专题2.22 求导函数及函数在某一点处导数(解析版)

求函数的导函数或某一点处的导数 秒杀题型一：求导函数

秒杀方法：基本初等函数的导数公式:

①若()(f x c =c 为常数),则'()0f x =; ②若()(),f x x Q αα*=∈则'1()f x x αα-=; ③若()sin ,f x x =则'()cos f x x =； ④若()cos ,f x x =则'()sin ;f x x =- ⑤若()x f x a =,则'()ln x f x a a =; ⑥若()x f x e =,则'()x f x e =; ⑦若()log ,a f x x =则'

1()ln f x x a

=; ⑧若()ln ,f x x =则'

1()f x x =。

导数运算法则:

①[]'

'

'

()()()()f x g x f x g x ±=±;

②[])()()()()()('

''

x g x f x g x f x g x f ?+?=?;

③[]

'

''2

()()()()()

()()f x f x g x f x g x g x g x ??-=????。 复合函数的导数:

由()y f u =和()u g x =复合而成的函数:(())y f g x =,其导数为:'''

x u x y y u =?。

快速求导法则：

[]

[]

)()()(''x f x f e x f e x x

+=； []

[]

)()()(''x f x f e x f e

x x

-=--。

1.(母题)求多项式函数1

011()...n n n n f x a x a x a x a --=++++的导数.

【解析】：()12

110'1)(---+???+-+=n n n a x a n x na x f 。

2.(母题)求tan y x =的导数. 【解析】：=

'

y 21

cos x

。 3.(母题)求tan x

y e x =的导数。

【解析】：'2

1

(tan )cos x

y e x x

=+

。 4.（母题）求sin ln 2x

y x x e x =+-的导数。 【解析】：'1

sin cos (ln )x

y x x x e x x

=+++。

5.（母题）设3

(),()f x x f a bx =-的导数等于 ( )

A.3()a bx -

B.2

23()b a bx -- C.2

3()b a bx - D .2

3()b a bx -- 【解析】：选D 。

6.（母题）求下列函数的导数:(1)sin(3)6

y x π

=-;

(2)2x

y xe =; (3)2ln(15)x y x =+-; (4)cos3x y e

x -=

【解析】：（1)='

y 3cos(3)6

x π

-;

(2)='

y 2(12)x

e x +;

(3)='y 5

2ln 251

x

x +

-; (4)='

y cos33sin3x x

e x e x ----。

7.(母题)求下列函数的导数:(1)43

sin 3cos 4y x x =; (2)2

2

2()x x y e e

-=+.

【解析】：（1)='

y 32

12sin 3cos 4cos7x x x ;

(2)='

y 2

2

x

x e e

-

-。

8.(母题)求下列函数的导数:(1)2

(ln sin )y x x x =+; (2)2

cos x x

y x -=

. 【解析】：（1)='

y 2

2ln 2sin cos x x x x x x x +++;

(2)='

y 3

sin 2cos x x x x

x +--

。

9.(高考题改编)设0()sin f x x =,1()f x ＝'

0()f x ,'21()()f x f x =…,'1()()n n f x f x +=n N ∈,则)(2020x f =

( )

A.sin x

B.sin x -

C.cos x

D.cos x -

【解析】：1234()cos ,()sin ,()cos ,()sin f x x f x x f x x f x x ==-=-=0()f x =，()n f x 是以4为周期的函数，即x x f x f sin )()(02020==，选A 。

秒杀结论:偶函数的导数是奇函数;奇函数的导数是偶函数。

10.(高考题)观察2'()2x x =,4'3()4x x =,'(cos )sin x x =-,由归纳推理可得:若定义在R 上的函数()f x 满 足()()f x f x -=,记()g x 为()f x 的导函数,则()g x -= ( ) A.()f x B.()f x - C.()g x D.()g x - 【解析】：)(x f Θ是偶函数，)(x g ∴是奇函数，有)()(x g x g -=-，选D 。 11.(高考题)若42()f x ax bx c =++,满足2)1('=f ,则)1('

-f = ( ) A.4-

B.2-

C.2

D.4

【解析】：)(x f Θ是偶函数，)('

x f ∴是奇函数，有)()('

'

x f x f -=-，2)1()1('

'

-=-=-∴f f ，选B 。 秒杀题型二：求函数在某一点处的导数 秒杀方法：求出导函数，代入自变量即可。

1.(高考题)等比数列{}n a 中,12a =,8a =4,函数()128()()()f x x x a x a x a =---L ,则()'

0f = ( )

A.62

B.92

C.12

2 D.15

2

【解析】:()f x 展开后是关于x 的多项式，最高次为9次，最低次为0次，求导后最高次为8次，最低次为0次，代入0后只剩常数，而这个常数正是原函数一次项的系数，从原函数中分配系数可知一次项系数为

128.a a a ???=122，选C 。

2.(2008年新课标全国卷)设()ln f x x x =,若2)(0'

=x f ,则0x = ( ) A.2

e

B.e

C.

ln 2

2

D.ln 2

【解析】:1ln )('

+=x x f ，得1ln 0=x ，e x =0，选B 。

3.(高考题)设函数32sin ()tan ,32f x x x θθθ=++其中50,12πθ??

∈????

,则导数)1('f 的取值范围是 ( )

A.[]2,2-

B.

C.??

D.??

【解析】:x x x f ?+?=θθcos 3sin )(2'，???

?

?+

=+=∴3sin 2cos 3sin )1('

πθθθf ，??

?

???∈+4333πππθ，，

[

]

2,2)1('∈

∴f ，选D 。

4.(高考题)已知函数x x f x f sin cos )4()('

+=π,则()4

f π

的值为 .

【解析】:''

()()sin cos 4

f x f x x π

=-+，代入=

x 4π，得'()4

f π

=12-，(

)12

2

221

2)4(=+-=

πf 。 5.(高考题)设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且()x x

f e x e =+,则)1('

f = . 【解析】:法一：由换元法求解析式得：x x x f +=ln )(，11

)('

+=

x

x f ，2)1('=f 。 法二：令x

e x x g +=)(，x

e x g +=1)('

，)1()0('

'

f g =2=。