第十一章无穷级数(习题及解答)

第十一章 无穷级数

§ 级数的概念、性质

一、单项选择题

1. 若级数1n n a

q

∞

=∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )．

(A)1q =； (B)1q =-； (C)

1q <； (D)1q >． 答(D)．

2. 下列结论正确的是( )．

(A)若lim 0n n u →∞=，则1

n n u ∞

=∑收敛；(B)若1lim()0n n n u u +→∞-=，则1

n n u ∞

=∑收敛；

(C)若1

n n u ∞

=∑收敛，则lim 0n n u →∞

=；(D)若1

n n u ∞

=∑发散，则lim 0n n u →∞

≠. 答(C)．

3. 若级数1

n n u ∞=∑与1

n n v ∞

=∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )．

(A)121()n

n n u

v S S ∞

=±=±∑； (B)

11n

n ku

kS ∞

==∑；

(C)

21

n n kv kS ∞==∑； (D)

1

12

n n n u S v S ∞

==∑． 答(D). 4. 若级数1

n n u ∞=∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )．

(A)1()n n u S ∞

=-∑收敛； (B)

11

n n

u ∞

=∑收敛； (C)

1

1

n n u

∞

+=∑收敛；

(D)

n ∞

=收敛. 答(C).

5. 若级数1

n n a ∞

=∑收敛，其和0S ≠，则级数121

()n n n n a a a ∞

++=+-∑收敛于( )．

(A)1S a +； (B)2S a +； (C)12S a a +-； (D)21S a a +-．答(B).

6. 若级数

∑∞

=1n n

a

发散，

∑∞

=1

n n

b

收敛则 ( )．

(A)

∑∞

=+1)(n n n

b a

发散；

(B)

∑∞

=+1)(n n n

b a

可能发散，也可能收敛；

(C)

∑∞

=1

n n

n b

a 发散； (D)

∑∞

=+1

22)(n n n b a

发散. 答(A).

二、填空题

1. 设1a <，则

().n n a ∞

=-=

∑ 答：

11a +. 2. 级数0

(ln 3)2n

n

n ∞

=∑的和为． 答：

2

1ln 3

-.

3.

级数0

n ∞=∑，其和是 ． 答：

1- 4.数项级数

∑∞

=+-1

)12)(12(1

n n n 的和为.答： 1

2

.

5*. 级数0

21

2n

n n ∞

=-∑的和为. 答： 3.

三、简答题

1． 判定下列级数的敛散性

(1)23238888(1)9999n

n -+-++-+

答： 收敛.

解： (2) 1111369

3n

++++

+ 答：

发散.

解：

(3)133

n

+++

+ 答： 发散.

解：

(4) 23

2333332222

n n +++

++ 答： 发散.

解：

(5) 22

33111111112323

2323n n ????????+++++++++ ? ? ? ?????????

答： 收敛.

解：

§ 正项级数收敛判别法、P — 级数

一、单项选择题

1. 级数1n n u ∞

=∑与1

n n v ∞

=∑满足0,(1,2,)n n u v n <≤=，则( )．

(A)若1n n v ∞

=∑发散,则1n n u ∞=∑发散；(B)若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞

=∑收敛；

(C)若1

n n u ∞=∑收敛,则1

n n v ∞=∑发散；(D)若1

n n u ∞=∑发散，则1

n n v ∞

=∑发散. 答(D).

2. 若10,(1,2,

)n a n n

≤<=，则下列级数中肯定收敛的是

( )．

(A)1n

n a ∞

=∑； (B)1

1()n n n a a ∞

+=+∑；

(C)

21n n a

∞

=∑； (D)

n ∞

= 答(C).

3. 设级数 (1) 12!n n n n n ∞

=∑与 (2) 13!

n n n n n

∞

=∑，则

( )．

(A)级数(1)、(2)都收敛； (B) 级数(1)、(2)都发散；

(C)级数(1)收敛，级数(2)发散； (D) 级数(1)发散，级数(2)收敛． 答(C).

