事物发展的逻辑

事物发展的逻辑
事物发展的逻辑

在一般意义上,马克思的辩证法即唯物辩证法,与黑格尔的辩证法一样都是一种“关于发展的学说”。然而,二者却有根本不同。黑格尔的辩证法以“绝对精神”为本体,在理论实质上是关于作为“非对象性的、唯灵论的存在物”的绝对精神自我“分裂”、自我“回复”的学说。而马克思的辩证法以“现实事物”为本体,因而它在理论实质上是关于作为感性的、对象性的存在物的现实事物的自我扬弃、自我发展的学说。概括地讲,唯物辩证法就是关于事物(现实事物)发展的学说,是对事物发展的逻辑的理论表达。

一、黑格尔辩证法的“伟大之处”与本体的虚幻性

二、“现实事物”——唯物辩证法的本体

这就是说,以现实事物为辩证法的本体,首先必须确认“物质的先在性”,确证“世界的统一性在于它的物质性”。然而,当以劳动为基础、物质世界分化为自然界与人类社会两大领域时,科学说明社会的物质性,就成为阐释辩证法的物质本体的关键问题了。此是其一。其二,社会是人及人的社会关系的存在形式。因而在确定的本体论视域内,现实事物作为一种“物质的东西”无疑是包括人和人类社会的。也正因为如此,马克思恩格斯提出了“现实的人”的概念,认为,“现实的人”具有感性、对象性、活动性、社会性和历史性等特征。这里,我们可先来分析前三个特征。第一,现实的人首先是感性的人,是“现实的、肉体的、站在坚实的呈圆形的地球上呼出和吸入一切自然力的人”。第二,现实的人是对象性的人。现实的人作为感性的存在物也必然是对象性的存在物,因为在马克思看来,“非对象性的存在物是非存在物”,非对象性的存在物,是一种非现实的、非感性的、只是思想上的即只是想像出来的存在物,是抽象的东西。说一个东西是感性的即现实的,就是说,它是感觉的对象,是感性的对象,从而在自身之外有感性的对象,有自己的感性的对象。因此,在马克思那里感性的存在物必然也是对象性的存在物,反之亦然。同样,正像感性的存在物必然是对象性的存在物一样,现实的人作为感性的人也必然是对象性的人,也就是说,现实的人必然“有自己的感性的对象”;而且,现实的人的“感性的对象”,作为现实的人的对象性“本质力量”的表现,是与现实的人处于密不可分的状态中(正如不能将农民与其所耕种的土地人为地割裂开来一样),二者构成了一个紧密联系的有机整体。第三,现实的人是活动的人。然而,这种活动不是唯心主义所理解的“想像的主体的想像活动”,也不是“直观的唯物主义”所理解的仅仅作为“感性客体”而存在的活动,而是“对象性的活动”。[4](P73、54)马克思认为,社会在本质上是实践的,而作为人的活动的实践在本质上又是“物质实践”,所以,尽管现实的人是具有能动性的实践活动着的人,但它依然是物质世界的一个层次、一种客观存在。换言之,在本体论的视域中,无论人作为感性的人、对象性的人乃至活动的人的规定性,都被客观物质化了,都是物质世界的构成部分。只不过,人及人所构成的社会是物质世界能动的运动发展的高级阶段而已。进一步讲,由于现实的人作为对象性的人只能通过改变“自己的感性的对象”的方式去改变自己,因而在逻辑上“感性的对象”的改变优先于现实的人的改变,现实的人的能动性和“本质力量”只有转化为“感性的对象”得以自我改变的能动性和力量时才能展现出来,这样,“感性的对象”的能动性反而成为现实的人的能动性的根据。总之,自然、社会包括现实的人在内的历史的具体的统一,从而构成的感性的对象性的客观世界,就是作为唯物辩证法本体的“现实事物”。

三、事物“自生的发展”与人的目的性追求的统一

由于唯物辩证法以现实事物(以下事物指现实事物)为本体,因此,作为一种发展学说的唯物辩证法,具体而言,就是关于事物发展的学说。对于事物的发展,我们可以从外在形式和内在本质两个层面来理解。

从外在形式上看,事物的发展表现为事物自己运动自己、自己生成自己、自己扬弃自己

的“自生的发展”。

在马克思之前,黑格尔对发展概念有较为深刻的理解。在《哲学史讲演录》中他指出:“为了理解发展的意义,我们必须分别开两种不同的情况。第一,就是大家所知道的潜能、能力或我所谓的‘潜在’。发展的第二个意义,就是‘自为自在’,亦即真在或‘实在’”。[5](P25)“潜在变成存在,是一个变化的过程,在这个变化的过程里,它仍保持为同一物。它的潜在性支配着全部过程。”[5](P27)在黑格尔看来,“发展”是指同一个东西自己否定自己的潜在的状态而把自己实现为“自为自在”的过程,亦即一开始就已存在了的东西慢慢成长、壮大,直至最后显现出来。因此,黑格尔的发展观念实际上隐含着一种“胚胎发育的隐喻”。尽管如此,黑格尔的发展观中所包含的如下原则,即发展是以“内在必然”的方式展现出来的同一个东西的自己运动、自我生成、自我更新的原则,却是非常深刻的。列宁在《哲学笔记》中非常重视这种“一切自己运动的原则”。在《黑格尔〈逻辑学〉一书摘要》中,列宁指出:“运动和‘自己运动’(这一点要注意!自生的(独立的)、天然的、内在必然的运动),‘变化’,‘运动和生命力’,‘一切自己运动的原则’,‘运动’和‘活动’的‘冲动’(Trieb)——‘僵死存在’的对立面,——谁会相信这就是‘黑格尔主义’的实质、抽象的和abstrusen(费解的、荒谬的?)黑格尔主义的实质呢?必须揭示、理解、拯救、解脱、澄清这种实质,马克思和恩格斯就做到了这一点”。[6](P117-118)

