函数值域的求法

第4炼 求函数的值域

作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。 一、基础知识： 1、求值域的步骤： （1）确定函数的定义域

（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤） （3）计算出函数的值域

2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。

（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。若()f x 为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。

（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然

（3）换元法：()f x 的解析式中可将关于x 的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。

（4）最值法：如果函数()f x 在[],a b 连续，且可求出()f x 的最大最小值,M m ，则()f x 的值域为[],m M

注：一定在()f x 连续的前提下，才可用最值来解得值域

3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。

（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域

（2）二次函数（2

y ax bx c =++）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）

例：()[]223,1,4f x x x x =--∈- 解：()()2

14f x x =--

∴对称轴为：1x =

()[]4,5f x ∴∈-

（3）反比例函数：1y x

=

（1）图像关于原点中心对称 （2）当,0x y →+∞→ 当,0x y →-∞→ （4）对勾函数：()0a

y x a x

=+

> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >

注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：4

2y x x

=+

，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ?

?=+ ??

?，再求得2a =

② 极值点：x x ==③ 极值点坐标：

(,-

④ 定义域：()(),00,-∞+∞

⑤ 自然定义域下的值域：(

)

,2,a ?-∞-+∞?

（5）函数：()0a

y x a x

=-

> 注意与对勾函数进行对比 ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >

② 函数的零点：x = ③ 值域：R

（5）指数函数（x

y a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值

域，在自然定义域下的值域为()0,+∞

（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求

得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞

（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）

二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现

1、换元法：将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域

（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围

（2）换元的作用有两个：

① 通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的

② 化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理

（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与x 的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。

（4）换元也是将函数拆为两个函数复合的过程。在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种 ① ()

()(),log ,sin f x a y a

y f x y f x ===????????：

此类问题通常以指对，三角作为主要结构，

在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围

② ()

()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可。当然要注意有些解析式中的项不是直接给出，而是可作转化：例如1

42

8x

x y +=--可转化为

()

2

2

228x x y =-?-，从而可确定研究对象为2x t =

例1：函数()2f x x =的值域是（ ）

A. [)0,+∞

B. 17,8??+∞??

?? C. 5,4??+∞???? D. 15,8??

+∞????

思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。

解：()f x 的定义域为[)1,+∞

令t =

0t ∴≥ ，则21x t =+

()2

2115

21248y t t t ??∴=+-=-+ ???

[)0,t ∈+∞

()f x ∴的值域为15,8??

+∞????

例2（1）函数1

1

3

x y -=的值域为（ ）

A. ()0,+∞

B. ()()0,11,+∞

C. {}|1x x ≠

D. ()1,+∞

（2）函数()[]1

42

8,2,2x

x f x x +=--∈-的值域为__________

（3）函数1

ln 1

x x e y e +=-的值域为__________

思路：（1）本题可视为()

3f x y =的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值

域问题：令1

1

t x =

-，则()(),00,t ∈-∞+∞，所以可得()()30,11,t y =∈+∞

（2）如前文所说，()()2

1

42

82228x

x x x f x +=--=-?-，

将2x 视为一个整体令2x

t =，则可将其转化为二次函数求得值域 解：()()2

1

42

82228x

x x x f x +=--=-?-

令2x

t =

[]2,2x ∈-

1,44t ??

∴∈????

()2

22819y t t t =--=--

()f x ∴的值域为[]9,0-

（3）所求函数为()ln f x ????的形式，所以求得11x x e e +-的范围，再取对数即可。对1

1x x e e +-进行变形可得：12111

x x x e e e +=+--，从而将1x

e -视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求得范围

解：定义域：()100,x

e x ->?∈+∞

12111

x x x

e e e +=+-- 令1x

t e =- ()0,t ∴∈+∞ ()2

11,t

∴+∈+∞

()1

ln 0,1

x x e y e +∴=∈+∞-

答案：（1）B （2）[]9,0- （3）()0,+∞ 例3：已知函数()[]23log ,1,4f x x x =+∈，则()()()2

2

g x f x

f x =-????的值域为（ ）

A. []18,2--

B. []11,6--

C. []18,6-

D. []11,2-- 思路：依题意可知()()()2

2

2

22223log 3log log 4log 6g x x x x x =+-+=---，所以可

将2log x 视为一个整体换元，从而将问题转化为求二次函数值域，但本题要注意的是()g x 的定义域，由已知()f x 的定义域为[]1,4，则()()()2

2

g x f x

f x =-????

