应用数理统计吴翊李永乐第三章假设检验课后作业参考答案

第三章 假设检验

课后作业参考答案

某电器元件平均电阻值一直保持Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显着影响(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36

/06.064

.261.2/u 00

-=-=

-=

n

X σμ

(3)否定域????

??>=????

??>??

???

??<=--21212

αααu u u

u u u V (4)给定显着性水平01.0=α时，临界值575.2575.22

12

=-=-

α

αu

u ，

(5) 2

αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显着性影响。

一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测

得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布，

试在显着水平下确定这批元件是否合格。 解：

{}01001:1000, H :1000

X 950 100 n=25 10002.5

V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得：

拒绝域：

本题中：0.950.950

u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。

某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布(

)2

,σ

μN ，其中()2

/40cm kg =σ。现从一

批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，

X 较μ大20(2/cm kg )。设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显着提

高 解：

(1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13

/4020

/u 00

==

-=

n

X σμ (3)否定域{}α->=1u u V

(4)给定显着性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu

(5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显着提高。 某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）：

设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为

解：

010110

2: 3.25 H :t X 3.252, S=0.0117, n=5

0.3419

H x μμμμσ==≠==提出假设：构造统计量：本题属于未知的情形，可用检验，即取检验统计量为：本题中，代入上式得：否定域为：1-20.99512

0 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041

, 3.25n t t t

H ααα-

??-??

??

==<∴Q 本题中，接受认为这批矿砂的镍含量为。

确定某种溶液中的水分，它的10个测定值0.452%,0.035%,X S ==

2N(,),μσ设总体为正态分布试在水平5%检验假设：

0101() H :0.5% H :0.5%() H :0.04% H :0.0.4%

i ii μμσσ≥<≥<

{}0.95()0.452% S=0.035%-4.1143

(1)0.05 n=10 t (9) 1.833i t X n ασα==-==1-构造统计量：本文中未知，可用检验。取检验统计量为X 本题中，代入上式得： 拒绝域为：

V=t >t 本题中，0

1 4.1143H <=∴t 拒绝

{}2

2

2

002

2

2212210.95

2()nS S 0.035% n=10 0.04%100.035%7.65630.04% V=(1)(1)(9)16.919

ii n n αα

μχσσχχχχ

χ

χ--=

==*==>--==Q 2

构造统计量：未知，可选择统计量本题中，代入上式得：

（）

（）

否定域为：

本题中， 210

(1)n H αχ-<-∴接受

使用A(电学法)与B(混合法)两种方法来研究冰的潜热，样品都是C o

72.0-的冰块，下列数据是每克冰从C o

72.0-变成C o

0水的过程中吸收的热量(卡/克)； 方法A ：，，，，，，

，，，，， 方法B ：，，，，，，，

假设每种方法测得的数据都服从正态分布，且他们的方差相等。检验:0H 两种方法的总体

均值相等。(05.0=α)

解：

()

()

4

8

1

2

2

2413

1

2

218

1131106.881

,104.5131

9788

.7981,0208.80131-=-===?=-=

?=-=

====∑∑∑∑i i i i i i i i Y Y S X X S Y Y X X

(1)提出假设211210::μμμμ≠=H H ，

(2)构造统计量()98.3222

2211212121=+-+-+=S n S n Y

X n n n n n n t (3)否定域

()()()?

??

???-+>=??????-+>???????-+<=-

-22221212121212n n t t n n t t n n t t V ααα

(4)给定显着性水平05.0=α时，临界值

()()0930.2192975.0212

1==-+-

t n n t

α

(5) ()2212

1-+>-

n n t

t α

，样本点在否定域内，故拒绝原假设，认为两种方法的总体均值

不相等。

今有两台机床加工同一种零件，分别取6个及9个零件侧其口径，数据记为61,,X X X Λ及921,,Y Y Y Λ，计算得

∑∑∑∑========9

1

2

91

61

2

6

1

173.15280,8.307,93.6978,6.204i i i i i i i i

Y Y X X

假设零件的口径服从正态分布，给定显着性水平05.0=α，问是否可认为这两台机床加工零件口径的方法无显着性差异 解：

357.01,345.011222

21222

1

=-==-=∑∑==n i i n i i Y Y n S X X n S

(1)提出假设2

221122210::σσσσ≠=H H ，

(2)构造统计量()()031.1112

2

122

121=--=S n n S n n F (3)否定域

()()()?