与黑格尔的发展观一样,在唯物辩证法那里,发展也是同一个东西即现实事物的自己运动、自我生成、自我更新的过程。具体地说,作为发展本体的现实事物在发展过程中并没有失去自己,并不是现实事物本身变成了一个与自己毫无关系的另外一个新东西,而是现实事物在发展过程中“仍保持为同一物”。因此,从形式上看,事物的发展表现为这样的一种矛盾:事物的发展作为旧事物转变为新事物既是一个连续的过程,同时又表现为连续过程的中断,表现为一种根本性的变革。我们常说,发展是新事物的产生、旧事物的灭亡。新事物与旧事物必然有质的不同,否则就谈不上发展;但另一方面,新事物从旧事物中转化而来,它们之间同时又具有“同一序列”关系,否则,当然也就无所谓发展。总之,从外在的表现形式上看,事物的发展表现为事物的存在状态的自我改变,即事物的自我生成、自我更新、自我扬弃、自我超越,亦即事物“自生的发展”。

从内在本质上看,唯物辩证法作为一种发展的学说,是与人的目的性追求紧密结合在一起的。在唯物辩证法那里,发展不是一个中性词,发展与进步一样均具有价值的内涵。当我们说事物“发展”的时候,意味着它趋向一个更“好”的目标或趋向更“高”的形式。换言之,事物的发展不是一个没有方向的运动变化过程,而是如列宁所说的是一种“上升”运动、“前进”运动,这种客观运动过程与人类的进步事业,与先进的人们、阶级、阶层和社会集团的实践活动及其追求是一致的。在马克思恩格斯那里,实践作为人的存在方式的一个突出特点,就是它的“自觉的目的性”。马克思曾指出人的劳动的特点就在于,在劳动中原因(目的)和结果(实现了的目的)是同一个东西。他说:“蜘蛛的活动与织工的活动相似,蜜蜂建筑蜂房的本领使人间的许多建筑师感到惭愧。但是,最蹩脚的建筑师从一开始就比最灵巧的蜜蜂高明的地方,是他在用蜂蜡建筑蜂房以前,已经在自己的头脑中把它建成了。劳动过程结束时得到的结果,在这个过程开始时就已经在劳动者的表象中存在着,即已经观念地存在着。他不仅使自然物发生形式变化,同时他还在自然物中实现自己的目的,这个目的是他所知道的”。[7](P202)恩格斯也曾指出,在社会历史领域内进行活动的人都是“追求某种目的的人”。[8](P247)社会历史领域内的有理想、有目的追求的人总是不满足于自己的现实,总是要通过自己的实践活动把既有的现实变成自己所要求的理想性现实。质言之,事物的“发展”就是事物的合规律性与合目的性生成。而事物的合目的性生成作为人的目的的实现,也就是人的自我实现、自我发展。例如,当人们通过植树、种草等实践活动使自己周围的环境朝着人们预期的目的改变的时候,人们可以说环境改善了、发展了;而环境的改善、

发展,同时也就意味着生活在这种环境下的人的现实生活质量的改善与提升。也就是说,环境的发展也就意味着以环境为对象、与环境处于一体化状态中的人本身的发展。总之,在唯物辩证法那里,事物的发展作为事物的一种自我否定、自我生成的运动,是事物由低级到高级的“前进运动”,而事物的这种“前进运动”的前进方向正是对人类进步事业的追求。

四、事物的发展与对事物的认识的统一

现实事物的自生发展就是现实的人的目的的实现。然而,现实的人在按照自己的目的去“改变世界”时并不是随心所欲的,而必须面对客观世界,以客观世界为转移。换言之,现实的人的目的性要求必须积淀着关于现实事物的规律性认识。事物的发展与对事物的认识是统一的。

现实的人的实践活动永远是一种有目的的活动,如果失去了目的性,实践便会成为没有意义的活动。但是,现实的人要想通过实践活动实现自己的目的,真实地推动现实事物的发展,那么其目的性要求就不能是一种脱离现实事物的特点与规定性的主观设定、主观空想,而必须积淀着关于现实事物的规律性认识,即人的合目的性要求,要以事物的合规律性形式表现出来,合目的性的实现有赖于合规律性。当然,随着实践的深度和广度的历史性变化,人们对规律的认识也在不断深化,相应地,目的性的要求也在变。因此,合规律性与合目的性的统一是历史性的,并不是一成不变的先验公设。

五、事物的发展与人的改造活动的统一

人的实践活动不仅是有目的的活动,而且还是一种能动的改造活动。对于这种改造活动的实质,人们常常简洁地将其概括为“客体主体化”与“主体客体化”的统一。在这两者的统一中,人实现了改造世界与改造自身的统一。因此,人的实践活动“是整个现存感性世界的基础”,[4](P77)没有实践活动的这种能动的改造作用,就没有我们全部生活和整个历史。然而,这并不意味着感性世界的存在依存于实践。那种把现实世界淹没在实践之中的实践一元论是对马克思恩格斯的误解。我们应当在坚持唯物主义立场的前提下,正确看待这种能动的改造活动的性质、方式与界限。实际上,人的这种能动的改造活动并不是没有制约的。在唯物辩证法那里,实践活动作为感性的人的对象性活动,既不能与其载体即现实的人分离开来,也不能与其所指向的对象即现实事物(亦即现实的人的对象)割裂开来。首先,从对象方面看,现实的人作为对象性的存在,只能将自身的“对象性的本质力量”表现和确证为“作为自己本质的即自己生命表现的对象”。因此,现实的人的改造活动在现实中的展开,首先取决于“自己的感性的对象”的存在。其次,从载体方面看,现实的人不但是感性、对象性、活动性的存在,而且也是社会性和历史性的存在。作为一种社会性的存在,现实的人的改造活动受制于与之处于相互作用之中的其他人的活动;作为一种历史性的存在,现实的人的改造活动受制于前人的活动所遗留下来的作为“前提”而存在的“结果”。可见,一方面,现实的人的改造活动不是随心所欲的,不是在自己选定的条件下进行的,恰恰相反,首先是在给予的、给定的、别无选择的条件下进行的;另一方面,现实的人的改造活动也不是无限的,它在现实中所可能展开的程度是客观的、历史的。

人的实践活动的终极指向是改变世界,而改变世界的关键在于世界的现实改变,因为世界的现实改变(发展)也就意味着我们自己的现实改变(发展)。对于世界的现实改变而言,感性的现实存在物与意识、观念以及人的活动相比具有真正的“确定性”。因此,在唯物辩证法那里不是观念与活动优先于现实、感性,而是感性、现实优先于观念和人的活动。由此出发,我们只有把意识、观念以及人的活动纳入到感性世界与现实事物的改变(发展)过程中(而不是相反),才能对意识、观念以及人的活动作出合理的理解与解释。在观念的层面,由于人总是首先从自己的目的出发并按照自己的目的性要求去改变世界,因此,人们在世界观上会产生一种错觉,即认为世界的存在依存于实践,世界的变化、发展不过是一个实践——世界的改变——实践,即一个单纯高扬实践的过程(作为西方马克思主义哲学家的葛兰西

