选修2-3教案2.3.1离散型随机变量的均值

§2.3.1 离散型随机变量的均值

教学目标

（1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；（2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．教学重点，难点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义．教学过程一．问题情境 1．情景：

前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？

甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不

合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下．

2．问题：

如何比较甲、乙两个工人的技术？二．学生活动

1．直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率

比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论． 2．学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？ 3．引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法．三．建构数学 1．定义

在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式1122...n n x p x p x p +++计算样本的平均值，其中i p 为取值为i x 的频率值．

其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ． 2．性质

（1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数）

四．数学运用 1．例题：

例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学期望．

分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取5n =个产品，随机变量X 为5个球中的红球的

个数，则X 服从超几何分布(5,10,30)H ．

从而

2584807585503800700425

()012345 1.66672375123751237512375123751237513

E X =?

+?+?+?+?+?=≈ 答：X 的数学期望约为1.6667．

说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0

()r n r n

M N M

r N r C C M E X n C N --===∑ ．例2．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品

率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X 的数学期望

()E X ．

解：由于批量较大，可以认为随机变量~(10,0.05)X B ，

1010()(1),0,1,2, (10)

k k k P X k p C p p k -===-=

故10

()0.5k

k E X kp

=∑

即抽10件产品出现不合格品的平均件数为0.5件．

说明：例2中随机变量X 服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当

~(,)X B n p 时，()E X np =．

例3．设篮球队A 与B 进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B 在每场比赛中获胜的概率都是

，试求需要比赛场数的期望．分析：先由题意求出分布列，然后求期望解：（1）事件“4X =”表示，A 胜4场或B 胜4场（即B 负4场或A 负4场），且两两互斥．

4400

044411112(4)()()()()222216

P X C C ==??+??=；

（2）事件“5X =”表示，A 在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B 在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A 负且4场中A 负了3场），且这两者又是互斥的，所

以

33431141441111114(5)()()()()22222216

P X C C --==+=

（3）类似地，事件“6X =”、 “7X =”的概率分别为

33532252551111115

(6)()()()()22222216P X C C --==+=，

33633363661111115

(7)()()()()22222216

P X C C --==+=

故比赛的期望为()4567 5.812516161616

E X =?+?+?+?=（场）

这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．

2．练习：

据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：方案1：运走设备，此时需花费3800元；

方案2：建一保护围墙，需花费2000元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为60000元；

方案：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失1000元．

试选择适当的标准，对3种方案进行比较．

五．回顾小结：

1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；

2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法；

3．超几何分布和二项分布的均值（数学期望）的计算方法．

(完整版)2.1.1离散型随机变量(教案)

2． 1．1离散型随机变量教学目标：知识目标：1.理解随机变量的意义； 2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子； 3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量. 能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力. 情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣. 教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪第一课时思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) . 在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母X , Y，ξ，η，…表示．思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品”, {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用X 表示呢？定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量( discrete random variable ) . 离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数X 是一个离散型随机

知识讲解离散型随机变量的均值与方差(理)(基础)

离散型随机变量的均值与方差【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题； 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望 1.定义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．要点诠释：（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．（2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p … n p n 1= =，=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质： ①()E E E ξηξη+=+； ②若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，有b aE b a E +=+ξξ)(； b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下：： η的分布列为于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++… ＝+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)＝b aE +ξ

∴b aE b a E +=+ξξ)(。要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念：已知一组数据1x ，2x ，…，n x ，它们的平均值为x ，那么各数据与x 的差的平方的平均数 [1 2n S = 21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋22 2)(p E x ?-ξ＋…＋2()n i x E p ξ-?＋…称为随机变量ξ的方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．要点诠释： ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）． ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系： 22()()D E E ξξξ=- 4.方差的性质：若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，2 ()D D a b a D ηξξ=+=；要点三：常见分布的期望与方差 1、二点分布：若离散型随机变量ξ服从参数为p 的二点分布，则期望E p ξ= 方差(1).D p p ξ=-

