2020年全国高考数学模拟真题含答案(理)

2020年全国高考数学模拟真题含答案

（理 科 ）

注意事项：

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．[2020·金山中学]复数()()32i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是（ ） A ．3-

B ．3

C ．3i

D ．3i -

2．[2020·上饶联考]已知命题2:03x p A x

x ?-?

=

，命题(){}

:lg 2,q B x y x a a ==-∈R ．若命题q 是p 的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ） A ．4a ≥

B ．4a ≤

C ．4a >

D ．4a <

3．[2020·聊城一模]已知双曲线()2

22:10x C y a a

-=>的焦距为25，则C 的渐近线方程为（ ）

A ．6

6

y x =±

B ．2y x =±

C ．y x =±

D ．1

2

y x =±

4．[2020·永州模拟]正方体被切去一个角后得到的几何体如图所示，其侧视图（由左往右看）是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5．[2020·泸县一中]设变量x ，y 满足约束条件1020240x y x y x y -+≥-≤+-≤??

???

，若目标函数z ax y =+取得最大值

时的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ） A ．1-

B ．2

C ．1-或2

D ．1或2-

6．[2020·郑州一中]高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去哪个工厂 可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（ ） A ．48种

B ．37种

C ．18种

D ．16种

7．[2020·兰州一中]一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是5

48

，则判断框中应填入的条件是（ ）

A ．5?i >

B ．5?i <

C ．4?i >

D ．4?i <

8．[2020·宣城调研]我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得（ ）白米 A ．96石

B ．78石

C ．60石

D ．42石

9．[2020·宝鸡模拟]定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有()()11f x f x +=-； ②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；

③对于任意的1x ，[]20,1x ∈，都有()()()()12120f x f x x x -->， 则32f ??

???、()2f 、()3f 从小到大的关系是（ ）

A ．()()3232f f f ??>> ???

B ．()()3322f f f ??>> ???

C ．()()3322f f f ??>> ???

D ．()()3322f f f ??>> ???

10．[2020·江淮十校]当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ） A ．π,6π4??????

B ．π,6π3??????

C ．π,4π3??????

D ．π,3π2??????

11．[2020·马鞍山质检]已知圆1C ，2C ，3C 是同心圆，半径依次为1，2，3，过圆1C 上点M 作1C 的切线交圆2C 于A ，B 两点，P 为圆3C 上任一点，则PA PB ?u u u r u u u r

的取值范围为（ ）

A ．[]8,4--

B ．[]0,12

C ．[]1,13

D ．[]4,16

12．[2020·雅安诊断]定义域为[],a b 的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，向量

()1ON OA OB λλ=+-u u u r u u u r u u u r

，(),M x y 是()f x 图像上任意一点，其中()1x a b λλ=+-，若不等式MN k

≤恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上满足“k 范围线性近似”，其中最小正实数k 称为该函数的线性近似阈值．若函数2

y x

=定义在[]1,2上，则该函数的线性近似阈值是（ ） A

．2B

．3-C

．3+D

．2

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．[2020·许昌质检

]10

的展开式中含2x 项的系数为________．

14．[2020·重庆调研]为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，()55,x y ，根据收集到的数据可知12345150x x x x x ++++=，由最小二乘法求得回归直线方程为0.6759? 4.y x =+，则12345y y y y y ++++=______．

15．[2020·雅安诊断]已知函数()()2cos πf n n n =，且()()1n a f n f n =++，则1220a a a +++=L __________．

16．[2020·三明质检]在平面直角坐标系xOy 中，点()1,0A ，动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切．过A 作直线()1250x m y m +-+-=的垂线，垂足为B ，则MA MB +的最小值为______．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）[2020·浦东期中]已知向量()2sin ,cos2x x ωω=m

，)

,1x ω=n ，其中0ω>，

若函数()f x =?m n 的最小正周期为π． （1）求ω的值；

（2）在ABC △中，若()2f B =-

，BC =

sin B A =，求BA BC ?u u u r u u u r

的值．

18．（12分）[2020·安徽联考]某超市开展年终大回馈，设计了两种答题游戏方案： 方案一：顾客先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题； 方案二：顾客全部选择单选题进行回答；