的“实践哲学”就是这种“错觉”的代表之一)。然而,在现实存在的层面,事情却发生着一系列复杂的“颠倒”:首先,在观念中存在的实践活动的先在性,颠倒为感性世界、“外部自然界”在现实上的“优先地位”;其次,那种看似单纯由己出发的目的性要求,如果不满足并停留在空想状态而要在现实中得以实现的话,那么,其形成就必须积淀着关于对象事物的规律性认识;再次,那种在观念层面看似仅仅作为既定前提而存在的人,则展现为现实与历史层面中的过程性的矛盾统一体——人既是“剧作者”也是“剧中人”,并使之处于二者的相互转化之中;最后,事物的改变(发展),从观念层面看似乎是自主的、自觉的实践活动的结果,实质是“作为整体的、不自觉地和不自主地起着作用的力量的产物”,“所以到目前为止的历史总是像一种自然过程一样地进行,而且实质上也是服从于同一运动规律的”。[8](P697)简单地说,从观念层面看,好像是人在发挥自己的能动性去改变世界和事物,但在现实层面,实际上却是世界、事物把人的能动性转化为自身的能动性并在改变自己的同时改变了人。因此,我们应正确看待人的改造活动在事物发展过程中的作用。一方面,我们要看到人的改造活动“是整个现存感性世界的非常深刻的基础”;另一方面,我们更要看到,人的改造活动只是提供了使感性世界和现实事物得以“改变形态”的条件,而并不能取代感性世界和现实事物本身及其自我发展。换言之,我们不应该用实践活动淹没现实事物,而应该把实践活动合理地看成是物质世界发展到高级阶段,即在自然与社会矛盾运动中人类所面对的现实世界、现实事物自我发展过程中的一个切近的重要环节;而不是相反,即把实践视为整个物质世界的所谓“基础”。

总之,一旦人们不停留于“解释世界”而要“改变世界”,那么,就必然会由观念领域跨入到现实存在领域。而在现实存在领域,坚持唯物辩证法的事物发展逻辑,就要首先确证“物质的先在性”原则,在坚持世界物质统一性的基础上实现事物“自生的发展”与人的目的性追求的统一、事物的发展与对事物的认识的统一、事物的发展与人的改造活动的统一。

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数理逻辑的心得 数理逻辑:是计算机科学的基础,应熟练掌握将现实生活中的条件化成逻辑公式,并能做适当的推理,这对程序设计等课程是极有用处的。是大四接触到的,现简单介绍一下数理逻辑的发展史,算是一点感悟吧 1数理逻辑的发展前期 ·前史时期——古典形式逻辑时期:亚里斯多德的直言三段论理论 ·初创时期——逻辑代数时期(17世纪末) ·资本主义生产力大发展,自然科学取得了长足的进步,数学在认识自然、发展技术方面起到了相当重要的作用。 ·人们希望使用数学的方法来研究思维,把思维过程转换为数学的计算。 ·莱布尼兹(Leibniz, 1646~1716)完善三段论,提出了建立数理逻辑或者说理性演算的思想: ·提出将推理的正确性化归于计算,这种演算能使人们的推理不依赖于对推理过程中的命题的含义内容的思考,将推理的规则变为演算的规则。 ·使用一种符号语言来代替自然语言对演算进行描述,将符号的形式和其含义分开。使得演算从很大程度上取决与符号的组合规律,而与其含义无关。 ·布尔(G. Boole, 1815~1864)代数:将有关数学运算的研究的代数系统推广到逻辑领域,布尔代数既是一种代数系统,也是一种逻辑演算。 数理逻辑的奠基时期 ·弗雷格(G. Frege, 1848~1925):《概念语言——一种按算术的公式语言构成的纯思维公式语言》(1879)的出版标志着数理逻辑的基础部分——命题演算和谓词演算的正式建立。 ·皮亚诺(Giuseppe Peano, 1858~1932):《用一种新的方法陈述的算术原理》(1889)提出了自然数算术的一个公理系统。 ·罗素(Bertrand Russell, 1872~1970):《数学原理》(与怀特黑合著,1910, 1912, 1913)从命题演算和谓词演算开始,然后通过一元和二元命题函项定义了类和关系的概念,建立了抽象的类演算和关系演算。由此出发,在类型论的基础上用连续定义和证明的方式引出了数学(主要是算术)中的主要概念和定理。 ·逻辑演算的发展:甘岑(G. Gentzen)的自然推理系统(Natural Deduction System),逻辑演算的元理论:公理的独立性、一致性、完全性等。 ·各种各样的非经典逻辑的发展:路易斯(Lewis, 1883~1964)的模态逻辑,实质蕴涵怪论和严格蕴涵、相干逻辑等,卢卡西维茨的多值逻辑等。 集合论的悖论使得人们觉得数学产生了第三次危机,提出了数学的基础到底是什么这样的问题。 ·罗素等的逻辑主义:数学的基础是逻辑,倡导一切数学可从逻辑符号推出,《数学原理》一书是他们这一思想的体现。为解决悖论产生了逻辑类型论。 ·布劳维尔(Brouwer, 1881~1966)的直觉主义:数学是心灵的构造,只承认可构造的数学,强调构造的能行性,与计算机科学有重要的联系。坚持潜无穷,强调排中律不能用于无穷集合。海丁(Heyting)的直觉主义逻辑。 ·希尔伯特(D. Hilbert)的形式主义:公理化方法与形式化方法,元数学和证明论,提倡将逻辑演算和数学证明本身形式化,把用普通的语言传达的内容上的数学科学变为用数学符号和逻辑符号按一定法则排列的一堆公式。为了消除悖论,要数学建立在公理化基础上,将

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(后经阿拉伯传入欧洲,也称阿拉伯记数法) 数学与天文学交织在一起 阿耶波多——《阿耶波多历数书》(公元 499 年) 开创弧度制度量 婆罗摩笈多——《婆罗摩修正体系》、《肯特卡迪亚格》代数成就可贵 婆什迦罗——《莉拉沃蒂》、《算法本源》(12 世纪)算术、代数、组合学 3)阿拉伯国家(公元 8 世纪——15 世纪) 花粒子米——《代数学》曾长期作为欧洲的数学课本 “代数”一词,即起源于此;阿拉伯语原意是“还原”,即“移项”;此后,代数学的内容,主要是解方程。 阿布尔.维法