离散型随机变量及其分布列教案

离散型随机变量及其分布列第一课时 2.1.1离散型随机变量教学目标：1、引导学生通过实例初步了解随机变量的作用，理解随机变量、离散型随机变量的概念．初步学会在实际问题中如何恰当地定义随机变量． 2、让学生体会用函数的观点研究随机现象的问题，体会用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，树立用随机观念观察、分析问题的意识． 3、发展数学应用意识，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，逐步认识数学的科学价值和应用价值．教学重点：随机变量、离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当的定义随机变量．教学难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究．教学方法：启发讲授式与问题探究式．教学手段：多媒体教学过程：一、创设情境，引出随机变量提出思考问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示？启发学生：掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但可以将结果于数字建立对应关系．在让学生体会到掷骰子的结果与出现的点数有对应关系后，也能创造性地提出用数字表示掷一枚硬币的结果．比如可以用1表示正面向上的结果，用0表示反面向上的结果．也可以分别用1、2表示正面向上与反面向上的结果．再提出思考问题2：一位篮球运动员3次罚球的得分结果可以用数字表示吗？让学生思考得出结论：投进零个球——— 0分投进一个球——— 1分投进两个球——— 2分投进三个球——— 3分得分结果可以用数字0、1、2、3表示．二、探究发现 1、随机变量问题1.1：任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？引导学生从前面的例子归纳出：如果将实验结果与实数建立了对应关系，那么随机试验的结果就可以用数字表示．由于这个数字随着随机试验的不同结果而取不同的值，因此是个变量．问题1.2：如果我们将上述变量称之为随机变量，你能否归纳出随机变量的概念？引导学生归纳随机变量的定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母X、Y、ξ、η来表示．问题1．3：随机变量与函数有类似的地方吗？引导学生回顾函数的理解：函数实数实数在引导学生类比函数的概念，提出对随机变量的理解：

《离散型随机变量的概念》教学设计

离散型随机变量的概念》教学设计一、教材分析《离散型随机变量的概念》是人教 A 版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3》第二章随机变量及其分布的第一节离散型随机变量及其分布列的第一课时。本章是在必修三中学习了基本的概率统计知识的基础上，进一步学习随机变量及其分布的知识。本节内容一方面承接了必修三的知识；另一方面，掌握好这一节课将有助于后续的学习，因此它在知识体系上起着承上启下的作用。随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，从而使得更多的数学工具有了用武之地。离散型随机变量是最简单的随机变量。本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法。二、学情分析学生在必修 3 概率一章中学习过的随机试验、随机事件、简单的概率模型和必修1 中学习过的变量、函数、映射等知识是学习、领悟和“接纳”随机变量概念的重要知识基础，教学时应充分注意这一教学条件；另外，为更好地形成随机变量和离散型随机变量两个概念，教学中可借助媒体列举和展现丰富的实例和问题，以留给学生更多的时间思考和概括。三、教学策略分析学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会。本课以情境为载体，以学生为主体，以问题为手段，激发学生观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，培养学生分析问题、解决问题的能力

四、目标分析 1知识与技能目标：理解随机变量和离散型随机变量的概念，能够运用随机变量表示随机事件，学会恰当的定义随机变量； 2、过程与方法目标：在教学过程中，以不同的实际问题为导向，弓I导学生分析问题的特点，归纳问题的共性，提高理解分析能力和抽象概括能力； 3、情感与态度目标：通过列举生活中的实例，提高学生学习数学的积极性, 使学生进一步感受到数学与生活的零距离，增强数学应用意识。五、教学重点与难点教学重点：随机变量、离散型随机变量概念的理解及随机变量的实际应用；教学难点：对随机变量概念的透彻理解及对引入随机变量目的的认识。六、教学过程设计：

选修2-3教案2.3.1离散型随机变量的均值

§2.3.1 离散型随机变量的均值教学目标（1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；（2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．教学重点，难点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义．教学过程一．问题情境 1．情景：前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下． 2．问题：如何比较甲、乙两个工人的技术？二．学生活动 1．直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论． 2．学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？ 3．引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法．三．建构数学 1．定义在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式1122...n n x p x p x p +++计算样本的平均值，其中i p 为取值为i x 的频率值．

其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ． 2．性质（1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数）四．数学运用 1．例题：例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学期望．分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取5n =个产品，随机变量X 为5个球中的红球的个数，则X 服从超几何分布(5,10,30)H ．从而 2584807585503800700425 ()012345 1.66672375123751237512375123751237513 E X =? +?+?+?+?+?=≈ 答：X 的数学期望约为1.6667．说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0 ()r n r n M N M n r N r C C M E X n C N --===∑ ．例2．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X 的数学期望 ()E X ．解：由于批量较大，可以认为随机变量~(10,0.05)X B ， 1010()(1),0,1,2, (10) k k k P X k p C p p k -===-=