其中每道单选题答对得2分，每道多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错都得0分，每名参与的顾客至多答题3道．在答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，并获得超市回馈的 赠品．

为了调查顾客对方案的选择情况，研究人员调查了参与游戏的500名顾客，所得结果如下表所示：

（1）是否有95%的把握认为方案的选择与性别有关？

（2）小明回答每道单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75． ①若小明选择方案一，记小明的得分为X ，求X 的分布列及期望；

②如果你是小明，你觉得选择哪种方案更有可能获得赠品，请通过计算说明理由．

附：()

()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++，n a b c d =+++．

()

20P K k ≥

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

0k

2.072 2.706

3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

19．（12分）[2020·江淮十校]三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点，点E 在侧棱1CC 上，DE ∥平面11AB C ．

（1）证明：E 是1CC 的中点；

（2）设90BAC ∠=?，四边形11ABB A 为正方形，四边形11ACC A 为矩形，且异面直线DE 与11B C 所成的角为30?，求两面角111A AB C --的余弦值．

20．（12分）[2020·永州模拟]已知椭圆()22

22:10x y E a b a b

+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆

过点()0,2，点Q 为椭圆上一动点（异于左右顶点），且12QF F △的周长为442+ （1）求椭圆E 的方程；

（2）过点1F ，2F 分别作斜率为1k ，2k 的直线1l ，2l ，分别交椭圆E 于A ，B 和C ，D 四点， 且62AB CD +=12k k 的值．

21．（12分）[2020·安徽联考]已知函数()2ln f x x x x λ=+，λ∈R ． （1）若1λ=-，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；

（2）若关于x 的不等式()f x λ≤在[)1,+∞上恒成立，求实数λ的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

[2020·安徽联考]已知在极坐标系中，曲线1C

cos 4π0m θ?

?++= ??

?．以极点为原

点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，曲线2C

的参数方程为1x y α

α

=+=?????（α为参数）．

（1）求曲线1C 的直角坐标方程以及曲线2C 的极坐标方程；

（2）若曲线1C ，2C 交于M ，N 两点，且()0,A m ，2AM AN ?=，求m 的值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

[2020·延安模拟]已知函数()21f x x =-，x ∈R ． （1）解不等式()1f x x <+；

（2）若对x ，y ∈R ，有113x y --≤，1216y +≤，求证：()5

6

f x ≤．

绝密 ★ 启用前

数学答案 第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B

【解析】由题意，复数()()232i 3i 93i 6i 2i 113i z =+-=-+-=+，所以复数z 的虚部为3， 故选B ． 2．【答案】B

【解析】命题p 表示的集合A 为{}23x x <<；命题q 表示的集合B 为2a x x ?

?>

???

?

， 因为命题q 是p 的必要不充分条件，所以A 是B 的真子集，则22

a

≤，即4a ≤．故选B ． 3．【答案】D

【解析】双曲线()2

22:10x C y a a

-=>的焦距为25，

可得5c =，即215a +=，解得2a =，

可得双曲线的方程为2214x y -=，C 的渐近线方程为1

2

y x =±．故选D ．

4．【答案】A

【解析】从左往右看，是正方形从左上角有一条斜线，故选A ． 5．【答案】C 【解析】作可行域，

则直线z ax y =+为直线AB 或直线AC 时z 取最大值，此时2a =或1-，故选C ． 6．【答案】B

【解析】高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，共有34种方法， 若甲工厂没有班级去，则有33种方法，所以所求不同的分配方案有334337-=种方法，故选B ． 7．【答案】D

【解析】由程序框图知：

第一次循环：S 初始值为0，2i =，1T =，故11122S =

=?，不满足5

48

S =

； 第二次循环：3i =，2T =，故1

1

12234S +==?，不满足548S =； 第三次循环：4i =，3T =，故11

543448S +==

?，刚好满足548

S =； 此时，满足5

48

S =，必须退出循环，故4?i <，故选D ． 8．【答案】C

【解析】今有白米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列， 只知道甲比丙多分三十六石，∴3136

18312

a a d --===--， ()3132

3181802

S a ?=+

?-=，解得178a =（石）

． ∴21781860a a d +=-==石，∴乙应该分得60石，故选C ． 9．【答案】D

【解析】①对于任意的x ∈R ，都有()()11f x f x +=-，所以函数的周期为2T =； ②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称，所以函数()f x 关于直线1x =对称；

③对于任意的1x ，[]20,1x ∈，都有()()()()12120f x f x x x -->，所以函数在()0,1单调递增， 因为()()31f f =，1322f f ??

