谈谈点关于直线对称问题求法

谈谈点关于直线对称问题求法

在高中数学中对称问题随处可见,有点与点对称、点与直线的对称、直线与直线的对称、图形与图形的对称，其中点关于直线的对称最为常见，适时推导掌握一些公式,可以加快运算速度，降低失误率。

在直角坐标系中，当直线斜率不存在时，（如图1）点P(x 0,y 0)关于直线x=a 的对称点P 1坐标为（x 1,y 1），则由中点坐标公式可得a=（x 0+x 1） /2,y 0=y 1即：x 1=2a-x 0,y 1=y 0所以得P 1坐标为（2a-x 0,y 0）；当直线斜率为0时，（如图2）点P(x 0,y 0)关于直线y=b 的对称点P 1坐标为（x 2,y 2）则由中点坐标公式可得b=（y 0+y 2） /2,x 0=x 2即：y 2=2b-y 0,x 2=x 0所以得P 1坐标为 (x 0,2b —y 0)。

图1 图2 图3

下面介绍一般情况下，求点P(x 0,y 0)关于直线l ：y=kx+b （k ≠0）的对称点P 1的坐标（如图3），设P 1点坐标为（x ，y ），则由直线PP 1与l 垂直及线段PP 1的中点在l 上，可得： {)2(22)1(10000b x x k y y k x

x y y ++?=+-=?--

解这个关于x 、y 的二元一次方程组，得：

{)4(12)1(2)3(12)1(22

0202

020k b y k kx y k bk x k ky x ++--=+---= 可以验证：该公式在k=0时仍然成立。一般情况下运用该公式较繁，也没有必要记住这个公式，但当直线的斜率为+1或者-1时，该公式变的简单明了，而且应用起来非常方便。 当k=l 时，将k 值代入（3）（4）得：x=y 0-b, y=x 0+b.

当k=-l 时，将k 值代入（3）（4）得：x=-y 0+b. y=-x 0+b.

可见：在直线的斜率为+1或者-1时，只需将原来点的纵坐标代入直线方程中求得的x 的值的为对称点的横坐标，将原来点的横坐标代入直线方程中求得的y 值即为对称点的纵坐标。

例1: 求点（3，5）关于直线y=x+3的对称点坐标。

解：在直线方程y=x+3,将x 代为3，得： y=6即为对称点纵坐标，将y=5代入直线方程求,得:x=2即为对称点横坐标。

所以：点（3，5）关于直线y=x+3的对称点坐标为（2，6）。

例2：求点（a.b ）关于直线y=-x+1的对称点

解：在直线方程y=-x+1中，x 代为a ，得：y=-a+1即为对称点的纵坐标，将y 代为

b,得：x=-b+1,即为对称点的横坐标。

即：点（a,b ）关于直线y=-x+1的对称点坐标为（-b+1，-a+1）。

在直线斜率为1或者-1时，应用上述公式可以快速准确的计算出已知点关于直线对称点的坐标，在平时学习中应不断总结，并指导学生撰写此类小论文，可达到举一反三，事半功倍之效。

直线中对称问题

直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。

1、点关于点的对称

例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。

分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。

解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （00y ,x ），则由中点坐标公式得???????=+=+-,12

y 3,12x 200解得???-==1y ,4x 00所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。

评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。

2、直线关于点的对称

例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程。

分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为0b y x 3=+-。

解：由直线l 与04y x 3=--平行，故设直线l 方程为0b y x 3=+-。

由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得.1

3|b 16|13|

416|22+++=+-+ 解得10b -=，或4b -=（舍）。则直线l 的方程为.010y x 3=--

评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。此题还可在直线04y x 3=--上取两个特殊点，并分别求其关于点P （2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。

3、点关于直线的对称

例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。

利用点关于直线对称的性质求解。

解法1（利用中点转移法）：设点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点为A ′（00y ,x ），则直线AA ′与已知直线垂直，故可设直线AA ′方程为0c y 2x 4=++，把A （2，2）坐标代入，可求得12c -=。

∴直线AA ′方程为06y x 2=-+。

由方程组???=-+=+-0

6y x 2,09y 4x 2解得AA ′中点M ??? ??3,23。 由中点坐标公式得32

2y ,2322x 00=+=+，解得.4y ,1x 00== ∴所求的对称点坐标为（1，4）。

评注：解题时，有时可先通过求中间量，再利用中间量求解结果。

分析：设B （a ，b ）是A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点，则直线AB 与l 垂直，线段AB 中点在直线09y 4x 2=+-上。

解法2（相关点法）：设B （a ，b ）是A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点，根据直线AB 与l 垂直，线段AB 中点在直线09y 4x 2=+-上， 则有???

????=++?-+?-=--?,0922b 422a 2,12a 2b 21解得.4b ,1a ==∴所求对称点的坐标为（1，4）。 评注：①中点在09y 4x 2=+-上；②所求点与已知点的连线与09y 4x 2=+-垂直。

4、直线关于直线的对称

例4 求直线02y x :l 1=--关于直线03y x 3:l 2=+-对称的直线l 的方程。

分析：设所求直线l 上任一点为P （y ,x ''），利用“相关点法”求其对称点坐标，并将其对称点坐标代入直线1l 方程进行求解。

解：设所求直线l 上任意一点P （y ,x ''）（2l P ?）关于2l 的对称点为Q （11y ,x ），

则???????-=-'-'=+'+-'+?,1x x y y ,032y y 2x x 31

111解得???????+'+'=-'+'-=.53y 4x 3y ,59y 3x 4x 11 又因为点Q 在1l 上运动，则=--2y x 110。

025

3y 4x 359y 3x 4=-+'+'--'+'-，解得022y x 7=+'+'。即直线l 的方程为022y x 7=++。

评注：直线关于直线对称实质是点关于线的对称。此题还可在直线1l 上任取一点（非两直线交点）并求其关于直线2l 的对称点，则该对称点与两直线交点的连线便是所求对称直线。

[例1] 求点A （4,1-）关于直线l ：02

732=-+y x 的对称点。 解：设点A （4,1-）关于l 的对称点B （y x ,）

∴ ???????-=-?+-=-+?++-?1)32(1

4027243212x y y x ∴ B （1,3-）

[例2] 1l ：0223=+-y x ，l ：02=-y x ，求1l 关于l 的对称直线2l 。

解：?

??==????=-=+-42020223y x y x y x A （0，1）在直线1l 上，关于l 对称点B （y x ,） ∴ B （5

3,54） 由两点式 ∴ 2l ：010617=--y x 例4 求直线l 1:y =2x +3关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程.

解 方法一 由???+=+=1

32x y x y 知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1），

∴设直线l 2的方程为y +1=k (x +2), 即kx -y +2k -1=0.

在直线l 上任取一点（1，2）， 由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等，

由点到直线的距离公式得2211

22k k k +-+-=22)1(2322-++-，解得k =2

1(k =2舍去)， ∴直线l 2的方程为x -2y =0.

方法二 设所求直线上一点P （x ,y ）,则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称.由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点

P 2???? ??++2,200y y x x 在直线l 上.∴???????++=+-=?--122

110000x x y y x x y y ，变形得???+=-=1100x y y x , 代入直线l 1:y =2x +3，得x +1=2×(y -1)+3,整理得x -2y =0.所以所求直线方程为x -2y =0.