初中八上全等三角形证明方法归纳经典全

【第1部分 全等基础知识归纳、小结】

1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中，互

相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

概念深入理解：

（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。（外观长的像）

（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（位置变化）

2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A ′B ′C ′是全等的，记作“△ABC ≌△A ′B ′C ′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：

全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。 （1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。

（2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。 （3）全等三角形周长，面积相等。

4、寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找

如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找

图

3

图

1 图2

全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转；

5、全等三角形的判定：（深入理解）

①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS）

⑤斜边，直角边（HL）

注意：（容易出错）

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；

（2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

6、常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯）

如：⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F

⑵过点A作BC的垂线，垂足为D

⑶延长AB至C，使BC＝AC

⑷在AB上截取AC，使AC＝DE

⑸作∠ABC的平分线，交AC于D

⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点

同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同。

【第2部分 中点条件的运用】

1、还原中心对称图形（倍长中线法）

中心对称与中心对称图形知识：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这

两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

中心对称的两条基本性质：

（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。 （2）关于中心对称的两个图形是全等图形。 中心对称图形

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。（一个图形）如：平行四边形

线段本身就是中心对称图形，中点就是它的对称中心，所以遇到中点问题，依托中点借助辅助线还原中点对称图形，可以把分散的条件集中起来（集散思想）。

例1、AD 是△ABC 中BC 边上的中线，

若AB =2，AC =4，则AD 的取值围是_________。

例2、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF =EF ，

B'

A F

求证：AC =BE 。

例3、如图，D 是△ABC 的边BC 上的点，且CD=AB ，∠ADB=∠BAD ，AE 是△ABD

的中线。求证：AC=2AE

例4 △ABC 中，AD 、BE 、CF 是三边对应中线。（则O 为重心） 求证：①AD 、BE 、CF 交于点O 。（类倍长中线）； ②AOB

BOC

COA S S

S

==

练习

1、在△ABC 中，D 为BC 边上的点，已知∠BAD =∠CAD ，BD =CD ，求证：AB =AC

A

B

C

D

2、如图，已知四边形ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为BC 、AD 中点，延长MN 与AB 、CD

延长线交于E 、F ，求证∠BEM =∠CFM

E

F

A

C

D

B

O F

E

3、如图，AB=AE ，AB ⊥AE ，AD=AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE=2AM （基本型：同角或等角的补角相等、K 型）

2、两条平行线间线段的中点（“八字型”全等）

如图，1l ∥2l ，C 是线段AB 的中点，那么过点C

直线都可以和二条平行线以及AB 构造“8字型”全等

例1 已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，点E 是AB 的中点，连接DE 、CE 。

求证：ABCD 1

2

DEC

S S =

梯

例2 如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，M 是AD 的中点，CE ⊥AB 于点E ，

∠CEM=40°，求∠DME 的大小。（提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半）

例3 已知△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE=90°，连接DE ，设M 为DE

E

A

B

的中点。⑴求证：MB=MC；⑵设∠BAD=∠CAE，固定Rt△ABD，让Rt△ACE移至图示位置，此时MB=MC是否成立？请证明你的结论。

练习1、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．若BD=BC，F是CD的中点，试问：∠BAF与∠BCD的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明；

2、Rt△ABC中，∠BAC=90°，M为BC的中点，过A点作某直线l，过B作BD l

⊥于点D，过C作CE l

⊥于点E。

（1）中的结论是否任然成立？

A

B C

D

F

E

A

C

D M

B