第十一讲 无穷级数分解

第十一讲 无穷级数

一、考试要求

1、 理解（了解）级数的收敛、发散以及收 敛级数的和的概念。

2、 掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数与P 级数的收敛与发散

的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 3、 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系，掌

握交错级数的莱布尼茨判别法。

4、 掌握（会求）幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

5、 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项

积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

6、 掌握e x ,sinx,cosx,ln(1+x)与（1+x)α的麦克劳林展开式，会用它们将简单函

数间接展开成幂级数。 7、 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在

[-L ，L]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，L]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 二、内容提要 1 数项级数 (1) 定义

(2) 性质：1）若∑∞

=1n n u 加括号发散?

u

n

n =∞

∑1

发散;

2）若u n n =∞∑1

收敛?lim n n u →∞

=0

2 正项级数 (1) 定义

(2) 判敛：1) {}S n 有界；2) 比较法；3) 比值法；4) 根值法

3 交错级数 ()--=∞

∑111n n n u

4 一般项级数

绝对收敛，条件收敛 5 函数项级数 幂级数:

(1) 收敛半径、收敛区间、收敛域

(2) Abel 定理：若已知a x x n n n =∞

∑-00()在x=a 点收敛（发散），则

当x x a x -<-00 (x x a x ->-00)时a x x n n n =∞

∑-0

0()绝对收敛（发散）。

(3) 性质：连续，逐项求导，逐项积分

6 函数的幂级数展开

7 傅里叶级数

(1) f x l f x ()()+=2,I x ∈?，（或只在上有定义],[l l -,但在中可积],[l l -），则f （x ）的付里叶级数定义为

f x a a n x l b n x

l

n n n ()~(cos sin )012++=∞

∑ππ ，

其中a l f x n x l dx n l l =-?1()cos π, b l f x n x

l dx n l l =-?1()sin

π, n=0,1,2,…称为f （x ）的付里叶系数。

(2) 收敛定理：设)(x f 定义在),(+∞-∞中（或只在上有定义],[l l -），在上],[l l -满足：（i ）除可能的第一类间断点外均连续，（ii ）只有有限多个极值点，

则f （x ）的付里叶级数在),(+∞-∞中（或只在上],[l l -）处处收敛，且其和函数为

∑∞=++=10)sin cos (2)(n n n l x n b l x n a a x S ππ =l

x x x l f l f x f x f x f ±=????

?

????-++-++-间断连续,,2)0()0(2)0()0(),(

(3) 常见情况π=l ，此时∑∞

=++1

0)sin cos (2~)(n n n nx b nx a a x f

其中 ?-=π

π

πnxdx x f a n cos )(1, b f x nxdx n =-?1πππ()sin , n=0,1,2,…

(4) 如果)(x f 是上],[l l -的偶函数，或定义在[0，]l 上的函数作偶延拓，则

∑∞=+10cos

2~)(n n l

x

n a a x f π，其中dx l x n x f l a l n ?=0cos )(2π；如果)(x f 是上],[l l -的奇函数，或定义在[0，]l 上的函数作奇延拓，则∑∞

