用导数研究三次函数

用导数研究三次函数

一、知识点解析

1、定义：

定义1、形如32

(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”。

定义2、三次函数的导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ，我们把)3412422ac b ac b -=-=?（,叫做三次函数导函数的判别式。

2、三次函数图象与性质的探究：

1、单调性

一般地，当032

≤-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032>-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。 2、对称中心

三次函数)0()(2

3≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(a

b f a b --，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。

3、三次方程根的问题

（1）当032≤-=?ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。

（2）当△=032>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，

可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。

此时：

①若0)()(21>?x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

②若0)()(21

③若0)()(21=?x f x f ，即)(1x f 与)(2x f 中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。

4、极值点问题

若函数f(x)在点x 0的附近恒有f(x 0)≥f(x) (或f(x 0)≤f(x))，则称函数f(x)

在点x 0处取得极大值（或极小值），称点x 0为极大值点（或极小值点）。

当0?>时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点要么有两个。

当0?≤时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点。

5、最值问题。

函数

若，且，则：()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =；

。

6、过三次函数上一点的切线问题

设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。

7、过三次函数外一点的切线问题

设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外，则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切。可能有一条、两条或三条。（具体情况分析不作要求）

8、32

()0f x ax bx cx d a =+++>（）类似于二次函数的图像和性质表：

0)()(21

0)()(21=?x f x f 0)()(21>?x f x f