函数值域求法大全定稿版

函数值域求法大全

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函数值域求法十一种

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数

x 1

y =的值域。解：∵0x ≠ ∴0x 1≠

显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞

例2. 求函数x 3y -=的值域。解：∵0x ≥

故函数的值域是：]3,[-∞

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数

]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。解：将函数配方得：

4)1x (y 2+-=

∵]2,1[x -∈

由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =

故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例4. 求函数

x 1x x 1y +++=的值域。解：原函数化为关于x 的一元二次方程

（1）当1y ≠时，R x ∈ 解得：23y 2

1≤≤ （2）当y=1时，0x =，而??????∈23,211 故函数的值域为?????

?23,21 例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：

0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈

∴0y 8)1y (42≥-+=? 解得：21y 21+≤≤-

但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤

由0≥?，仅保证关于x 的方程：

0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥?求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为?????

?23,21。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤

21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]

2,0[22

222x 41∈-+= 即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例6. 求函数6x 54

x 3++值域。解：由原函数式可得：

3y 5y

64x --= 则其反函数为：3x 5y 64y --=，其定义域为：53x ≠ 故所求函数的值域为：??? ?

?∞-53, 5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例7. 求函数

1e 1e y x x +-=的值域。解：由原函数式可得：

1y 1

y e x -+= ∵0e x > ∴01y 1y >-+

解得：1y 1<<-

故所求函数的值域为)1,1(-

例8. 求函数

3x sin x

cos y -=的值域。解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为：即

1y y

3)x (x sin 2+=β+ ∵R x ∈

∴]1,1[)x (x sin -∈β+ 即

11y y

312≤+≤- 解得：42y 42≤≤- 故函数的值域为???????

?-42,42

6. 函数单调性法

例9. 求函数)10x 2(1x log 2

y 35x ≤≤-+=-的值域。解：令1x log y ,2y 325x 1-==-

则21y ,y 在[2，10]上都是增函数

所以21y y y +=在[2，10]上是增函数

当x=2时，

12log 2y 33min =-+=- 当x=10时，339log 2y 35max =+= 故所求函数的值域为：?????

?33,81 例10. 求函数1x 1x y --+=的值域。解：原函数可化为：

1x 1x 2

y -++= 令1x y ,1x y 21-=+=，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数

所以1y y =，2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数

所以当x=1时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值2

显然0y >，故原函数的值域为]2,0(

7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数1x x y -+=的值域。

解：令t 1x =-，)0t (≥

则1t x 2+= ∵

43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知

当0t =时，1y min =

当0t →时，+∞→y

故函数的值域为),1[+∞

例12. 求函数2)1x (12x y +-++=的值域。

解：因0)1x (12≥+-

即

1)1x (2≤+ 故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+ ∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β= ∵π≤π+β≤π≤β≤4540,0 故所求函数的值域为]21,0[+

例13. 求函数

1x 2x x x y 243++-=的值域。解：原函数可变形为：

2x 1x 1x 1x 221y +-?+?=

可令β=tg x ，则有β=+-β=+2222cos x 1x 1,2sin x 1x 2 当82k π-π=β时，

41y max = 当82k π+π=

β时，41y min -= 而此时βtan 有意义。故所求函数的值域为?????

?-41,41 例14. 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=，

??????ππ-∈2,12x 的值域。解：)1x )(cos 1x (sin y ++=

令t x cos x sin =+，则)1t (21x cos x sin 2-= 由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+= 且

??????ππ-∈2,12x 可得：2t 22≤≤ ∴当2t =时，223y max +=，当

22t =时，2243y += 故所求函数的值域为???????

