2019-2020学年北京四中八年级下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年北京四中八年级第二学期期中数学试卷
一、选择题
1．函数中，自变量x的取值范围是（）
A．x≠3B．x≥3C．x＞3D．x≤3
2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）
A．1，，2B．1，1，2C．2，3，4D．4，5，6
3．下列各式中与是同类二次根式的是（）
A．B．C．D．
4．如图，将?ABCD的一边BC延长至点E，若∠1＝55°，则∠A＝（）
A．35°B．55°C．125°D．145°
5．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行且另一组对边相等
C．两组邻边相等
D．对角线互相垂直
6．在下列图形性质中，平行四边形不一定具备的是（）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线相等D．对角线互相平分
7．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中四边形的三个角都为直角
8．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（）A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，
则点N的坐标为（）
A．（1，2）B．（4，2）C．（2，4）D．（2，1）
10．如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）
A．8B．6C．4D．10
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分．）
11．如图，在?ABCD中，BC＝9，AB＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BOC＝120°，AB＝3，则BC的长为．
13．估计与0.5的大小关系是：0.5．（填“＞”、“＝”、“＜”）14．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，AE＝CF，∠EFB＝45°，若AB＝5，BC＝13，则AE的长为．
15．如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是．
16．如图，点E为矩形ABCD的边BC长上的一点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论：①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正确的结论是．
17．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若AE＝6，正方形ODCE的边长为2，则BD等于．
18．已知：线段AB，BC．
求作：平行四边形ABCD．
以下是甲、乙两同学的作业．
甲：
①以点C为圆心，AB长为半径作弧；
②以点A为圆心，BC长为半径作弧；
③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD．
四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图1）
乙：
①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD．
四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图2）
老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢的作法，他的作图依据是：．三、解答题（共46分，第19题3分，第20题至第22题各6分，第23题至第24题各5分，第25题7分，第26题8分）
19．计算：+÷
20．在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，1），若以A、
B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（在平面直角坐标系中画出平
行四边形并标上点D的坐标．）
21．如图，E、F是?ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．
求证：EB＝DF（写出主要的证明依据）．
22．已知，如图，等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm，求AB的长．
23．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交AP的
延长线于点B；
②以点B为圆心，BA长为半径画弧，交l于点C（不与点A重合），连接BC；
③以点B为圆心，BP长为半径画孤，交BC于点Q；
④作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵PB＝PA，BC＝，BQ＝PB，
∴PB＝PA＝BQ＝．
∴PQ∥l（）（填推理的依据）．
24．下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形的尺规作图过程：已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，
求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形．
作法：①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO＝BO
②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形
根据小丁设计的尺规作图过程
（1）使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵点O为AC的中点，
∴AO＝CO
又∵DO＝BO，
∴四边形ABCD为平行四边形（）
∵∠ABC＝90°，
∴?ABCD为矩形（）
25．常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a，b与斜边长c之间满足等式：a2+b2＝c2”的一个最简单特例．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数组，记为（a，b，c）．
（1）请在下面的勾股数组表中写出m、n、p合适的数值：
a b c a b c
345435
512m6810
72425p1517
9n41102426
116061123537
………………
平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点（格点）．过x轴上的整点作y 轴的平行线，过y轴上的整点作x轴的平行线，组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格），这些平行线叫做格边，当一条线段AB的两端点是格边上的点时，称为AB在
格边上．顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形．在正方形网格中，我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题，其中利用割补法、作图法求面积非常有趣．（2）已知△ABC三边长度为4、13、15，请在下面的网格中画出格点△ABC并计算其面积．
