。在旅客的候机和候车过程中，排队现象是不可避免的。通过排队论的应用，我们可以确定合理的候机和候车区域的大小和布局，减少旅客的等待时间和拥堵现象。同时，排队论还可以帮助我们优化安检和检票等流程，提高旅客的通行效率和体验。综上所述，排队论在运输规划中具有重要的应用价值。通过排队论的应用，我们可以优化运输规划，提高交通效率，减少拥堵和排队时间。未来，随着科技的不

计算机网络的排队论模型

计算机网络的排队论模型计算机网络是现代社会中不可或缺的一部分，它连接了人们、企业和机构，带来了信息的快速传递和资源的共享。然而，在网络中，由于各种因素的存在，比如带宽限制、网络拥塞、数据包丢失等，会导致网络性能下降和用户体验下降的问题。为了解决这些问题，排队论模型被引入到计算机网络中，用于研究和优化网络的性能。一、排队论简介排队论是一种数学工具，用于研究到达一个服务系统的输入和离开系统的输出之间的关系。它通过建立数学模型来描述输入、服务和输出的过程，并通过一些指标来衡量系统的性能。在计算机网络中，排队论被广泛应用于分析和优化网络性能，如网络延迟、带宽利用率等问题。二、排队论模型的基本元素在计算机网络的排队论模型中，有四个基本元素，分别是顾客、服务设备、队列和调度策略。 1. 顾客：顾客是指网络中需要进行服务的对象，可以是一个用户、一个数据包等。每个顾客都有自己的到达时间和服务时间。 2. 服务设备：服务设备是指完成顾客服务的实体，可以是一个路由器、一个服务器等。服务设备具有能力对顾客进行服务，并有一定的服务速率。

3. 队列：当顾客到达服务设备时，如果服务设备正在为其他顾客进行服务，该顾客将会进入队列中等待。队列可以有多种形式，如先进先出(FIFO)队列、优先级队列等。 4. 调度策略：调度策略是指决定哪个顾客能够获得服务的规则。常见的调度策略有先来先服务(FCFS)、最短作业优先(SJF)、循环调度(Round Robin)等。三、排队论模型的应用排队论模型在计算机网络中有多种应用，以下是其中几个典型的应用场景。 1. 带宽利用率：通过排队论模型，可以分析网络中的数据流量和带宽的利用率。根据顾客到达率、服务速率以及调度策略，可以计算出网络中数据包的平均排队长度、平均等待时间等指标，从而评估网络的带宽利用率。 2. 延迟分析：网络的延迟是影响用户体验的重要指标。排队论模型可以帮助分析和优化网络的延迟。通过调整服务速率、队列容量以及调度策略等因素，可以降低网络的延迟。 3. 资源规划：排队论模型可以用于网络资源的规划。通过分析网络的负载情况，可以预测未来的带宽需求和资源利用率，从而合理规划网络的资源分配。四、排队论模型的局限性排队论模型在计算机网络中的应用虽然广泛，但也存在一些局限性。

排队论在医院资源分配中的应用

排队论在医院资源分配中的应用摘要：排队论是一种数学工具，用于研究排队系统的性能和资源分配。在医院资源分配中，排队论可以帮助医院管理者优化资源的利用和提高服务质量。本文通过对排队论在医院资源分配中的应用进行深入研究，探讨了其原理、方法和实际应用。研究结果表明，排队论可以有效地帮助医院提高服务效率、降低等待时间，并优化资源配置，实现医疗服务的可持续发展。关键词：排队论；医院；资源分配；服务效率；等待时间一、引言随着人口老龄化和慢性病患者数量的增加，现代社会对于医疗服务的需求越来越高。然而，在有限的人力、物力和财力条件下，如何合理地配置和利用医疗资源成为了一个亟待解决的问题。传统上，在没有科学方法指导下，许多医院只能通过增加床位数量或者提高工作强度来满足患者需求，但这种做法往往会导致人力物力浪费、效率低下和服务质量下降。因此，如何通过科学的方法来优化医院资源的分配和利用，提高服务效率和质量，成为了医院管理者亟需解决的问题。二、排队论的原理排队论是一种用于研究排队系统性能和资源分配的数学方法。它通过建立数学模型，研究排队系统中顾客到达率、服务率、服务台数量等因素对系统性能的影响，并提供了一些优化方法来改善系统性能。在医院资源分配中，排队论可以帮助管理者理解患者到达模型、医生工作模式等，并通过优化资源配置来提高服务效率。三、医院资源分配中的排队论应用 1. 患者到达模型建立患者到达模型是研究患者到达时间间隔和数量规律的数学工具。通过对患者就诊时间间隔进行统计分析，可以建立合理的患者到达模型，并预测未来一段时间内患者数量和就诊需求。这对于医院合理安排医生工作时间、制定科室开放计划等具有重要意义。 2. 医生工作效率评估