?++223,2243。例15. 求函数2x 54x y -++=的值域。

解：由0x 52≥-，可得5|x |≤ 故可令],0[,cos 5x π∈ββ=

∵π≤β≤0

当4/π=β时，104y max +=

当π=β时，54y min -= 故所求函数的值域为：]104,54[+-

8. 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例16. 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域。

解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=

上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。

由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10|AB ||8x ||2x |y ==++-=

当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10|AB ||8x ||2x |y =>++-=

故所求函数的值域为：],10[+∞

例17. 求函数

5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域。解：原函数可变形为：

上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和，

由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，

43)12()23(|AB |y 22min =+++==，故所求函数的值域为],43[+∞

例18. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值域。

解：将函数变形为：2222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=

上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差。

即：|BP ||AP |y -=

由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点'P ，则构成

'ABP ?，根据三角形两边之差小于第三边，有26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<- 即：26y 26<<-

（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26|AB |||BP ||AP ||==- 综上所述，可知函数的值域为：]26,26(-

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。

如：例17的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），)1,2(--，在x 轴的同侧；例18的A ，B 两点坐标分别为（3，2），)1,2(-，在x 轴的同侧。

9. 不等式法利用基本不等式

abc 3c b a ,ab 2b a 3≥++≥+)R c ,b ,a (+∈，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例19. 求函数

4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 22-+++=的值域。解：原函数变形为：

当且仅当x cot x tan =

即当4k x π

±π=时)z k (∈，等号成立

故原函数的值域为：),5[+∞

例20. 求函数x 2sin x sin 2y =的值域。

解：x cos x sin x sin 4y =

当且仅当x sin 22x sin 22-=，即当

x sin 2=时，等号成立。由2764y 2≤可得：

938y 938≤≤- 故原函数的值域为：???????

?-938,938 10. 一一映射法原理：因为

)0c (d cx b ax y ≠++=在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

例21. 求函数

1x 2x

31y +-=的值域。解：∵定义域为

??????->-<21x 21x |x 或由1x 2x 31y +-=得

3y 2y 1x +-= 故

213y 2y 1x ->+-=或213y 2y 1x -<+-= 解得

23y 23y ->-<或故函数的值域为??? ??+∞-??? ?

?-∞-,2323,

11. 多种方法综合运用

例22. 求函数

3x 2

x y ++=的值域。解：令)0t (2x t ≥+=，则1t 3x 2+=+

（1）当0t >时，

21t 1t 11t t y 2≤+=+=

，当且仅当t=1，即1x -=时取等号，所以

y 0≤< （2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：??????21,0

注：先换元，后用不等式法

例23. 求函数424

32x x 21x x x 2x 1y ++++-+=的值域。解：

423

4242x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-= 令2tan x β=，则β=???? ??+-22

22cos x 1x 1 ∴当41sin =β时，1617y max =

当1sin -=β时，2y min -= 此时

2tan β都存在，故函数的值域为??????-1617,2 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用βsin 的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

高中函数值域的12种求法

高中函数值域的12种求法一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y－1或y1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为 {y∣y≤3}) 四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

函数值域的求法(精选例题)

函数值域的求法 1、（观察法）求下列函数的值域（1）求函数y1=121 1x +的值域 (]1,0 （2）求函数y1=2－x 的值域。 (]2-，∞ 2、（配方法）求下列函数的值域（1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84，（2）求函数y =的值域： ][20，（3）,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是（） C A.-1241 B.18 C.8 D.43

3、（换元法）求下列函数的值域（1）21y x =+[)∞+，3 （2）4y x =++ ][234,1+ （3）求函数y=32 ++x x 的值域 ??????21,0 （4）求函数y = ][2,1 （5）求函数 y=12243++-x x x x 的值域 ??????41,41-

4、（分离常数法）求下列函数的值域（1）求值域（1）1 (4)2x y x x -=≥-+ ()??? ???∞+∞，，251- （2）求函数122+--=x x x x y 的值域。 ?????? 131 -， 5、（判别式法）求下列函数的值域（1）求函数的值域2222 1x x y x x -+=++ ][51，（2）求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。 ?????? 229 -，（3）已知函数12)(22 +++=x b ax x f x 的值域是[1，3 ]，求实数a ， b 的值. a=2或-2，b=2

6、(单调性法)求下列函数的值域（1）求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。 (2)-48f = （2）设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2.求f(x)在区间???? ??－34，14上的最大值和最小值． max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x = 7、(数形结合法)求下列函数的值域（1）求函数y=4 1362+-x x 4-542++x x 的值域 (]265-，（2）求函数y=4 12++x x 4-1 - 2 +x x 的值域 ()1,1-

