3-4__球面折射成像

§3-4 球面折射成像 两种媒质的分界面是球面的折射。 一、理想成像的物像公式 1、成像光路图 P
球面
P.1
P.2
A
P
O
P’ C
O
P’ C
光束关于主轴对称，所以只需讨论过主轴的平 面内的成像特性。 考察由光源P发出的两条光线： (1) 沿主轴方向不发生偏折的光线POP’； (2) 入射到球面上A点，折射后交光轴于P’点的光线 PAP’。
next next
O为球面的中心，也称为球面的顶点， C为球面的球心，也称为球面的曲率中心， 过O点和C点的线称为主轴(或光轴)。 物点P发出的光束经球面折射后会聚于像点P’ 。
2、符号法则 (1) 轴上点
P O C P’
P.3
(2)垂轴线段 垂轴线段的高度也用代数量表示。 轴上为正，轴下为负。 正
P
P.4
建立坐标系，用代数量描述轴上点的位置。 坐标轴：方向沿光轴，正向与入射光线方向一致， 原点为球面顶点O。 物点：坐标用s 表示，称为物距。 一般情况下，实物s为负，虚物s为正。 像点：坐标用s'表示，称为像距。 一般情况下，实像s'为正，虚像s'为负。 球心：坐标用r表示，称为球面半径。
next
负 ？
O C
正 ？
P’
负 (3)光线与光轴的夹角： 光线与光轴的夹角仍用代数量描述。 从光轴开始转向角的另一边，顺时针为正，逆 时针为负。
next
P.5 在光路图中，通常标出的都是几何量(正值)。 如图：物距为负值，标为 –s； 像距为正，标为s'； 球面半径为正，标为r； PA与光轴的夹角为负，标为-u； P’A与光轴的夹角为正，标为u'。 过A点的球面法线是CA，入射角为-i，折射角为-i' 。
3、物象关系的推导 目的：找到s'与s, r, n, n'的关系。 方法：在A点处用折射定律 : n sin(-i)=n'sin(-i')， 从几何上找到 sin(-i)、sin(-i') 与 s, r, s' 的关系，得物 像关系式。 -i
A
P.6
-i P -u
A
-i' u' O C -s r s'
next
-i' u' O C P’
P’
P
-u
-s
r s'
next
1

P.7
P.8
sin[ π -(-i)] sin( ? u ) => sin( ? i) = ? s + r sin( ? u) = 在△PAC中： r PC AC
sin( ? i) =
?s + r s '? r sin( ? u) sin( ? i ') = sin(u ') n sin(-i)=n'sin(-i') r r
s'? r sin( ? i') sin(u') => sin( ? i') = sin(u') = 在△P'AC中： r CP' AC
A
s' = r +
n sin( ? u ) (r ? s ) n' sin( u' )
s' 不仅与s 、r、n、n' 有关，还与 u、u' 有关，说明？ -i
A
出射光不是 -i' u' 单心光束。 P’ C
-i P -u
-i' u' O C -s r s'
next
P’
P
-u O
-s
r s'
next
4、近轴近似 当-u和u'都很小时,光线称为近轴光线，此时可 以作近轴近似。 过A点做光轴的垂线AO'，长度为h ，则：
h sin( ? u ) ≈ tg ( ? u ) ≈ ?s h sin( u' ) ≈ tg ( u' ) ≈ s′
P.9
s' = r +
n sin( ? u ) (r ? s ) n' sin( u' )
P.10
h sin( ? u ) ≈ ?s
h sin( u' ) ≈ s′
∴
n' n n'? n ? = s' s r
-i P -u
A
s'与u 无关，所有出射光束交与一点，为理想成像。 -i' h u' C P’
n'? n r
称为光焦度，记为:Φ
O O' -s r
r 用“米”时，Φ的单位为屈光度，用字母D表示. 1D=100度 s'
next next
二、焦点和焦距
n' n n'? n ? = s' s r
P.11
n' n n'?n ? = s' s r
Φ=
像方焦点：轴上无穷远处的物点的像，用F'表示; 相应的像距为像方焦距，用f'表示。 物方焦点：像在轴上无穷远处时的物，用F表示; 相应的物距为物方焦距，用f表示。 令s=-∞，代入成像公式得： 令s'=∞ ，代入成像公式得：
f ' = s' = n' n' r= n'? n Φ
n n r=? Φ n'? n
n'? n r
f'=
n' Φ
f =?
n Φ
P.12
三、高斯公式和牛顿公式 1、高斯公式 成像公式两边同除以Φ得：
1 n' 1 n ? ? ? =1 s' Φ s Φ
f =s=?
n' f' =? f n
负号表明两焦点在球面两侧
next
即:
f' f + =1 s' s
高斯公式
next
2