排队论在通信网络中的应用研究

排队论在通信网络中的应用研究当前，通信网络已经成为了人们生活中不可或缺的组成部分，而在这个网络中，排队论已经被广泛应用。那么，什么是排队论，它在通信网络中的应用有哪些呢？本文将就这个话题展开讨论。一、什么是排队论？排队论是一种研究随机事件与排队系统性能关系的数学工具。它的研究对象是由顾客到达某个服务设施，等待服务，接受服务和离开服务设施的整个过程，这个过程可以理解为顾客的排队过程。排队问题产生的原因是两个方面的矛盾。一方面，服务设施不能过高地空闲，要充分利用其资源，使利润最大化，最大限度地满足顾客需求;另一方面，客户的等待时间不能太长，以便指定服务设施满足他们的需求。排队论就是解决这个矛盾的一种工具，它可以帮助我们设计一个高效的排队系统。二、排队论在通信网络中的应用通信网络中的流量是一个经典的排队问题。在网络中，数据包通常需要等待路由器处理并进入下一个节点，这时候就会产生排队过程。另外，网络中的吞吐量和延迟也需要通过排队论来进行分析。下面将分别介绍一下这几个方面。 1. 网络的流量控制网络的流量控制是一种管理网络流量的技术，它能够协调网络访问请求和网络资源，使网络资源充分利用，保证网络质量和服务质量。流量控制可以通过阻止一些请求或增加一些请求的延迟来控制。在这个过程中，排队论就可以起到重要的作用。我们可以通过研究网络拥塞和排队的关系来制定适当的策略，从而控制网络的流量。 2. 延迟度量和吞吐量计算

延迟是指数据包从发送到接收所需的时间，包括排队延迟、传输延迟和处理延迟等。对于不同的应用，都有相应的延迟要求。除了延迟之外，吞吐量也是网络性能的重要指标之一，它可以表示网络中单位时间内所能通过的数据总量。排队论可以帮助我们对上述两个指标进行计算和分析，这有助于我们优化网络的性能。 3. 路由器排队模型除此之外，排队论还可以用来建立路由器带宽分配和服务的队列模型。在一个路由器中，多个数据包争夺带宽，排队论可以帮助我们计算不同服务质量需求下的带宽分配策略，以便满足流量的各种需求。三、总结随着网络化与信息化进程的不断推进，排队论在通信网络中的应用也越来越广泛。它可以帮助我们优化网络流量控制、计算延迟和吞吐量、建立带宽分配和服务的队列模型等等。这些都为通信网络的高效运行打下了重要的基础。

数学建模中的排队论问题

数学建模中的排队论问题数学建模是运用数学方法来解决实际问题的一种学科，而排队论则是数学建模中的一个重要问题。排队论是研究人们在排队等待时所产生的等待时间、服务时间、队列长度等问题的数学理论。在各个领域中，排队论都有广泛的应用，例如交通运输、生产调度、服务管理等。排队论的基本概念包括顾客、服务台、队列、到达率、服务率等。顾客是指等待服务的个体，可以是人、机器或其他物体。服务台是为顾客提供服务的地方，可以是柜台、服务窗口或机器设备。队列是顾客排队等待的区域。到达率是指单位时间内到达队列的顾客数量。服务率则是指单位时间内服务台完成服务的顾客数量。排队论的目标是通过数学模型来分析和优化排队系统，以提高效率和服务质量。常用的排队论模型有M/M/1, M/M/c, M/M/∞等，其中M 表示到达率和服务率满足泊松分布，1表示一个服务台，c表示多个服务台，∞表示无穷多个服务台。在现实生活中，排队论的应用非常广泛。以交通运输为例，交通流量大的道路上常常出现拥堵现象。排队论可以用来研究交通信号灯的时序控制，从而减少交通阻塞和等待时间。排队论还可以应用于生产调度问题，如工厂的生产线、餐馆的点餐队列等，通过优化排队系统可以提高生产效率和顾客满意度。除了基本的排队论模型，还有许多扩展模型用于解决更复杂的实际问题。例如，考虑到顾客的不满意程度，可以引入优先级排队模型。