正确用判别式法求值域着重点辨析

正确用判别式法求值域“着重点”辨析用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而经常出错，下面针对“着重点”一一加以辨析着重点1 对二次方程的二次项系数是否为零加以讨论例1 求函数3 22122+-+-=x x x x y 的值域。错解原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （*） ∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=?y y y ，解得 21103≤≤y 。故所求函数的值域是]21,103[ 分析把21=y 代入方程（*）显然无解，因此21=y 不在函数的值域内。事实上，21=y 时，方程（*）的二次项系数为0，显然用“?”来判定其根的存在情况是不正确的，因此要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项系数加以讨论。正解原式变形为0)13()12()12(2 =-+-+-y x y x y （*）（1）当2 1= y 时，方程（*）无解；（2）当2 1≠y 时，∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=?y y y ，解得2 1103<≤y 。由（1）、（2）得，此函数的值域为)21,103[ 着重点2 将原函数转化为方程时应等价变形例2 求函数1++=x x y 的值域。错解移项平方得：()011222=+++-y x y x ，由()014)]12([22≥+---=?y y 解得43≥y ，则原函数的值域是?? ????+∞,43. 分析由于1-= -x x y 平方得()011222=+++-y x y x ，这种变形不是等价变

函数值域的13种求法

函数值域十三种求法 1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1. 求函数 x 1 y =的值域解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3. 求函数 ]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域解：将函数配方得： 4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 例4. 求函数 22 x 1x x 1y +++=的值域解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2≥----=? 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而??????∈23,211 故函数的值域为????? ?23,21

例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得： 0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈ ∴ 0y 8)1y (42≥-+=? 解得：21y 21+≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥?，仅保证关于x 的方程： 0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥?求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为????? ?23,21。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤ 0)x 2(x x y ≥-+=∴ 21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：] 2,0[22 222x 41∈-+= 即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+ 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例6. 求函数6x 54 x 3++值域解：由原函数式可得： 3y 5y 64x --= 则其反函数为：3x 5y 64y --=，其定义域为：53x ≠ 故所求函数的值域为：33(,)(,)55 -∞?+∞

函数值域求法十一种

函数值域求法十一种尚化春在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1. 求函数 x 1 y = 的值域。解：∵0x ≠ ∴0 x 1 ≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y - =的值域。解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤- ≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。解：将函数配方得：4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m a x = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法例4. 求函数2 2 x 1x x 1y +++= 的值域。解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2 =-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2 ≥----=? 解得：23y 2 1 ≤ ≤ （2）当y=1时，0x =，而? ?? ???∈23,211

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。定义域的求法 1、直接定义域问题例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义，而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

关于判别式法求值域增根的研究

关于判别式法求值域增根的研究文章来源：2008年下半年度《试题与研究》我们都知道对于形如f ( x ) = 的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先约去公因式，化成f(x) =的形式，然后再求出其值域。但如果我们用判别式法求这类函数的值域时，会出现什么情况呢？让我们比较吧！例：求二次分式函数y = 的值域．

y = y = = ， = 通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果，比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值y = 2。这就是说，

用判别式法求值域会产生增根。这是为什么呢？下面让我们首先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧！函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一个x值，在值域内都有唯一一个y值与之对应。反过来，值域内每一个y 值，都会有一个或多个x值与之对应。将某一函数化为关于x 的方程（将y看作是x的系数），只是将x和y的对应关系用另一种形式表示出来，其对应实质并未改变。判别式法求值域就是基于这种思想而产生的。将二次分式函数的分母乘到另一侧，得到一个关于x的方程。如果二次项系数不为0，此方程为关于x的一元二次方程。其中，当△≥0时（△是含字母y的式子），将这个范围内的y 值代入方程，都能够得到一个或两个与之对应的x值；而当△＜0时，方程无解，这说明在此范围内的y值没有x值与之对应，因此此范围内的值y不属于值域。如果二次项系数为0，此方程为关于x的一次方程，将此时y的取值代入解析式可得到一个与之对应的x值，如果所得x值在定义域内，则该y值属于值域；如果所得x值不在定义域内，或所得解析式根本没有意义，则该y值不属于值域。

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法教案

一. 教学内容：求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 学习目标 1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式； 3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值； 4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用； 5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。三. 知识要点（一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g （x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；

