多项式插值的震荡现象81025

第二次作业

——多项式插值的振荡现象

实验 多项式插值的振荡现象

问题提出：考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然Lagrange 插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。我们自然关心插值多项式的次数增加时，)(x L n 是否也更加靠近被逼进的函数。设区间[-1，1]上函数

22511)(x x f +=

实验内容：考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为 ,,,2,1,0,21n i n

i x i ???=+

-= 则拉格郎日插值多项式为 )(2511)(02x l x x L i n

i i n ∑=+= 其中，n i x l i ,,2,1,0),(???=是n 次lagrange 插值基函数。

function t_charpt2

%输入插值结点

result=inputdlg({'请输入插值结点数N1：'},'charpt_2',1,{'3'})

N1=str2num(char(result));

result=inputdlg({'请输入插值结点数N2：'},'charpt_2',1,{'5'})

N2=str2num(char(result));

result=inputdlg({'请输入插值结点数N3：'},'charpt_2',1,{'10'})

N3=str2num(char(result));

result=inputdlg({'请输入插值结点数N4：'},'charpt_2',1,{'15'})

N4=str2num(char(result));

if (N1<1|N2<1|N3<1|N4<1) errordlg('结点输入错误！');return ;end

%插值结点小于1时错误

f=inline('1./(1+25*x.^2)');a=-1;b=1;

%标准函数f

x1=linspace(a,b,N1+1);

x2=linspace(a,b,N2+1);

x3=linspace(a,b,N3+1);

x4=linspace(a,b,N4+1);

y1=feval(f,x1);

y2=feval(f,x2);

y3=feval(f,x3);

y4=feval(f,x4);

x=a::b;inter1=Lagrange(x1,y1,x);

inter2=Lagrange(x2,y2,x);inter3=Lagrange(x3,y3,x);

inter4=Lagrange(x4,y4,x);

%inter1为插值结点为3，inter2为插值结点为5，inter3为插值结点为10，inter4为插值结点为15 fplot(f,[a,b],'-');

%画标准函数f的图形

hold on;

plot(x,inter1,'--');

plot(x,inter2,'*');

plot(x,inter3,'-.');

plot(x,inter4,':');

%画插值逼近函数

legend('f','inter1','inter2','inter3','inter4')

xlabel('x');ylabel('y=f(x) o and y=Ln(x)--');

%----------------------------------------------------------------

function y=Lagrange(x0,y0,x)

n=length(x0);m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);

s=;

for k=1:n

p=;

for j=1:n

if(j~=k)

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

end

s=s+p*y0(k);

end

y(i)=s;

end

图1、函数

22511)(x x f +=的拉格朗日插值多项式

结果分析： 多项式插值逼近结果如图所示，inter1为插值结点为3，inter2为插值结点为5，inter3为插值结点为10，inter4为插值结点为15。当结点数由3个结点增加为5个结点时，函数图形越接近，当插值结点增加到10时，曲线光滑，函数逼近效果在曲线的中间部分（，）比较好，但是由上图在两个端点处x=-1和x=1附近时会出现在与原函数f(x)偏差会很大（龙格现象）。可以看出，适当提高插值多项式次数，可以提高逼近的精度，但是太高反而会产生不良的现象。 由函数4

1)(x x x h +=和x x g arctan )(=的拉格郎日插值多项式的逼近结果可以得出相同的结论。

图2、函数41)(x

x x h +=

的拉格郎日插值多项式

图3、函数x x g arctan )(=拉格郎日插值多项式

由上图函数41)(x

x x h +=的拉格郎日插值多项式和函数x x g arctan )(=拉格郎日插值多式 的拟合图形可以看出，采用插值多项式时，适当增加插值结点可以提高拟合的精度，但是当插值结点过于大时都会出现龙格现象。