数理逻辑的特征、发展和应用

数理逻辑的特征、发展和应用 摘要:本文从数理退辑与传统逻挥的比较研究中,论述了数理逻裤是传统逻辑在现代的发展,数理退辑优越于传统逻辑的基本特征,以及数理逻辑与传统逻辑在命题内部成分、推理理论及其判定方法、元逻样研究等方面的区别,进而论述数理逻裤在逻杯理论与方法上的新发展。关键词:公理方法命题演算数理哲学 数理逻辑(或称数学逻辑,符号逻辑,逻辑斯諦)在科学研究中是一个新兴的重要部门。到现在,它已经是一门内容十分丰富,与其他科学部门联系很多的学科。它有着十分宽广的发展前途。它在科学研究中的重要性已经日益显示出来,而在它的发展中将更加广泛地显示出它的重要性。数理逻辑在一定的意义上是一门数学科学,然而,它不止就只是一门数学科学而已。从数理逻辑研究的对象及对象的性质看,从它所处理的部问题及问题的性质看,它是一门边缘科学。不少门边缘科学是处于两门科学之间的,如物理化学,如生物化学等。数理逻辑是处于多门科学之间的中间性的,边缘性的科学。 逻辑教学与科研的现代化是我们的目标。但是,当前我国逻辑教学在不少地方还是以传统逻辑内容为主,这又是我们的国情。为此,数理逻辑与传统逻辑的关系是我国逻辑界讨论的热点,其中关于数理逻辑是不是现代形式逻辑,在逻辑教材改革中如何处理传统逻辑与数理逻辑的关系的讨论尤为热烈。正确认识和处理这些问题,并从理论上加以说明,将关系到我国逻辑学现代化的进程。 第一,数理逻辑使用的人工语言,亦叫形式语言,它是一套特制的表意符号,一个符号只表达一个概念,每个符号的意义是完全确定的,符号和表达的意义完全对应。因而,这样的形式语言是单义的、精确的,不会产生歧义,适应缩短公式和形式化的需要,它是优越于传统逻辑的一个方面。第二,数理逻辑是形式化的。波兰逻辑学家卢卡西维茨在谈到形式化问题时指出:“每一个科学真理,为了能被了解和确证,必须赋予人人知晓的外形。……现代形式逻辑对语言的精确性给以最大的注意。所谓形式化就是这个倾向的结果。”④形式的与形式化的是两个不同的概念。传统逻辑是形式的,但不是形式化的,而数理逻辑是完全形式化的。词项、命题通过一定的符号公式表示,联结词也有相应的形式概念,如二(否定)、V(析取)、一,(蕴涵)等,而且整个的推理、证明都是形式化的,即形式化的公理系统。第三,数理逻辑使用数学方法。近代数学的发展使数学家逐步看到,数学的计算和推导与逻辑推理有着某些相似之处,这样就有可能把数学方法推广到思维领域,因而着手用数学方法研究和处理形式逻辑。在现代科学中,运用数学的程度,是衡量一门科学的发展,衡量其理论成熟程度的重要标志,像形式逻辑这样严密的科学就更是如此。‘数理逻辑由于使用数学方法,使用如同数学概念那样的陈述方式和定义方法,使用如同数学定理那样的陈述和证明方法,因而使得逻辑可以演算化。由于实现了思维的演算化,使得逻辑具有了可与数学相媲美的精确性,并且大大深化了逻辑学的研究。比如说,用现代数学方法的数学语言刻划的哥德尔完全性定理,科学地证明了数理逻辑刻划的“演算推理规律”恰好就是人们思维中所用的演绎推理规律的全体,它所刻划的狭谓词演算系统,恰好包含了相应范围内所有的逻辑真理。没有数学方法,要获得如此的成果是不可能的。 自本世纪初叶,特别是三十年代以来,数理逻辑这门科学就以充满无限活力的姿态,出现于逻辑工作者、数学工作者以及哲学工作者的面前。在这门科学的各分支领域内进行创造性的探索和拓荒的学者与日俱增,研究成果也越来越丰富。这些成就对其它科学的渗透也越来越广泛而深入。数理逻辑是一门思维科学。同其它科学一样,这门科学也有一个形成和发展的过程。起初,它是应用数学方法来研究人类思维形式结构的。在这种意义下,数理逻辑通常被称为逻辑演算,或符号逻辑,或逻辑斯蒂,或现代逻辑等等。它的基本内容包括命题演算和谓词演算两部分。后来,随着数学的发展而逐渐提出要求解决数学中的逻辑间题是理逻