?????-->=??????-->???????--<=-

-1,11,11,121212121212n n F F n n F F n n F F V ααα

(4)给定显着性水平05.0=α时，临界值

()()82.48,51,1975.0212

1==---

F n n F

α

(5) ()1,1212

1--<-

n n F

F α

，样本点在否定域之外，故接受原假设，认为两台机床加工零

件口径的方差无显着性影响。

用重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中2SiO 的含量，得如下结果 重量法：n=5次测量，120.5%,0.206%X S == 比色法：n=5次测量，221.3%,0.358%Y S == 假设两种分析法结果都服从正态分布，问

（i ）两种分析方法的精度σ（）

是否相同 （ii ）两种分析方法的μ均值（）是否相同0.01α=（） 解：（i ）

1211221212

212

12121211H : H :n (1) F=n (1)H F F 11(11)(11)V H 0.01

5, n S n S n n n n n n n αασσσσα-=≠----????----????

????

==:U 00220提出原假设：对此可采用统计量在下，（，），我们可取否定域为 V=FF ，此时 P()=本题中，111 x 20.5%, S =0.206% 5, y 21.3%, S =0.358%

n ===

212122120.0050.9950.0050.995n (1)5(51)0.206%F=0.3311n (1)5(51) F 0.0669 F F F H n S n S -*-*==-*-*=∴2

2

0代入上式得：

（）

（0.358%）

1

（5，5）=

14.94

（5，5）=14.94由于 （5，5）

(ii)

1202122

22

21

21112012H H :11() ()

H 2 V=n n i i i i X Y S X X S Y Y n n t n n t μμμμσ===≠=-=-+-∑∑11提出假设：：这种未知的场合，用统计量其中在成立时，服从自由度为的分布。

否定域为：

12121111t ((2))V H 0.01

5, x 20.5%, S =0.206% 5, y 21.3%, S =0.358%)

t n n n n X Y αα-

??

>+-??

??

======

0此时 P()=本题中，代入上式得：120.9951-

2

121-

2

0 =-3.8737 t

(2)t (8) 3.3554

t

(2)

,n n t n n H αα+-==>+-∴Q 拒绝即差距显著。

设总体116(,4),,,X N X X μ:K 为样本，考虑如下检验问题：

{}{}01123

:0 H :1

() =0.05 V ={2X -1.645}

V = 1.502X 2.125

V =2X 1.962X 1.96

(ii)

H i μμα==-≤≤≤≤-≥试证下述三个检验（否定域）犯第一类错误的概率同为或通过计算他们犯第二类错误的概率，说明哪个检验最好？

解：

{}{}

{}

{

}

00.97512012()

0.05

0.05

:0

2*1.960.052 1.645

02 1.645 1.645( 1.645)1(1.645)

=1-0.95=0.05

V 1.502 2.i P x V H X U U H X V X X P X P X ααμσμσ-=∈=??-??=>==??????=∴>==≤-????-??

≤-=≤-=Φ-=-Φ????????

=≤≤即，P U 这里P {

}

{}{

}{

}

{}

{}

203301110125 1.50 2.120(2.215)(1.50)0.980.930.05

2 1.962 1.962 1.96 1.96P(V H )=1-P 2 1.962(1(1.96))0.05ii :2 1.645X P V H V X X X X H V X σββ????-??

=≤≤??

??

????

=Φ-Φ=-=???

=≤-≥=≥=≥?

???

<=-Φ=X ≥-或（）

犯第二类错误的概率 =P -V =P {}

1

μ=-

{

}

{

}

223310.3551(0.355)0.36

:1 1.502 2.12511 4.125:2 1.961

10.04 3.96V P X V P X σβμσβμσ????+??

≥=-Φ=????????=-≤≤=-????+??

≤≤??

??

????ΦΦ=≤=-????+??

≤≤??

??

???

X =P X =1-P 3.50 =1-(4.125)+(3.50) =1

X =P ?ΦΦ∴11 =(3.96)-(0.04)

=0.99996092-0.516=0.48396092V 出现第二类错误的概率最小，即V 最好。

一骰子投掷了120次，得到下列结果：

问这个骰子是否均匀(0.05)α= 解：

2

2

i 1

22

i 1

1

:6

20

()()20i k

i i i k

i i i P n np np n np np χχχ====-=-+++==∑

∑L L 0i 2222

本题原假设为： H i=1,2,,6这里n=120,nP 本题采用的统计量为Pearson 统计量即， 代入数据为：

（23-20）（26-20）（15-20）

=4.8

22

10.95

21k-15k-1H ααχχχχ--<20（）=（）=11.071由于 （） 所以接受即认为这个是均匀的。

某电话站在一小时内接到电话用户的呼唤次数按每分钟记录的如下表：

试问这个分布能看作为泊松分布吗α（=0.05） 解：

{}{}{}{}02

2112

2222

2332

24H :()!

