线性代数性质公式
线性代数
第一章行列式
一、相关概念
1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积
的代数和，这里是1，2，···n的一个排列。当是偶排列时，该项的前面带正号；当是奇排列时，该项的前面带负号，即
(1.1)
这里表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。
2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用表示排列的逆序数。
3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。
4.2阶与3阶行列式的展开——，
5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式
称为的余子式，记为；称为的代数余子式，记为，即。
6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作。
二、行列式的性质
1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。
2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.
3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。
4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：
5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变：
6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0
三、行列式展开公式
n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即
|A|按i行展开的展开式
|A|按j列展开的展开式
四、行列式的公式
1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；
2.关于副对角线的n阶行列式的值
3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则
4.范德蒙行列式
5.抽象n阶方阵行列式公式(矩阵)
若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值：
；；|AB|=|A||B|；；
；；若，则，且特征值相同。
一般情况下：
五、行列式的计算
1.数字型行列式
将行列式化为上下三角，再按行或列展开；
化简技巧：①将每列(行)都加到同一列(行)，或者将每列(行)k i倍都加到同一列(行)。
②逐行(或逐列)相加
③利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式
数学归纳法——①验证n=1时命题正确；假设n=k时命题正确；证明n=k+1时，命题正确。
②验证n=1和n=2时命题都正确，假设n ③对于n阶的三对角行列式，通常可用数学归纳法。 2.抽象型行列式——通常与矩阵一起考，利用行列式的性质(倍加、提公因数k、拆项)等来恒等变形；也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、相似。 ☆利用单位矩阵恒等变形来计算|A+B|形式的行列式。 3.行列式|A|是否为0的判定 若A=[]是n阶矩阵，那么 行列式|A|=0 矩阵A不可逆 秩r(A) Ax=0有非零解 0是矩阵A的特征值 A的列(行)向量线性相关。 否为0；④反证法；⑤若|A|=k|A|，且k≠1时也能得出|A|=0 4.代数余子式求和 ①按定义直接计算求和； ②用行列式的按行或列展开的公式。由于的值与的值没有关系，故可以构造一个新 的行列式|B|，通过求新行列式的代数余子式间接求出原行列式的代数余子式。P205例20 ③利用行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0的性质 ④根据伴随矩阵的定义，通过求再来求和。 第二章矩阵 一、矩阵的概念及运算 矩阵——m×n个数排成如下m行n列的一个表格称为是一个m×n矩阵，当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵。如果一个矩阵所有元素都是0，则称为零矩阵，记作O。 两个矩阵，，如果m=s，n=t，则称A与B是同型矩阵 两个同型矩阵如果对应的元素都相等，则称矩阵A与B相等，记作A=B。 矩阵A是一个表格，而行列式|A|是一个数。 二、矩阵的运算 1.(加法)设A、B是同型矩阵，则 2.(数乘) 3.(乘法)若A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，则A、B可乘，且乘积AB是一个m×n矩阵。 记成，其中 4.转置将矩阵A的行列互换得到矩阵A的转置矩阵 三、矩阵的运算规则 ABC为同型矩阵，则 1.加法—— 2.数乘—— 3.乘法ABC满足可乘条件 注意一般情况下 对角矩阵 对角矩阵的逆矩阵 4.转置——；； 5.伴随矩阵——；； ； ；；； 6.方阵的幂—— 注意 7.特殊方阵的幂(求)—— ①若秩，从而 例如P218 ②特殊的二项式展开 ③分块矩阵 ④特征值、特征向量、相似 ⑤简单试乘后如有规律可循，再用归纳法。 四、特殊矩阵 设A是n阶矩阵： ①单位阵：主对角元素为1，其余元素为0，记成 ②数量阵：数k与单位矩阵E的积kE称为数量矩阵。 ③对角阵：非对角元素都是0的矩阵称为对角阵，记成 ④上(下)三角阵：当，有的矩阵称为上(下)三角阵。 ⑤对称阵：满足，即 ⑥反对称阵：满足，即，的对称阵称为反对称阵。 ⑦正交阵：矩阵称为正交阵，即 ⑧初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。 ⑨伴随矩阵：见(一.1.6) 五、可逆矩阵 1.主要定理：若A可逆则A的逆矩阵唯一且|A|不为0。行列式不为0则矩阵可逆。 2.概念——设A是n阶方阵如果存在n阶矩阵B使得成立，则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵，记成 3.可逆的充要条件——①存在n阶矩阵B使得AB=E ②，或秩r(A)=n，或A的列(行)向量线性无关 ③齐次方程组Ax=0只有零解 ④矩阵A的特征值不全为0 4.逆矩阵的运算性质——若 若A，B可逆，则；特别地 若可逆，则；； 注意，即使A,B,A+B都可逆，一般地 5.求逆矩阵的方法——①若 ②初等变换 ③用定义求B，使得AB=E或BA=E，则A可逆且 ④分块矩阵，设B,C都可逆，则 ； 六、初等变换、初等矩阵 1.