第3章对偶理论

第3章 对偶理论

§3.1 线性规划的对偶理论

3.1.1 对偶问题的表述

对称形式的对偶：

（L ） cx min (D) wb max

s.t. b Ax ≥ s.t. c wA ≤

0≥x 0≥w

其中c 为n 维行向量，A 为n m ?矩阵，b 为m 维列向量，x 表示n 维列向量，w 表示m 维行向量。

称(D)为线性规划(L)的对偶规划问题。

定理1 (L)与(D)互为对偶规划问题。――（对合性）

例 设原问题 对偶问题

, 12 5 s.t.min 21212121≥≥-≥+-x x x x x x x x 0

, 1

2 1

s.t.5 max 2121212

1≥-≤-≤++w w w w w w w w 非对称形式的对偶：

（LP ） cx min (DP) wb max

s.t. b Ax = s.t. c wA ≤ 0≥x

例 设原问题 对偶问题

,, 523 4 s.t.345min 321321321321≥=++=++++x x x x x x x x x x x x 3

4

2 5

3 s.t.5

4 max 2121212

1≤+≤+≤++w w w w w w w w 一般线性规划问题：

可化为上述二者之一讨论其对偶问题，也可直接写出对偶问题，详细的对应法则见教材（陈宝林）124页。

直接写出对偶的弊端之一是对偶最优解不易确定，而对称形式和非对称形式对偶的最优解都可由原问题的单纯形乘子确定出来。

3.1.2 对偶定理(强对偶定理和弱对偶定理)

定理2 (弱对偶定理)：设x 和w 分别是

（L ） cx min 和 (D) wb max

s.t. b Ax ≥ s.t. c wA ≤

0≥x 0≥w

的可行解，则有下列不等式成立：

b w x

c ≥

证明：由于b x A ≥和0≥w ，则有b w x A w ≥。 由于A w c ≥和0≥x ，则有x A w x c ≥。 因此有b w x c ≥

推论 1 设x 和w 分别是(L)和(D)的可行解，且有b w x c =，则x 和w 分别是(L)和(D)的最优解。

推论2 如果(L)的目标函数在可行集上无下界，则对偶规划(D)无可行解。

推论3 如果(D)的目标函数在可行集上无上界，则原始规划(L)无可行解。

定理3 (强对偶定理)：如果互为对偶规划的两个问题之一有最优解，则另一个问题也有最优解，并且二者的目标值相等。

证明：设原问题（L ）存在最优解，引进松弛变量，写成等价形式：

s.t. min ≥≥=-v x b

v Ax cx

（1）

由于（1）存在最优解，因此可以用单纯形方法求出它的一个最优基本可行解，不妨设该最优解是??

????=v x y ，相应的最优基是B 。此时所有判别数均非正，即

j c p w j j ?≤- ,0 （2）

1-=B c w B 为单纯形乘子。