连续型随机变量

§3 连续型随机变量除了离散型随机变量之外，还有非离散型的随机变量，这些随机变量的取值已不再是有限个或可列个。在这类非离散型随机变量中，有一类常见而重要的类型，即所谓连续型随机变量。粗略地说，连续型随机变量可以在某特定区间内任何一点取值。例如某种树的高度；测量的误差；计算机的使用寿命等等都是连续型随机变量。对于连续型随机变量，不能一一列出它可能取值，因此不能像对离散型随机变量那样用它取各个可能值的概率来描述它的概率分布，而是要考虑该随机变量在某个区间上取值的概率，我们是用概率密度函数来研究连续型随机变量的。一．概率密度和连续型随机变量定义：对于随机变量X ，如果存在非负可积函数 ()()f x x -∞<<+∞，使得对于任意实数， ,()a b a b <都有 {}()b a P a X b f x dx <<= ? ，则称X 为连续型随机变量；称()f x 为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度．由定义可知，分布密度()f x 具有如下基本性质: （１）．()0()f x x ≥-∞<<+∞；（２）． ()()1f x dx P X +∞ -∞ =-∞<<+∞=? ．这两条性质的几何意义是：概率分布密度曲线不在x 轴下方，且该曲线与x 轴所围的图形面积为1。性质(1)、(2)可以作为判定一个函数是否可以作为一个连续型随机变量的分布密度的条件。对于连续型随机变量X 可以证明，它在某一点a 处取值的概率为零，即对于任意实数a ，有()0P X a ==．即研究X 在某一点处取值的概率是没有什么实际意义的。从而可知，研究X 在某区间上取值的概率时，该区间含不含端点，不影响概率值。即 (３)．对于任意实数， ,()a b a b <都有 {}{}{}{}()b a P a X b P a X b P a X b P a X b f x dx <<=≤<=<≤=≤≤=? 【例1】设X 是连续型随机变量，已知X 的概率密度为其中λ为正常数．试确定常数A ．

几种常用连续型随机变量

几种常用的连续型随机变量给出一个新概念：广义概率密度函数。设连续型随机变量ξ的概率密度函数为φ(x ), 那么任何与之成正比的函数f (x )∝φ(x ), 都叫做ξ的广义概率密度函数, 或者说, 一个函数f (x )是ξ的广义概率密度函数, 说明存在着一实数a , 使得 φ(x )=af (x ) (1) 而知道了广义概率密度函数, ξ的概率密度函数就可以根据性质1)(=?+∞ ∞ -dx x ?, 求出将(1)式代入得: 1)()(??+∞ ∞ -+∞ ∞ -==dx x af dx x ? 则?∞+∞ -= dx x f a )(1 因此, 知道了广义概率密度函数就等于知道了一般的概率密度函数, 我们只需关心函数的形状就可以了解概率密度的性质了. 因此也不必关于那个常数是什么. 4.4 指数分布指数分布的概率密度函数为 ?? ?>=-其它 )(x e x x λλ? 它的图形如下图所示: 它的期望和方差如下计算: () λ λ λ?ξλλλλλ1 1 )(0 =- =+-=-= = = ∞ +-∞+-∞ +-+∞ -+∞ -+∞ ∞ -????x x x x x e dx e xe e xd dx e x dx x x E

