WILES证明费马大定理的成功时间为何其说不一

WILES证明费马大定理的成功时间为何其说不一？

WILES证明费马大定理的成功时间为何其说不一？

他的证明是否又被发现“漏洞”？

在《征服费马定理的最后竞赛》中真正夺冠的应该是哪国人？

1993年，国内新闻媒体说：350多年的数学难题被美国普林斯顿大学数学教授wiles证明。《黑龙江日报》在《科技世界》版头条发表了哈工大青年数学家曹珍富的文章《英国数学家证明了费尔马大定理》（副题：困扰人类350多年的数学难题今朝有解）。但是。几年后（1997）这位青年数学家又在《生活报》发文说：wiles是1995年证明成功的。

1994年，《中国青年报》发文说：wiles迫于社会舆论压力不得不透漏真情，说他遇到了料想不到的困难，还需要做很多工作。

1995年，《参考消息》（４月５日）载文《征服费马定理的最后竞赛》中说：wiles的证明被发现“漏洞”，他自己“堵不上”，想找合作者……。

2000年，哈工大理学院院长说：wiles最后成功的时间是1996年1月。

2002年，中科院一位院士在《教育台》的《学术报告厅》中宣讲时说wiles是1994年证明成功。

Wiles证明费尔马大定理成功的时间为何其说不一？

还有更加令人不解的：

一、2003年，远方出版社出版的《数理化之谜》中说：千古之谜费马大定理，至今尚无人完全证明。

二、2007年，哈尔滨出版社出版的《数学的故事》中说：30年前，美国数学家大卫·曼福特证明了“如果不定方程有整数解，那么这种解是非常少的”。这是目前关于“费尔马问题”最好的研究成果。

为什么这两本书中，对wiles的证明成功却“只字皆无”？莫非wiles的证明又被发现了“漏洞”？

大千世界无奇不有。1993年8月1日，《松花江报》发表了一篇该报记者写的报道《谷立煌宣称证明了费尔马大定

理》（副题：“下金蛋的母鸡”已见踪迹），并同时发了他的对《费马大定理初证》的简化（之一）。《费马大定理初证》，1988年经黑龙江省数学会理事长吴从炘教授推荐，在省第三次数学年会上发表过。对《费马大定理初证》的简化（之一、之二），1995年发表在《黑龙江教育学院学报》（第二期）。

至此，公众不难看出：在这场《征服费马定理的最后竞赛》中真正夺冠的应该是中国人。

为了坚持实事求是的科学精神，为了国家和民族的荣誉，堪当这场竞赛“世界级裁判员”的中国数学家，应不应该为中国争回这个“世界第一”？

业余者

2008年1月18日

数学家的故事

下面是历史上最天才的几个数学家在这个时间轴上存在的长度：

Pascal 39岁；Ramanujan 31岁；Abel 27岁；Galois 21岁；Riemann 39岁。身体重要的说。

Fermat当初Fermat（费马）证明不了东西时候，就写下了这句话

Cuius rei demonstrationem mirabilem sabe detex marginis exiguitas non caparet.

翻译成中文就是：“我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里的空白太小，写不下。”

后来，Hilbert也会了类似的技巧，有人问Hilbert为什么不去证明Fermat大定理，他说为什么要杀死一只下金蛋的母鹅，因为这样的一个对整个数学发展有着如此深远推动的问题太少了。不过个人认为他没有能力杀死这只鹅。

还有另外一个和金蛋有关的事情，不过和数学家没有关系。当初欧洲的反法联军快攻到巴黎的时候，Ecole Polytechnique的学生要求上战场，保卫国家，拿破仑说：“这怎么可能呢，我不能为了打赢一场战争，杀死一只会下金蛋的母鸡吧。”

开始说一下mm数学家她们做出的成就的的确确比不上男数学家的成就，但是我们依然能够发现她们的事迹中有很多的伟大，很多的美丽。

从古希腊说起吧。那个时候，的确是一个很民主的时代，对于女性的歧视要远好于后来，譬如说很多伟大的数学家哲学家对女性参与数学的态度还是很好的，譬如说Pythagrass（毕达哥拉斯）学派当中就有女的信徒。Pythagoras本人就很鼓励女性学者，当年有个兄弟会之类的东西，里面就有28个女孩,其中有一个叫做西诺的，后来就被Pythagrass骗去做老婆了。这个女孩在当时是个比较有影响的数学家。Socrates(苏格拉底）和Plato（柏拉图）也曾经邀请过女性去他们的学院讲学。