81610

X n 01*6*7*260606060

200.13530!212*0.2707

1!222*0.2707

2!23 1.5*0.23!

k e P x k k p e P P X e e P P X e e P P X e e P P X e λ

λλ

λλ-∧

∧

--------==

===*

+++++====

=================L L 0检验问题为： 参数为已知的最大似然估计 {}{}{}{}{}422

5522

6622782222

2

1030

224*0.0902

4!3

245* 0.0361

5!1524

6* 0.0120

6!45

7160

()(860*0.1353)(1660*0.2707)(160*0.0120)60*0.135360*0.270760*0k

i i i i

e P P X e e P P X e e P P X e P P X P X n np np χ------=================≥=-≤=----==+++

∑L .01200.6145

=

21210k-1k-1,H ααχχχχ--<∴Q 2

0.95

2由于（）=（5）=11.071（）

接受即分布可以看作为泊松分布。

检查产品质量时，每次抽取10个来检查，共抽取100次，记录每10个产品中的次品数如下表：

试问生产过程中出现次品的概率能否看作是不变的，即次品数X 是否服从二项分布(1.0=α) 解：

提出假设0H ：()()k

k

n k n p p C k X P -==-1

参数p 的极大似然估计为：()1.01000/010401350?=?++?+?=Λp

()()()()()()()0

0001

.09.01.060015.09.01.050112

.09.01.040574

.09.01.031937.09.01.023874.09.01.013487

.09.0010987466106555

1056

4

4

10

4733103822102911101100≈===============================P P P P C X P P C X P P C X P P C X P P C X P P C X P P X P P

()0734.51

2

2

=-=∑

=k

i i

i i np np n χ

()()()22129.0211,645.1061χχχχαα>-==---k k ，故在置性水平1.0=α下接受0H ，认为

次品数服从二项分布。

从一批滚珠中随机抽取了50个，测得他们的直径为（单位：mm ）:

是否可认为这批滚珠直径服从正态分布(0.05)α= 解：

2123(),H :()()

H 0.1833

(

)(-1.1163)0.1321

0.428214.815.078

p ()(-1.1163)(-0.6492)(-1.1163)0.1260

0.4282p X F x x F x p μ

σ

μσμσ-=Φ==Φ=Φ=-=Φ-Φ=Φ-Φ==Φ020设为滚球的直径，其分布函数为则检验问题为

在成立的条件下，参数，的最大似然估计为=15.078，14.6-15.078

15.115.078

()(-0.6492)(0.0514)(-0.6492)0.2624

0.4282--Φ=Φ-Φ=

4512340.95

2015.415.078

p ()(-0.6492)(0.7520)(0.0514)0.2535

0.4282

p 10.2260k-m-12k-m-1,p p p p H ααχχχχ-=Φ-Φ=Φ-Φ==----=<∴Q 221-21-（）=（）=5.991（）=5.991

接受认为滚珠直径服从正态分布。

表3-13

调查339名50岁以上吸烟习惯于患慢性支气管炎病的关系，得下表： 试问吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率是否有所不同(01.0=α)

解：:0H 吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率相同

:1H 吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率不同

对每个对象考察两个指标，X ——是否吸烟，Y ——是否患病 X 的取值：吸烟，不吸烟；Y 的取值：患病，不患病

要研究吸烟与患慢性支气管炎病是否有关，这是一个r=s=2的二元列联表

134,283,205,56,121,162,13,432..21..122211211========n n n n n n n n

()469.72

..21..12

211222112

=-=n n n n n n n n n

χ

对于01.0=α，查表()()2299.012

635.611χχχ

α

<==-，所以拒绝0H ，认为吸烟者的慢性

支气管炎病患病率较高。

解：

2X X X Y Y Y Y X ======13123设为年龄 儿童 成年 老年 为疗效 显著 一般 较差

2

2

21111112

11H Y (1)(1)

i j i j ij ij i j r s r s r s ij i j i j i j i j i j i j

r

s

ij i j i j

p p n n n n n p p n n n n n n n n n p p n n n n χχ??∧

∧

????∧∧

======??????==??=*????--????????===-=-∑∑∑∑∑∑∑∑

0ij 22： p i=1,2,3 j=1,2,3 即X 与独立本题选择的统计量为

代入数据得： 221-0.95222

1-0.9503813.5862

((1)(1))(4)9.488((1)(1))(4)