() 2 20 202 2 2 2 2 2)(|λξλ λ?ξλλλλ= = +-=-= = = ????∞+-∞+-+∞ -+∞ -+∞∞ -E dx xe e x e d x dx e x dx x x E x x x x 2 2 2 221 1 2 )(λ λ λ ξξξ= - = -=E E D 指数分布常用来作为各种"寿命"分布的近似. 4.5 Γ-分布如果一个随机变量ξ只取正值, 且在正半轴的广义概率密度函数的形式是x 的某次方x k 乘上指数函数e -λx , 即 ?? ?>->>=-其它 ) 0,1(0)(λλk x e x x f x k 那么就称ξ服从Γ-分布了. 上式中之所以要求k >-1, λ>0, 是因为广义积分 ?? +∞ -+∞ ∞ -= )(dx e x dx x f x k λ 只有在这种条件下才收敛. 此外, 传统上为了方便起见, 用另一个常数r =k +1, 因此广义概率密度函数写为 ?? ?>>>=--其它 ) 0,0(0)(1λλr x e x x f x r 而真实的概率密度函数φ(x )=af (x ), 可以给出常数a 由下式计算: ?∞ +--= 11 dx e x a x r λ 这样, 计算的关键就是要计算广义积分 ?+∞ --0 1dx e x x r λ, 作代换t =λx , 则x =t /λ, dx =dt /λ, 则???+∞ --+∞ --+∞ --= ? ?? ? ?=0 101 011 1 dt e t dt e t dx e x t r r t r x r λ λ λλ, 问题就转成怎样计算广义积分? +∞ --0 1dt e t t r , 这个积分有一个参数r >0, 在r 为一些特定的参数时, 如当r =1时, 上面的广义积分还是可以计算的, 但是当r 为任意的正实数时, 此广义积分就没有一般的公式, 一般的原函数表达式. 在这种情况下数学家常用的办法就是定义一个新的函数. 比如说, 在中学学的三角函数就无法用一个加减乘除的公式表示, 因此就发明了sin , cos 这样的记号来代表三角函数. 同样, 上面的广义积分的取值只依赖于参数r , 每给定一个r 值就有一个积分值与之对应, 因此也可以定义一个函数, 叫Γ-函数, 定义为

离散型随机变量的方差教案

§2．3．2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2 D ξ”，以及“若ξ～Β(n ， p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入： 1. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 2.若ξB （n,p ），则E ξ=np 二、讲解新课： 1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…， n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么, ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋n n p E x ?-2)(ξ＋… 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ

的期望． 2. 标准差: ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ． 3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p ) 三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷散子所得点数X 的分布列为从而 111111 123456 3.5666666 EX =?+?+?+?+?+?=; 2222221111 (1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)6666 11 (5 3.5)(6 3.5) 2.92 66 DX =-?+-?+-?+-? +-?+-?≈ 1.71X σ=.

离散型随机变量的方差教案

离散型随机变量的方差教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2 离散型随机变量的方差一、三维目标： 1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。 2、过程与方法：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则 Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。 3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差三、教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题四、教学过程：（一）、复习引入： 1..数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 3. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 4、如果随机变量X 服从两点分布为 E ξ=np 5、如果随机变量X 服从二项分布，即X ～ B （n,p ），则EX=np （二）、讲解新课： 1、(探究1) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2， 3，3，4；则所得的平均环数是多少？ (探究2) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？ 2、离散型随机变量取值的方差的定义: 设离散型随机变量X 的分布为： 104332221111+++++++++= X 2 10 1 4102310321041=?+?+?+?=] )()()[(1 22212x x x x x x n s n i -++-++-= 1 ])24()23()23()22()22()22()21()21()21()21[(10 1 222222 22222=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=s 22222)24(10 1 )23(102)22(103)21(104-?+-?+-?+-?= s

离散型随机变量的均值与方差(含答案)

离散型随机变量的均值与方差测试题（含答案）一、选择题 1．设随机变量()~,B n p ξ，若()=2.4E ξ，()=1.44D ξ，则参数n ，p 的值为（） A ．4n =，0.6p = B ．6n =，0.4p = C ．8n =，0.3p = D ．24n =， 0.1p = 【答案】B 【解析】由随机变量()~,B n p ξ，可知()==2.4E np ξ，()=(1)=1.44D np p ξ-，解得 6n =，0.4p =．考点：二项分布的数学期望与方差．【难度】较易 2．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则p =（） A ．13 B ．23 C ．15 D ．25 【答案】A 考点：二项分布的数字特征. 【题型】选择题【难度】较易 3．若随机变量),(~p n B ξ，9 10 3 5==ξξD E ，，则=p ( ) A. 31 B. 32 C. 52 D. 5 3 【答案】A 【解析】由题意可知，()5,3 101,9E np D np p ξξ? ==????=-=?? 解得5,1,3n p =???=??故选A. 考点：n 次独立重复试验.