高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项

函数解析式求法和值域求法总结

2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++函数解析式及值域专题一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴?? ?=+=3 42b ab a ， ∴????? ?=-===3212b a b a 或． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或．二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域．例2 已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式．解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x ， 2)(2 -=∴x x f )2(≥x ．三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化．例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ．解：令1+= x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ． x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ．四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．例4已知：函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式．解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点．则 ?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ，点),(y x M '''在)(x g y =上， x x y '+'='∴2．

如何用判别式法求函数值域

如何用判别式法求函数值域用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。一、判别式法求值域的理论依据例1、求函数1 22+--=x x x x y 的值域象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。解：由1 22+--=x x x x y 得：（y-1）x 2+(1-y)x+y=0 ① 上式中显然y ≠1,故①式是关于x 的一元二次方程 ?? ????-+--=∴≠≤≤-≥?---=?13111,13 10) 1(4)1(222，x x x x y y y ，y y y 的值域为又解得令为什么可以这样做？即为什么△≥0，解得y 的范围就是原函数的值域？我们可以设计以下问题让学生回答： 1、当x=1时，y=? (0) 反过来当y=0时，x=?（1）当x=2时，y=? (32) 当y=3 2时，x=?（2）以上y 的取值，对应x 的值都可以取到，为什么？（因为将y=0和y=3 2代入方程①，方程的△≥0） 2、当y=-1时，x=? 当y=2时，x=? 以上两个y 的值x 都求不到，为什么求不到？（因为将y 的值代入方程①式中△<0,所以无解） 3、当y 在什么范围内，可以求出对应的x 值？ 4、函数1 22+--=x x x x y 的值域怎样求？若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。二、判别式法求值域的适用范围前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域？

求函数值域的常见方法大全教师版

第 1 页共 6 页求函数值域的几种常用方法在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就求函数值域的方法归纳如下，供参考。一、直接观察法这是最基本的方法，通过对函数的定义域及其对应关系的观察分析，求函数的值域。例1 求函数y = x 1 的值域。解： x ≠0 ，∴ x 1 ≠0 显然函数的值域是：（ -∞，0 ）∪（0 ，+∞）. 例2 求函数y = 3 -x 的值域。解： x ≥0 ∴- x ≤0 3 -x ≤3 故函数的值域是：(,3]-∞ . 二、反函数法当一个函数存在反函数又便于求其反函数时，可以通过求原函数的定义域来确定反函数的值域。例3 求函数y = 6 54 3++x x 值域。解：由原函数式可得：x = 3 564--y y ，则其反函数为：4653x y x -= - 其定义域为：x ≠5 3 ，故所求函数的值域为：33 (,)(,)55 -∞?+∞. 注：本题还可以用分离系数法，把原函数式变形为：3252530 y x = ++同样达到目的。例4 求函数11()211()2 x x y -= +值域。解：由原函数式可得：1 21log 1y x y -=+，则其反函数为：1 2 1log 1x y x -=+ 由 101x x ->+，知11x -<<，故所求函数的值域为：(1,1)-. 注：本题还可以利用函数的有界性法，把原函数式变形为：11()02 1x y y -= >+同样达到目的三、配方法配方法是求二次函数（即形如2 ()()()f x ag x bg x c =++的函数）值域最基本的方法之一。例5 求函数y =2 x -2x + 5，x ∈[-1，2]的值域。解：将函数配方得：y =（x -1）2 + 4， x ∈[-1，2]，由二次函数的性质可知：当x = 1时，min y = 4 ，当x = - 1，时max y = 8 ，故函数的值域是：[ 4 ，8 ]. 例6 求函数y = 的值域。解：将函数变形为：y =故函数的值域是：[ 0 ， 3 2 ].