??=

? ???

??，()()20f f =，1102>>，所以()()3322f f f ??

>> ???

，故选D ．

10．【答案】C

【解析】设正方体棱长为1，DP x =，则[]0,1x ∈，连接1AD ，AP ， 由11AD BC ∥可知，1AD P ∠即为异面直线1D P 与1BC 所成角，

在1AD P △中，12AD =211AP D P x ==+，故122

2cos 1AD P x ∠=+， 又[]0,1x ∈Q ，122

122cos 221AD P x ?∴∠=?+??

，

又cos y x =在()0,π为单调减函数，1,ππ43AD P ??

∴∠∈????

，故选C ．

11．【答案】C

【解析】设同心圆的圆心为O ，由切线性质可知：OM AB ⊥，

又因为圆1C 上点M 作1C 的切线交圆2C 于A ，B 两点，所以2OA OB ==，1OM =， 在OAM Rt △中，1

sin 2

OM OAM OA ∠=

=， 根据2OA OB ==，6πOAM ∴∠=

，可知π6OAM OBM ∠=∠=，2π3

AOB ∴∠=， ()()

2PA PB PO OA PO OB PO PO OB OA PO OA OB =+?+??=+?+?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

()

2π

9cos 3

PO OB OA OA OB =+?++??u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

()

7OP OB OA =-?+u u u u u r u r u u u r

，

OM AB ⊥Q ，OA OB =，M ∴是AB 的中点，根据向量加法的几何意义得2OA OB OM +=u u u r u u u r u u u u r

，

代入上式得，

()

77272,cos PA PB OP OB OA OP OM OP OM OP OM =-?+=-?=-?????u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u u u r r u u u r u u u u r

7s ,6co OP OM =-??u u u r u u u u r

，

[],0,πOP OM ??∈u u u r u u u u r Q ，[]cos 1,1,OP OM ∴??∈-u u u r u u u u r ，[]1,13PA PB ∴?∈u u u r u u u r

，故本题选C ．

12．【答案】B

【解析】作出函数2

y x

=图像，

它的图象在[]1,2上的两端点分别为：()1,2A ，()2,1B ， 所以直线AB 的方程为30x y +-=，

设(),M x y 是曲线2

y x

=

上的一点，[]1,2x ∈，其中()112x λλ=?+-?， 由()1ON OA OB λλ=+-u u u r u u u r u u u r

，可知A ，B ，N 三点共线，

所以N 点的坐标满足直线AB 的方程30x y +-=，

又()1,2OA =u u u r ，()2,1OB =u u u r

，则()()()21,21ON λλλλ=+-+-u u u r ，

所以M ，N 两点的横坐标相等，故()2

3MN x x

=--， 函数2

y x

=

在[]1,2上满足“k 范围线性近似”， 所以[]1,2x ∈时，

()2

3x k x --≤恒成立，即()

max

23x k x --≤恒成立． 记()23y x x =--，整理得2

3y x x

=+-，[]1,2x ∈， 22

323223y x x x x

=

+-≥?=，当且仅当2x =时，等号成立． 当1x =时，max 2

1301

y =

+-=， 所以2230y ≤≤，所以

()max

2

3322x x --=-322k -≤， 所以该函数的线性近似阈值是322-B ．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】5

【解析】设二项展开式中第1r +项含2

x 项，(102103

3

110

1031C C 33r r

r

r

r r r T x x x --+???=

=- ? ???，

所以10223r -=，2r =，所以2

222

3101C 53T x x ??=-= ???