【题型】选择题【难度】较易 4．若随机变量ξ的分布列如下表，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是（） ξ 0 1 P m n A ．()()3 ,E m D n ξξ== B ．()()2 ,E m D n ξξ== C ．()()2 1,E m D m m ξξ=-=- D ．()()2 1,E m D m ξξ=-= 【答案】C 考点：离散型随机变量的概率、数学期望和方差．【题型】选择题【难度】较易 5．已知ξ～(,)B n p ，且()7,()6E D ξξ==，则p 等于( ) A. 7 1 B. 6 1 C. 5 1 D. 4 1 【答案】A 【解析】∵ξ～(,)B n p ，∴()7,()(1)6E np D np p ξξ===-=，∴1 49,7 n p ==，故选A. 考点：二项分布的期望与方差. 【题型】选择题【难度】较易 6．设随机变量ξ～(5,0.5)B ，若5ηξ=，则E η和D η的值分别是（）

数学：人教版选修2-3第二章离散型随机变量教案(2.1.2离散型随机变量的分布列)

2． 1．2离散型随机变量的分布列教学目标：知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。教学重点：离散型随机变量的分布列的概念教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？二、讲解新课： 1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表 ξ x 1 x 2 … x i … P P 1 P 2 … P i … 为随机变量的概率分布，简称的分布列 2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1) 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 ???+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ 3.两点分布列: 例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令

离散型随机变量的概念教学设计

离散型随机变量的概念教学设计公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

离散型随机变量的概念》教学设计一、教材分析《离散型随机变量的概念》是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3》第二章随机变量及其分布的第一节离散型随机变量及其分布列的第一课时。本章是在必修三中学习了基本的概率统计知识的基础上，进一步学习随机变量及其分布的知识。本节内容一方面承接了必修三的知识；另一方面，掌握好这一节课将有助于后续的学习，因此它在知识体系上起着承上启下的作用。随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，从而使得更多的数学工具有了用武之地。离散型随机变量是最简单的随机变量。本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法。二、学情分析学生在必修3概率一章中学习过的随机试验、随机事件、简单的概率模型和必修1中学习过的变量、函数、映射等知识是学习、领悟和“接纳”随机变量概念的重要知识基础，教学时应充分注意这一教学条件；另外，为更好地形成随机变量和离散型随机变量两个概念，教学中可借助媒体列举和展现丰富的实例和问题，以留给学生更多的时间思考和概括。三、教学策略分析学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会。本课以情境为载体，以学生为主体，以问题为手段，激发学生观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。

四、目标分析 1、知识与技能目标：理解随机变量和离散型随机变量的概念，能够运用随机变量表示随机事件，学会恰当的定义随机变量； 2、过程与方法目标：在教学过程中，以不同的实际问题为导向，引导学生分析问题的特点，归纳问题的共性，提高理解分析能力和抽象概括能力； 3、情感与态度目标：通过列举生活中的实例，提高学生学习数学的积极性，使学生进一步感受到数学与生活的零距离，增强数学应用意识。五、教学重点与难点教学重点：随机变量、离散型随机变量概念的理解及随机变量的实际应用；教学难点：对随机变量概念的透彻理解及对引入随机变量目的的认识。六、教学过程设计：

离散型随机变量的均值

2．3离散型随机变量的均值与方差2．3.1离散型随机变量的均值 1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点) 2．掌握两点分布、二项分布的均值．(重点) 3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点) [基础·初探] 教材整理1离散型随机变量的均值阅读教材P60～P61例1，完成下列问题． 1．定义：若离散型随机变量X的分布列为：则称E(＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量 2．意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 3．性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝ax i＋b)＝P(X＝x i)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 1．下列说法正确的有________．(填序号) ①随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化； ②随机变量的均值反映样本的平均水平；

③若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4； ④随机变量X 的均值E (X )＝ x 1＋x 2＋…＋x n n . 【解析】 ①错误，随机变量的数学期望E (X )是个常量，是随机变量X 本身固有的一个数字特征．②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．③正确，由均值的性质可知．④错误，因为E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n . 【答案】 ③ 2．已知离散型随机变量X 的分布列为：则X 的数学期望E (【解析】 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝3 2. 【答案】 3 2 3．设E (X )＝10，则E (3X ＋5)＝________. 【解析】 E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35. 【答案】 35 教材整理2 两点分布与二项分布的均值阅读教材P 62～P 63，完成下列问题． 1．两点分布和二项分布的均值 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ； (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 2．随机变量的均值与样本平均值的关系随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值． 1．若随机变量X 服从二项分布B ? ? ???4，13，则E (X )的值为________. 【导学号：29472067】