4. 设级数(1) n ∞

=与 (2) 110!n

n n ∞

=∑, 则( ).

(A)级数(1)、(2)都收敛；

(B) 级数(1)、(2)都发散；

(C)级数(1)收敛,级数(2)发散；

(D) 级数(1)发散,级数(2)收敛． 答(D). 5. 下列级数中收敛的是( )．

(A)1

n ∞= (B)1

1

sin n n ∞

=∑； (C)1(1)31n

n n n ∞=--∑； (D)1121n n ∞

=-∑． 答(A).

6*. 若级数22116n n π∞

==∑，则级数2

1

1

(21)n n ∞

==-∑( ). (A)

2

4

π; (B)

2

8

π; (C)

2

12

π; (D)

2

16

π. 答(B).

7. 设1

n n u ∞

=∑与1

n n v ∞

=∑均为正项级数,若1lim

=∞→n

n

n v u ，则下列结论成立的是( ).

(A)1

n

n u ∞

=∑收敛, 1

n n v ∞

=∑发散； (B) 1

n n u ∞

=∑发散, 1

n n v ∞

=∑收敛；

(C)

1n

n u

∞

=∑与1

n n v ∞=∑都收敛,或1

n n u ∞=∑与1

n n v ∞

=∑都发散. (D)不能判别. 答(C).

8. 设正项级数

∑∞

=1

n n

u

收敛，则( ).

(A)极限1lim

n n n u u +→∞≤1； (B) 极限1lim n n n

u

u +→∞<1；

(C)

极限1n ； (D)无法判定. 答(A)

9. 用比值法或根值法判定级数1

n n u ∞

=∑发散，则

∑∞

=1

n n

u

( ).

(A)可能发散； (B)一定发散；

(C)可能收敛； (D)不能判定. 答(B)

二、填空题

1. 正项级数1n n u ∞

=∑收敛的充分必要条件是部分和n

S .答：有上界.

2.

设级数1

n n α

∞

=∑

收敛，则α的范围是. 答：3

2α>． 3. 级数1

n n u ∞

=∑的部分和21n n

S n =+，则n u =. 答：

2(1)n n +. 4. 级数021

2n n n ∞

=+∑是收敛还是发散. 答：收敛.

5. 若级数11sin p n n

n π

∞

=∑收敛，则p 的范围是. 答：0p >.

6. 级数13!

n n n n n

∞

=∑是收敛还是发散

. 答：发散.

三、简答题

1. 用比较法判定下列级数的敛散性：

(1) 2

111n n n ∞=++∑； 答：发散. (2) 11

(1)(2)n n n ∞

=++∑； 答： 收敛.

(3) 1sin

2

n

n π

∞

=∑； 答：收敛. (4) 11

(0)1n

n a a

∞

=>+∑

.答1a >收敛;1a ≤发

散.

2. 用比值法判定下列级数的敛散性：

(1) 132n n

n n ∞=?∑； 答：发散. (2) 2

13n n n ∞

=∑； 答： 收敛. 解：

(3) 12!n n n n n ∞

=?∑； 答： 收敛. (4) 11

tan 2n n n π

∞

+=∑． 答： 收敛.

解：

3. 用根值法判定下列级数的敛散性：

(1) 121n

n n n ∞

=??

?+??∑； 答： 收敛. (2) 1

1[ln(1)]n

n n ∞

=+∑； 答：收敛. 解： 解：

(3) 21

131n n n n -∞

=??

?

-??∑； 答：收敛.

解：

(4) 1n

n n b a ∞

=??

???

∑其中,()n a a n →→∞，,,n a b a 均为正数．

答：当b a <时收敛，当b a >时发散，当b a =时不能判断．

§ 一般项级数收敛判别法

一、单项选择题

1. 级数

1n

n u

∞

=∑与

1

n

n v

∞

=∑满足,(1,2,

)n n u v n ≤=,则( )．

(A) 若1n n v ∞=∑收敛,则1n n u ∞

=∑发散；(B) 若

1n

n u

∞

=∑发散,则

1

n

n v

∞

=∑发散；

(C) 若1

n n u ∞

=∑收敛,则1

n n v ∞

=∑发散；(D) 若1

n n v ∞

=∑收敛,则1

n n u ∞

=∑未必收敛．答(D).