主要结论：用初等矩阵P左乘A，所得PA矩阵就是矩阵A做了一次和矩阵P同样的行变换；若是右乘就是相应的列变换。 2.初等变换——设A是矩阵，(倍乘)用某个非零常数的某行(列)的每个元素，(互换)互换A的某两行(列)，(倍加)将A的某行(列)元素的k倍加到另一行(列)。称为初等变换。 3.初等矩阵——由E经过一次初等变换所得的矩阵 倍乘初等矩阵 互换初等矩阵 倍加初等矩阵 4.等价矩阵——矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记成。若 ，则后者称为A的等价标准形。(A的等价标准型是与A等价的所有矩阵中的最简 矩阵。) 5.初等矩阵与初等变换的性质—— ①初等矩阵的转置仍然是初等矩阵； ②初等矩阵均是可逆矩阵且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵 ，， ③左行右列 ④当A时可逆矩阵时，则A可作一系列初等行变换成单位矩阵，即存在初等矩阵， ，···，，使得 七、矩阵的秩 1.求秩的主要方法：经过初等变换矩阵的秩不变；如果A可逆，则 2.矩阵的秩——设A是m×n矩阵，若A中存在r阶子式不等于0，且所有r+1阶子式均为0，则称矩阵A的秩为r，记成r(A)，零矩阵的秩规定为0。 3.矩阵的秩的性质—— 矩阵A中非零子式的最高阶数是r A中每一个r阶子式全为0 A中有r阶子式不为0 特别地，； 若A是n阶矩阵， 若A是m×n矩阵，则 4.矩阵的秩的公式—— ； 当时，； ；若A可逆，则 若A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，则 分块矩阵。 八、分块矩阵 1.概念——将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一小块称为原矩阵的子矩阵(或子块)，把子块看成原矩阵的一个元素，则原矩阵叫分块矩阵。 由于不同的需要，同一个矩阵有不同的方法分块，可以行分块，以列分块等。 2.分块矩阵的运算——对矩阵适当地分块处理(要保证相对应子块的运算能够合理进行)，就有如下运算法则： 若B,C分别是m阶与s阶矩阵，则， 若B,C分别是m阶与s阶可逆矩阵，则， 若A是m×n矩阵，B是n×S矩阵且AB=O，对B和O矩阵按列分块有 即B的列向量是齐次方程组的解。 线性表出P214 第三章、向量 一、n维向量的概念与运算 1.n维向量——n个有序数组所构成的一个有序数组成为n维向量，记成 或，分别称为n维行向量或n维列向量，数称为向量的第i个分量。 2.零向量——所有分量都是0的向量称为零向量，记为0 3.相等——n维向量相等，即 4.运算——n维向量 (加法) ，， (数乘) ，，， (内积) ，称为向量的长度。 ，等号成立当且仅当 特别地，如，则称正交 二、线性表出、线性相关 1.线性组合——m个n维向量及m个数所构成的向量 称为向量组的一个线性组合，数称为组合系数。 2.线性表出—— ①对n维向量和，如果存在实数，使得 则称向量是向量的线性组合，或者说向量可由线性表出。 ②设有两个n维向量组(Ⅰ)；(Ⅱ)；如果(Ⅰ)中每个向量都可由(Ⅱ)中的向量线性表出，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出。 如果(Ⅰ) 、(Ⅱ)这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。 等价向量组具有传逆性、对称性、反身性。 向量组和它的极大线性无关组是等价向量组。 向量组的任意两个极大无关组是等价向量组。 等价的向量组有相同的秩，但秩相等的向量组不一定等价。 3.线性相关、无关——对于n维向量，如果存在不全为零的数，使得 则称向量组线性相关，否则称它线性无关。 关于线性无关，只要不全为零，必有，或者，当且 仅当时，才有 显然，含有：零向量，相等向量，坐标成比例的向量组都是线性相关的，而阶梯形向量组一定是线性无关的。 证明：证明线性无关通常的思路是：用定义法(同乘或拆项重组)，用秩(秩等于向量个数则线性无关)，齐次方程组只有零解或反证法。 4.重要定理—— ①n维向量组线性相关齐次方程组有非零解 ②n个n维向量 ③个n维向量必线性相关。 ④如果线性相关，则必线性相关。 ⑤如果n维向量组线性无关，则它的延伸组必线性无关。 ⑥n维向量可由线性表出非齐次方程组有解 ⑦向量组线性相关至少有一个向量由其余s-1个向量线性表出。 ⑧向量组线性无关，而向量组向量组线性相关，则向量可由 线性表出，且表示方法唯一。 ⑨设有两个n维向量组(Ⅰ)；(Ⅱ)，如果向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出，且，则必线性相关。 若n维向量组可由线性表出，且线性无关，则 三、极大线性无关组、秩 1.概念——设向量组中，有一个部分组，满足条件 ①线性无关； ②再添加任一向量，向量组必线性相关；(向量组中任何一个向量必可由线性表出) 则称向量组是向量组的一个极大线性无关组。 注：只有一个零向量构成的向量组没有极大线性无关组。 一个线性无关的向量组的极大线性无关组是该向量组本身。 向量组的极大线性无关组一般不唯一,但其极大线性无关组的向量个数是一样的。2.秩——向量的极大线性无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩。记为 。() 如果向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出，则 3.注意——求向量组的极大无关组时，只能都作行变换(或都做列变换)，不能混合行列变换。 如果只是求向量组的秩，则可以混合行列变化。 四、施密特正交化、正交矩阵 1.正交矩阵——设A是n阶矩阵，满足，则A是正交矩阵。 A是正交矩阵 的向量组是正交规范向量组，如A是正交矩阵，则行列式。 2.施密特正交化——设向量组线性无关，其正交规范化方法步骤如下： 令 ， 则两两正交。 再将单位化，取 则是正交规范向量组(即两两正交且均是单位向量) 第四章线性方程组 一、克拉默法则 1.概念——若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组 的系数行列式，则方程组有唯一解，且。其中是中的第i列元素(即)替换成方程组右端的常数项所构成的行列式。 2.推论——若包含n个方程n个未知量的奇次线性方程组的系数行列式的充要条件是方程组有唯一解，反之，齐次线性方程组有非零解的充要条件是。 二、齐次线性方程组 1.形式——n个未知量m个方程组成的方程组 向量形式：其中 矩阵形式： 2.齐次线性方程组的解——若将有序数组代入方程组的未知量，使每个方 程等式成立，则称为方程组的一个解(或解向量)，记成 3.齐次线性方程组的基础解系—— 设是AX=0的解向量，若满足 ①线性无关； ②AX=0的任一解向量ξ均可由线性表出。