,r s r s H ααχχχχχ--==>--=∴Q 222222

222

5832284445=300(+++++

109*128100*12891*128109*117100*11791*117231814 +++-1)

109*55100*5591*55

=拒绝认为疗效与年龄有关。

自动机床加工轴，从成品中抽取11根，并测得它们直径（单位：mm ）如下：

试检验这批零件的直径是否服从正态分布(0.05,)W α=用检验 解： 为了便于计算，列表如下：这里n=11。表3-16

012

2

()

1

11

2()

1

5

k (12)()i=1

: H :()()()0.3821

10.5264

a ()[]

=0.560n

k k k i k k H W X

X X

X X W X X ==-≤≤≤????

-????

??????--==-∑∑∑∑L (1)(2)(n)n []2k (n+1-k)(k)k=1总体服从正态分布总体不服从正态分布将观察值按非降次序排列成： X X X 本题采用的统计量为：

a X X W=

2

0.050.05

01*0.64+0.3315*0.45+0.2260*0.29+0.1429*0.23+0.0695*0.1=0.61300.6130 W=0.9834

0.3821

W 0.85,W W H ==>∴Q 所以

接受认为这批零件的直径服从正态分布。

用Agostino D '

D 检验法检验例。

解：:0H 维尼纶纤度服从正态分布:1H 维尼纶纤度不服从正态分布 为了便于计算，统计量D 的分子可以换成与其相等的形式：

()()[]k k n k X X k n -???

??-+-??

?

???=∑101212

1 定义统计量：

()()()[]

466.018

.123345

.572121101211==

-??? ?

?-+??? ?

?+-=

-??

?

???==∑∑k k n k k n

k X X k n X n k D

对于给定的显着性水平01.0=α，查表得

57.3,59.1005.02

995.02

1-====-

D D D D

αα

,由于2

12

α

α-

<

D D ,故接受0H ，认为维尼

纶纤度服从正态分布 3

.18用两种材料的灯丝制造灯泡，今分别随机抽取若干个进行寿命试验，其结果如下： 甲（小时）：1610 1650 1680 1700 1750 1720 1800 乙（小时）：1580 1600 1640 1640 1700

试用秩和检验法检验两种材料制成的灯泡的使用寿命有无显着差异(0.05)α=

解：将两组数据按从小到大的次序混合排列如下表所示，其中第一组的数据下边标有横线。

1212F ()(),:F ()F ()

x F x x x =0设两个总体的分布函数分别为与它们都是连续函数，但均为未知。我们要检验的原假设为： H

表3-18

这里1700两组都有，排在第8，第9位置上，它的秩取平均数（8+9)/2= 这里

1220.050.05075,,12458.520.5

1322,4322

,n n T T H ααα=>==++++======∴Q 2(1)(1)(2)(2)

(1)取即 T=T 从附表查得 T T T T T

,

对20台电子设备进行3000小时寿命试验，共发生12次故障，故障时间为 340 430 560 920 1380 1520 1660 1770 2100 2320 2350 1650

试问在显着水平0.10α=下，故障事件是否服从指数分布

解：012i

i=1()

1416.67

0()():()(;)1,11X (3404301650)=1416.671212

F (;)1x X i i i i F x F x e X e

X d θ

θθθθ∧

∧

-∧

∧

-==-==+++=-∑L 0原假设为：H x>0

求未知参数的极大似然估计值

按公式计算点的分布函数值，在列表计算值。

12,0.1012,0.10

0S 2.2108,0.109S 1.65S S ,n n H α**

**===>∴Q 由表可知给定显著水平，查附表得拒绝既不认为故障时间服从指数分布。

由10台电机组成的机组进行工作，在2000小时中有5台发生故障，其故障发生的时间为： 1350 965 427 1753 665

试问这些电机在2000小时前发生的故障时间T 是否服从平均寿命为1500小时的指数分布(1.0=α)

解：:0H 故障时间服从指数分布:1H 故障时间不服从指数分布

求未知参数θ?的极大似然估计值为103251?5

1

==∑=i i X θ

()()