2. 下列结论正确的是( )．

(A) 1n

n u

∞

=∑收敛，必条件收敛； (B) 1

n

n u

∞

=∑收敛，必绝对收敛；

(C) 1n

n u ∞=∑发散，则1n

n u ∞

=∑必条件收敛；

(D)

1

n n u

∞=∑收敛，则

1n

n u

∞

=∑收敛． 答(D) .

2. 下列级数中，绝对收敛的是( )．

(A) 1(1)

31n

n n n ∞=--∑; (B) 121

1(1)n n n ∞

-=-∑； (C) 1

11(1)

ln(1)n n n ∞

-=-+∑； (D) 111(1)n n n ∞-=-∑． 答(B) . 3. 下列级数中，条件收敛的是( )．

(A)

1(1)n n ∞

-=-∑； (B) 1

12(1)3n

n n ∞

-=??

- ???∑； (C) 1211(1)n n n ∞-=-∑； (D) 1

1

1(1)2n n n n ∞

-=-?∑． 答(A) . 4. 设α

为常数，则级数2

1sin n n n α

∞

=?- ?

∑( ). (A) 绝对收敛； (B) 条件收敛；

(C) 发散； (D)敛散性与α的取值有关． 答(C).

5. 设),3,2,1()11ln(cos =+

=n n

n a n π，则级数( ).

(A)

∑∞

=1n n

a

与

∑∞

=1

2n n

a

都收敛. (B)

∑∞

=1n n

a

与

∑∞

=1

2n n

a

都发散.

(C)

∑∞

=1

n n

a

收敛，

∑∞

=1

2n n

a

发散. (D)

∑∞

=1

n n

a

发散，

∑∞

=1

2n n

a

收敛. 答(C).

6.设),3,2,1(1

0 =<

a n ,则下列级数中肯定收敛的是( ). (A)∑∞

=1n n a . (B)∑∞

=-1)1(n n n

a . (C) ∑

∞

=2ln n n n a . (D)∑∞

=2

2

ln n n n a . 答(D). 7.下列命题中正确的是( ).

(A) 若

∑∞

=1

2

n n

u

与

∑∞

=1

2n n

v

都收敛,则

21)(n n n

v u

+∑∞

=收敛.

(B)若

∑∞

=1

n n

n v u

收敛,则∑∞

=1

2

n n u 与∑∞

=1

2

n n v 都收敛.

(C) 若正项级数

∑∞

=1

n n

u

发散,则n

u n 1≥

. (D)若),3,2,1( =

∑∞

=1

n n

u

发散,则

∑∞

=1

n n

v

发散. 答(A).

二、填空题

1. 级数1

1

(1)n n n α-∞

=-∑绝对收敛，则α的取值范围是 ． 答： 1.α>

2. 级数1

1sin 2n n n απ

∞

=∑条件收敛，则α的取值范围是 ． 答：0 1.α<≤

3. 级数2

n n a ∞=∑收敛，则0(1)n

n n a n ∞=-∑是条件收敛还是绝对收敛 ．

答：绝对.收敛

三、简答题

1. 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛

(1) 1(1)n n ∞

-=-∑ 答： .条件收敛

解：

(2) 1

1

1(1)3n n n n

∞

--=-∑； 答： .绝对收敛 解： (3) 2

1

sin (1)n n n α

∞

=+∑； 答： .绝对收敛 解：

(4) 1

11

(1)32n n

n ∞

-=-?∑； 答： .绝对收敛 解：

(5) 1

11(1)ln(1)

n n n ∞

-=-+∑； 答： .条件收敛 解：

(6) 2

1

1

2(1)

!

n

n n n ∞

+=-∑ 答： .发散 解：

§ 幂级数收敛判别法

一、单项选择题

1. 幂级数1n

n x n

∞

=∑的收敛区间是( )．

(A)[1,1]-； (B)(1,1)-； (C)[1,1)-； (D)(1,1]-． 答(C).

