圆中知识结构图

关于《圆》的知识结构整理

一．主要定理及其作用：

1．圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:

在同圆或等圆中,如果①两个圆心角②两条弧,③两条弦④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等：（等弧---等角---等弦……）

用的最多的依据：

①在同圆或等圆中,如果两个圆心角相等,那么它们所对的两条弧相等

②等弧所对的圆心角相等：

③在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的两条弧相等

④等弧所对的两条弦相等

2．垂径定理:

如果一条直线①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. （直角三角形---等弧……）用的最多的依据：

①垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧

②平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.

③一条弦的垂直平分线||经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧

④平分弧的直径过圆心的直线垂直平分这条弧所对的弦.

3．圆周角定理:

(1)直径所对的圆周角是直角；

(2)90°的圆周角所对的弦是直径。

(3)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

(4)同弧所对的圆周角相等；

(5)等弧所对的圆周角相等；

(6)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；

（等弧---等角---直角三角形）

4．切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径（直径）。(垂直关系)

5．切线的判定定理：

经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

6．切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（等弦---等弧---等角）

7．相切和相交两圆的性质定理：

如果两圆相切，连心线必过切点。如果两圆相交，连心线垂直平分公共弦

二．主要辅助线及其作用：

1．作弦心距：弦的中点．弧的中点。

2．过某一点作弦：构造相等的圆周角。

3．作直径：构造直角三角形和同弧所对的圆周角。

4．连结过切点的半径：“题中若有圆切线圆心切点连一连”。

5．两圆相切和两圆相交时，作连心线和公共弦。

三．基本图形和基本结论：

1．等边三角形的内切圆半径．外接圆的半径和高的比为 。

2．△ABC 中，点O ．I 分别为外心和内心，那么∠A 与∠BOC ． ∠BIC 之间的关系。

3．如果三角形的内切圆的半径为r ，周长为c ，试用r ．c 的代数式表示这个三角形的面积. 4．圆的外切四边形的两组对边的和相等．

5．直角三角形的两直角边和斜边分别是a ，b ，c 则其内切圆的半径为______ 6.圆的内接四边形的对角互补.

7．圆的外切四边形的两组对边的和相等．

8．圆的内接平行四边形一定是矩形;圆的外切平行四边形一定是菱形． 9．圆的内接梯形一定是等腰梯形．

10．弧长的计算公式和扇形面积的计算公式. 11．圆柱和圆锥的侧面展开计算.

四．与圆有关的两解问题集中训练题：

1、圆中同弦（或等弦）所对圆周角是两个.

2、已知弦长、半径，求弓高.

3、同圆内，两平行弦间的距离.

4、已知圆外一点为圆心，作与已知圆相切的圆.

5、已知圆内一点为圆心，作与已知圆内切的圆.

6、两圆相交，求圆心距．

上述内容的练习题：

1．如果圆O 的弦AB 将圆分成 1:3两部分，则该弦所对的圆心角是 度。

2．已知一弓形半径为5，弓形的弦长6，则弓形高为 。 3． 在半径为5cm 的⊙O 中，两条平行弦长分别为6cm 、8cm ，两条平行弦之间距离是 。 4．⊙O 的半径为6，点Ｍ是⊙O 内一点，OM ＝４，若以点Ｍ为圆心的⊙M 与⊙O 内切，则⊙M 的半径为 ．

5．⊙O 的半径为6，点Ｍ是⊙O 外一点，ＯM ＝10，若以点Ｍ为圆心的⊙M 与⊙O 相切，则⊙M 的半径是 .

6．若两圆半径分别为R 、r （ R ＞r ），圆心距为d ，且R 2+d2=r2+2Rd，则两圆的位置关系是 .

7.已知相交两圆的半径分别是5和4，公共弦长为6，则它们的圆心距是 . 8.若两个同心圆半径分别为6、2，那么与它们都相切的圆的半径是 .

9.已知相交两圆的半径分别是5和4，公共弦长为6，则它们重合部分的面积是 . 五．作图题：

1．如图,M 为⊙O 内的一点,利用尺规作一条过点M 的最短弦AB. 2．平分已知弧.

3．找出残破车轮的圆心

4.作出△ABC 的内切圆。

5. 作出△ABC 的外接圆。

B

C B

A

六、解答题：

1．AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C的切线互相垂直，垂足为D.

求证:AC平分∠DAB.

求证： OC//AD

4．已知:OA是⊙O的半径, OC⊥OA,且交弦AB于D,BC=DC.