的定义域为：

214

14

x x ?≤≤?

≤≤?，解得：[]1,2x ∈，而不是[]1,4 解：()()2

2

223log 3log g x x x =+-+

()2

22232log log 6log 9x x x ??=+-++??

()2

22log 4log 6x x =---

()f x 的定义域为[]1,4，且()()()2

2

g x f x f x =-????

214

14

x x ?≤≤∴?

≤≤?，解得：[]1,2x ∈ 令2log t x =，则[]0,1t ∈

()2

24622y t t t ∴=---=-+-

[]11,6y ∴∈--，即()g x 的值域为[]11,6--

答案：B

2、数形结合：即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合

（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域。

（2）()f x 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该()f x 函数的图像，从而利用图像求得函数的值域

（3）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式 例4：（1）设函数()y f x =定义域为R ，对给定正数M ，定义函数

()()()(),,M f x f x M

f x M f x M ≤??=?>??

则称函数()M f x 为()f x 的“孪生函数”，若给定函数

()22,20

,121,0

x x x f x M x ?--≤≤?==?->??，则()M y f x =的值域为（ ）

A. []2,1-

B. []1,2-

C. (],2-∞

D. (],1-∞- （2）定义{}min ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，设(){}

2min 23,1,53f x x x x =++-，则

()f x 的最大值是__________

思路：（1）根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，即以

y M =为分界线，()f x 图像在y M =下方的图像不变，在

M 上方的图像则变为y M =，通过作图即可得到()M f x 的

值域为[]2,1-

（2）本题若利用{}min ,,a b c 的定义将()f x 转为分段函数，则需要对三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则()f x 为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得()f x 的最大值点为

21y x =+与53y x =-在第一象限的交点，即

21

1253x y x y y x =?=+???

?==-?

?，所以()max 2f x = 答案：（1）A （2） 2

例5：已知函数()()()()2

2

2

2

22,228f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+，设

()()(){}()()(){}12max ,,min ,H x f x g x H x f x g x ==，

（其中{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值）记()1H x 的值域为A ，()2H x 的值域为B ，则

A B =______________

思路：由()()12,H x H x 的定义可想到其图像特点，即若将()(),f x g x 的图像作在同一坐标系中，那么()1H x 为

()(),f x g x 图像中位于上方的部分，而()2H x 为()(),f x g x 图像中位于下方的部分。对()(),f x g x

配

方可得：()()()()22

2442412f x x a a g x x a a ?=-+--?????

?=----+?

?????，其中44412a a --<-+，故()g x 的顶点在()f x 顶点的上方。由图像可得：褐色部分为()1H x 的图像，红色部分为()2H x 的图像，其值域与()(),f x g x 的交点有关，即各自的顶点()()2,412,2,44a a a a --++--，所以

()1H x 的值域[)44,A a =--+∞，()2H x 的值域(],412B a =-∞-+。从而

[]44,41

2A

B a a =---+ 答案：[]44,412a a ---+ 例6：（1）函数[]ln 3

,2,41

x x y x x +=∈-的值域为__________

（2

）函数y =

的值域为_________

思路：（1）函数为分式，但无法用“变形+换元”的方式进行处理，虽然可以用导数，但求导后需对分子的符号进行进一步研究。那么换一个视角，从分式的特点可联想到直线的斜

率，即y 是(),ln x x x 与定点()1,3-连线的斜率，那么只需在坐标系中作出()ln f x x x =在[]2,4的图像与定点

()1,3-，观察曲线上的点与定点连线斜率的取值范围即可

解：所求函数y 是(),ln x x x 与定点()1,3-连线的斜率 设()ln f x x x =

()'1ln f x x ∴=+，当[]2,4x ∈时，()'0f x >恒成立 ()f x ∴为增函数 ()()22ln2,44ln48ln2f f ===

∴ 设曲线上两点()()2,2ln2,4,8ln2A B 定点()1,3C -

8ln23

2ln23,3

AC BC k k +∴=+=

[]8ln 2,2ln 23,13BC AC y k k ?

?∴∈=++????