2. 幂级数1

(1)(1)2n

n

n

n x n ∞

=+-?∑的收敛区间是( )． (A)[2,2]-； (B)(2,2)-； (C)[2,2)-； (D)(2,2]-． 答(D).

3. 幂级数2213

n

n n x n ∞

=?∑的收敛半径是( ).

(A)3R =；

(B)R = (C)1

3R =

；

(D)R =． 答(B). （A ） (C)

（B ）

(D)

4. 若级数

∑∞

=+1

)

2(n n

n

x C 在4x =处是收敛的，则此级数在1x =处( ).

(A)发散；(B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定． 答(C).

5. 若级数

∑∞

=+1

)

2(n n

n

x C 在4x =-处是收敛的，则此级数在1x =处( ).

(A)发散；(B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定． 答(D).

6．若幂级数

n

n n

x a

)1(0

-∑∞

=在1-=x 处条件收敛，则级数∑∞

=0

n n a ( ).

(A)条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D)敛散性不能确定. 答(B).

二、填空题

1. 幂级数21n

n x n

∞

=∑的收敛域是 ． 答： [1,1].-

2. 幂级数2123n n n

n x n

n ∞

=??+ ???∑的收敛域是

． 答： 11

,.33??-????

3. 幂级数121

1

(1)(21)!n n n x n --∞

=--∑的收敛半径R = ，和函数是 ．

答：,sin .R x =+∞

4. 幂级数20

(1)(2)!n n

n x n ∞

=-∑的收敛半径R = ，和函数是 ．

答：,cos .R x =+∞

5. 设0

n

n n a x ∞

=∑的收敛半径为R ，则20

n n n a x ∞

=∑的收敛半径为

．答：

6. 设幂级数0

n

n n a x ∞=∑的收敛半径为4，则210

n n n a x ∞

-=∑的收敛半径为 ．答：2.

7. 幂级数1

(23)

(1)21

n

n n x n ∞

-=---∑的收敛域是 . 答：(1,2].

8. 幂级数∑∞

=-0

2)1(n n n

x a

在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 .答：]2,0[.

一、简答题

1. 求下列幂级数的收敛域．

(1) 1n

n nx ∞=∑； 答： (1,1).- (2) 1

21

(1)

n

n n x n

∞

-=-∑； 答： [1,1].- (3) 13

n n n x n ∞

=?∑； 答：[3,3)-． (4) 2121n n n x n ∞

=+∑； 答：11,22??

-?

???．

(5) n n ∞

=; 答：[4,6). (6) 211(1)21n n n x n +∞

=-+∑． 答：[1,1].-

2. 用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数． (1) 11n n nx ∞

-=∑； 答：2

1

(),(1,1)(1)S x x x =

∈--．

解：

(2) 21121

n n x n -∞

=-∑． 答：11()ln ,(1,1)21x

S x x x +=∈--．

解：

3*. 求级数1

1

2n

n n ∞

=?∑的和． 答：2ln 2. 解：

§ 函数展开成幂级数

一、单项选择题

1. 函数2

()x f x e -=展开成x 的幂级数是( )．

(A) 462

12!3!x x x ++++；(B) 462

12!3!x x x -+-+

；

(C) 2312!3!x x x ++++ ； (D) 23

12!3!

x x x -+-+

． 答(B).