“数学”简介、含义、起源、历史与发展

数学 数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的,简单地说,是研究数和形的科学。 由于生活和劳动上的需求,即使是最原始的民族,也知道简单的计数,并由用手指或实物计数发展到用数字计数。在中国,至迟在商代,即已出现用十进制数字表示大数的方法;又至迟至秦汉之际,即已出现完满的十进位值制。在成书不迟于1世纪的《九章算术》中,已载有只有位值制才有可能的开平、立方的计算法则,并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法,还引入了负数概念。刘徽在他注解的《九章算术》(3世纪)中,还提出过用十进小数表示无理数平方根的奇零部分,但直至唐宋时期(欧洲则在16世纪S.斯蒂文以后)十进小数才获通用。在这本著作中,刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长,成为后世求圆周率更精确值的一般方法。虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念,但在实质上,那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法,这不仅在应用上不可缺,也为数学初期教育所不可少。至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲地区,则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究。早在欧几里得的《几何原本》中,即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。古希腊发现了有非分数的数,即现称的无理数。16世纪以来,由于解高次方程又出现了复数。在近代,数的概念更进一步抽象化并依据数的不同运算规律而对一般的数系统进行独立的理论探讨,形成数学中的若干不同分支。 开平方和开立方是解最简单的高次方程。在《九章算术》中,已出现解某种特殊形式的二次方程。发展至宋元时代,引进了“天元”(即未知数)的明确观念,出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法,通称为天元术与四元术。与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法,已接近于近世的代数学。在中国以外,9世纪阿拉伯的花拉子米的著作阐述了二次方程的解法,通常被视为代数学的鼻祖,其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何方法具有同一风格。中国古代数学致力于方程的具体求解,而导源于古希腊、埃及传统的欧洲数学则不同,一般致力于探究方程解的性质。16世纪时,F.韦达以文字代替方程系数,引入了代数的符号演算。对代数方程解的性质的探讨,则从线性方程组导致行列式、矩阵、线性空间、线性变换等概念与理论的出现;从代数方程导致复数、对称函数等概念的引入以至伽罗瓦理论与群论的创立。而近代极为活跃的代数几何,则无非是高次联立代数方程组解所构成的集体的理论研究。 形的研究属于几何学的范畴。古代民族都具有形的简单概念而往往以图画来表示,形之成为数学对象是由工具的制作与测量的要求所促成。规矩以作圆方,中国古代夏禹治水时即已有规、矩、准、绳等测量工具。《墨经》中对一系列的几何概念,有抽象概括,作出了科学的定义。《周髀算经》与刘徽《海岛算经》给出了用矩观天测地的一般方法与具体公式。在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中,除勾股理论外,还提出了若干一般原理以解多种问题。例如出入相补原理以求任意多边形面积;阳马鳖臑的二比一原理(刘徽原理)以求多面体的体积;5世纪祖暅提出“幂势既同则积不容异”的原理以求曲形体积特别是球的体积;还有以内接正多边形逼近圆周长的极限方法(割圆术)。但自五代(约10世纪)以后,中国在几何学方面的建树不多。中国几何学以测量与面积体积的量度为中心,古希腊的传统则重视形的性质与各种性质间的相互关系。欧几里得的《几何原本》,建立了用定义、公理、定理、证明构成的演绎体系,成为近代数学公理化的楷模,影响及于整个数学的发展。特别是平行公理的研究,导致了19世纪非欧几里得几何学的产生。欧洲自文艺复兴时期起出现了射影几何学。18世纪,G.蒙日应用分析方法于形的研究,开微分几何学的先河。C.F.高斯的曲面论与(G.F.)B.黎曼的流形理论开创了脱离周围空间以形作为独立对象的研究方法;

研究数理逻辑的现实意义

数理逻辑的现实意义 摘要:数理逻辑并不仅仅局限于抽象的符号运算,它同样可以帮助我们了解和解决很多现实问题。数理逻辑在写作、创新思维、人工智能应用等方面有着重要的作用。运用逻辑性思维能使我们正确的选题与写作;它与一个人的创新能力有着极为密切的关系;同时也是人工智能科学发展必不可少的。 关键词:数理逻辑写作创新思维人工智能 大多数人都认为数理逻辑是一门艰深、抽象甚至有点枯燥的学科,这一点也许除了很少一些从事数理逻辑研究的专家会反对。但是,在我们的生活中,数理逻辑也有着重要的现实意义。数理逻辑是用数学方法研究思维形式的逻辑结构及其规律的学科。所谓数学方法,是指用一套表意符号即形式语言系统表达思维的形式结构和规律,从而把对思维的研究转化为对符号的研究。以便摆脱自然语言的歧义性,构成能像算术或代数那样的严格精确的演算系统。由于它运用了数学方法来研究逻辑和数学基础,本身成为数学的一个分支,同时又由于它的基本研究对象仍然以逻辑为主,因而,作为现代化的逻辑, 它又渗透到现代数学的各个分支中。集论的深入研究必须严格地运用数理逻辑作为重要的工具,这不用多说翻开现代数学的各种教程,映入眼帘的是许许多多数理逻辑的符号和表示式。如果没有数理逻辑的初步知识,一些新出版的教科书和刊物上的论文就根本没法读。一个定理的证明,用古典数学的表达方法常常是不十分精确而且有时是冗长的,而用数理逻辑来进行证明,那就简明而且精确严密得多了。现代数学各大分支基本上都用了公理方法,于是,数理逻辑就更成为不可或缺的工具了。 一、数理逻辑在写作中的应用 从逻辑角度看,数理逻辑也是研究演绎的科学,演绎方法包括演绎推理,以演绎推理为基础的证明和公理方法。从根本上讲它是传统逻辑的发展,是现代的精确的形式逻辑。演泽推理是指由一般性的前提推出特殊的结论的推理。推理能力的强弱,直接关系到论文说理是否透彻,分析是否具体,论证是否严密,文章是否更具有逻辑性和说服力。因此,逻辑推理能力在论文写作中至关重要。在选题、立意、结构、表述中运用概念和判断进行推理的过程,也就构成了一个完整的形式逻辑思维运行的过程。而写作活动本身就是一种思维活动,而且对思维的要求比较高。一篇论文的写作总有几个步骤,即从纷繁的材料和模糊的意念中,经过抽象概括,使思维明确化,选择一个合适的选题;接着对资料加以深入分析,形成层次;最后,构建论文结构,表述论文思想。事实上,论文写作过程就是一