2、牛顿公式
P.13
四、垂轴物成像和横向放大率 1、垂轴物的像
Q A
P.14
如果物距、像距分别从焦点F、F'起算，并用x、x' 表示，如图所示:
P F O C F' P'
P' P C A' Q'
-x
-f
f'
x'
假设：物点P 的像点为P'，过P点的垂轴物为PQ。 连接QC，以C为圆心，CP为半径画弧交QC于A， 以C为圆心，CP'为半径画弧交QC延长线于A'。 显然，A'应是A的像，且弧P'A'是弧PA的像。
next
next
由几何关系： ? s = (?x) + (?f ) 代入高斯公式：
s ' = x '+ f '
f′ f + =1 x′ + f ′ x + f
整理得： x ? x′ = f ? f ′
牛顿公式
P.15
P.16
Q A P' P C A' Q'
Q A
y
P C
P'
y'
A' Q'
如果PQ为垂轴小物(近轴物)，像也为垂轴小像， 则可以认为： PQ与弧PA重合, P'Q'与弧P'A'重合, P'Q'近似为垂轴小物PQ的像，其像距与P'的像距 相同。
next
2、横向放大率 对于垂轴物成像，像与物的大小的关系用横向放 大率来量度，设物高为 y=PQ，像高为 y'=P'Q' 。 横向放大率的定义:
β = y' y
为代数量
Q A
P.18
由β的值可以确定像的性质 β>0 时：y与y' 同号， 物、像站立方向相同，称为 β的符号与像的什么性质有关？ 正立像。 β<0 时：y与y' 异号，物、像站立方向相反，称为 倒立像。 β的绝对值的大小与像的什么性质有关？ |β|>1 时：像比物大，称为放大成像。 |β|<1 时：像比物小，称为缩小成像。
P C
P' A' Q'
横向放大率与物距、像距以及成像系统的参数有关， 由相似三角形 ?QPC∽?Q'P'C 对应边成比例：
P′Q′ CP′ = PQ PC
即：
? y′ s′ ? r = y ?s+r
∴β =
r ? s′ n s′ =? = r ? s n ′s
next
n′ n′ n n ? = ? s′ r s r r?s r ? s′ =n n′ sr s ′r r ? s′ n s′ = r?s n ′s
∴β =
ns′ fs′ =? n′s f ′s
next
3

五、平面折射
n' n n'? n P.19 ns′ ? = s' s r n′s 平面相当于曲率半径 r=∞ 的球面，代入物像公式有：
β=
六、例题
P.20
n' n ? =0 s' s
横向放大率： β = 1
=> s′ =
n′ s n
s与s'同号,说明 像与物同侧
例1：如图所示，已知前后球面的曲率半径均为2，求 人眼可以观察到的像的位置、性质。(单位为cm) n=1
O1
n=1.6
O2 12
像是正立的，且与物等大小。 像的性质？
Q' Q
n
n'
5
像
P'
物
next
P
next
n=1 O1 5
n=1.6 O2 12
第一次 所成像
P.21
n=1
n' n n'? n ? = s' s r
n=1.6
第二次 所成像
第一次 所成像
P.22
O1 5 12
O2
s1'=16(cm)
解：共两次折射成像 几次成像？ 第一次折射：s1=-5, r=2, n=1, n'=1.6 代入公式：
β=
ns′ n′s
第二次折射：物为第一次成像的像点，是一个虚物。
ss2=16-12=4, ,r=-2, n=1.6, n'=1 n=?, n'=? 2 =? , r=?
代入公式：
1 1.6 1 ? 1.6 ? = s'2 4 ?2
1? 6 1 1? 6 ? 1 ? = ? s1'=16(cm) ' s1 (?5) 2
? s2'=10/7 (cm)
像点在顶点O1右侧16cm处，如图所示 。 说明像点在哪？
β1 =
1 × 16 = ?2 1.6 × ( ?5)
倒立、放大像
next
说明像点在哪？ 像点在O2右侧 (10/7)cm 处，实像，如图所示 。 ns′ β= 10 n′s 1 .6 × 7 =4 β2 = 正立、缩小像 1× 4 7 next
n=1 O1 5
n=1.6
第二次 所成像
第一次 所成像
P.23
P.24
O2 12
例2：(P.223 11)有一折射率为1.5、半径为4cm的玻璃 球，物体在球外距球表面6cm处，求：
(1)物所成的像到球心之间的距离；
y' β1 = ? 2 = 1 y1
(2)求像的横向放大率。
4 y' ∴β 2 = = 2 7 y2
' 2
' y 2 = y1
n=1
两次成像的总放大率为： β =
4 8 ∴ β = ?2 × = ? 7 7
4cm n=1.5
y = β1β 2 y1
6cm
β<0 : 倒立像 |β|>1: 放大像，s2>0: 实像 描述一下像的性质？
next
next
4