2. 如果()f x 的麦克劳林展开式为20

n n n a x ∞=∑，则n a 是( )．

()(0)

(A)

!n f n ；(2)(0)

(B)!

n f n ；(2)(0)

(C)(2)!n f n ；()(0)

(D)(2)!

n f n ． 答(A). 3. 如果()f x 在0x x =的泰勒级数为00

()n n n a x x ∞=-∑，则n a 是( )．

()

0(A)()n f x ；(2)0()(B)!n f x n ；(2)0()

(C)!

n f x n ；()0()

(D)

!

n f x n ． 答(C). 4. 函数()sin 2f x x =展开成x 的幂级数是( )．

357(A)3!5!7!x x x x -+-+； 224466

222(B)12!4!6!x x x -+-+；

335577222(C)23!5!7!x x x x -+-+； 462

(D)14!6!

x x x -+-+． 答(C).

二、填空题

1. 函数()x

f x a =的麦克劳林展开式为． 答： 0

(ln ).!n n

n a x n ∞

=∑ 2. 函数12

()3

x f x +=的麦克劳林展开式为

．

0ln 3.2!n

n n x

n ∞

=?? ?

?

? 3. 幂级数21

1

1

(1)

(21)!

n n n x n -∞

-=--∑的和函数是 ． 答：sin .x

4. 函数1

()1f x x

=-的麦克劳林级数为

． 答：0.n n x ∞

=∑

5. 函数1

()1f x x

=+的麦克劳林级数为

． 答：0

(1).n n n x ∞=-∑

6. 函数()ln(1)f x x =+的麦克劳林级数为．答： 1

1

(1)

.n

n n x n

∞

-=-∑ 7. 函数()x

f x e =在1x =处的泰勒级数

． 答：0(1).!

n n e

x n ∞

=-∑

8. 函数1

()1f x x =+在1x =处的泰勒级数

．答： 1

(1)(1).2n

n

n n x ∞

+=--∑ 9. 函数1

()f x x

=展开成3x -的幂级数为

． 答： 1

(3)(1).3n

n

n n x ∞

+=--∑ 10. 函数2

()cos f x x =展开成x 的幂级数为

． 答：212012(1).2(2)!

n n

n n x n -∞=+-∑ 11. 级数0

(1)(2)!n

n n ∞

=-∑的和等于

. 答：cos1.

三、简答题

1. 将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间．

(1) ()ln(),(0)f x a x a =+>； 解：

答：1

1

ln()ln (1)

.n

n n n x a x a n a ∞

-=+=+-?∑ (2) 2()sin f x x =；

解：

答：22

1

1(2)sin (1)

,(,).2(2)!

n

n n x x n ∞

-==--∞+∞∑ (3) ()(1)ln(1)f x x x =++； 解：

答：12(1)(1)ln(1),(1,1].(1)

n n

n x x x x n n -∞

=-++=+--∑

(4*) ()f x ；

解：

21

212(2)!(1),[1,1].(!)2n n n n x x n +∞

=??

=+-- ?

??∑

(5). 2()23

x

f x x x =--．

解：

答：21

1221112(2)!(1),(1,1).2343(!)2n n n n n x n x x x x n +∞-=????

=-+-- ?

??--??

??∑

2. 将函数()cos f x x =展开成3x π?

?+ ??

?的幂级数．

解：

答：

221

011cos (1),(,).2(2)!33n

n n n

n x x x n ππ+∞

=?????=-+++-∞+∞?? ?????????

?∑

3*. 将函数2()ln(3)f x x x =-在1x =展开成幂级数． 解：

答： 2

1

01(1)ln(3)ln 2(1),(0,2].2n n n n x x x n ∞

-=-??-=+--??

?

?∑ 4*. 将函数21

()32

f x x x =++展开成4x +的幂级数.

解：

答： 2

11011

1(4),(6,2).3223n n n n x x x ∞

++=??=-+-- ?++??

∑

§ 2π为周期的傅里叶级数

一、单项选择题

1. 函数系{}

1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,

,cos ,sin ,

().x x x x nx nx

(A) 在区间[,]ππ-上正交； (B) 在区间[,]ππ-上不正交；

(C) 在区间[0,]π上正交； (D) 以上结论都不对． 答(A).