集合论和中国的发展

论文标题:集合论思想的演变及在当代中国的发展 论文作者姜玉声/朱焕志 论文关键词,论文来源自然辩证法研究,论文单位京,点击次数148,论文页数031-037页1995年1995月论文网https://www.360docs.net/doc/288594835.html,/paper_143662921/ 集合论自上世纪70年代由德国数学家G.Cantor创立以来,不断促进着许多数学分科的发展,并成为全部现代数学的基础。然而,近30年来又相继出现了Fuzzy集合论与可拓集合论。为说明这两种集合论的产生在数学史中的意义,理清集合论思想演变的脉络,弘扬我国学者在这一发展中的创造精神,本文拟在简要回顾集合论思想从Cantor到Fuzzy的演变的基础上,就可拓集合论的产生与发展加以分析、研讨集合论思想发展的规律,谈谈我们的浅见。 1集合论思想从Cantor到Fuzzy的演变 长期以来,人们利用数学处理问题的主导思想通常是“枝是枝,蔓是蔓”,不允许半点儿“含混”,语言的“准确”,推理的“严格”,结论的“确定”从来天经地义。[(1)a]数学中的这种传统观念,把人们的思想局限在“确定性”的小天地里。所谓“确定性”,它要求概念有明确的外延,逻辑上严格地遵从形式逻辑的四条基本规律,结论只能是唯一确定的。与这种观念相适应,数学中便产生了Cantor集合论。 众所周知,集合是数学中的一个不定义概念。所谓集合,是指具有某种特定属性的对象的全体,集合中的每一个体(对象)叫做集合的元素。按Cantor的集合论,一个元素x与一个集合A的关系只能有属于(记作∈)和不属于(记作 )两种,二者必居其一且仅居其一,即 x∈A或x A。如表为特征函数的形式,记集合A的特征函数为C[,A](x),则有在长时间里,这种集合论思想占据统治地位,可以说整个传统数学[(2)a]就建立在这种集合论的基础上。实践表明,Cantor的集合论在研究确定性事物的范围内显现着巨大作用,其光辉是永不磨灭的。 然而,随着社会的发展,人类的知识视野和研究领域不断扩大,需要探讨的问题加速度地增加着。于是,不确定性现象,特别是其中的模糊性现象,逐渐被人们意识。具体地说,近几十年来,学者们不断发觉,某些现象呈现出不确定性,是由于概念本身就没有明确的外延,逻辑上并不严格遵从传统的排中律,表现为客观事物在差异的中介过渡中所呈现的“亦此亦彼”性。例如,人的年轻与年老、环境的清洁与脏污及天气的晴与阴等许多对立概念之间,都没有绝对分明的界限。严格地说,这些概念都没有明确的外延。若按这些概念去确定“集合”,则相应的“集合”都没有清晰的边界,一个元素是否属于某个“集合”不是很分明的。当然,如果数学家同意把这样的“集合”仍称为集合的话,则这种集合已经不是Cantor意义下的经典集合了。一个对象对于一个这样的集合,除可以属于和不属于外,还可以有某种程度的属于或不属于,而且后者才是更一般的情形。譬如,若用年轻人这个概念构造这种集合,要问一个人是否属于这个集合,即是否年轻,则除了年轻和不年轻这两个极端情形外,还要遇到比较年轻、基本年轻等不少中间过渡的档次,且每一档次内还可细分更小的档次。这就是事物的模糊性。为了研究和处理模糊性事物,美国控制论专家L.A.Zadeh教授于1965年提出了Fuzzy集合论。 Fuzzy集合论的基本思想较集中地体现在下面的开创性概念中:所谓给定了论域U上的一个模糊子集Α,是指对于任意的u∈U,都指定了一个数μ (u)∈〔0,1〕,用它来表示u对A的隶属程度,叫u对 的隶属度。映射叫做 的隶属函数。[(1)]有了这个概

数学逻辑智能发展11页

数学逻辑智能发展 针对不同年龄宝宝数学逻辑发展概况分述如下: 3~4个月 拥有专注某样事物的能力,能分辨事物的相异处,例如可以分辨谁是妈妈,谁不是妈妈。 6~7个月 能分辨熟悉与不熟悉事物,对于新鲜的东西感到好奇,对外界已有明显的分辨能力。 G0608畅畅爸郑州(149904165) 15:19:04 10~18个月 这时已经可以理解最初级的数学概念,能笼统的感觉出物品的大小、轻重、多少,像是能感觉糖果的多与少。 18~22个月 已经可以掌握初级的数量概念,此时也是语言发展的重要时期,因此可将数字唱出来或说出来,多数孩子可以学会口头数数1、2、3,有些孩子可以学会10以上的数数。 G0608畅畅爸郑州(149904165) 15:20:39 2岁半~3岁 已有初级计数概念,可以指着物品将数量数出。可以区分物品明显的特征,例如形状、颜色、名称,也有分类的概念,经由大人示范,可将同类型的东西放在一起。 G0608畅畅爸郑州(149904165) 15:21:26 3~4岁 具有明确的计数能力,能指物数数,并说出总量;有明显的对应、分类能

力,例如大人可以用说的方式,让孩子按照颜色、形状或性质分类;有较明显的度量衡概念,例如能区分高矮、胖瘦、长短、轻重、粗细。 4~5岁 此阶段是幼儿发展运算与综合数学能力的时期;能认识数字,了解数与量的实际涵义;有排列组合的能力;具有半抽象的概念,例如白天晚上的变化、冷热的概念;具有物体恒存概念,例如将物品用布盖上,知道物品还在原处没有消失。 5~6岁 能进行简单的数学运算;能看钟表,辨认时间;会辨认货币,了解币值与用途,能在大人协助下计算用钱买东西;能进行简单的测量,例如用量杯 测度水量,用绳子量距离。 上次我们说了从生活中强化数学逻辑智能的几个方面:数数与认数 方法: 认识基本图形 教孩子认识图形时,家长的描述需要正确,而且孩子大约在1岁半就能拥有立体的概念,所以除了平面图形,可适时加入立体图形的概念。

中国实证主义思潮的兴起和发展之二

中国实证主义思潮的兴起和发展之二 1923年,个园思想界展开了“科玄之战”,论战的一方以柏格森主义者张君劝为主将,另一方以马赫主义者丁文江为主将。论战中,丁文江写了三篇沦文,即《玄学与科学》、《玄学与科学——答张解劝》和《玄学与科学的讨论的余兴》。这三篇文章是马赫主义在命国传格的重要文字。通过他的论辩、阐述,马赫主义在中国成为其影响仅次于实用主义的实证主义哲学流派。论战之后,马赫主义者的主要著作陆续翻译成中文。RL药理译法国的马赫主义者彭家勒的《科学和假设》(1932年上海商务印书馆出版),文元模译《科学的价值》(1928年上海商务印书馆出版),郑太朴译《科学和方法》(1933年上海商务印书馆出版),谭辅之、沈因明译英国马游主义者毕尔生的《科学入门》(1934—1936年上海辛垦书局出版),陈望道、施存统译俄国马赫主义者波格丹诺夫的《关于社会意识的科学》(1929年上海大江书店出版)。另外,1930年上海商务印书馆出版了中园马赫主义者王星拱的著作《科学概论》。 因此,“五四”期间,实用主义、马赫主义、新实在论等各种实证主义流派广辽传播,彤响最大者数实用主义。胡适对实用主义员为信服,宣传也最为得力。当然,胡适对实用主义也非照搬照如,而是有所取合。其取舍的标被则依据实证主义的原则。例如,他强调实用主义只是一种方法论,是皮尔士所说的“科学实验塞的态皮”。詹的斯的实用主义宗教气味过重,道到胡适的批评,他说“詹姆斯是富于宗教