考虑到服务台设备可能发生故障，可以引入可靠性排队模型。排队论也可以与优化算法相结合，寻找最佳的服务策略和资源配置。在数学建模中，解决排队论问题通常需要进行数学推导、建立数学模型、进行仿真实验以及进行实际数据的拟合和验证。通过数学建模的方法，可以对排队系统的性能进行全面评估，从而提出改进方案和决策策略。综上所述，数学建模中的排队论问题在实际应用中具有重要的意义。通过研究排队论，可以优化排队系统，提高效率和服务质量。随着科技的进步和数据的丰富，排队论的研究将在各个领域中得到更广泛的应用和发展。通过充分利用数学建模的方法，我们可以更好地理解和解决排队系统中的问题，为实际应用提供有力支持。

排队论模型在物流中的应用研究

排队论模型在物流中的应用研究随着经济的发展和人们需求的不断提高，物流产业已成为国民经济的重要组成部分。物流服务的质量将直接影响到客户的满意度和企业的竞争力。因此，高效的物流管理和优化已成为企业最重要的任务之一。排队论模型是流程管理和优化领域中最常用的工具之一。它是一种数学模型，用于研究顾客到来、等待和服务一系列事件的随机过程。排队论模型可以帮助管理者更好地掌握客户的流量、服务台的利用率和工作人员的效率，以达到物流服务的最优化。物流管理中的排队论模型物流过程中涉及三大环节：起点、终点和中转点。排队论模型主要适用于终点和中转点两个环节中的排队问题。比如，货物从库房转运到运输工具中，从运输工具到取货地点，都需要排队等待作业。物流公司需要通过适当的排队论模型来规划做好物流任务的安排。常用的排队论模型有三种：M/M/1，M/M/C以及M/M/C/K模型。M/M/1模型是指单个服务台，顾客到达间隔时间符合指数分布的排队模型。M/M/C模型是指多个服务台，到达间隔时间失败指数分布的排队模型。M/M/C/K模型更细化，增加了容量限制K，保证模型更切合实际需求。

在物流管理中，最常用的排队论模型为M/M/C/K模型。当流量变化较大或服务作业时间分布不受控制时，M/M/C/K模型更符合实际应用的需求。例如，当客户出现峰值时，这个模型可以更准确地反映出出现排队的概率，进而合理规划物流作业流程。模型的应用实例排队论模型在物流管理中的应用非常广泛。下面给出两个典型的应用实例。一、仓库管理仓库管理是物流过程中的重要组成部分，负责货物的存储、管理和配送。在仓库中，货物的流动存在排队和等待的现象。排队论模型可以帮助企业管理者更好地掌握仓库中货物的流量、存取货物的时间以及工作人员的效率，以达到最优化。通过指数分布随机过程的分析，企业管理者可以预测未来一段时间内库存增长趋势、货物处理时间等参数，进而调整仓库的运营模式，提高物流运营效率。二、船舶装卸过程优化在港口管理中，船舶装卸过程中出现时间浪费和人员闲置等问题时很常见。这些问题与船舶的到达时间、货物的类型、船舶数量等因素有关。通过排队论模型可以优化这些过程。运用模型分

高速公路收费站设计中的排队论模型分析

高速公路收费站设计中的排队论模型分析摘要本文旨在通过排队论模型分析高速公路收费站的设计。首先，我们将介绍排队论的基本概念和理论，然后将其应用于收费站的设计中，包括车道数量、收费亭布局和服务速度。通过建立数学模型，我们可以评估不同设计方案的性能，并确定最优设计方案。关键词：排队论，高速公路，收费站设计，数学模型 Abstract This article aims to analyze the design of highway toll stations through queueing theory models. First, we will introduce the basic concepts and theories of queueing theory, and then apply them to the design of toll stations, including the number of lanes, toll booth layout, and service speed. By establishing mathematical models, we can evaluate the performance of different design schemes and determine the optimal design scheme. Keywords: queuing theory, highway, toll station design, mathematical model