从他们往后，女性在很多的行业中受到了歧视，在哲学数学自然科学这些领域更是如此了。

有一个令人心痛的故事，讲的是Hypatia (西帕蒂娅)，她处的时代就是Plato他们往后那么一点的时候。Hypatia本身是个很优秀的数学家了（在那个时代），她的演讲很出名，而且解题也是高手，其父亲是亚历山大的一位数学教授。经常有一些数学家找他询问一些题目的做法，她也很少让大家失望。一个小故事说有人问她为什么不结婚，她回答说她已经和真理订了婚。不过Hypatia后来极为悲惨，有个叫做Cyril的什么教长之类的人，声称数学家哲学家这帮人为异端，对他们大加残害，手段令人发指。在一个封斋的日子里，Hypatia被从马车上拖到教堂，剥光衣服，身上的肉被一群狂暴的人用牡蛎的壳

刮了下来。

我不知道世人怎样看我;可我自己认为，我好像只是一个在海边玩耍的孩子，不时的为拾到更光滑些的石子或更美丽些的贝壳而欢欣，而展现在我面前的是完全未被探明的真理之海。

——Issac Newton

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这段话不同于牛顿说的那段“站在巨人的肩上”，因为“肩上”那句话是他出来吹捧一下Hooke(胡克),或者说讽刺一下，那个时代总是为着各种东西的发明权而喋喋不休。

Newton的一生落落寡合，没有结婚，也没有知心的朋友，人们结交

他都是因为他很高的地位和渊博的学识。一个同事回忆说他只见过Newton笑过一次，当时，有一个人问Newton说Euclid的几何原本如此的老朽，不知道有什么价值。对此，Newton放声大笑。:-)) 对很多人来说，牛顿的贝壳尽管光滑尽管美丽，确实不如一块肥皂有用。数学家做的事情的确是这个样子，一种孩子般的游戏，追求一种纯粹的快感。Newton之后的几百年，Cambribge另一个大名鼎鼎的数学家Hardy（哈代）也说过这种话：“从实用的观点来判断，我的数学生涯的价值等于零。”

既然扯到Hardy就说说他的轶事吧。他这个人有着各种怪癖，譬如永远不会希望见到镜子之类的，每次到一个旅馆，总是用毛巾把各个地方的镜子都遮将起来。不说这些乱七八糟的，说一下子他用“数学”解决的恐船症。

Hardy每次做船的时候，总是怕沉了。克服这个东西的一个方法是，每次不得不坐船航行的时候，他会给同事发个电报或者明信片什么的，说已经搞定了Riemann猜想回来之后会给出细节的。他的逻辑是，上帝不会允许他被淹死，否则这又将是第二个类似于Fermat大定理的事情。

穿过Plato学院的拱形门楼，首先映入眼帘的是：

“不懂几何者请勿入内。”

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法国的数学家大都对抽象的东西情有独钟。Lagrange（拉格朗日）写出了他著名的分析力学的书的时候，就骄傲的宣称书中“没有一个图”；A.Weil（魏依）在教师资格考试时，理论力学交了白卷，他认为那根本不算数学。A.Weil就这样子，曾经Pierre Carier问他Gottingen的事情，提到量子力学的时候，Weil根本不知所云，尽管当时Hilbert, Bohn, Heisenberg都在做量子论。后来，Chevally和Weil在悼念Weyl的时候，根本不提Weyl的物理学的成就，然而大家公认Weyl最有名的两本书一本关于相对论，一本关于量子力学。

Lefschetz和Wiener-------------------

优秀的数学家在定理或理论之间看到了类似

卓越的数学家则从类似中间看到了类似

——Banach

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毋庸置疑，Lefschetz和Wiener都是这种可以从相似之间看到相似的数学家,不过他们的讲课技巧实在是不能让人恭维。

Rota曾讲了一个Lefschetz的故事，关于他的课是如何难懂，因为他经常语无伦次。这是几何课的开场白：“一个Riemann曲面是一定形式的Hausdroff空间。你们知道Hausdroff空间是什么吧？它也是紧的，好了。我猜想它也是一个流形。你们当然知道流形是什么。现在让我给你们讲一个不那么平凡的定理--Riemann-Roch定理。”要知道第一节Riemann曲面的课如果这样进行的话，恐怕Riemann复生也未必可以听懂。：-）