，故答案为5．

14．【答案】375 【解析】由题意：12345

305

x x x x x x ++++=

=，则0.6754.920.154.975y x =+=+=，

123455755375y y y y y y ∴++++==?=，本题正确结果为375．

15．【答案】20-

【解析】当n 为奇数时，()()1n a f n f n =++

()()()()2

2

22cos π1cos 1π121n n n n n n n =+++=+-=+????．

当n 为偶数时，()()1n a f n f n =++

()()()()2

2

22

cos π1cos 1π121n n n n n n n =+++=-+=--????．

()21,

21,n n n a n n +??∴=?-+??

为奇数为偶数，

所以1220357911133941a a a +++=-+-+-++-L L

()()()()()35791113394121020=-+-+-++-=-?=-L ． 16．【答案】32-

【解析】由动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切可知：动点M 到定点A 的距离等于动点M 到直线1x =-的距离，故动点M 的轨迹为24y x =， 由()1250x m y m +-+-=，可得()520x y m y --++=，

50

2x y y --==-??

?

，解得()3,2D -，即直线()1250x m y m +-+-=过定点()3,2D -， 又过A 作直线()1250x m y m +-+-=的垂线，垂足为B ，

所以B 点在以AD 为直径的圆上，直径式方程为()()()1320x x y y --++=， 化为标准方程为()()2

2

212x y -++=，圆心()2,1E -，半径2r =．

过M 作1MM 垂直准线，垂足为1M ，

则12232MA MB MM ME EG +≥+-=

故答案为32

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）1；（2）3

2

-．

【解析】（1）()3sin2cos22sin 26πf x x x x ωωω?

?=?=+=+ ??

?m n ，

∵()f x 的最小正周期为π，∴2π

π2T ω

=

=，∴1ω=． （2）设ABC △中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．

∵()2f B =-，∴2sin 226πB ??+=- ???，即sin 216πB ?

?+=- ??

?，解得2π3B =．

∵3BC 3a =

∵sin 3sin B A =，∴3b a =，∴3b =，1

sin 2

A =

， ∵0π3A <<，∴π6A =，π6C =，∴3a c ==，∴3

cos 2

BA BC ca B ?==-u u u r u u u r ．

18．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）由题意，完善列联表如下表所示：

男性 女性 总计 选择方案一 150 80 230 选择方案二

150 120 270 总计

300

200

500

()2

2

50015012015080 4.831 3.841230270300200

K ??-?∴=

≈>???，

故有95%的把握认为方案的选择与性别有关． （2）①X 的所有可能取值为0，2，3，4，

则()11110455100P X ==??=，()1142

2245525P X ==???=，

()334P X ==

，()1444445525

P X ==??=． 故X 的分布列为：

X 0 2 3 4 P

1

100

225

34

425

()1234

0234 3.0510025425

E X ∴=?

+?+?+?=． ②小明选择方案一得分不低于3分的概率为()134

30.91425

P P X =≥=+=，

小明选择方案二得分不低于3分的概率为21444411220.89655555125P =???+?==．

21P P

19．【答案】（1）见解析；（2）二面角111A AB C --

． 【解析】（1）证明：取AC 的中点M ，连接DM 、EM ，

因为D 为AB 中点，所以11DM BC B C ∥∥．

DM ?平面11AB C ，11B C ?平面11AB C ，DM ∥平面11AB C ．

又由已知DE ∥平面11AB C ，且DM DE D =I ，所以平面DEM ∥平面11AB C ． 又EM ?平面DEM ，所EM ∥平面11AB C ．

而EM ?平面11ACC A ，且平面11ACC A I 平面111AB C AC =，所以1EM AC ∥， 而M 为AC 的中点，所以E 为1CC 的中点．

（2）由题设知：11A B 、11A C 、1A A 两两垂直，以11A C 为x 轴，1A A 为y 轴，11A B 为z 轴，建立 空间直角坐标系1A xyz -．

设12AB AA ==，2AC a =，则()12,0,0C a ，()10,0,2B ，()0,2,1D ，()2,1,0E a ，()0,2,0A ， 所以()112,0,2B C a =-u u u u r ，()2,1,1DE a =--u u u r

．

因为异面直线DE 与11B C 所成的角为30?，

所以2111111·cos ,DE B C DE B C DE B C ==

?u u u r u u u u r

u u u r u u u u r u u u r u u u u r 1a =，于是()12,0,0C ． 设平面11AB C 的法向量为(),,x y z =n ，因为()12,2,0AC =-u u u u r ，()112,0,2B C =-u u u u r

，

所以111220220AC x y B C x z ?????=-=?==?