含根式函数值域的求法

含根式函数值域的几何求法函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。例1 求函数312+-+=x x y 的最小值. 解：由03≥+x 得：3-≥x . 令???≥+=-≥+=) 0(3)5(12v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(2 12+=u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。联立方程组?????-=+=y u v u v )5(212，消去u 整理得： 0522=---y v v ，由△=0，即：0)5(24)1(2=--??--y 解得：=y 8 41-. ∴ 原函数的最小值为841- . 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。图1

例2 求函数131-++-=x x y 的值域. 分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。解：由???≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令???≤≤+=≤≤-=)20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u 则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上，如图2，显然OB y OA ≤+≤1 又 ∵ 22,2==OB OA ∴ 1221-≤≤y 即为原函数所求的值域。例3 求函数106422+-++=x x x y 的最小值. 分析：当我们把106422+-++=x x x y 化为： y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 时，容易联想到两点间距离。解： 106422+-++=x x x y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 设P （x , 0），A （0, 2），B （3, 1），则问题转化为在x 轴上找一点P ，使得P 到A 、B 两点的距离之和最小。如图3，易求得点A 关于x 轴的对称点A / 的坐标为（0, －2），则： B A BP P A BP AP //=+=+即为最小. ∴ 32)12()30(22/min =--+-==B A y . 评注：本题可用判别式法以及构造复数由模的重要不等式进行求解，但是判别式法计算量很大，不易图2 图3

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)

求函数值域的解题方法总结（16种）在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。一、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例:求函数()x 323y -+=的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出 ()x 3-2的值域。解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。（答案：{}5,4,3,2,1,0）二、反函数法：当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例：求函数2 x 1x y ++=的值域。点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数2 x 1x y ++=的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习:求函数x -x -x x 10101010y ++=的值域。（答案：{}1y 1-y |y 或）。三、配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。例：求函数() 2x x -y 2++=的值域。点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。此时2x x -2++=

人教版必修一求函数值域的几种常见方法

人教版必修一求函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y ④x x y 1 + = 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3， ∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1 111 111 +- =+-+= +=x x x x x y ∵ 01 1≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+ ==2)1(2 +- x x 2≥，当x<0时，)1(x x y -+ --==－2)1(2 --- -x x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法）函数x x y 1+ =的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 4 3 21 -1-2-3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y=x o -2 -112 f x () = x+ 1x

高中数学求函数值域的类题型和种方法

高中数学求函数值域的类题型和种方法 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

求函数值域的 7类题型和16种方法一、函数值域基本知识 1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。一般地，常见函数的值域： 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ，当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ???.， 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.

6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠当其定义域为R ，其值域为R ； 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值） 1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当其定义域为R 时，其值域为 ()()22 4 044 04ac b y a a ac b y a a ?-≥>???-?≤时，()2b f a -是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中较大者；当0a <时，()2b f a -是函数的最大值，最大值为 (),()f m f n 中较小者。（2）若[],2b m n a - ?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。特别提醒： ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。例1：已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为(],1-∞。例2：已知()211f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为()1,17。题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d y ax b +=+的值域：

函数值域求法十一种

函数值域求法十一种 1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1. 求函数x 1y = 的值域。解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y - =的值域。解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。解：将函数配方得： 4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法例4. 求函数 22x 1x x 1y +++= 的值域。解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2≥----=? 解得：23y 2 1≤ ≤

（2）当y=1时，0x =，而? ?????∈23,211 故函数的值域为? ?????23,21 例5. 求函数) x 2(x x y -+ =的值域。解：两边平方整理得： 0y x )1y (2x 22 2=++-（1） ∵R x ∈ ∴ 0y 8)1y (42 ≥-+=? 解得：21y 21+≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥?，仅保证关于x 的方程： 0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0 ≥?求出的围可能比y 的实际围大，故不能确定此函数的值域为? ?? ???23,21。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤ )x 2(x x y ≥-+=∴ 21y ,0y min + ==∴代入方程（1）解得：] 2,0[2 2 222x 41∈-+= 即当 22222x 41-+= 时，原函数的值域为：]21,0[+ 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例6. 求函数6x 54 x 3++值域。解：由原函数式可得： 3 y 5y 64x --=

高一数学函数解析式的七种求法

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函数解析式的七种求法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。例2 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ，点),(y x M '''在)(x g y =上把???-='--='y y x x 64代入得：整理得672---=x x y

高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1．求函数1y = 的值域。【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。【练习】 1．求下列函数的值域： ①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(； ③1 += x x y ； ○ 4()112 --=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞U ；○4{1,0,3}-。二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得 ][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 0)(≥x f 。例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。