=1

sin ~)(n n l x

n b x f π，其中

dx l

x n x f l b l n ?=0sin )(2π

三、 重要公式与结论

1、对于级数∑∞

=1

n n u ，令∑==n

k k n u S 1

，则

（1）若∑∞=1

n n u 收敛，则∑∞

=1

n n u ==∞

→n n S lim 1lim -∞

→n n S ，且=∞

→n n u lim 0)(lim 1=--∞

→n n n S S

（2）若,0lim ≠∞

→n n u 或该极限不存在，则∑∞

=1

n n u 发散。

2、设b a ,都是非零常数，则有

（1）若∑∞

=1n n u 与∑∞

=1n n v 都收敛，则∑∞

=+1

)(n n n bv au 收敛；

（2）若∑∞

=1n n u 和∑∞

=1n n v 中一个收敛，而另一个发散，则∑∞

=+1

)(n n n bv au 发散； （3）若∑∞

=1

n n u 和∑∞

=1

n n v 都发散，则∑∞

=+1

)(n n n bv au 的敛散性不确定。

3、设n

n n u u

1lim +∞→=ρ（或n

n u =

ρ），如果,1>ρ则∞=∞

→n n u lim ，且∑∞=1n n u 和∑∞

=1

n n u 都

发散。

4、若幂级数n n n x x a )(01-∑∞

=在1x 处收敛，则对任何满足010x x x x -<-的x ，

n n n

x x a

)(01

-∑∞

=绝对收敛；若幂级数n n n x x a )(01

-∑∞

=在1x 处发散，则对任何满足

010x x x x ->-的x ，n n n x x a )(01

-∑∞

=发散。

5、幂级数的变换公式

（1）设n n n x a ∑∞

=1的收敛域为1I ，其和函数为)(x S ，)(x f 是定义在R 上的一个已知函数，则n n n x f a )]([1∑∞=的收敛域为{}12)(:I x f R x I ∈∈=，且其和函数为))((x f S ；

（2）常用的变换是k x x x f )()(0-=，其中k 为正常数。

6、对于任意项级数∑∞

=1

n n u ，若∑∞

=1

n n u 发散，且是由比值或根值判别法判定的，则∑∞

=1

n n

u 也发散。 7、几何级数∑∞

=-11

n n aq

在1

a

aq n n -=

∑∞

=-11

1；当1≥q 时发散。 8、p 级数∑∞

=1

1

n p n （或∑∞

=1ln 1n p

n n ），当1>p 时收敛，当1≤p 时发散。

9、nx x nx x n n n --=∞

=++++=

-∑112

1

121

1 ()

x n

x x x n x n n

n =++++=--=∞

∑2121 l n ()

10、若f(x)≥≥01()x 且单调下降，则f n n ()=∞

∑1

与f x dx ()1

+∞

?同敛散

11、 e x x x n x

n

=+++++122!! s i n ()()!

x n x n n n =-+=∞

+∑121021

c o s ()()!x n x n n n

=-=∞

∑120

2

l n ()()1

231231+=-+-+-+-x x x x x n

n n

1

112-=+++++x

x x x n ++--++-++=+n

x n n x x x !

)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα

四、典型题型与例题

题型一、数项级数敛散性的判定

解题思路：

1、 若,0lim ≠∞

→n n u 则∑∞

=1

n n u 发散；否则进一步判断。

2、若∑∞

=1

n n u 为正项级数，先化简n u ，视其特点选择适当的判别法：

（1） 若n u 中含有

α

n

1

（或n n p ln 1α）， 则可与p 级数（或对数p 级数）比较；

（2）若n u 中含有n 的乘积的形式（包括!n ），

则可考虑用比值判别法； （3）若n u 中含有形如)(n f a 的因子，

则可考虑用根值判别法；

（4） 以上方法均失效，则可利用已知级数的敛散性质，

结合敛散的定义和性质，考察其收敛性。

3、若∑∞=1

n n u 为任意项级数，则可用方法1和2判断∑∞

=1

n n u 的敛散性

（1） 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞

=1n n u 绝对收敛； （2）若∑∞

=1

n n u 发散，则看∑∞

=1

n n u 是否是交错级数，

若是，用莱布尼兹判别法判断∑∞

=1

n n u 是否条件收敛。

1、具体数项级数的敛散性 例1、 ∑

∞

=++1

1)1(:

n n

n

n n

n n

判断级数敛散性

例2、判定下列级数的敛散性

(1) (ln )111n n n n -+=∞∑ ,[因为 111212n n n n -+?ln ~, 所以(ln )11

1n

n n n -+=∞

∑ 收敛]

(2) (cos )111-=∞∑n n , [ 因为 111212-?cos ~n n 所以(cos )11

1

-=∞

∑n n 收敛 ]

(3) sin(ln )n n n n π+-=∞

∑1

1

, [ 注：f x x x f x x ()ln ,()(=

-'<>100充分大）故 n n u n ln 1sin -= 单调递减，且u n n →→∞0(),从而∑∞

=--1ln 1

sin )1(n n n n 条件收敛 ]