-u u u u r

u u u u r

n n ，取1z =，则1x y ==，所以()1,1,1=n ． 又()1,0,0=m 是平面11AA B

的一个法向量，所以cos ,?==?=m n m n m n

即二面角111A AB C --

． 20．【答案】（1）22184x y +=；

（2）121

2

k k =±． 【解析】（1

）由题意得，2222

224b a c a b c =?+=+=+?

???

a =，2

b =，

所以椭圆E 的方程为22

184

x y +=．

（2）由题得()12,0F -，()22,0F ，

设直线AB 的方程为()12y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y ，

联立()

22128

2x y y k x ?+==+????，得()

2222111128880k x k x k +++-=，

()

()()()

2

2

22211118412883210Δk k k k =-+-=+>，

则21122

1812k x x k +=-+，21122

18812k x x k -?=

+．

121AB x =-=

，

同理联立方程，由弦长公式可得2

CD =

||AB CD

+=Q

，12

∴+=，

化简得22

1214k k =

，则121

2

k k =±． 21．【答案】（1）0x y +=；（2）1,2?

?-∞- ??

?．

【解析】（1）当1λ=-时，()2ln f x x x x =-，则()ln 12f x x x +'=-，故()11f '=-， 又()11f =-，故所求切线方程为()()111y x --=-?-，即0x y +=． （2）由题意得，2ln x x x λλ+≤在[)1,+∞上恒成立， 设函数()()

2ln 1g x x x x λ=+-，则()ln 12g x x x λ+'=+， 故对任意[)1,x ∈+∞，不等式()()01g x g ≤=恒成立，

①当()0g x '≤，即

ln 1

2x x

λ+≤-恒成立时，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减， 设()ln 1

x r x x +=，则()2ln 0x r x x

'-=≤，

()()max 11r x r ∴==，即12λ≤-，解得1

2

λ≤-

，符合题意； ②当0λ≥时，()0g x '≥恒成立，此时函数()g x 在[)1,+∞上单调递增， 则不等式()()10g x g ≥=对任意[)1,x ∈+∞恒成立，不符合题意； ③当102λ-<<时，设()()ln 12q x g x x x λ==++'，则()1

2q x x

λ='+，

令()0q x '=，解得1

12x λ=-

>， 当11,2x λ?

?∈- ??

?时，()0q x '>，此时()q x 单调递增，

()()1120q x q λ∴>=+>，

故当11,2x λ?

?∈- ??

?时，函数()g x 单调递增，

∴当11,2x λ?

?∈- ???时，()0g x >成立，不符合题意．

综上所述，实数λ的取值范围为1,2?

?-∞- ??

?．

22．【答案】（1）10:C x y m -+=；222cos 1:0C ρρθ--=；（2）3m =-． 【解析】（1）2cos π04m ρθ?

?++= ??

?Q ，()cos sin 0m ρθρθ∴-+=，

则曲线1C 的直角坐标方程为0x y m -+=，

()2

212x y -+=Q ，22210x y x ∴+--=，

则曲线2C 的极坐标方程为22cos 10ρρθ--=．

（2）由（1）得曲线1C 的参数方程为2

2x t y m t ??=

=?+????（t 为参数），

代入22210x y x +--=中，整理得(

)

222210t m t m +

-+-=，

22460Δm m =--+>，解得31m -<<，

设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，则2121t t m ?=-，

由的几何意义得，2121212AM AN t t t t m ===-=，解得3m =± 又31m -<<，3m ∴=

23．【答案】（1）{}02x x <<；（2）见证明． 【解析】（1）因为()1f x x <+，所以211x x -<+， 即12211x x x ≥-<+?????，或102121

x x x

<

-<+??

??，或0121x x x ≤-<-+???， 解得

122x ≤<，或1

02

x <<，或?． 所以不等式的解集为{}02x x <<．

（2）因为113x y --≤，1

216

y +≤，

所以()()()115

21212121212366

f x x x y y x y y =-=--++≤--++≤?+=．