离散型随机变量的均值教案.docx

关于《离散型随机变量的均值》的说课稿银川二中（西校区）黄海霞说课内容：普通高中人教A版（数学选修2-3）第二章第3节第一课时一《离散型随机变量的均值》? 下面，我将分别从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价设计等六个方面对本节课的设计进行说明. 一、背景分析： 1、学习任务分析《离散型随机变量的均值》是《随机变量及其分布》第三节第一小节的内容，本节课是第一课时?本节课主要的学习任务是从平均的角度引入离散型随机变量均值的概念，引导学生通过实际问题建立取有限值的离散型随机变量均值的概念，然后推导出离散型随机变量均值的线性性质EaX b = aE X b. 取有限值的离散型随机变量的均值是在学生学习完离散型随机变量及其分布列的概念基础上，进一步研究离散型随机变量取值特征的一个方面.学习本节课的内容既是随机变量分布的内容的深化，又是后续内容离散型随机变量方差的基础，所以学好本节课是进一步学习离散型随机变量取值特征的其它方面的基础离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的一个数字特征，是从一个侧面刻画随机变量取值的特点. 在实际问题中，离散型随机变量的均值具有广泛的应用性?因此我以为本节课的重点是：取有限值的离散型随机变量均值的概念. 2、学生情况分析本节课之前，学生已有平均值、概率、离散型随机变量及其分布列，二项分布及其应用等基础知识，具备了学习本节知识的知识储备.本节课是一节概念新授课，教材从学生熟悉的平均值出发，从身边的实际问题中抽象出了取有限值的离散型随机变量均值的概念，这需要一定的概括和抽象能力.鉴于学生的概括、抽象能力不是太强，因此学生对概念的形成和理解会有一定的困难. 基于以上认识，我以为本节课的教学难点是：离散型随机变量均值概念的形成和理

《离散型随机变量》教案

高一数学必修2-3 2.1--01 《2．1．1离散型随机变量》导学案编撰崔先湖姓名班级组名. 【学习目标】1.理解随机变量地意义； 2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量地例子； 3.理解随机变量所表示试验结果地含义，并恰当地定义随机变量. 【学习重点】随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量地意义【学习难点】随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量地意义【学法指导】自主与讨论相结合【导学过程】一教材导读思考1：掷一枚骰子，出现地点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币地结果是否也可以用数字来表示呢？在掷骰子和掷硬币地随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定地数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果地变化而变化．定义1：称为随机变量．随机变量常用字母…表示．思考2：随机变量和函数有类似地地方吗？随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验地映为，函数把映为．在这两种映射之间，试验结果地范围相当于函数地，随机变量地取值范围相当于函数地．我们把随机变量地取值范围叫做随机变量地．例如，在含有10件次品地100 件产品中，任意抽取4件，可能含有地次品件数X 将随着抽取结果地变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品”, {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出3 件以上次品”又如何用X 表示呢？定义2：，称为离散型随机变量. 离散型随机变量地例子很多．例如某人射击一次可能命中地环数X 是一个离散型随机变量，它地所有可能取值为；某网页在24小时内被浏览地次数Y也是一个离散型随机变量，它地所有可能取值为.jLBHrnAILg 思考3：电灯地寿命X是离散型随机变量吗？连续型随机变量: 对于随机变量可能取地值，可以取某一区间内地一切值，这样地变量就叫做连续型随机变 4.离散型随机变量与连续型随机变量地区别与联系: 注意：（1）有些随机试验地结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，表示反面向上xHAQX74J0X （2）若ξ是随机变量，b a b a, , + =ξ η是常数，则η也是随机变量二、题型导航题型一、随机变量概念地辨析【例1】将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量地是：（） (A)两次出现地点数之和；(B)两次掷出地最大点数；(C)第一次减去第二次地点数差；(D)抛掷地次数. 变式1（1）洪湖车站每天候车室候车地人数X，（2）张三每天走路地步数Y，（3）下落地篮球离地面地距离Z，（4）每天停靠洪湖港地船地数量S.不是离散型随机变量地是LDAYtRyKfE 解题总结题型二、随机变量地值域【例2】写出下列随机变量可能取地值，并说明随机变量所取地值表示地随机试验地结果 (1)一袋中装有5只同样大小地白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出地球地最大号码数ξ； (2)某单位地某部电话在单位时间内收到地呼叫次数η 变式2写出下列各随机变量可能取得值：（1）抛掷一枚骰子得到地点数.（2）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球地个数.（3）抛掷两枚骰子得到地点数之和.（4）某项试验地成功率为0.001，在n次试验中成功地次数.（5）某射手有五发子弹，射击一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求这名射手地射击次数X地可能取值解题总结题型三有关随机变量地不等式【例3】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出地点数与第二枚骰子掷出地点数地和为ξ，试问：（1）“ξ< 4”表示地试验结果是什么？（2）“ξ> 11”表示地试验结果是什么？变式3 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出地点数与第二枚骰子掷出地点数地差为ξ，试问：“ξ> 4”表示地试验结果是什么？