26．如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上的任意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延长与边AD交于点F，点M为边CD上的一点，且CM＝DE，连接FM．（1）依题意补全图形；
（2）求证∠DMF＝∠ABF．
三、B卷
27．（1）小My同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a的等边三角形面积是（用含a的代数式表示）；
（2）小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？
①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方
是；
②小My同学按下图切割方法将正方形ABCD剪拼成一个等边三角形EFG：M、N分别
为AB、CD边上的中点，P、Q是边BC、AD上两点，G为MQ上一点，且∠MGP＝∠PGN＝∠NGQ＝60°．
请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号；
③正方形ABCD的边长为2，设BP＝x，则x2＝．
28．如图，双边直尺有两条平行的边，但是没有刻度，可以用来画等距平行线：
我们也可用工具自制（如图）：
下面是小My同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的双边直尺作图过程．
（1）根据小My同学的作图过程，请证明O为PH中点．
（2）根据小My同学的作图过程，请证明PQ∥l．
参考答案
一、单项选择题（每小题只有一个选项符合题意．共10小题，每小题3分，共30分．）1．函数中，自变量x的取值范围是（）
A．x≠3B．x≥3C．x＞3D．x≤3
【分析】根据二次根式有意义的条件，即根号下大于等于0，求出即可．
解：∵有意义的条件是：x﹣3≥0．
∴x≥3．
故选：B．
2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）
A．1，，2B．1，1，2C．2，3，4D．4，5，6
【分析】根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系定理逐个判断即可．
解：A、∵12+（）2＝22，
∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、1+1＝2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，
故本选项不符合题意；
C、∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．下列各式中与是同类二次根式的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据同类二次根式的定义逐个判断即可．
解：A、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、＝3，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、＝2，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、＝3，与是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
4．如图，将?ABCD的一边BC延长至点E，若∠1＝55°，则∠A＝（）
A．35°B．55°C．125°D．145°
【分析】根据平行四边形的对角相等得出∠A＝∠BCD，再根据平角等于180°列式求出∠BCD＝125°，即可得解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝∠BCD，
∵∠1＝55°，
∴∠BCD＝180°﹣∠1＝125°，
∴∠A＝∠BCD＝125°．
故选：C．
5．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行且另一组对边相等
C．两组邻边相等
D．对角线互相垂直
【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．
解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故本选项
不符合题意；
C、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：A．
6．在下列图形性质中，平行四边形不一定具备的是（）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线相等D．对角线互相平分
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，对角线互相平分，可得A、B、D正确．C错误即可．
解：∵平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，
∴选项A、B、D正确．C错误．
故选：C．
7．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中四边形的三个角都为直角
【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选：D．
8．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（）A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3
【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可．
解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，
∴x+3＝2x，
解得：x＝3，
故选：D．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标为（）
A．（1，2）B．（4，2）C．（2，4）D．（2，1）
【分析】根据三角形的中位线定理和坐标解答即可．
解：过N作NE⊥y轴，NF⊥x轴，
∵点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，
∴NE＝2，NF＝1，
∴点N的坐标为（2，1），
故选：D．
10．如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）
A．8B．6C．4D．10
【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，根据中点的定义可得BD＝6，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD＝6，
在Rt△NBD中，x2+62＝（18﹣x）2，
解得x＝8．
即BN＝8．
故选：A．
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分．）
11．如图，在?ABCD中，BC＝9，AB＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为4．
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE＝∠AEB，继而可得AB＝AE，然后根据已知可求得DE的长度．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵BC＝9，CD＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝9﹣5＝4．
