考研高数三角函数复习(新)

考研三角函数复习

1、任意角的三角函数（划红线内容重点学习，其余部分建议学习）

(1)任意角的三角函数的定义：角α的终边上任意一点p 的坐标是(x ，y)，它与原点的距离是r(r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切、余切分别是

(2)三角函数值的符号

正弦值与余割值对于第一、二象限的角是正的，而对于第三、四象限的角是负的．余弦值与正割值对于第一、四象限的角是正的，而对于第二、三象限的角是负的．

正切值与余切值对于第一、三象限的角是正的，而对于第二、四象限角是负的，也可以按正的在各象限的函数来记，即“一全、二正弦，三切、四余弦”(正割、余割分别与余弦、正弦符号相同) 2．同角三角函数的基本关系式

(1)倒数关系：sinαcsc=1 cosαsecα= tan αcot α=1

(3)平方关系：sin 2α+cos 2α=1 1+tan 2α=sec 2α 1+cot 2α=csc 2α 3．诱导公式

(1) k·2π+α(k ∈Z)，-α，π±a ，2π-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α角看成锐角时原函数值的符号，即

sin(k·2π+α)＝sinα，cos(k·2π+α)=cosα ，tan(k·2π+α)=tan α，cot(k·2π+α)=cot α(k ∈Z) sin(-α)=-sinα，cos(-α)＝cosα ，tan(-α)=-tan α，cot(-α)=-tan α sin(π+α)=-sinα， cos(π+α)=-cosα ，tan(π+α)=tan α， cot(π+α)=cot α sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα ，tan(π-α)=-tan α，cot(π-α)=-cot α sin(2π-α)=-sinα，cos(2π-α)=cosα，tan(2π-α)=-tan α，cot(2π-α)=-cot α

sin(

2π-a) = cosa ，cos(2π-a) = sina ，sin(2π+a) = cosa ，cos(2

π

+a) = -sina (2) 90°±α， 270°±α的三角函数值等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，例如sin(90°+α)=cosα， tan (270°+α)=-cot α

综上，诱导公式可概括为k·90°±α(k ∈Z)的三角函数值，等于α的同名(k 为偶数时)或余名(k 为奇数时)的函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简称之为“奇余偶不变，符号看象限”．

4．三角函数的图象和性质

(1)三角函数线

以原点为圆心，以单位长为半径的圆叫做单位圆，如图2—3，设角α的终边与单位圆的交点为p ，过p作PM 垂直于x轴，垂足为M，A(1，0)、B(0，1)，过A、B点作单位的切线AT、BS分别与角α的终边或其反向延长线交于T、S则有向线及MP、OM、AT、BS、OT、OS分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线．

(2)三角函数的图象

正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx(如图2—4)

正切函数y=tanx 余切函数y=cotx (如图2—5)

(3)三角函数的周期

①周期函数

对于函数y=f(x)，如果存在着一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．

②最小正周期：对于一个周期函数来说、如果在所有的周期中存在着一个最小正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期．教科书上所指三角函数的周期均为最小正周期．

(4)三角函数的性质

5、积化和差

sinasinb = -21

[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21

[cos(a+b)+cos(a-b)]

sinacosb = 21

[sin(a+b)+sin(a-b)]

cosasinb = 2

1

[sin(a+b)-sin(a-b)]

6、和差化积

sina+sinb=2sin

2b a +cos 2b a -，sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b

a - cosa+cos

b = 2cos 2b a +cos 2b a -，cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2

b

a -

tana+tanb=b

a b a cos cos )

sin(+

（1）积化和差与和差化积各有四个公式，它们实质是一类公式的正用或逆用，即积化和差公式的逆用就是和差化积公式。这些公式既是重点，又是难点，只有掌握准确，才能熟练应用。

（2）积化和差公式是运用两角和、两角差的三角函数公式推导出来的，推导中用了“解方程组”的思想。

和差化积公式是从三角函数的积化和差的公式逆推出来的。推导中用了“换元”的思想。

我们要熟悉推导过程，掌握推导方法，这既有助于对公式的充分理解，又有助于运用公式解决问题。

（3）要注意寻找公式特征，掌握它们的异同点：即角、函数名称、函数间的运算、系数等方面的异同点。①只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能运用公式化成和的形式。②如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成积的形式。例如：

（4）对三角函数的和差化积，常因所采取的途径不同，而导致结果在形式上的差异，但结果实际上是一致的（如上例）。

“和差化积”不能只注意到化成“三角函数的积”，而忽略了答案的最简形式。例如，解如下习题：

把sin2α-sin2β化成积的形式。

解sin2α-sin2β

=sin（α+β）·sin（α-β）

最后一步，往往会忽略丢掉，应予充分注意。

（5）把三角函数式化成积的形式，有时需要把某些数当成三角函

（6）将asinα+bcosα型的三角函数式化成积的形式，即asinα+

它为研究函数y=asinx+bcosx的性质提供了一条途径。辅助角φ终边所在

（7）所谓三角函数的和差化积是指：把“多项式”化为“单项式”而不影响原式的值的变形。因此四个和差化积

公式的运用可 分为以下几种类型：

①直接运用公式；

②经过简单变形后就可运用公式；

③设置辅助角，对形如asinx+bcosx 型的三角函数式进行和差化积； ④“三项式”的和差化积问题，如把1+sinθ+cosθ化成积的形式。 6.5、两角和与差的三角函数

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) =tanAtanB -1tanB

tanA +

tan(A-B) =tanAtanB 1tanB

tanA +-

cot(A+B) =cotA cotB 1

-cotAcotB +

cot(A-B) =cotA

cotB 1

cotAcotB -+

7、二倍角的正弦、余弦、正切

sin2α=2sinαcosα

1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2 cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα-cos2αsinα=3sinα-4sin 3α cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=4cos 3α-3cosα

8、半角的正弦、余弦、正切

-2α的半角等．

三角函数．

备用知识

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h

正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2

圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r

锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长

柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h