Wiener尽管是个天才，却是那种不善于讲课的那种，总是以为把真正深刻的数学讲出来一定要写一大堆积分符号。有一个关于他和中文的事情，Wiener天真的认为自己懂一种汉语，一次在中国餐馆，他终于有了施展的机会，但是服务员却根本不知道他讲的是汉语。最后，Wiener不得不评论：“他必须离开这里，他不会说北京话……。”

来说一个古老一点的人物Pascal（帕斯卡）据说14岁的时候，就已经出席了法国高级数学家的聚会，18岁发明了一台计算机，是现在计算机的始祖。尽管如此，Pascal成年之后最终致力于神学，他认为上帝对他的安排之中不包含数学，所以完全的放弃了数学。35岁的时候，Pascal牙疼，不得不思考一点数学问题来打发时间，不知不觉间，竟然疼痛全无。于是，Pascal认为这是上天的安排，所以继续开始做数学家。Pascal

这次复出的时间不到一周，但是已经发现旋轮线的最基本的一些性质。尔后，他继续研究神学。

神学也是Newton最终的选择。:-))

AbsoluteHunk 发表于2006-9-29 16:32:20阅读全文| 回复| 引用通告

关于冯.诺伊曼的故事von Nuemann的年纪比Ulam（乌拉姆）要大一些，不过两个人是最好的朋友，经常在一起谈论女人。包括他们坐船旅行，除了数学之外，就是旁边的美女，每次Nuemann就会评论道：“她们并非完美的。”他们一次在一个咖啡馆里吃东西，一个女士优雅地走过，Neumann认出她来，并和她交谈了几句，他告诉Ulam这是他的一位老朋友，刚离婚。Ulam就问：“你干吗不娶她？”后来，他们两个结了婚。

一次Princeton举行的物理演讲，演讲者拿出一个幻灯片，上面极为分散的排列着一些实验数据，并且他试图说明这些数据在一条曲线上。von Neumann大概很不感兴趣，低声抱怨道：“至少它们是在同一个平面上。

广义相对论说两个听来的故事，讲的是这个世界上最漂亮的一套理论------广义

相对论。

据说，Einstein 的场方程的第一个球对称的解，也就是Schwarzschild

（施瓦茨查尔德）解，是同名的这个人，在一战的战壕里给出的。

Schwarzschild 是Gottingen 的天文学的教授。

Edditngton（艾丁顿）是一个伟大的天文物理学家，下面这个故事是

讲他如何吹牛的。Albert Einstein 的广义相对论发表没有多久，有记

者去采访Eddington, 说听说世界上只有三个人懂得这套高深的理

论，不知这三个人都是谁？Eddington 低头沉思，很久没有回答。那

个记者忍不住又问了一遍，Eddington 说：“我正在想谁是第三个

人……。

相对论--------------

关于这个宇宙最让人难以理解的地方就是她竟然是可以被理解的。

——Albert Einstein

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Einstein 构思广义相对论的时候，尽管他的数学家朋友教了他很多

Riemann 几何，他的数学还是不尽如人意。后来，他去过一次

Gottingen,给Hilbert 等很多数学家做过几次报告，他走不久，Hilbert

就算出来了那个著名的场方程，Hilbert 的数学当然比Einstein 好很

多。不久，Einstein 也得出来了，有人建议Hilbert 考虑这个东西的

署名权问题，Hilbert 很坦诚地说：“Gottingen 马路上的每一个孩子，

都比Einstein 更懂得四维几何，但是，尽管如此，发明相对论的仍

然是Einstein 而不是数学家。

有一个人叫做Paul Wolfskehl（沃尔夫凯勒）,大学读过数学，痴狂的迷恋一个漂亮的女孩子，令他沮丧的是他被无数次被拒绝，感到无

所依靠，于是定下了自杀的日子，决定在午夜钟声响起的时候，告

别这个世界，再也不理会尘世间的事。Wolfskehl 在剩下的日子里依然努力的工作，当然不是数学，而是一些商业的东西，最后一天，

他写了遗嘱，并且给他所有的朋友亲戚写了信。由于他的效率比较

高的缘故，在午夜之前，他就搞定了所有的事情，剩下的几个小时，他就跑到了图书馆，随便翻起了数学书。很快,被Kummer 解释Cauchy 等前人做Fermat 大定理为什么不行的一篇论文吸引住了。那是一篇伟大的论文，适合要自杀的数学家最后的时刻阅读。Wolfskehl 竟然发现了Kummer 的一个bug，一直到黎明的时候，他做出了这