心的人。他虽是实验主义的宣传者,他的性情报本上和实验主义有点合不拢来。”①而这所谓“合不拢来”,在很大程度上是因为宏姆斯‘反对赫胥黎一班人的存疑主义”。伦理哲学在杖成的实用主义思想体系中占有相当重要的位置:但胡适仅强调杜咸实用主义的方法论方面。他说‘“杜成效终只认实用主义是一种方法论”。其实,西方实用主义到了杜威,已经发展为包括本体论、认识论、伦理观、宗教观的庞大思想体系,而胡适则突出它的方法论的方面。按照实证主义的观点,哲学只是一种方法论,因此,尽管詹姆斯的“淑世主义”很合胡适的口味,并成为他的社会改良思想的理论来源,他却将这种“淑世主义”从实用主义中分割出来,与西方其他个人主义思想相结合,提出一种“易L生主义”’作为反封建和要求个性解放的口号。 小国近现代对西方哲学的态度经历从维新运动时期有选择的介绍到“五四”新文化运动时期大规模引进,最后发展到对西方哲学的融会吸收,进而建造自己的体系。巾围人从自己的研究出发,自打哲学学理、自创哲学理论是从三十年代开始的,到了四十年代,不仅两方的各种哲学理论,如功利主义、实证主义、实用主义、生机主义、尼采主义、唯物辩证法都已经输入并且形成了自己的学派,并且由于重视用西方的观点和方法来整理和研究中国固有文化,传统学术中的哲学思想又得到了发扬。在这近代各哲学学派争鸣时期,实证论思潮得到进一步发展,其中又形成和分化成不同的派别。这个时期受实证主义思潮影响的少园哲学,表现出二种不同的倾向;第一、从传统逻辑的研究转向数理逻辑的研究。自严复介绍穆勒名学,提倡归纳逻辑以

培养学生数理逻辑推理能力的意义和途经

培养学生数理逻辑推理能力的意义和途经 大支坪民族初级中学王保林 数理逻辑推理是一个广义的概念,所设计的内容涉及多个领域,在初中物理学习阶段特指运用数学原理(包含图像)来推导物理探究过程中的潜在规律,是一种物理规律和数学逻辑相结合的方法,它有时甚至可以代替我们物理探究的具体实验操作过程,而运用逻辑推理来总结物理规律,起到有效解决物理问题的途径! 一、培养学生数理逻辑推理能力的意义 物理学的发展离不开数学,很多物理问题的解决是数学方法和物理思想巧妙结合的产物。在应用物理知识解决实际问题时,一般或多或少总要运用到数学运算进行推理,而且处理的问题愈高深,应用的数学知识也愈多。所以能熟练地运用数学处理物理问题,是学好物理的必要条件,在近几年的物理中考题都不同程度的体现了这一思想。在今后的高等物理学中的《理论力学》更是把数理结合的思维方式表现得淋漓尽致。尽管中学物理教学仅限于初等数学工具的使用,但数学方法与物理学密切相关,教学中如能切实加强对学生运用数学方法分析解决物理问题的训练。培养学生运用数学方法分析和解决实际问题的能力,将能使教学效果事半功倍。 二、培养学生数理逻辑推理能力的途径 在中学物理教学中,应用到的数学方法大致可分为两大类,一类是几何图像法,另一类是数学推理法,第一类运用几何图像来分析问题和解决问题,我们在教学过程中经常遇到,(如热学中晶体的熔化图像,液体的沸腾图像,静力学中物体的运动图像速度图像,电学中的u-i图像等),也是现阶段物理教学和近几年物理考试的一个重点,学生学习和掌握起来相对来说比较容易!第二类由于其深奥的内涵,加上学科之间的衔接不够,我们往往比较忽视,学生在学习运用上相对较难,不易掌握甚至运用!下面我分别举几个例子加以分析说明:首先是几何图像法,在中学物理教学中需要用到许许多多的图像来表述一些物理概念、过程和结论。在教学中如能巧妙地用好这些图像将能使学生对概念的记忆、对过程的了解、对结论的理解更加深刻。几何图像法主要有以下两方面的应用: 第一、用静态图像表述物理概念。数学图像是定义物理概念最简洁、最精确、最概括、最深刻的语言,许多物理概念都要以数学形式(公式或图像)来表述,也只有利用了数学表述,才便于进一步运用它来分析、推理、论证,才能广泛地定量地说明问题和解决问题。力学中,路程、速度和时间的关系,密度、体积和质量的关系,压强、压力和受力面积的关系;热学中,热值、质量和热量的关系;电学中,电流、电压和电阻的关系,功、功率和时间的关系等运用数学中正比例函数的图像来表述,使学生记忆更加牢固。如初中物理电流与电压的关系教学中,可用如图坐标系来表示电流随电压的变化情况。

(数学与逻辑学的关系)

研究中国传统数学中逻辑思想与方法的必要性一直以来,不论是在逻辑史学界,还是在数学史学界,对于中国传统数学中的逻辑思想与方法的研究没有得到应有的重视。但从下面我们简单论述来看,加强这方面的研究却具有显明的必要性。 一、从逻辑与数学的关系看 数学与逻辑的研究对象虽各不相同,但它们的性质、特点却有很多共同和类似的地方,正因为如此,才使得它们关系十分密切,在内容和方法上可以互相运用和相互渗透。 一般认为,数学是研究空间形式和数量关系的一门科学,逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学,但它们都完全撇开其内容,仅仅从形式方面加以研究,因而均具有高度的抽象性,所以在分类上它们同属于形式科学。同时,数学和逻辑的应用都十分广泛,往往成为研究其它科学的工具,因此常常同被人们称为工具性科学。 围绕逻辑与数学的关系讨论下去,曾经形成三种意见──逻辑主义、形式主义和直觉主义。其中逻辑主义、直觉主义,过多强调了数学和逻辑的同一性,而忽视了数学与逻辑的差异性。因此,认识数学和逻辑的关系,在于把握二者关系的辩证性──同一、差异又互补。 首先,肯定数学和逻辑的同一性。这是因为: (1) 数学和逻辑都是高度抽象的学科,数学是研究数量的形式结构的,逻辑是研究思维的形式结构的,形式结构都是高度抽象的,是抽象结构,它们的定义、定理、原理、法则等的正确性均不涉及各种事物具体内容; (2) 数学和逻辑都讲严格性,数学只有具有推理论证的严密性和结论的确定性或可靠性才成其为科学,逻辑也只有当它的推理论证严格而公理系统化时才形成科学; (3) 数学和逻辑都具有广泛的应用性,数学的应用自不待言,对逻辑而言可以肯定地说哪里有思维哪里就要逻辑,一切科学都在应用逻辑。 其次,数学与逻辑的差异性也是明显的。一方面,数学和逻辑的研究对象不同,数学的研究对象是一切事物的数与量的属性,而逻辑学的研究对象是思维的形式及规律;另一方面,数学和逻辑的任务和目标不相同,数学的主要目标和任务是揭示客观事物的量和数的规律性,而逻辑的主要目标和任务却是为了解决思维推理形式的有效性或真值性问题。