等价于： (加入任一解向量) (，即线性无关解向量的个数为，满足) 则称向量是AX=0的基础解系。 4.AX=0的解的性质——若是齐次线性方程组AX=0的解，则仍是AX=0 的解，其中k1,，k2是任意常数。推广到多个解 5.AX=0有解的条件——齐次线性方程AX=0一定有解，至少有非零解。 AX=0只有零解方程组的列向量组线性无关 AX=0有非零解方程组的列向量组线性相关 6.基础解系向量个数与秩的关系——，则齐次线性方程组 存在基础解系，且基础解系由个线性无关解向量组成，故 基 7.AX=0的通解——设是AX=0的基础解系，则是 AX=0的通解，其中k是任意常数。 8.基础解系和通解的求法——初等行变换 三、非齐次线性方程组 1.形式——n个未知量m个方程组成的方程组 向量形式：其中 矩阵形式： 2.AX=b的解的性质——设是AX=b的两个解，对应齐次方程AX=0的解，则 3.AX=b有解的条件—— AX=b无解b不能由A的列向量组线性表出 AX=b有解b可以由A的列向量组线性表出 AX=b有唯一解 线性无关，线性相关 b可以由A的列向量组线性表出且表示唯一。 AX=b有无穷解 线性相关，b可由线性表出且表示不唯一。 4.AX=b的通解结构——对应的齐次通解+非齐次的一个特解。 5.AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A—— 齐次线性方程组有解，故AX=0的系数行向量和解向量有如下关系：，故A的行向量与AX=0的解向量是正交向量； ，即将解向量作齐次方程组的行向量时，A的行向量既是该方程组的解向量。 6. AX=0的系数列向量和解向量的关系——P260 7.两个方程组的公共解—— 方程组和的公共解是满足方程组的解。P263 8.同解方程组——若是同解方程组，有 第五章特征值、特征向量、相似矩阵 一、特征值、特征向量 1.特征值——A是n阶方阵，如果对于数，存在非零向量，使得，成立，则称是A的特征值，是A的对应于的特征向量。 2.特征多项式——，因，故0，此为特征多项式，矩阵称为特征矩阵。 3.特征值的性质——设是A的特征值，则 ①；② 4.求特征值、特征向量的方法—— 方法一：设，则由0求出A的全部特征值λ，再有齐次线性方程组求出A的对应于特征值的特征向量。基础解系即是A的对应于的线性无关特征向量，通解即是A的对应于的全体特征向量。(除0向量) 方法二：利用定义，凡满足关系式的数即是A的特征值，即是A对应于的特征向量。一般用于抽象矩阵，或元素为文字的矩阵。P269 二、相似矩阵、矩阵的相似对角化 1.相似矩阵——设A、B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得，则称A相似 于B，记成。若，其中是对角阵，则称A可相似化。是A的相似标准型。 2.矩阵可相似对角化的充要条件—— ①n阶矩阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量。 ②A的对应于的特征向量线性无关。 ③n阶矩阵A有n个互不相同的特征值， A有n个线性无关特征向量 A可相似于对角阵。 ④是n阶矩阵A的重特征值，则其对应的线性无关特征向量个数个 ⑤n阶矩阵A可相似对角化A的每一个重特征值对应的线性无关特征向量个数等于该特征值的重数 ⑥当A的重特征值对应的线性无关特征向量个数少于特征值的重数时，A不能相似于对角阵。 3.性质——反身性若 4.两个矩阵相似的必要条件 线性代数 第一章行列式 一、相关概念 1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 的代数和，这里是1，2，···n的一个排列。当是偶排列时，该项的前面带正号；当是奇排列时，该项的前面带负号，即 (1.1) 这里表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。 2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用表示排列的逆序数。 3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。 4.2阶与3阶行列式的展开——， 5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式 称为的余子式，记为；称为的代数余子式，记为，即。 6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作。 二、行列式的性质 1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。 2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0. 3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。 4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和： 5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变： 6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0 三、行列式展开公式 n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即 |A|按i行展开的展开式 |A|按j列展开的展开式 四、行列式的公式 1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积； 2.关于副对角线的n阶行列式的值 3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则 4.范德蒙行列式 5.抽象n阶方阵行列式公式(矩阵) 若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值： 线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ?????;(主对角分块) ③、1 11O A O B B O A O ---?? ?? = ? ? ???? ;(副对角分块) ④、11111A C A A CB O B O B -----?? -??= ? ????? ;(拉普拉斯) ⑤、 11111A O A O C B B CA B -----???? = ? ?-???? ;(拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形就是唯 一确定的:r m n E O F O O ??? = ???; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ? :; 2. 