(4) (sin )n n n n α21

1

-=∞

∑

[sin n n n α2

1=∞∑绝对收敛，1

1n n =∞∑发散，故(sin )n n n n α211-=∞

∑必发散] 2、抽象级数的敛散性（通常以选择题的形式出现）

例3、 设a a n n n >=∞∑01且收敛，λπ∈(,)02，则级数()(tan )-=∞

∑121

n n n n n a λ

(A ) 绝对收敛， (B) 条件收敛

(C) 发散 (D)敛散性与λ有关

例4、 设λ>0，a a n n n >=∞

∑01且收敛，则级数()-+=∞

∑12

1

n

n n a n λ

(A ) 绝对收敛， (B) 条件收敛

(C) 发散 (D)敛散性与λ有关

例5、下列选项正确的是

(A) 若u n n =∞

∑1

收敛，则u n n 2

1

=∞

∑必收敛

(B) 若u n ≥0单调下降，且lim ,n n u →∞

=0则()ln -=∞

∑11

n n n u 必收敛

(C) 若u n ≥0且u n n =∞∑1

收敛，则u n n =∞

∑1

必收敛

(D) 若()-=∞∑11

n n n u 收敛，则ln()11

+=∞

∑u n n 必收敛

例6、若级数a n n =∞

∑1与b n n =∞

∑1

都发散，则 (A) ()a

b n

n n +=∞

∑1发散， (B) a b

n n

n =∞

∑1 发散

(C)

()a

b n

n n +=∞∑1

发散 (D)

()a

b n

n n 221

+=∞

∑发散

例7、(02 1) 设)3,2,1(0 =≠n u n ，且1lim =∞→n

n u n

，则级数)11()1(111+∞

=++-∑n n n n u u

(A) 发散 (B) 绝对收敛

(C) 条件收敛 (D) 收敛性根据所给条件不能判定

例8（033）设2n n n a a p +=，2

n

n n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是

(A) 若∑∞=1n n a 条件收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞

=1n n q 都收敛. (B) 若∑∞=1

n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞

=1n n q 都收敛. (C) 若∑∞

=1

n n a 条件收敛，则∑∞

=1

n n p 与∑∞

=1

n n q 敛散性都不定.

(D) 若∑∞=1

n n a 绝对收敛，则∑∞=1

n n p 与∑∞

=1

n n q 敛散性都不定

例9、（041）设∑∞

=1n n a 为正项级数，下列结论中正确的是

(A) 若n n na ∞

→lim =0，则级数∑∞

=1

n n a 收敛.

（B ）若存在非零常数λ，使得λ=∞

→n n na lim ，则级数∑∞

=1

n n a 发散.

（C ）若级数∑∞

=1n n a 收敛，则0lim 2=∞

→n n a n .

（D ）若级数∑∞

=1

n n a 发散, 则存在非零常数λ，使得λ=∞

→n n na lim .

例10、（053） 设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞

=1

n n a 发散，∑∞

=--1

1)1(n n n a 收敛，则下列结论

正确的是 (A) ∑∞

=-11

2n n a

收敛，∑∞

=1

2n n a 发散 . （B ）

∑∞

=12n n

a

收敛，∑∞

=-1

12n n a 发散.

(C) )(1

21

2∑∞=-+n n n a a

收敛. (D)

)(1

21

2∑∞=--n n n a a

收敛

例11、（061）若级数1n n a ∞

=∑收敛，则级数

(A) 1n

n a

∞

=∑收敛 . （B ）1(1)n n n a ∞

=-∑收敛.

(C)

11

n n n a a ∞+=∑收敛. (D)

1

1

2n n n a a ∞

+=+∑收敛. 3、含参数数项级数的敛散性

例12、判断下列级数的敛散性

∑∞

=>++1

).0()1()

2ln(n n

a n

a n

例13、 判别级数∑∞

=>+-1

)0(,1)1(n n

n a a a

n 的敛散性，当收敛时，进一步判断是绝对收敛还是条件收敛？

4、综合题 例14、（设函数f(x)在),(+∞-∞上有定义，在x=0的某个邻域内有一阶连续导数且

0)(lim 0>=→a x x f x ，证明)1()1(1n f n n ∑∞=-收敛，而)1(1

n f n ∑∞

=发散.

例15（041）设有方程01=-+nx x n ，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正

实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞

=1n n x α

收敛.

题型二、 求函数项级数的收敛域及幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域 解题思路：

例16、 求n

n x

n )11()1(+-∑的收敛域

.

例17、求 ∑

∞

=-1

1

22

n n n x 的收敛域.

例18、求幂级数n n n n

x n )21

(2)1(1

--∑∞

=的收敛域。

题型三、 求函数项级数的和函数及级数的和 解题思路：

例19、

=+∑∞

=0!