一、引言随着交通流量的增加，高速公路收费站的设计变得越来越重要。排队论是一种用于分析和优化服务系统的理论，适用于高速公路收费站的设计。本文将根据排队论的基本原理和分析方法，对高速公路收费站的设计进行深入探讨。二、排队论基础排队论是一种数学模型，用于描述和分析服务系统中的顾客排队现象。其主要概念包括到达过程、服务时间和排队规则。在高速公路收费站系统中，顾客可以视为车辆，服务时间可以视为收费时间。三、收费站设计模型 1.车道数量根据排队论，收费站的车道数量需要根据预期交通流量和服务速度来决定。如果车道数量不足，将会导致车辆排队等待，增加交通拥堵和顾客等待时间。然而，过多的车道数量将会增加建设成本和维护费用。因此，车道数量的设计需要考虑到经济性和实用性。

优先权排队论模型

优先权排队论模型带优先权的排队论模型在优先权排队模型中，队中的成员被服务的顺序基于他们被赋予的优先级。相比一般的排队模型，很多真实存在的排队系统实际上更符合带优先权的排队论模型，比如紧急工作的招聘优先于其他一般的工作;VIP客户较其他一般客户，在服务上享有优先权等等。因此，带优先权的排队论模型有其实际意义。这里介绍两种最基本的优先权排队模型——非强占性优先权模型和强占性优先权模型。两个模型除优先权行使方式之外，其他假设均一致。我们首先描述这两个模型，之后分别给出其结论，最后通过一个案例来阐述其在实际中的应用。 1. 模型公共假设:(1)两个模型都存在N个优先级(1级代表最高) (2)服务顺序首先基于优先级，同一优先级内，依据“先到先服务” 1 (3)对任意优先级，顾客到达服从Poisson分布，服务时间服从负指数分布 (4)对任意优先级顾客的服务时间相同 (5)不同优先级顾客的平均到达率可以不同非强占性优先权(Nonpreemptive Priorities)是指，即使一个高优先级的顾客到达，也不能强制让一个正在接受服务的低优先级顾客返回排队。也就是说，一旦服务员开始对一个顾客服务，这项服务就不能被打断直至服务结束。强占性优先权(Preemptive Priorities)是指，一旦有高优先级的顾客到达，服务员即中断对低优先级顾客的服务(这名顾客重新回到排队中)，并马上开始为高优先级顾客服务。结束这项服务后，再按照公共假设中的原则选取下一个被服务的

顾客。(这里由于负指数分布的无记忆性，我们不必关注被中断顾客的服务进度，因为剩余服务时间的分布与从起点开始的服务时间的分布总是相同的。) 对这两个模型来说，如果忽略顾客的优先级，它们是完全等同于一般的M/M/s 排队模型的。因此，当计算整个队列中顾客的总人数(L, 2

排队论在金融风险评估中的应用

排队论在金融风险评估中的应用第一章引言 1.1 研究背景和意义金融风险评估是现代金融领域中至关重要的一项工作。金融市场的不确定性和波动性使得金融风险成为金融机构和投资者需要重点关注和管理的问题。因此，为了更好地评估和管理金融风险，研究人员一直在寻求新的方法和工具。排队论作为一种早期的数学工具，在各个领域都有广泛的应用，因其独特的特点和理论基础，成为评估金融风险的一种可行方法。金融风险评估的目的是为了更好地了解和量化金融风险的程度和潜在影响。通过识别和评估不同类型的金融风险，金融机构可以制定相应的应对措施，有效管理和控制风险，从而保证金融体系的稳定和可持续发展。因此，研究金融风险评估方法对于保障金融市场的健康和稳定具有重要意义。 1.2 研究目的和主要内容本文旨在探讨和分析排队论在金融风险评估中的应用。具体而言，本文将首先对金融风险评估进行概述，包括其定义、分类和评估方法。然后，将介绍排队论的基本原理，包括定义、发展历程和模型假设等。在此基础上，将重点探讨排队论在金融市场、信贷风险评估和保险风险评估中的应用方法和实践案例。最后，通过一些具体案例的分析，总结排队论在金融风险评估中的优势和局限性，并对未来的研究方向进行展望。第二章金融风险评估概述 2.1 金融风险的定义和分类金融风险是指金融市场中的风险，可以归结为市场风险、信用风险、流动性风险、操作风险和法律风险等几个主要类型。市场风险主要涉及资产价格波动和市场预期的不确定性；信用风险与债权人或借款人的违约概率和违约损失有关；流动性风险是指无法及时或以合理价格获得或出售资产的风险；操作风险是指金融机构内部运营和管理的风