行最简形矩阵: ①、只能通过初等行变换获得; ②、每行首个非0元素必须为1; ③、每行首个非0元素所在列的其她元素必须为0; 3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换) ①、 若(,)(,)r A E E X :,则A 可逆,且1 X A -=; ②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成1 A B -, 即:1 (,)(,) c A B E A B - ~ ; ③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)r A b E x :,则A 可逆,且1 x A b -=; 4. 初等矩阵与对角矩阵的概念: ①、初等矩阵就是行变换还就是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵; 线性代数公式 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 8. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1) (1) i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1) 2 1 (1) n n D D -=-；(1) 2 2 (1) n n D D -=- 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4 D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1) m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ -=-=+ -∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明 A =的方法： ①、 A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ? 齐次方程组0 Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 线性代数公式必记 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； 考研数学线性代数常用公式 数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生在暑期的复习中有所帮助。本文内容为线性代数的常考公式汇总。 1、行列式的展开定理 行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之 和，即 C 的 3、设A 为n 阶方阵，*A 为它的伴随矩阵则有**==AA A A A E . 设A 为n 阶方阵，那么当AB =E 或BA =E 时，有1-B =A 4、 对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种： 第一种：交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ，该矩阵也 可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.如1,3001010100?? ?= ? ?? ?E . 第二种：将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.如 2100(5)050001?? ?-=- ? ?? ?E . 第三种：将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.如 3,2100(2)012001?? ?-=- ? ??? E . 注： 1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的. 2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵()ij k E 看做列变换是将单位矩阵第j 列的k 倍加到第i 列，这一点考生比较容易犯错. 5、矩阵A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A 的秩，记为()r A . 1）()()(),0r r r k k ==≠T A A A ； 2）()1r ≠?≥A O A ； 3）()1r =?≠A A O 且A 各行元素成比例； 4）设A 为n 阶矩阵，则()0r n =?≠A A . 6、线性表出 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，12,,...m k k k 是m 个常数，则称1122...m m k k k ααα+++为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合. 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，β是一个n 维向量，如果β为向量组 线性代数公式大全 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式：A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 6. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：* * AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1* *1 11**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== * * * 1 1 1 ()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆： 若12 s A A A A ?? ? ?= ? ?? ? ，则： Ⅰ、12s A A A A = ； Ⅱ、1 1112 1s A A A A ----?? ? ?= ? ? ?? ? ； ②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ????? ；（主对角分块） ③、1 11O A O B B O A O ---?? ??= ? ? ???? ；（副对角分块） ④、1 1111A C A A CB O B O B -----?? -?? = ? ????? ；（拉普拉斯） ⑤、1 111 1A O A O C B B CA B -----?? ?? = ? ?