（2

）思路：

y =

+=，所以y 可视为点

(),0x 到点()()0,2,1,3距离和的取值范围。

称性求出其最小值，且当动点向x 向无穷大，进而得到值域。 解：

y =+=

y ∴为动点(),0P x 到点()()0,2,1,3A B 距离和，即y PA PB =+

作A 点关于x 轴的对称点()'

0,2A -

''PA PB PA PB A B ∴+=+≥=（等号成立条件：',,P A B 共线）

当x →+∞或x →-∞时，PA PB +→+∞

∴函数的值域为)

+∞

小炼有话说：本题在选择点时要尽量让更少的点参与进来简化问题，所以要抓住两个距离共同的特点（例如本题中都抓住含根式中的,0x ，所以找到了一个共同的动点(),0x ） 答案：（1）8ln 22ln 23,

13?

?

++???

?

（2）)

+∞

3、函数单调性：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性（增、减）即可快速求出函数的值域

（1）判断函数单调性的方法与结论： ① 增+增→增 减+减→减

()1-?增→减 若函数的符号恒正或恒负，则

1

→增

减 ② 复合函数单调性：复合函数()y f g x =????可拆成()

(),y f t t g x ==，则若

()(),y f t t g x

==的单调性相同，则()y f g x =????单调递增；若()(),y f t t g x ==的单

调性相反，则()y f g x =????单调递减

③ 利用导数：设图像不含水平线的函数()f x 的导数()'f x ，则()()'0f x f x ≥?单增；

()()'0f x f x ≤?单减

（2）在利用单调性求值域时，若定义域有一侧趋近于+∞或-∞，则要估计当+x →∞或

x →-∞时，函数值是向一个常数无限接近还是也趋近于+∞或-∞（即函数图象是否有水

平渐近线），；同样若()f x 的定义域抠去了某点或有一侧取不到边界，如(],x a b ∈，则要确定当x a →时，()f x 的值是接近与一个常数（即临界值）还是趋向+∞或-∞（即函数图象是否有竖直渐近线），这样可以使得值域更加准确

例7：（1）函数()1f x =+

-的值域为（ ）

A. []3,1-

B. [)1,-+∞

C. ??

D. 1??-?

?

（2）函数()1x f x x x

-=

+-的值域为（ ）

A. (),1-∞

B. (],1-∞

C. (]0,1

D. []0,1

（3）函数()

f x =

的值域为________

思路：（1）函数的定义域为[]3,1-，含有双根式，所以很难依靠传统的换元解决问题，但()f x

的导数()'

f x =

()f x 的单调

区间，从而求得最值

()'

f x ==

令()'

0f

x >>

311x x x ∴+>-?>-

()f x ∴在()3,1--单调减，在()1,1-单调递增 ()()()

11,31,11f f f -=-==

()

f x ∴的值域为1??-??

小炼有话说：本题还可以利用换元解决，但利用的是三角换元：观察到被开方数的和为常数，

所以想到

2

2

4+=

，从而可设2sin 2cos αα==

，由0

≥≥可知

0,2πα??

∈????

，所以原函数的值域转化为求2sin 2cos 1y αα=+-的值域，从而

有

14y πα??=+- ???，由0,2πα??

∈????

可求得1y ??∈??。由此题可知：含双根式的函数若通过变形可得到被开方数的和为常数，则可通过三角换元转为三角函数值域问题 （2）思路：函数的定义域为1x ≤，从而发现11x x -=-，所以函数的解析式为

(

)f x x =()f x 为增函数，且x →-∞时，()f x →-∞，所以当

(],1x ∈-∞时，()f x 的值域为(],1-∞

小炼有话说：①本题中函数的定义域对解析式的化简有极大的促进作用。所以在求函数的值域时，若发现函数解析式较为特殊，则先确定其定义域

②

本题也可用换元法，设t =性求解简便。

（3）思路：先确定函数的定义域：32031,220

2x x x -≥???

?∈?

??-≥???，()f x 为分式且含有根式，

求导则导函数较为复杂。观察分子分母可知

：

50+>且关于x 单减

，

10+>且关于x 单增，

所以(

)f x =为减函数，

由31,2x ??∈????可知()f x 的值域为5,62

?????

?

小炼有话说：在函数单调性的判断中有“增+增→增”，那么如果一个函数可表示为两个函数的乘法，例如()()()h x f x g x =?，则当()(),f x g x 均为增（减）函数，且()(),f x g x 恒大于0，才能得到()h x 为增（减）函数 答案：（1）D （2）B （3）5,62

?????

?

4、方程思想：本方法是从等式的角度观察函数，将其视为一个含参数y 的关于x 的方程