2. 函数系{}

1,sin ,sin 2,

,sin ,

().x x nx

(A) 在区间[0,]π上正交； (B) 在区间[0,]π上不正交；

(C) 不是周期函数； (D) 以上结论都不对． 答(B).

3. 下列结论不正确的是( )．

(A)

cos cos d 0,()nx mx x n m ππ

-=≠?

；(B)

sin sin d 0,()nx mx x n m ππ

-=≠?

；

(C)

cos sin d 0nx mx x π

π

-=?

； (D)

cos cos d 0nx nx x π

π

-=?

． 答(D).

4. ()f x 是以2π为周期的函数，当()f x 是奇函数时，其傅里叶系数为( )．

(A)0

1

0,()sin d n n a b f x nx x π

π==?；(B)0

1

0,()cos d n n a b f x nx x π

π==?； (C)02

0,()sin d n n a b f x nx x ππ==

?；(D)0

2

0,sin d n n a b nx x π

π==

?．答(C).

5. ()f x 是以2π为周期的函数，当()f x 是偶函数时，其傅里叶系数为

( )．

(A)0

1

0,()sin d n n b a f x nx x π

π==?；(B)02

0,()cos d n n b a f x nx x π

π==?； (C)0

1

0,()cos d n n b a f x nx x ππ==

?；(D)0

2

0,cos d n n b a nx x π

π==

?． 答(B).

二、填空题

1. ()f x 是以2π为周期的函数，()f x 傅里叶级数为．

答：01

(cos sin ).2n n n a a nx b nx ∞

=++∑其中

1()cos d ,0,1,2,,n a f x nx x n ππ

π

-==?1()sin d ,1,2,

.n b f x nx x n π

π

π

-==?

2. ()f x 是以2π为周期的偶函数，()f x 傅里叶级数为

．

答：01cos .2n n a a nx ∞=+∑ 0

2()cos d ,0,1,2,

.n a f x nx x n π

π==?其中

3. ()f x 是以2π为周期的奇函数，()f x 傅里叶级数为．

答：1

sin .n n b nx ∞

=∑ 02

()sin d ,1,2,

.n b f x nx x n π

π=

=?其中

4. 在(),()f x x x πππ=--≤≤的傅里叶级数中，sin x 的系数为 ．答：2.

5. 在()1,()f x x x ππ=+-<≤的傅里叶级数中，sin2x 的系数为 ．答： 1.-

6. 在()1,()f x x x ππ=+-<≤的傅里叶级数中，cos2x 的系数为 ．答：0.

三、简答题

1. 下列函数()f x 的周期为2π，试将其展开为傅里叶级数．

(1) 2()31,()f x x x ππ=+-≤<； 解：

答： 2

21(1)()112cos ,(,).n

n f x nx n

π∞

=-=++-∞+∞∑

(2) ,0

(),0bx x f x ax x ππ-≤

；

解：

答：12

1[1(1)]()(1)()

()()cos sin ,4n n n b a a b f x a b nx nx n n π

π-∞

=??----+=-++????

∑ (21).x k π≠+

2. 将函数()2sin ()3

x

f x x ππ=-≤≤展开为傅里叶级数．

解：

答：1

21

()(1)sin ,(,).91

n n n f x nx n ππ∞

+==

---

3. 将函数()cos ,()2

x f x x ππ=-≤≤展开成傅里叶级数． 解：

答：1

21

2

4

1()(1)cos ,[,].41

n n f x nx n πππ

π

∞

+==

+

---∑

4. 将函数(),(0)2

x

f x x ππ-=≤≤展开成正弦级数．

解：

答：1

sin (),(0,].n nx

f x n π∞

==∑ 5. 将函数2()2,(0)f x x x π=≤≤展开成正弦级数和余弦级数．

解：

答：23314

22()(1)sin ,[0,).n n f x nx n

n n πππ∞

=????=---?? ?????∑ 2212(1)()8cos ,[0,].3n

n f x nx n

ππ∞

=-=+∑

§ 一般周期函数的傅里叶级数

一、单项选择题

1. 下列结论不正确的是( )．

(A)

cos

cos d 0,()l

l

n x m x

x n m l l ππ-=≠?； (B)sin sin d 0,()l l n x m x x n m l l ππ-=≠?；

(C)cos sin d 0l l n x m x x l l ππ-=?； (D)sin sin d 0l l n x n x x l l

ππ-=?． 答(D).