故答案为：4．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BOC＝120°，AB＝3，则BC的长为3．
【分析】根据矩形的性质求出AC＝2AO，AO＝BO，根据等边三角形的判定得出△AOB 是等边三角形，求出AB＝AO＝3，求出AC，再根据勾股定理求出BC即可．
解：∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，
∴AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO，
∵AB＝3，
∴AC＝2AO＝6，
由勾股定理得：BC＝＝＝3，
故答案为：3．
13．估计与0.5的大小关系是：＞0.5．（填“＞”、“＝”、“＜”）【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．解：∵﹣0.5＝﹣＝，
∵﹣2＞0，
∴＞0，
∴＞0.5．
故答案为：＞．
14．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，AE＝CF，∠EFB＝45°，若AB＝5，BC＝13，则AE的长为4．
【分析】过E作EM⊥BC于M，根据矩形的性质得出∠A＝∠B＝90°，求出四边形ABME 是矩形，根据矩形的性质得出EM＝AB＝5，AE＝BM，求出EM＝FM＝5，根据BC＝13和AE＝CF＝BM求出即可．
解：如图，
过E作EM⊥BC于M，
则∠EMF＝∠EMB＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴EM＝AB＝5，AE＝BM，
∵∠EFB＝45°，∠EMF＝90°，
∴∠MEF＝45°＝∠EFB，
∴EM＝FM＝5，
∵BC＝13，AE＝CF＝BM，
∴2AE+5＝13，
解得：AE＝4，
故答案为：4．
15．如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是（答案不唯一）．【分析】直接化简二次根式，进而得出符合题意的值．
解：∵＝2，
∴无理数a与的积是一个有理数，a的值可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
16．如图，点E为矩形ABCD的边BC长上的一点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论：①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正确的结论是①②④．
【分析】证明Rt△DEF≌Rt△DEC得出①正确；在证明△ABE≌△DFA得出S△ABE＝S
；②正确；得出BE＝AF，④正确，③不正确；即可得出结论．△ADF
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD，
∵DF＝AB，
∴DF＝CD，
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝∠DFE＝90°，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），①正确；
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
在△ABE和△DFA中，，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴S△ABE＝S△ADF；②正确；
∴BE＝AF，④正确，③不正确；
故答案为：①②④．
17．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若AE＝6，正方形ODCE的边长为2，则BD等于4．
【分析】设BD＝x，正方形ODCE的边长为2，则CD＝CE＝2，根据全等三角形的性质得到AF＝AE，BF＝BD，根据勾股定理即可得到结论．
解：设正方形ODCE的边长为2，
则CD＝CE＝2，
设BD＝x，
∵△AFO≌△AEO，△BDO≌△BFO，
∴AF＝AE，BF＝BD，
∴AB＝x+6，AC＝6+2＝8，BC＝x+2，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（x+2）2+82＝（x+6）2，
∴x＝4，
故答案为：4．
18．已知：线段AB，BC．
求作：平行四边形ABCD．
以下是甲、乙两同学的作业．
甲：
①以点C为圆心，AB长为半径作弧；
②以点A为圆心，BC长为半径作弧；
③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD．
四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图1）
乙：
①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD．
四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图2）
老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢甲或乙的作法，他的作图依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形或对角线互相平分的四边形是平行四边形．【分析】根据平行四边形的判定方法即可解决问题．
解：①甲，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
②乙，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：甲或乙，两组对边分别相等的四边形是平行四边形或对角线互相平分的四边形是平行四边形．
三、解答题（共46分，第19题3分，第20题至第22题各6分，第23题至第24题各5分，第25题7分，第26题8分）
19．计算：+÷
【分析】先化简二次根式，计算二次根式的除法，再合并同类二次根式即可得．
解：原式＝3+＝4．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，1），若以A、
B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（在平面直角坐标系中画出平
行四边形并标上点D的坐标．）
【分析】根据平行四边形的判定即可得点D的坐标．
解：如图，
∵A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，1），
以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴点D的坐标为：（﹣5，﹣1）或（﹣1，5）或（3，﹣3）．
21．如图，E、F是?ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．
求证：EB＝DF（写出主要的证明依据）．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，可得AB ∥CD，AB＝CD，根据两直线平行，内错角相等，可得∠FCD＝∠EAB，由已知AE＝CF，可证得△FCD≌△EAB（SAS），所以EB＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD（平行四边形的对边平行且相等），
∴∠FCD＝∠EAB（两直线平行，内错角相等），
∵AE＝CF，
∴△FCD≌△EAB（SAS），
∴EB＝DF．
22．已知，如图，等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm，求AB的长．