-???? ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m n E O F O O ???= ???； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵： 线性代数性质公式整 的乘积 的代数和，这里帘汀?是1, 2,?n ?的一个排列。当? 是偶排列时，该项的 前面带正号；当 是奇排列时，该项的前面带负号，即 | 釦1 a l2 V 这里. 表示对所有n 阶排列求和。式（1.1）称为n 阶行列式的完全展开式 2. 逆序与逆序数 ——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这 两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用 表示排列 '的逆序数。 3. 偶排列与奇排列一一如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排 列，否则称为奇排列 忖h 4.2阶与3阶行列式的展开一 |匚d =ad - he a 21 a 22 也 3 对1 日32 ^33 =^^22333 + ^12a 23^31 + a 13a 21a 32 _ a 13a 22a 31 ~ 312^21^33 _ a ll a 23 a 32 、相关概念 1?行列式 线性代数 第一章行列式 町1 31? a 22 … di ?1!| ? |i gi f di f ■ ■1 P ? a n i 鈿.2 a t]n 是所有取自不同行不同列的 n 阶行列式 n 个元素 行，第j 列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个 n-1阶的行列式 6.伴随矩阵一一由矩阵A 的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如 、行列式的性质 1. 经过转置行列式的值不变，即I ：l A l'k 行列式行的性质与列的性质是对等 的。 2. 两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同 （或两行成比例），行列式 的值为0. 3. 某行如有公因子k ,则可把k 提出行列式记号外。 4. 如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和: 5.把某行的k 倍加到另一行，行列式的值不变: pi 岂为 a l 旳 b ］帕 b :t =b t + 斶 b? + kaj b$ + 1“巳5 1 c i “ 卬 6.代数余子式的性质一一行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积 5.余子式与代数余子式——在n 阶行列式 日12… ^22 … 屯】】 4)-| * || || * 甲章■ ■1 p III 釘2 … a t ］n an - 日］』1 1 … … … … a i - 14 …a i -1J- 1 邳Li 丰 a i + u …+ i,j -1 a i + 1.| + *** *** … 2［订 … ^ll,j -1 a IIJ +1 （-1）2叫为％的代数余子式，记为 ?1 - Ln + Im Aij 称为呦的余子式，记为 ，即A 产（-1严叫 ii ；称 A 】 】 A12 A21 … A 22 ...A (2) A lllv ,称为A 的伴随矩阵，记作… 中划去所在的第i 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+ 1、行列式 1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、A j和a^的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：M ij （ 1）i j A ij A ij （ 1）i j M ij 4. 设n行列式D : n（n 1）n（n 1）将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D!，则U （ 1）F D；D2 （ 1L D 将D顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为D2，贝U； 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3 D ； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4 D ； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； n（n 1） ②、副对角行列式：副对角元素的乘积（1）h ； ③、上、下三角行列式（、i ）:主对角元素的乘积; n （n 1） ④、匚和丄：副对角元素的乘积（1）F ； ⑤、拉普拉斯展开式: A||B、(1)mgn A B ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； n 6. 对于n阶行列式A，恒有：E A n（1）W nk，其中S k为k阶主子式; k 1 7. 证明A 0的方法： ①、A A ； ②、反证法； ③、构造齐次方程组Ax 0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r（A） n ; ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A是n阶可逆矩阵： A 0 （是非奇异矩阵）； r（A） n （是满秩矩阵） A的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组Ax 0有非零解； b R n，Ax b总有唯一解； 概率论公式大全（2010版） 1．随机事件及其概率 吸收律：A AB A A A A =?=??Ω=Ω?)( A B A A A A A =???=??=Ω?)( )(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =? B A AB ?= n i i n i i A A 11=== n i i n i i A A 11=== 2．概率的定义及其计算 )(1)(A P A P -= 若B A ? )()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤? )()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++- =∑∑∑ 3．