1

n n n

例20、求级数1

1222

()n n

n -=∞

∑

的和

例21、（063）求幂级数()()

1

21

1121n n n x n n -+∞

=--∑的收敛域及和函数()s x

例22、（051）求幂级数∑∞

=--+

-121))

12(1

1()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f(x).

题型四、 函数的幂级数展开 解题思路：

例23、 将x

x

x f -+=11arctan )(展开为x 的幂级数

例24、（061）将函数2

()2x

f x x x

=+-展成x 的幂级数.

例25、（073）将函数21

()34

f x x x =--展开成x ?1的幂级数，并指出其收敛区间.

题型五 有关傅里叶级数展开的问题（数一）

例26 设f x x x x x (),,=-???≤≤<<2201

212

1， S x a a n x x n n ()cos ,=+-∞<<+∞=∞

∑012π

其中 a f x n xdx n n ==?201201()cos ,(,,)π ,则 S ()-=5

2

.

解：=-)25(S S(--=-==-++=2121212120120234

)()()()()

.S S f f

例27 设f(x)=πππx x x +-<<2()的傅里叶级数展开式为

a a nx

b nx n n n 0

1

2++=∞

∑(cos sin ),则b 3=_____. [解] b f x xdx x x sn xdx 3213132

3==+=--??ππππππππ()sin ()

例28 设f(x)在],[ππ-上二阶连续可导，nx a a x f n n cos 2~)(1

0∑∞

=+，n a 是f(x)的傅里

叶系数，证明∑∞

=1

n n a 绝对收敛.

[证] ??--=

=

π

π

π

πππnx d x f n nxdx x f a n sin )(1cos )(1

=??--'='-π

π

ππππnx d x f n nxdx x f n cos )(1sin )(12 =?-''--'-'-π

π

ππππnxdx x f n f f n n cos )(1)]()([)1(22

由题设 ，存在M>0，使 M x f ≤'')(

∑∞=?≤>??12,0n n n a n K

a K 收敛，从而∑∞

=1n n a 绝对收敛.

例29* 把函数4

)(π

=x f 在],0[π上展开成正弦级数，并利用所得展开式推出求和公

式

.3

17113111171511π=-++--+

[解] nx b x f n n sin )(1

∑∞==，这里

n

nx n

nxdx nxdx x f b n

n 2)1(1)

cos (21sin 21sin )(2

00

--=-===

?

?π

ππ

π

=?????=-=k n k n n 212,0,1

∑∞

=<<--=?1.0,)12sin(1

214k x x k k ππ 令 1)1()2

sin(2

)

12sin(,2

--=-

=-=

k k k x π

ππ

π

，于是有

4

111917151311π

=+-+-+-

乘31得 12

3312712111519131π

=+-+-+-

两式相加得 .3

17113111171511π

=-++--+

题型六、综合题

例30、（071）设幂级数0

n n n a x ∞

=∑在(,)-∞+∞内收敛，其和函数y (x )满足

240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===

(I)证明：22

,1,2,;1

n n a a n n +=

=+ (II)求y (x )的表达式.

【分析】先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。

【详解】 (I)记y (x )=0

n

n n a x ∞

=∑, 则1

21

2

,(1),n n n n n n y na x y n n a x ∞

∞

--=='''==-∑∑代入微分方

程240,y xy y '''--=有

2

210(1)240,n n

n n

n n n n n n n a x

na x a x ∞

∞∞

-===---=∑∑∑

即

20

(2)(1)240,

n

n

n

n n n

n n n n n

a x n a x

a x ∞

∞

∞

+

===++--=∑∑

∑

故有 2(2)(1)24

0,n n n n n a n a a +++--= 即 22

,1,2,;1

n n a a n n +=

=+

(II)由初始条件(0)0,(0)1y y '==知，010, 1.a a == 于是根据递推关系式2

2,1n n a a n +=+ 有22110,.!

n n a a n +== 故 y (x )=0

n n n a x ∞=∑ =21

212001!n n n n n a x x n ∞∞+++===∑∑=2201().!n x n x x xe n ∞

==∑

【评注】 本题由两部分组成，在讨论第二部分时应注意利用第一部分得到的结

论，最后和函数的确定利用了指数函数的幂级数展开式。