2. ()f x 是以2l 为周期的函数，则()f x 的傅里叶级数为( )． (A)01cos n n n n x n x a a b l l ππ∞

=?

?++ ??

?∑；(B)01cos 2n n n a n x n x a b l l ππ∞=??++ ???∑；

(C)1n

n n x b l π∞

=∑； (D)01

cos 2n n a n x

a l π∞=+∑． 答(B). 3. ()f x 是以2l 为周期的函数，当()f x 是偶函数时，其傅里叶级数为( )．

01(A)cos

2n n a n x a l π∞=+∑； 01(B)cos n n n x

a a l π∞

=+∑； 1

(C)sin n n n x b l π∞

=∑； 01(D)sin 2n n a n x

a l π∞=+∑． 答(A). 4. ()f x 是以2l 为周期的函数，当()f x 是奇函数时，其傅里叶级数为( )．

01(A)sin

2n n b n x b l π∞=+∑； 01(B)cos n n n x

b b l π∞

=+∑ 1(C)sin n n n x b l π∞=∑； 1

(D)cos n n n x

b l π∞

=∑． 答(C).

二、填空题

1. ()f x 是以2为周期的函数, ()f x 的傅里叶级数为

.

答：01cos

sin .222n n n a n n a x b x ππ∞=??

++ ???

∑ 111()cos d ,0,1,2,

,22

n n a f x x x n π

-==?其中111()sin d ,1,2,

.22

n n b f x x x n π

-==? 2. ()f x 是以2l 为周期的偶函数, ()f x 的傅里叶级数为

.

答：01cos .2n n a n a x l π∞=+∑ 02()cos d ,0,1,2,

.l n n a f x x x n l l

π

==?其中

3. ()f x 是以2l 为周期的奇函数，()f x 的傅里叶级数为.

答：1

sin

.n n n b x l π∞

=∑ 02()sin d ,1,2,.n n b f x x x n l l ππ

==?其中

4. 设()f x 是以3为周期的函数，1,10

(),02x x f x x x +-≤

．又设()f x 的傅里叶

级数的和函数为()S x ，则(0)S =

，(3)S =

．

答：1

(0)(3).2

S S ==

5. 设()f x 是以3为周期的函数，3

2,

10(),

01

x f x x x -≤

数在1x =处收敛于

．

答：

3.2

6. 设()f x 是以2为周期的函数，1

,02()1

0,12

x x f x x ?≤<

??

=?

?≤

，又设()S x 是()f x 的

正弦级数的和函数，则74S ??

= ???

．

答： 71.44S ??

=- ???

三、简答题

1. 设周期函数在一个周期内的表达式为21

1()12

2f x x x ??=--≤< ???，试将其展开

为傅里叶级数．

解：

答： 1

21111(1)()cos(2)(,).122

n n f x n x ππ=∞=-=+-∞+∞∑

2. 设周期函数在一个周期内的表达式为21,30

()1,03x x f x x +-≤

，试将其展开

为傅里叶级数．

解：

答

：

1221166()[1(1)]cos (1)sin ,3(21).233n n n n n f x x x x k n n ππππ∞+=??

=-+--+-≠+????

∑

3*. 将函数2(),(02)f x x x =≤≤分别展开成正弦级数和余弦级数．

解：

答： 12

3218

(1)2

[(1)1]sin ,0 2.2n n n n x x x n n πππ+∞

=??-=+--≤

???

∑ 2

221416(1)cos ,0 2.

32

n n n x x x n π

π∞=-=+≤≤∑