条件概率 ()=A B P ) ()(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P ()() ) 0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 ∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i n i i B A P B P ?=∑= Bayes 公式 )(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1 ) ()()()( 4．随机变量及其分布 分布函数计算 ) ()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤< 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- *Possion 定理 0lim >=∞ →λn n np 有 ,2,1,0!)1(l i m ==---∞→k k e p p C k k n n k n k n n λλ (3) Poisson 分布 )(λP ,2,1,0,!)(===-k k e k X P k λλ 线性代数重点公式 目录 1 行列式 (1) 2 矩阵 (2) 3 矩阵的初等变换与线性方程组 (3) 4 向量组的线性相关性 (6) 5 相似矩阵和二次型 (9) 1 行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1) n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1) i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1) 2 1(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1) 2 2(1) n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1) 2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1) 2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1) m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ -=-=+ -∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0 Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ? 齐次方程组0 Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； 1. n 行列式共有2 n 个元素,展开后有!n 项，可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行(列）的元素乘以其它行（列)元素的代数余子式为０； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1 (1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2 D ，则(1)2 2 (1) n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后（转置)，所得行列式为3 D ，则3 D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4 D ,则4 D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）:主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式 : A O A C A B C B O B = =、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ,恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子 式； 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 n A B s A ?? 2 s A A ；12 A - ②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ?????；（主对角分块） ③、1 11O A O B B O A O ---?? ?? = ? ? ???? ；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B O B -----?? -??= ? ????? ；（拉普拉斯） ⑤、 11111A O A O C B B CA B -----???? = ? ?-???? ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一 确定的：r m n E O F O O ??? = ???； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、 若(,)(,)r A E E X ，则A 可逆，且1 X A -=； ②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1 A B -，即： 1(,)(,) c A B E A B - ~ ； ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,) r A b E x ， 则A 可逆，且1 x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； 1、行列式 1. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 逆序数计算 2. 行列式的重要公式： （1）、主对角行列式：主对角元素的乘积； （2）、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； 2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1**111**()()()()()()----===T T T T A A A A A A *** 111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 方阵行列式性质。