个证明。他自己狂骄傲不止，于是一切皆成烟云……这样他重新立

了遗嘱，把他财产的一大部分设为一个奖，讲给第一个证明Fermat 定理的人10 万马克……,这就是Wolfskehl 奖的来历。

由于Fermat 大定理的名声，在New York 的地铁车站出现了乱涂在墙上的话：xn + yn = zn 没有解,对此我已经发现了一种真正美妙的证明，可惜我现在没时间写出来，因为我的火车正在开来。

Hilbert（希尔伯特）曾有一个学生，给了他一篇论文来证明Riemann （黎曼）猜想，尽管其中有个无法挽回的错误，Hilbert 还是被深深的吸引了。第二年，这个学生不知道怎么回事就死了，Hilbert 要求在葬礼上做一个演说。那天，风雨瑟瑟，这个学生的家属们哀不胜收。Hilbert 开始致词，首先指出，这样的天才这么早离开我们实在是痛惜呀，众人同感，哭得越来越凶。接下来，Hilbert 说，尽管这个人的证明有错，但是如果按照这条路走，应该有可能证明Riemann 猜想，再接下来，Hilbert 继续热烈的冒雨讲道：“事实上，让我们考虑一个单变量的复函数.....”众人皆倒。

从实用的观点来判断，我的数学生涯的价值等于零。

——Hardy

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Lev Landau（朗道）这位俄国最伟大的物理学家惊叹道：“为什么素数要相加呢？素数是用来相乘而不是相加的。”据说这是Landau 看了Goldbach（哥德巴赫）猜想之后的感觉。术业有专攻呀...... Graham 说：“我知道一数论学家，他仅在素数的日子和妻子同房：在月初，这是挺不错的，2，3，5，7；但是到月终的日子就显的难

过了，先是素数变稀，19，23，然后是一个大的间隙，一下子就蹦

到了29，……”

四色定理---------

证明是一个偶像，数学家在这个偶像前折磨自己。

——A.Eddington

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一次拓扑课，Minkowski（闵可夫斯基）向学生们自负的宣称：“这

个定理没有证明的最要的原因是至今只有一些三流的数学家在这上

面花过时间。下面我就来证明它……”于是Minkowski 开始拿起粉

笔。这节课结束的时候，没有证完，到下一次课的时候，Minkowski

继续证明，一直几个星期过去了……一个阴霾的早上，Minkowski

跨入教室，那时候，恰好一道闪电划过长空，雷声震耳，Minkowski

很严肃的说：“上天被我的骄傲激怒了，我的证明是不完全的……”

1942 年的时候，Lefschetz（莱夫谢茨）去Harvard 做了个报告，Birkhoff （伯克霍夫）是他的好朋友，讲座结束之后，就问他最近在Princeton

有没有什么有意思的东西。Lefschetz 说有一个人刚刚证明了四色猜

想。Birkhoff 严重的不相信，说要是这是真的，就用手和膝盖，直

接爬到Princeton 的Fine Hall 去，Fine Hall 是Princeton 的数学楼。

John 和Jacobi 这两个Bernoulli 家族的人，都算不出来自然数倒数

的平方和这个级数，Euler 从他老师John 那里知道的，并且给出了

π2/6 这个正确的答案。Euler（欧拉）是他那个时代最伟大的数学家。

法国有一个很著名的哲学家，叫做Denis Diderot，中文的名字叫做

狄德罗，是个无神论者，这个让叶卡捷琳娜女皇不爽，于是他请Euler

来教育一下Diderot，其实Euler 本来是弄神学的，他老爸就是的，

后来是好几个叫Bernoulli 的去劝他父亲，才让Euler 做数学了。Euler

邀请Diderot 来了皇宫，他这次的工作是证明上帝的存在性，然后，

在众人面前说：“先生，( a + bn ) / n = x, 因此上帝存在；请回答!”Diderot 自然不懂代数，于是被羞辱，显然他面对的是欧洲最伟大的

数学家，他不得不离开圣彼得堡，回到了巴黎……

Euler 停止了生命，也就停止了计算。

——de Condorcet

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这是一个生产数学家和物理学家的部落，有着十几位优秀的科学家

