河南工业大学理学院谢萍丽老师点集拓扑学试题(含答案)

点集拓扑学练习题

一、单项选择题

1、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ② ）是X 上的拓扑.

① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T

③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T

2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.

① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T

③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：②

3、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.

① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T

③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：③

4、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

5、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

6、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）

① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③

7、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数（ ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

8、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）

① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④

9、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）

① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④

10、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）

① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃

③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③

11、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）

① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-

③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①

12、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）

① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-

③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④

13、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① ()d A φ= ② ()d A X A =-

③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案：①

14、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（ ） ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-

③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④

15、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =

③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①

16、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ） ① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}

③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①

17、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）

是T 的基.

① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈

③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案：③

18、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.

① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}

③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案：②

19、离散空间的任一子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③

20、平庸空间的任一非空真子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④

21、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,4

1,……},则A ＝（ ） ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③

22、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④

23、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）

① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④

24、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个

① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④

25、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )

①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈

③当T T '⊂时,

T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案：③

26、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑

为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=

③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案：③

27、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为

( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=

③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：①

28、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=

③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案：④

29、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）

① 不连通子集 ② 连通子集

③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①

30、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )

①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集

答案：②

二、填空题

1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=

2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ=

3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质

4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________. 答案： R

5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案： ({})U A x φ⋂-≠

6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X

7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X

8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X

9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X

10、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=

11、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=

12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2T X φ=,

则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{3}

13、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入

14、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射

15、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 答案：开映射

16、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y

中的一个闭集，则称映射f 是一个 答案：闭映射

17、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间

18、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ; 答案：连通子集

19、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；答案：不连通空间.

三．判断

1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√

理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有

1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.

2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂； （２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２；

（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；

综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑．

3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√

理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.

4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√

理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，

所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.

5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：×

理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.

6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.

四． 名词解释

1．同胚映射 答案：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.

2、集合A 的聚点 答案：设A 是拓扑空间X 的一个子集，如果x X ∈的每一个邻域U 中都有A 中异于x 的点，即({})U A x -≠Φ，则称点x 是集合A 的一个凝聚点。

3、集合A 的内部 答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.

4．拓扑空间(,)T X 的基 答案：设(,)T X 是一个拓扑空间，B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B 中的某些元素的并，则称B 是拓扑T 的一个基.

5．闭包 答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.集合A 与集合A 的导集()d A 的并()A d A ⋃称为集合A 的闭包.

6. 拓扑性质 在同胚变换下保持不变的性质称为同胚性质.

7、导集 答案：设X 是一个拓扑空间，集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.

8、不连通空间 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得

A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间.

11、1 A 空间 答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间

是一个满足第一可数性公理的空间，简称为1 A 空间.

12、2 A 空间 答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数

性公理的空间，简称为2 A 空间.

13、可分空间 答案：如果拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个可分空间.

14、Lindeloff 空间： 答案：设X 是一个拓扑空间．如果 X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X 是一个Lindel öff 空间．

15．0T 空间 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是0T 空间.

15、1T 空间 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中每一个点都有一

个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是1T 空间.

16、2T 空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X 是2T 空间.

17、正则空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正则空间.

18、正规空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正规空间.

五．简答题

1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.

答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂，从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ⊂.

2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.

答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集，所以:g f X Z →是连续映射.

3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集. 答案：对于x A '∀∈,则x A ∉，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=，即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.

4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集. 答案：设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =，这说明A 是一个闭集.

5、在实数空间R 中给定如下等价关系：

~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x

设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .

答案：]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T

6、在实数空间R 中给定如下等价关系:

~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x

设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=

六、证明题

1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. 证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ 于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：

111111111(()())(()())

(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ

---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=

所以11(),()

f A f B --是X 的非空隔离子集 此外，1111()()()(())f A f B f A B f f X X

----⋃=⋃==，这说明X 不连通，矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集.

2．设 1 2,T T 是拓扑空间X 上的两个拓扑，证明：12T T 也是X 上的拓扑，并举例说明12T T 不是X 的拓扑。

证明：1）.(1) 1 2,T T 是X 的拓扑，故1,X T φ∈，2,X T φ∈，从而12,X T T φ∈；

(2) 对任意的∈B A ,12T T ，则有∈B A ,1T 且∈B A ,2T ，由于12,T T 是X 的拓扑，故1A B T ∈，且2A B T ∈，从而12A B T T ∈；

(3) 对任意的12T T T '⊂，则12,T T T T ''⊂⊂，由于12,T T 是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈1T , U ∈T ’U ∈1T ,故 U ∈T ’U ∈ 12T T ；

综上有12T T 也是X 的拓扑．

2）. 设1{,,},{{},{,},{,,},}X a b c T a b c a b c ==Φ，2{{},{,},{,,},}T b a c a b c =Φ，易见，12,T T 都是X 的拓扑，但是12{{},{},{,},{,},{,,},}T T a b a c b c a b c =Φ，而12{},{}a b T T ∈，12{,}{}{}a b a b T T =∉，因此，12T T 不是X 的拓扑。

3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.

证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集. 又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂=

由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂

4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集. 证明：若Z 是X 的一个不连通子集，则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =⋃.因此Y A B ⊂⋃

由于Y 是连通的，所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂，由于Z Y A ⊂⊂，所以Z B A B φ⋂⊂⋂=，因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂，则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集.