(1)||||;(2)||||;(3)|||||===T n A A A A AB A B λλ 注意：矩阵乘法不满足交换律。 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m n E O F O O ??? = ???； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、若(,)(,)r A E E X ，则A 可逆，且1X A -=； ②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)c A B E A B - ~ ； ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)r A b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 矩阵秩的基本性质： ①、0()min(,)m n r A m n ?≤≤； ②、()()T r A r A =； ③、若A B ，则()()r A r B =； ④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+； ⑥、()()()r A B r A r B +≤+； ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤； 0； 【线性代数重要公式】 1、行列式 1. n 行列式共有n 2 个元素，展开后有n !项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ① 、A j 和a j 的大小无关； ② 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 ③ 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 I A ； 代数余子式和余子式的关系：M ij= （-1）i j A ij A ij =（J ）i j M ij 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 D ，则D i =（_1） （J D ； 将D 顺 时针或逆时针旋转90 ,所得行列式为D 2 ,则D 2= （-1）"TD ； 将D 主对角线翻转 后（转置），所得行列式为 D 3 ,则DD ； 将D 主副角线翻转后，所得行 列式为D 4 ,则D" D ； 行列式的重要公式： ① 、主对角行列式：主对角元素的乘积； ② 、副对角行列式：副对角元素的乘积 （-1） "（"■I ） ； ③ 、上、下三角行列式（、二X ）:主对角元素的乘积; ④、匚和丄：副对角元素的乘积（一1）"（ T ； ⑥ 、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦ 、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ,恒有：-A Z 」（-1）k S k'njc ,其中S k 为k 阶主子式; k=t 7 7. 证明A =0的方法： ①、A=-A ； ② 、反证法； ③ 、构造齐次方程组Ax=O ,证明其有非零解; 3. 4. 5. ⑤、拉普拉斯展开式: =AB 、 = ^1)m - A B ④、利用秩，证明r （A）：n ； 0； 线性代数重要公式定理 大全 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8- 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；(1)2 2(1) n n D D -=- 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B = =、 (1)m n C A O A A B B O B C = =- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； 线性代数公式大全 第一章 行列式 1．逆序数 1.1 定义 n 个互不相等的正整数任意一种排列为：12n i i i ???，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序 不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用()12n i i i τ???表示，()12n i i i τ???等于它所有数字中后面小于前 面数字的个数之和。 1.2 性质 一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ()211ττ=-。 证明如下： 设排列为111l m n a a ab b bc c ，作m 次相邻对换后，变成111l m n a a abb b c c ，再作1m +次相邻对换 后，变成1 11l m n a a bb b ac c ，共经过21m +次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ， 要么减少1 ，相当于()211ττ=-，也就是排列必改变改变奇偶性，21m +次相邻对换后()()21 21111m τττ+=-=-， 故原命题成立。 2．n 阶行列式的5大性质 性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。 性质2：互换任意两行（列）其值变号。 性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。 性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。 性质5：把行列式某行（列）λ倍后再加到另一行（列），其值不变。 行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。 对性质4的重要拓展： 设n 阶同型矩阵， ()()(); ij ij ij ij A a B b A B a b ==?+=+，而行列式只是就某一列分解，所以，A B +应当 是2n 个行列式之和，即A B A B +≠+。 韦达定理的一般形式为：线性代数性质公式
线性代数公式大全最全最完美
线性代数重要公式
线性代数公式模板
线性代数重要公式、定理大全
最全线性代数公式笔记
2020考研 线性代数_常用公式
线性代数公式大全——最新修订(突击必备)
线性代数性质公式整理教学文案
线性代数常用公式
线性代数重要公式定理大全
线性代数公式大全
线性代数重要公式模板.
线性代数公式必记
精心整理线性代数公式大全
线性代数重要公式
线性代数公式精简版
线性代数重要公式
线性代数重要公式定理大全
线性代数公式定理大全