数理逻辑发展史

数理逻辑发展史 *数理逻辑主要包括5个部分: 逻辑演算, 证明论, 公理集合论, 递归论和模型论. *数理逻辑从十七世纪末叶莱布尼茨(G. Leibniz, 1646-1716, 德国)起, 至今约有三百年历史. *数理逻辑的发展分为三阶段. *第一阶段: 这是开始用数学方法研究和处理形式逻辑的时期, 是初始阶段. *莱布尼茨: 1646-1716, 德国 *布尔(G. Boole): 1815-1864, 英国 *德?摩根(A. De Morgan): 1806-1876, 英国 *E. Schr?der: 1841-1902, 德国 共延续二百年, 其成果是逻辑代数和关系逻辑. *戈特弗里德?威廉?莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz) 莱布尼茨生于莱比锡, 他的母亲是莱比锡大学哲学系副主任的第三个妻子. 虽然他的父亲在他6岁时就已去世, 但年幼的莱布尼茨经过父亲的谆谆教诲, 已经产生了读书和学习的愿望. 在他年轻时,他就自学了拉丁语并钻研了拉丁文的经典著作以及他父亲丰富藏书中的哲学和神学著作. 1661年, 他进入莱比锡大学学习, 在那里他用大部分时间学习哲学.他在1663年取得学士学位, 在1664年取得硕士学位, 但是

尽管准备了法学博士的学位论文, 大学却拒绝授予他学位, 也许因为教师中的一些政治问题. 莱布尼茨因此离开了莱比锡并于1667年从纽伦堡的阿尔特多夫大学取得了学位. 同时, 莱布尼茨在1663年在耶纳大学的一次短暂停留中接触到了高等数学, 并开始研究他希望是他对哲学最具创造性的贡献的细节问题, 创立一种人类思想的字母表, 即一种将所有基本概念用符号表示并通过符号的组合表示更复杂的思想的方法. 尽管莱布尼茨从未完成这一规划, 他的最初思想包含在他1666年的《论组合的艺术》里, 他在论文中独立推导出了帕斯卡的算术三角形以及其中包含的量的各种关系. 但这一寻找表达思想的适当符号和组合它们的方式的兴趣最终使他发明了我们今天使用的微积分的符号. 莱布尼茨结束大学学业后不久, 他首先为美茵茨选帝侯从事外交方面的工作, 而在他以后的生涯的大部分时间他是汉诺威公爵的顾问. 虽然有许多时期他的工作使他极为忙碌, 但他总能找到时间钻研数学思想并在这一领域同遍及欧洲的同事们维持着活跃的通信交流.

学习数理逻辑的意义-论文

大学研究生学位课程论文论文题目:学习数理逻辑的意义

摘要:数理逻辑就是用数学方法研究思维形式的逻辑结构及其规律的科学。数理逻辑发展到今天,已经成熟为一门崭新的科学,具有强大的生命力和广泛的影响。学习数理逻辑可直接提高数理逻辑智能,如有利于学生思维能力的增强、思维效率的提高和创新能力的提升。数理逻辑在数学、计算机科学、语言研究、哲学等领域都已应用,数理逻辑学的任务在于探讨如何为整个数学建立严格的逻辑基础,其特点在于使用形式化的方法包括公理化的方法,因而比较抽象和艰深。本文介绍了数理逻辑的产生,数理逻辑主要贡献者的思想,数理逻辑的应用及学习数理逻辑学的意义。 关键词:数理逻辑;逻辑演算;应用 数理逻辑是一门新兴学科,至今有300年的历史。近百年来,它取得了长足发展。在现代的数学和计算机科学中以及在自然科学和社会科学的一些部门中都有广泛应用。在这样的背景下来研究数理逻辑的产生和发展,具有十分重要的意义。数理逻辑是用特制符号和数学方法来研究、处理演绎方法的逻辑学,包括各种逻辑演算(经典的和非经典的)和“四论”模型论、集合论、递归论和证明论。数理逻辑的定义:数理逻辑是用数学方法研究诸如推理的有效性、证明的真实性、数学的真理性和计算的可行性等这类问题中的逻辑问题的一门学问.当然,对此也可等价地这样说:数理逻辑是用数学方法研究各种推理中之逻辑问题的一门学问.其中主要包括推理的有效性、证明的真实性、数学的真理性、计算的能行性等这类问题中的逻辑问题.数理逻辑的研究对象:数理逻辑以推理本身作为自己的研究对象,其中主要包括演绎推理、形式推理、数学推理和各种近现代的非经典推理.数理逻辑的研究领域:作为数理逻辑之研究领域的历史性确认部分包括逻辑演算、集合论、模型论、递归论和证明论等五大块.但作为数理逻辑研究领域之近现代发展部分,还应包括诸如模态逻辑、多值逻辑、非单调逻辑、归纳逻辑、似然逻辑、不协调逻辑、信念修正、开放逻辑、中介逻辑和中介公理集合论等等各种各样的非经典逻辑分支.数理逻辑的学科归属:数理逻辑是逻辑和数学互相交织在一起的一门边缘性学科,或者说,数理逻辑既是一门逻辑化了的数学分科,又是一个数学化了的逻辑分支。 那么数理逻辑的的主要基础是什么?逻辑是研究推理的科学,分为形式逻辑和辨证逻辑。数理逻辑开始于用数学方法对形式逻辑中推理规律的研究,后来进一步发展到对数学中基础性问题及逻辑性问题的研究。现在数理逻辑是用数学方法研究形式逻辑的一门科学,也就是用数学方法研究推理的科学。所谓数学方法[1],主要是指引进一套符号体系的方法,因此数理逻辑又叫符号逻辑。现代数理逻辑主要有四大分支:证明论、模型论、递归论和公

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