都拥有这个令人骄傲的姓氏。

John Bernoulli（约翰.贝努利）在1696 年把最速降线问题在一个叫

做《教师学报》的杂志上面提出，公开挑战主要是针对他的哥哥Jacobi.Bernoulli （加可比.贝努利）, 这两个人在学术让一直相互不忿，据说当年John 求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了，Jacobi 做了一

年还认为悬链线应该是抛物线，实在是很没面子。那个杂志好像是Leibniz 搞得，很牛，欧洲的牛人们都来做这个东西。到最后，John

收的了5 份答案，有他自己的，Leibniz 的,还有一个L.Hospital（洛

比塔）侯爵的（我们比较喜欢的那个L.Hospital 法则好像是他雇人

做的，是个有钱人）然后是他哥哥Jacobi 的，最后一份是盖着英国

邮戳的，必然是Newton（牛顿）的，John 自己说“我从它的利爪上

认出了这头狮子．”据说当年Newton 从造币厂回去，看到了Bernoulli

的题，感觉浑身不爽，熬夜到凌晨4 点，就搞定了。这么多解答当

中，John 的应该是最漂亮的，类比了Fermat（费马）原理，用光学

一下做了出来。但是从影响来说，Jacobi 的做法真正体现了变分思

想。

Bernoulli 一家在欧洲享有盛誉，有一个传说，讲的是Daniel Bernoulli

（他是John Bernoulli 的儿子）有一次正在做穿过欧洲的旅行，他与

一个陌生人聊天，他很谦虚的自我介绍：“我是Daniel Bernoullis。"

那个人当时就怒了，说：“我还是Issac Newton 呢。”Daniel 从此

之后在很多的场合深情的回忆起这一次经历，把此当作他曾经听过

的最衷心的赞扬。

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数学怪才：Erdos

如果把普林斯顿高等研究所在三四十年代比做武林中的少林派的话，这里要讲的是一个逃徒的故事，这个人不是物理学家，完全是数学家。之所以插进他的八卦，是因为他的八卦实在是太神奇了。

还是从我们的泰勒同学说起，泰勒同学曾经是匈牙利的数学奥赛金牌。至于他为什么会到德国，先从1919年说起，1919年，匈牙利建立起了欧洲第一个法西斯政权，并且开始了血腥的排犹运动，在这种情况下，有几万犹太人离开了匈牙利。这拨人里有四个年轻人，E. Teller（就是泰勒同学），J. V on. Neumann（这头大犀牛我想大家已经很熟悉了），E. Wigner（20世纪最重要的理论物理学家之一，1963年诺贝尔奖获得者）L. Szilard（物理学家，生物学家，核链式反应的提出者和专利持有人，美国的曼哈顿工程之缘起，就是Szilard，Wigner，Teller三人建议爱因斯坦给美国总统写的信，那封信是Szilard起草的），大家可以看到这次排犹事件为后来的美国生产原子弹留下了多少人才储备。这几位后来都到德国哥庭根大学读书去了，泰勒的事迹前面已经提到过，冯.诺埃曼做了外尔的学生，他们后来很快就名动江湖。

当时匈牙利的形势对犹太人是非常危险的，光天化日之下就会有犹太人被杀或者被袭击。比如Wigner 就曾经在大街上被打过。虽然如此，还是有风雨不动安如山的，这人叫做Erdos，翻译过来是不是该叫鄂尔多斯？不过别把他当成羊毛衫了。这件羊毛衫一生居无定所，据说从来不在一个城市呆超过一个月以上，他有个名言：“Another roof, another proof”

羊毛衫同学1913年出生，虽然匈牙利的局势对犹太人很不利，他后来还是在布达佩斯大学读了本科。1934年拿到博士学位后，到英国曼彻斯特大学做博士后。对他来说到这里以后发生了一件大事情：他生平第一次在自己的面包上抹黄油（以前都是他老妈或者佣人抹的）。他还有个纪录是11岁的时候第一次自己系鞋带。

羊毛衫到英国以后，就开始了流浪生活，他在各个大学之间不停流浪，做他感兴趣的数学。每年他会回布达佩斯几次，1938年爆发了捷克事件，他那时候正在布达佩斯，匆匆赶回英国。几周后就被聘到普林斯顿高等研究所。