连续型随机变量的分布与例题讲解

连续型随机变量的分布（一）连续型随机变量及其概率密度函数 1.定义：对于随机变量X 的分布函数 F(X) ，若存在非负函数f(x), 使对于任意的实数 x，有F ( x)x f(x) 称为 X f (t)dt ，则称X为连续性随机变量，的概率密度函数，简称概率密度。注： F(x)表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。 2 .密度函数f(x) 的性质：注： f( x)不是概率。 1) f( x)≥ 0 + f ( x) dx = 1 2) ò-x 2 3)P{x 1 < X ? x 2 }òx1 f (x) dx = F (x 2 ) - F (x 1 ) 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{ X = x} = 0. （但 { X=x} 并不一定是不可能事件）因此P(a≤X ≤ b)= P(a< X

离散型随机变量精品教案

离散型随机变量一．教学目的 1．了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义，并能说明随机变量取的值所表示的随机试验的结果． 2．通过本课的学习，能举出一些随机变量的例子，并能识别是离散型随机变量，还是连续型随机变量．二．教学重点：随机变量，离散型随机变量，连续型随机变量的概念的理解．教学难点：随机变量，离散型随机变量，连续型随机变量的概念的理解三．教学用具：投影仪四．教学过程 1．新课引入（1）展示教科书章头提出的两个实际问题（有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学），激发学生的求知欲．（2）指出本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题． 2．提出教科书中两个随机试验的例子，让学生观察，概括出它们的共同特点可问：在这些随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数来表示．这个数在随机试验前是否是预先确定的？在不同的随机试验中，结果是否不变？ 3．提出随机变量的概念在观察、思考、概括上述两个随机试验的共同特点的基础上，提出随机变量这一概念：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用希腊字母、等表示． ξη 让学生自己看教科书中两个例子的随机变量可能取的值及随机变量所取值表示的随机试验的结果． 4．讲解例1、例2 例1 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数； ξ （2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数．η 解：（1）可取3，4，5．ξ ，表示取出的3个球的编号为1，2，3；3=ξ ，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，44=ξ ，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2， 5=ξ

连续型随机变量

江苏科技大学毕业论文（设计）题目：连续型随机变量在实际生活中的应用姓名：顾苗学号：1140503102 教学院：数理学院专业班级：11级统计一班指导教师：王康康完成时间：2015年06月10日二零一伍年六月

连续型随机变量在实际生活中的应用Continuous random variables applied in real life

江苏科技大学毕业设计（论文）江苏科技大学毕业设计（论文）任务书学院名称：数理学院专业：统计学学生姓名：顾苗学号：1140503102 指导教师：王康康职称：讲师

江苏科技大学毕业设计（论文）毕业设计（论文）题目：连续型随机变量在实际生活中的应用一、毕业设计（论文）内容及要求（包括原始数据、技术要求、达到的指标和应做的实验等）连续型随机变量在现实生活中有广泛的应用，许多物理过程和社会现象均可以由各种常见的随机过程来刻画。如泊松过程、正态过程、马氏过程等等，其应用非常广泛。在实际运用时，我们考虑它们在各种经济模型中的应用和计算，它们种类繁多，形式各异。具有很强的现实意义。 1、给出连续型随机变量的基本概念。 2、给出几种常见的连续型随机变量的理论意义。 3、给出几种常见的连续型随机变量在各种经济模型中的应用。二、完成后应交的作业（包括各种说明书、图纸等） 1、至少6000字以上的论文 2、教师指定阅读的外文文献原文 3、指定外文文献的译文6000字以上

三、完成日期及进度 2015.2.25～2015.3.16 文献检索与资料收集； 2015.3.16～2015.4.12 文献阅读及撰写开题报告； 2015.4.12～2015.5.8 论文构思与内容； 2015.5.8～2015.5.24 撰写论文； 2015.5.24～2015.6.9 论文评阅及答辩。