求证:BC是⊙O的切线.

求证：DE是⊙O的切线

6．已知：A．B．C三点在圆O上，AD是△ABC的高，AE是圆O的直径．求证： AB·AC=AE·AD

C

基础知识练习01

1．所示，已知：AB 和CE 为圆O 的两条直径，弦CD// A B, ∠COD=0

30,则

∠BOE= .

2．已知⊙O 的半径为R ，则长度为

5

1

πR 的弧所对的圆周角是 . 3．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 9，BC = 12，则某外接圆的半径为 .

4．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值为 ．

5．已知：⊙1O 和⊙2O 的半径分别为5cm 和3cm ，两圆的圆心距是9cm ，则两圆的位置关系是 ．

6．如图，OAB 是以6cm 为半径的扇形，AC 切弧AB 于点A 交OB 的延长线于点C,如果弧AB 的长等于3cm,AC=4cm,则图中阴影部分的面积为 cm ２

．

7．圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是 度． 8．已知圆中一弦将圆分为1 ：2的两条弧，则这条弦所对的圆周角为 度． 9．一条弦有弦心距的长等于它所在圆的直径的

4

1

,则这条弦所对劣弧的度数是 度． 10．弓形的弦长为43cm ，高为2 cm ，则它的弧所在圆的半径为 cm ． 11． 如图,正方形ABCD 内接于⊙O,点E 在?

AD 上,则∠BEC=_______°

12．在直径为10cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如右图所示，如果油面AB ＝8cm ，那么油的最大深度是 cm.

13．如图，在△ABC 中，∠A=68°，点I 是△ABC 的内心，则∠BIC 的度数为

D

13题

(5)

14．如图(5),A 是半径为2的⊙O 外一点,OA=4,AB 是⊙O 的切线,点B 是切点,弦BC ∥OA,连结AC,则图中阴影部分的面积为_________ 15．如图，点A B ，是⊙O 上两点，10AB =，点P 是⊙O 上的动点（P 与A B ，不重合），连结AP PB ，，过点O 分别作OE AP ⊥于E ，

OF PB ⊥于F ，则EF =

16．如图，点P 的坐标为（4,0), OP 的半径为5，且OP 与x 轴交于点A,B ，与y 轴交于点 C,D, 试求出点A ,B,C,D 的坐标．

基础知识练习02

1．弓形的弦长为43cm ，高为2 cm ，则它的弧所在圆的半径为 cm ．

2．若面积为54π2

cm 的扇形的半径为18cm ，则该扇形的圆心角的度数是 ．

3．相切两圆圆心距为7．5cm,一个圆的半径为4cm,则另一个圆的半径是 cm ．． 4．在半径为12cm 的圆中，一条弧长为π6cm ，此弧所对的圆周角是 ．

5．如图, ⊙O 的半径是5cm,P 是⊙O 外一点,PO=8cm,∠P=30o,则AB= cm,PB= cm ． 6．如图, ⊙O 中弦AB ⊥AC,D,E 分别是AB,AC 的中点． ⑴若AB=AC,则四边形OEAD 是 形;

⑵若OD=3,半径5=r ,则AB= cm ， AC= cm ． 7．如图,在△ABC 中,AB=AC, ∠B=50o, ⊙A 与BC 相切于点D,与AB 相交于点E,则∠AED= o

（5题） （6题） （7题）

8．两同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于C 点，且AB=20cm,则夹在两圆间的圆环面积是

2cm ________．

9．如图，AB 是半圆O 的直径，AC=AD,OC=2, ∠CAB=300，则点O 到CD 的距离OE = ． 10．如图,在同心圆⊙O 中,AB 是大圆的直径,AC 是大圆的弦,AC 与小圆相切于点D,若小圆的半径为3cm,则BC= cm ．

P

（第15题）

A E D

B O C

B E D

C A

P B

A O

A B

11．如图, ⊙1O 与⊙2O 相交于点A ．B,且A O 1是⊙2O 的切线, A O 2是⊙1O 的切线,A 是切点．若⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3和4,则公共弦AB 的长为 cm ．

（9题） （10题） （11题） 12．如图(4),⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 是BC 边上的高,已知BD=8,CD=3,AD=6, 则直径AM 的长为________．

13．⊙O 的半径为3，AB 是⊙O 的直径，半径CO ⊥AB,P 为CO 的中点，弦BD 过点P ， 则BD= .

（12题） （13题）

14．如图所示,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为60米,拱高18米, 当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即PN=4米时是否要采取紧急措施?

(4)

C