奥本海默曾经把普林斯顿高等研究所称为疯人院（他后来不幸成了疯人院的院长）。羊毛衫在这里算不

上最天才的（个人以为冯.诺埃曼的天才是空前绝后的）,不过他还是比较疯的。普林斯顿打破了羊毛衫不在一个地方呆一个月以上的定律，好像因为他很喜欢这里。可惜普林斯顿不喜欢他，一年半后，他因为过于“uncouth and unconventional”被解聘了。虽然这样，羊毛衫一直认为这段时间是他在数学上最有成果的时期，这个特立独行的人在被普林斯顿解聘后仍然在这里流浪了很长时间。

有几个关于羊毛衫的小故事说明他的天分：

在普林斯顿，羊毛衫有一次听M. Kac（一个波兰裔美籍数学家，在数学物理方面有著名的费曼-Kac公式）做报告。Kac后来对这次报告的回忆是这样的：“Erdos在我报告的前大半部分时间都在睡觉，因为我讲的东西和他的兴趣不沾边。后来我讲到我在素因子方面遇到的困难，因为牵涉到数论，Erdos马上来了兴致，他让我解释一下到底困难在什么地方。之后不到几分钟，我的报告还没有讲完，他就打断我并且宣布问题解决了。”

数学家Halmos（赫尔莫斯以前我也提过，我借过一本他写的书）提到过羊毛衫在普林斯顿的另一个故事。有个叫做Hurewicz的数学家提过这个问题：Hilbert空间中有理点集合的维数是多少。羊毛衫同学听说了，觉得很好奇，就问什么是Hilbert空间，维数是什么意思。有人告诉了他，于是他很快就得到了答案。这是羊毛衫同学对一个他几乎一无所知的领域的贡献。

和这样的疯子呆在一起会伤自尊的。

Erdos一生都特立独行，不愿意为了某些利益就改变自己的立场，二战后，苏联占领了匈牙利，他回不去了。后来他打算去美国，美国开始了麦卡锡主义，申请签证的时候，签证官问他还会回匈牙利么？他说当然，那里有他母亲，还有一大堆朋友。FBI调查他的档案，发现了一封他写给红色中国的信，信的开头是：“华先生，考虑一个不大于p的素数。……”由于当时美国对共产已经到了风声鹤唳的地步，美国人害怕他的信中夹杂了什么密码。Erdos这个亲中的犹太人没有拿到美国的入境签证。

后来Erdos只好跑到了以色列（毕竟是犹太人），但是Erdos不肯加入以色列国籍，一直保留着他的匈牙利护照。由于Erdos在数学界和科学界的影响，匈牙利政府后来给他颁发了一个特殊护照，承认他是匈牙利公民，并且允许他自由进入以色列。

Erdos60 年代初和80年代中两次到过中国。这个疯子一生与384人合作发表了1450多篇文章。虽然如此，其中系统性的工作不多。他最大的贡献是与Selberg 分别用初等方法证明了素数定理。非常可惜的是因为一些阴差阳错的误会两人决裂了。事情是这样的，Selberg发现了一个恒等式，告诉了Erdos，两人从这个恒等式出发分别独立的用初等方法证明了素数定理。当时人们普遍认为素数定理不可能用初等的方法证明，所以这个结果的影响非常大。Erdos喜欢与人交流，他把这件事情告诉了别人。Selberg在一次聚会上，听到一个数学家告诉他说“听说Erdos和一个叫什么名字的人证明了素数定理，用的是初等方法。”这件事情让Selberg非常伤心，他回来就抢先发表了论文。所以后来大部分的功绩都被归于Selberg。不过Erdos本人对这个却不是那么在意。

他发paper效率特别高，而且他一直保持每天工作19个小时以上。所有财产就一个箱子，四处流浪，每到一处就与人合作发一堆paper，有一个笑话，说：“Erdos在坐火车的时候和检票员合作发了两篇paper。”

羊毛衫同学特别open，遇到个人就要逮住讨论数学问题，他本人也特别欢迎别人和他讨论。他有一次到UCLA（加州大学洛杉矶分校）访问的时候，去和他讨论的人挤了一屋子，他和每个人同时讨论不同的问题，就象国际象棋高手同时和多人对弈一样。

