全等三角形解题技巧

造全等三角形解题的技巧

全等三角形是初中几何《三角形》中的一个重要内容，是初中生必须掌握的三角形两大知识点之一（全等和相似），在解决几何问题时，若能根据图形特征添加恰当的辅助线，构造出全等三角形，并利用全等图形的性质，可以使问题化难为易，出奇制胜，现举几例供大家参考。

友情提示：证明三角形全等的方法有SAS、SSS、AAS、ASA、HL（Rt△）。

一、见角平分线试折叠，构造全等三角形

例1 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC。

求证：∠B：∠C=2：1。

证法一：在线段AC上截取AE=AB，连接DE。

在△ABD和△AED中

∵AE=AB，∠1=∠2，AD=AD，∴△ABD△AED。∴DE=DB，∠B=∠AED。

∵AB+BD=AC，∴AE+DE=AC。

又∵AE+CE=AC，∴DE=CE。∴∠C=∠EDC。

∵∠AED=∠C+∠EDC，∴∠AED=2∠C，即∠B=2∠C。∴∠B：∠C=2：1。

证法二：延长AB到F，使BF=BD，连接DF。∴∠F=∠BDF。

∵∠ABC=∠F+∠BDF，∴∠ABC=2∠F。

∵AB+BD=AC，∴AB+BF=AC，即AF=AC。

在△ADF和△ADC中，

∵AF=AC，∠1=∠2，AD=AD，∴△ADF△ADC。∴∠F=∠C。

又∵∠ABC=2∠F，∴∠ABC=2∠C，即∠ABC：∠C=2：1。

点评：见到角平分线时，既可把△ABD沿AD折叠变成△AED，也可把△ACD沿AD折叠变成△AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。

练习：如图3，△ABC中，AN平分∠BAC，CN⊥AN于点N，M为BC中点，若AC=6，AB=10，求MN的长。

图3

提示：延长CN交于AB于点D。则△ACN△ADN，∴AD=AC=6。

又AB=10，则BD=4。可证为△BCD的中位线。

∴。

点评：本题相当于把△ACN沿AN折叠成△AND。

二、见中点“倍长”线段，构造全等三角形

例2 如图4，AD为△ABC中BC上的中线，BF分别交AC、AD于点F、E，且AF=EF，求证：BE=AC。

图4

证明：延长AD到G，使DG=AD，连接BG。

∵AD为BC上的中线，∴BD=CD，

在△ACD和△GBD中，

∵AD=DG，∠ADC=∠BDG，BD=CD，∴△ACD△GBD。∴AC=BG，∠CAD=∠G。

∵AF=EF，∴∠CAD=∠AEF。∴∠G=∠AEF=∠BEG，∴BE=BG，

∵AC=BG，∴BE=AC。

点评：见中线AD，将其延长一倍，构造△GBD，则△ACD△GBD。

例3 如图5，两个全等的含有、角的三角极ADE和ABC如图放置，E、A、C三点在同一直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC

图5

试判断△EMC的形状，并说明理由。

解析：△EMC为等腰直角三角形。

理由：分别延长CM、ED，使其相交于点N，

可证△BCM△DNM。则BC=DN，CM=NM。

由于△DEA△ACB，则DE=AC，AE=BC，

∴DE+DN=AC+AE。即EN=EC，

则△ENC为等腰直角三角形。

∵CM=NM，∴EM⊥CN，

则可知△EMC为等腰直角三角形。

注：①本题也可取EC的中点N，连接MN，利用梯形中位线定理来证明。

②亦可连接AM，利用角的度数来证明。

练习1：如图6，在平行四边形ABCD中，E为AD中点，连接BE、CE，∠BEC=，

图6

求证：（1）BE平分∠ABC。

（2）若EC=4，且，求四边形ABCE的面积。

提示：见图中所加辅助线，证△ABE△DFE。

练习2：△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB的取值范围为多少？

注：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。

则△BDE△CDA。

∴BE=AC=5，DE=AD=7。

在△ABE中，BE=5，AE=14。

利用三角形三边关系可求线段AB的取值范围为：9

三、构造全等三角形，证线段的和差关系

例4 如图7，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠1=∠2。

图7

求证：BE+DF=AE。

证明：延长CB到G，使BG=DF，连接AG。

在△ABG和△ADF中，

∵AB=AD，∠ABG=∠D=，BG=DF，∴△ABG△ADF。∴∠G=∠AFD，∠4=∠1。∵∠1=∠2，∴∠4=∠2。

∵AB∥CD，∴∠AFD=∠2+∠3=∠4+∠3=∠GAE。

又∵∠G=∠AFD，∴∠G=∠GAE。∴AE=GE。

∵EG=BE+BG=BE+DF，∴BE+DF=AE。

从以上几例可以看出，全等三角形在证明中具有出奇制胜的作用。在解决有关角平分线、中点、线段的和差的问题时，通过添加辅助线构造全等三角形的办法，不仅能使问题迎刃而解，而且有助于学生创新思维的培养，提高学生的数学思维能力和分析能力。

1. 全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形．

1. 全等三角形有如下性质：

(1)全等三角形的对应边相等；(2)全等三角形的对应角相等；

(3)全等三角形的对应中线、对应角平分线、对应高相等；(4)全等三角形的面积相等，周长相等．

2. 等腰三角形两边相等的三角形叫等腰三角形．

(1)等边对等角；

(2)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；

(3)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；

(4)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半；

(5)顶角等于180°减去底角的两倍；

(6)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．

3．等腰三角形可分为腰和底边不等的等腰三角形及等边三角形．

等边三角形的三边相等，三个角都是60°，它具备等腰三角形的一切性质。

4. 等腰三角形的判定：①利用定义；②等角对

二、解题技巧

.1利用角平分线构造全等三角形解题

.2 利用中线构造全等三角形解题在等腰三角形的题目中常添加的辅助线是顶角的平分线，由此可以得到线段相等和垂直关系．另外，在未指明边(角)的名称时，应分类讨论．在解题时常会遇到与中线有关的问题，由中线可以提供的常见思路有：

①线段相等构造全等；②在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；③中线倍长：即延长中线，使延长的部分等于中线构造全等．