()

1032

01?,i X i e X F -

-=θ

计算()i X 点的分布函数值，再计算i d ，计算过程见下表：

由表知134.1*

=n S ，在给定的置性水平1.0=α下，

查表得*

*1.0,5*23.1n n S S S >==α，故接受0H ，认为服从平均寿命为1500小时的指数分布 考察某台仪器的无故障工作时间12次，的数据如下： 28 42 54 92 138 159 169 181 210 234 236 265 试问无故障工作时间是否服从指数分布(1.0=α) 解：

:0H 无故障工作时间服从指数分布

:1H 无故障工作时间不服从指数分布

求未知参数θ?的极大似然估计值为：667.150121?12

1

==∑=i i X θ ()()

()

667

.15001?,i X i e X F -

-=θ

计算()i X 点的分布函数值，再计算i d ，计算过程见下表：

由表知891.1*=n S ，在给定的置性水平1.0=α下，查表得*

*1.0,12*65.1n n S S S <==α，故拒

绝0H ，认为无故障工作时间不服从指数分布

对20台电子设备进行3000小时的寿命试验，共发生2次故障，故障时间为： 340 430 560 920 1380 1520 1660 1770 2100 2320 2350 2650 试问在显着性水平10.0=α下，故障时间是否服从指数分布 解：

:0H 故障时间服从指数分布

:1H 故障时间不服从指数分布

求未知参数θ的极大似然估计值：1500121?121

==∑=i i x θ ()()

()1500

01?,i X i e X F -

-=θ

计算()i X 点的分布函数值，再计算i d ，计算过程见下表：

***65.1,9319.1n n n S S S <==α，故在10.0=α下，拒绝0H ，认为故障时间不服从指数分

布。

甲乙两位工人在同一台机床上加工相同规格的主轴，从两人加工的主轴中分别随机的抽取7个，然后测量它们的外径(单位：mm)，的数据如下：

试用柯尔莫哥洛夫检验法和秩和检验法分别检验这两位工人加工的主轴外径是否服从相同的分布(20.0=α) 解：

(1)柯尔莫哥洛夫检验法

:0H 两位工人加工的主轴外径服从相同的分布

:1H 两位工人加工的主轴外径不服从相同的分布

求未知参数σμ,的极大似然估计值：∑===n

i i x n 1

96.191?μ

()

22

1

2

549.011?=--=∑=n i i x x n σ 计算过程见下表：

**20.0,14**183.0,1451.0n n n D D D D >===α，故在20.0=α下，接受0H ，两位工人加工的

主轴外径服从相同的分布。 (2)秩和检验法

将两组数据按从小到大的顺序排列，划横线为甲的数据

5.54T 5.50==乙甲，T

当12

n n ≥时，()()29.142/1,5.522/12121211=+=++n n n n n n n

14.029

.14T ,14.029

.145.525

.52==-=-=

-乙甲U T U

对于给定的置信水平U u u

>===-

285.1,20.090.02

1α

α，故接受原假设，认为两位工人

加工的主轴外径服从相同的分布。

在Agostino D '

D 统计量中，证明：

()

()()[]

k k n n k k n

k X X k n X n k -??? ?

?-+=??? ??+--+??

?

???==∑∑12112121 证明： (1)当n=2m 时

())

(21)(2112121221k m

k k m k k n

k X m k X m k X n k left ∑∑∑===??? ?

?

--=??? ??+-=??? ??+-=()()[]()()()

)

(1)12(1)(1)12(11211212121212121221k m

k k m m k k m

k k m m k k k m m

k k k n n k X m k X k m X k m X k m X X k m X X k n right ∑∑∑∑∑∑=-+==-+=-+=-+??

?

???=??? ?

?

--+??? ??-+=???

?

?-+-??? ??-+=-???

?

?-+=-??? ??-+=

令2m+1-k=p ，则k=2m+1-p ，有

left X m k X m k X m k X m k X m p right k m

k k m k k m m k k m

k p m

m p =??? ?

?

--=??? ??--+??? ??--=

??? ?

?

--+??? ??--=∑∑∑∑∑==+==+=)(21)

(1)(21)

(1)(212121212121

(2)当n=2m+1时，m m n =+=]2

1[]2

[

()())(1

21

1121k m k k n

k X m k X n k left ∑∑+==--=??? ??

+-=