有一个数学家曾经看到过他和一个国际象棋的高手Nat Fine下棋，说：“他赢的次数很少，而且总是用心理战术……我看见Nat总是托着腮帮子，冥思苦想下一步，而Erdos则捧着一本厚厚的医学大百科全书……我问他：‘Paul，你在干什么，你不是正在和Nat下棋么？’他说：‘别打扰我，我在证明一个定理’”

不知道大家中学听说过单樽没有？我想如果对数学竞赛有兴趣的同学都会知道单樽，单樽是我国著名的奥赛数学培训老师，王元的学生（王元是华罗庚的学生，以证明了“2+3问题”而闻名于世）。单樽曾经和Erdos打过交道，Erdos在一次开会的时候看到单樽和另外一位中国数学家下围棋，觉得很赶兴趣，想和单樽下，但他又知道中国人下围棋非常好，提出让单让他四子。由于眼睛太近视，下棋的时候他差不多是“覆盖”在棋盘上，第一局他下输了，第二局单樽故意让他赢了，他没有察觉，还是很高兴，说：“At least we are equal”

最后交代一句：

为怀念逝世不久的伟大数学家：

Erdos1984年获得沃尔夫奖，和他一同分享数学沃尔夫奖的是华人数学家陈省身。

Erdos 的得奖原因里写的是：因为他激发了全世界的数学家的创造力。这是指他一贯与人合作的习惯，而且和射雕里的周伯通一样，属于数学成痴的人。全世界各地的数学家与他有过交流合作的人不计其数，据说因为他的启发而发的paper不下上万篇。数学界有一个说法叫做Erdos数，就是说Erdos本人计做零，与Erdos合作过的人，Erdos数计做1。与Erdos数为1的人合作过的人，Erdos数计做2，以此类推。一个惊人的结果就是全世界的科学家，不管他们所从事的行业或者方向与Erdos有多远，他们的Erdos数都小得惊人。谨举几例：物理学家费米的Erdos数是3，泡立是4，海森堡是4，爱因斯坦是2。比尔.盖茨的Erdos 数是4（比尔一辈子只发过一篇关于信息论方面的文章）

数学悖论奇景

“悖论”这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。那些结论会使我们惊讶无比。悖论主要有三种形式：1.一种论断看起来好象肯定错了，实际上却是对的（佯谬）；2.一种论断看起来好象肯定对了，实际上却错了（似是而非）；3.一系列理论看起来好象无懈可击，却导致了逻辑上自相矛盾。

悖论有点象变戏法，人们看完以后，几乎没有一个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他后，他便不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界中。

著名的《科学美国人》杂志社编的《数学悖论奇景》中，有不少生动而奇妙的题目，下面几则便选自其中。有的题目作了简略的分析，有的只提出问题，留侍读者去思索。

1.唐·吉诃德悖论

小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题：“你来这里做什么？”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。

一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。”

旅游者被送到国王那里。国王苦苦想了好久：他回答得是对还是错？究竟要不要把他绞死。如果说他回答得对，那就不要绞死他——可这样一来，他的回答又成了错的了！如果说他回答错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。实在是左右为难！

2.梵学者的预言

一天，梵学者与他的女儿苏耶发生了争论。

苏椰：你是一个大骗子，爸爸。你根本不能预言未来。

学者：我肯定能。

苏椰：不，你不能。我现在就可以证明它！

苏椰在一张纸上写了一些字，折起来，压在水晶球下。她说：

“我写了一件事，它在3点钟前可能发生，也可能不发生。请你预言它究竟是不是会发生，在这张白卡片上写下‘是’字或‘不’字。要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后好吗？”

“好，一言为定。”学者在卡片上写了一个字。

3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道：“在下午3点以前，你将写一个‘不’字在卡片上。”

学者在卡片上写的是“是”字，他预言错了：“在下午3点以前，写一个‘不’字在卡片上”这一件事并未发生。但如果他在卡片上写的是“不”呢？也还错！因为写“不”就表示他预言卡片上的事不会发生，但它恰恰发生了——他在卡片上写的就是一个‘不’字。

苏椰笑了：“我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的。”

3.意想不到的老虎

公主要和迈克结婚，国王提出一个条件：

“我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。迈克必须顺次序开门，从1号门开始。他事先不知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道。这只老虎的出现将是料想不到的。”

迈克看着这些门，对自己说道：

“如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间。可是，国王说我不能事先知道它在哪里，所以老虎不可能在第五个房间。”