n=1
4cm n=1.5
P.25
n=1
4cm n=1.5
P.26
6cm
6cm
s1'=-36(cm)
解：两次折射成像 第一次折射：
第二次折射：
s1=-6, r=4, n=1, n'=1.5
代入公式：
s2=-36-2×4=-44cm, r=-4cm, n=1.5, n'=1
代入公式：
1? 5
' s1
?
1 1? 5 ? 1 ? s1'=-36(cm) = (?6) 4
1 s'2
?
1.5 1 ? 1.5 = ?4 (?44)
? s2'=11(cm)
说明像点在左半球面顶点左侧36cm处。
next
说明像点在右半球面顶点右侧11cm处，为实像。 像点到球心的距离为 15cm ？ next
P.27
P.28
(2)
β = β1 ? β 2 =
' ' n1s1 n 2s'2 s1s'2 ? ' = ' n1s1 n 2s 2 s1s 2
小结：s、s'、r 均为代数量，按符号法则定正负。
=
?36 × 11 = ?1.5 ?6 × ( ?44)
n为入射光线所在介质折射率。 n'为折射光线所在介质折射率。
不论物在何处
倒立、放大的实像
next
next
P.29
例3 会聚于P点的光束，射入厚度为h 、折射率为1.5的玻 璃片，出射光束会聚于P'点，求线段 PP'的长度 。
n=1.5
n=1.5
P.30
n=1
O1 h O2 P P' P1
s′ =
O2 P P' P1
n=1
O1 h
n′ s n
第二次折射：s2=O2P1=s1'-h=1.5s1-h, n=1.5, n'=1
s'2 = n' s 2 1.5s1 ? h h = = s1 ? n 1.5 1.5
起算点为O2, 设像点为P' 起算点为？ 所以，P'点应该在P点右侧。
解：第一次折射： s1=O1P, n=1,n'=? =?, n=?, n'=1.5 n' s 1 s'1 = = 1 .5s 1 > s 1 起算点为？ 起算点为O1 n 像在P点右侧 P1点处
next
则O1P'为： s'2 +h = s1 +
h 3
PP ' = O1P '? O1P = s1 +
h h ? s1 = 3 3
若玻璃片的折 射率为1.6? next
5

七、作图法求像 有三根特殊的光线：
P.31
P.32
例：
①平行于光轴的入射光，折射光通过像方焦点。 ②过物方焦点的入射光，折射光与光轴平行。 ③通过曲率中心的入射光，方向不偏折。 ③' ②' ②
F
O
C
F'
①
F
③
O
C
F'
①'
next
next
八、角度放大率
P.33
P.34
-i P -u
A
-i' u' O O' C P’
作业： P.223 3，10， 14
-s r
u′ 角度放大率定义为： γ = u
s'
12*，13*
在近轴条件下： ? u ≈ tg ( ? u ) ≈
u ′ ≈ tg ( u ′ ) ≈ h s′
h ?s
∴γ ≈
s s′
next
END
6