“五被排除了，所以老虎必然在前四个房间内。同样的推理，老虎也不会在最后一个房间——第四间内。”

按同样的理由推下去，迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐，他满怀信心地

去看门。使他惊骇的是，老虎从第二个房间跳了出来。

迈克的推理并没有错，但他失败了。老虎的出现完全出乎意料，表明国王遵守了他的诺言。也许，迈克进行推理的本身就与国王关于老虎“料想不到”的条件发生了矛盾。迄今为止，逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还末得到一致意见。

4.钱包游戏

史密斯教授和两个学生一道吃午饭。教授说：“我来告诉你们一个新游戏。把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱。钱少的人可以赢掉另一个钱包中的所有钱。”

学生甲想：“如果我的钱多，就会输掉我这些钱；如果他的多，我就会赢多于我的钱。所以赢的要比输的多，这个游戏对我有利。”

同样的道理，学生乙也认为这个游戏对他有利。

请问，一个游戏怎么会对双方都有利呢？

5.一块钱哪儿去了？

一个唱片商店里，卖30张老式硬唱片，一块钱两张；另外30张软唱片是一块钱三张。那天，这60张唱片卖光了。30张硬唱片收入15元，30张软唱片收入10元，总共是25元。

第二天，老板又拿出60张唱片。他想：“如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖三张，何不放在一起，两块钱卖5张呢？”这一天，60张唱片全按两块钱5张卖出去了。老板点钱时才发现，只卖得24元，而不是25元。

这一块钱到哪儿去了呢？

6.惊人的编码

外星的一位科学家基塔先生，来到地球收集人类的资料，遇到了赫尔曼博士。

赫尔曼：“你何不带一套大英百科全书回去？这套书最全面地汇总了我们的所有知识。”

基塔：“可惜，我带不走那么重的东西。不过，我可以把整套百科全书编码，然后只要在这根金属棒上作个标记，就代表了百科全书中的全部信息。”真是再简单不过了！

基塔先生是怎样做到的呢？

基塔：“我先把每个字母、数字、符号，都用一个数来代表，零用来隔开它们。例如cat一词就编为3－0－1－0－22。我用高级袖珍计算机快速扫描，就能把百科全书的全部内容转变为一个庞大的数字。前面加一个小数点，就使它变成了一个十进制的分数，例如0.2015015011……

基塔先生在金属棒上找到了一个点，这个点将棒分为a和b两段，而a／b刚好等于上面那个十进制分数值。

基塔：“回去后，测出a和b的值，就求出了它们的比值；根据编码的规定，你们的百科全书就被破译出来了。”

这样，基塔离开地球时只带了一根金属棒，而他却已“满载而归”了！

7.不可逃遁的点

帕特先生沿着一条小路上山。他早晨七点动身，当晚七点到达山顶。第二天早晨沿同一小路下，晚上七点又回到山脚，遇见了拓扑学老师克莱因。

克莱因：“帕特，你可曾知道你今天下山时走过这样一个地点，你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的时刻完全相同？”

帕特：“这绝不可能！我走路时快时慢，有时还停下来休息。”

克莱因：“当你开始下山时，设想你有一个替身同时开始登山，这个替身登山的过程同你昨天登山时完全相同。你和这个替身必定要相遇。我不能断定你们在哪一点相遇，但一定会有这样一点。……”

帕特明白了。你明白了吗？

8.橡皮绳上的蠕虫

橡皮绳长1公里,一条蠕虫在它的一端。蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行；而橡皮绳每过1秒钟就拉长1公里。如此下去，蠕虫最后究竟会不会到达终点呢？

乍一想，随着橡皮绳的拉伸，蠕虫离终点越来越远了。但细心的读者会想到：随着橡皮绳的每次拉伸，蠕虫也向前挪了。

如果用数学公式表示，蠕虫在第n秒未在橡皮绳上的位置，表示为整条绳的分数就是（推导过程从略）：

当n足够大（约为e100000）时，上式的值就超过了1，也就是说蠕虫爬到了终点。

9.棘手的电灯

一盏电灯，用按钮来开关。假定把灯拧开一分钟，然后关掉半分钟，再拧开1/4分钟，再关掉1／8分钟，如此往复，这一过程的末了恰好是两分钟。

那么，在这一过程结束时，电灯是开着，还是关着？这个问题实在是难！