高考数学之圆锥曲线常见习题及解析(经典版)

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高考数学之圆锥曲线常见习题及解析(经典版)

高考数学

圆锥曲线常见习题及解析

(经典版)

椭圆 一、选择题:

1.

已知椭圆方程22143x y +=,双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为

A.2

B.3

C. 2

D. 3

2.双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>> 的左、右焦点分别为F 1,F 2,渐近线分别为12,l l ,点P 在第

一象限内且在1l 上,若2l ⊥PF 1,2l //PF 2,则双曲线的离心率是 ( ) A .5 B .2

C .3

D .2

【答案】B

【解析】双曲线的左焦点1(,0)F c -,右焦点2(,0)F c ,渐近线1:b l y x a =

,2:b

l y x a

=-,因为点P 在第一象限内且在1l 上,所以设000(,),0P x y x >,因为2l ⊥PF 1,2l //PF 2,所以12PF PF ⊥,即121

2

OP F F c ==,

即22200x y c +=,又00b y x a =,代入得222

00()b x x c a

+=,解得00,x a y b ==,即(,)P a b 。所以

1PF b k a c

=

+,2l 的斜率为b a -,因为2l ⊥PF1,所以()1b b a c a ?-=-+,即2222()b a a c a ac c a =+=+=-,所以2220c ac a --=,所以220e e --=,解得2e =,所以双曲线

的离心率2e =,所以选B.

3.已知双曲线()0,012222>>=-b a b

y a x 的一条渐近线的斜率为2,且右焦点与抛物线x y 342

=的焦

点重合,则该双曲线的离心率等于

A .2

B .3

C .2

D .2

3

4.抛物线2

4y x =上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是 A.

78

B.

1516

C.

34

D.0

5.抛物线2

12y x =-的准线与双曲线22

193

x y -=的两渐近线围成的三角形的面积为 A. 3 B. 23 C. 2 D.33 【答案】D

【解析】抛物线2

12y x =-的准线为3x =,双曲线

22

193

x y -=的两渐近线为3y x =和3y x =-,令3x =,分别解得123,3y y ==-,所以三角形的低为3(3)23--=,高为3,所以三角形的面积为

1

233332

??=,选D. 6.过抛物线x y 42

=的焦点作一条直线与抛物线相交于B A ,两点,它们到直线2-=x 的距离之和等于5,

则这样的直线

A .有且仅有一条

B .有且仅有两条

C .有无穷多条

D .不存在

7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线均与22

:650C x y x +-+=相切,则该双曲线离心

率等于

A .

355 B .

62

C .

32

D .

55

8.已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -(,若椭圆上存在点P 使

1221sin sin F PF c F PF a ∠=∠,则该椭圆的离心率的取值范围为( )

A.(0,)12-

B.(

12

2,) C.(0,22

) D.(12-,1)

9.过椭圆22

221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若

1260F PF ∠=o ,则椭圆的离心率为 ( )

A .

22 B .33 C .12

D .13

二、填空题:

10.若圆C 以抛物线2

4y x =的焦点为圆心,截此抛物线的准线所得弦长为6,则该圆的标准方程是 ;

11.设F 是抛物线C 1:2

4y x =的焦点,点A 是抛物线与双曲线C 2:22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线

的一个公共点,且AF x ⊥轴,则双曲线的离心率为 【答案】5

【解析】抛物线的焦点为(1,0)F .双曲线的渐近线为b y x a =±

,不妨取b

y x a

=,因为AF x ⊥,所以1A x =,所以2A y =±,不妨取(1,2)A ,又因为点(1,2)A 也在b y x a

=上,所以2b

a =,即2

b a =,所以

22224b a c a ==-,即225c a =,所以25e =,即5e =,所以双曲线的离心率为5。 12.已知双曲线的方程为

22

1169

x y -=,则双曲线的离心率是 .

13.若焦点在x 轴上的椭圆

1222=+m y x 的离心率为2

1,则m = . 【答案】

2

3

【解析】因为焦点在x 轴上。所以02m <<,所以2

2

2

2

2

2,,2a b m c a b m ===-=-。椭圆的离心率为

12e =,所以22

21242c m e a -===,解得32

m =。

14.已知点P 是抛物线2

4y x =上的动点,点P 在y 轴上的射影是M ,点A 的坐标是(4,a ),则当||4

a >时,||||PA PM +的最小值是 。

三、解答题:

15. (本小题满分13分)

已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>过点()0,1,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l

与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ,与椭圆分别交于点M 、N ,各点均不重合且满足

12,PM MQ PN NQ λλ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若123λλ+=-,试证明:直线l 过定点并求此定点.

(2) 由题意设),(),,(),0,(),,0(22110y x N y x M x Q m P ,设l 方程为)(m y t x -=, 由MQ PM 1λ=知),(),(110111y x x m y x --=-λ ∴111λy m y -=-,由题意01≠λ,∴11

1-=

y m

λ -----------------7分

同理由2PN NQ λ=u u u r u u u r 知22

1m

y λ=

- ∵321-=+λλ,∴0)(2121=++y y m y y (*) ------8分

联立???-==+)

(3322m y t x y x 得032)3(2

2222=-+-+m t y mt y t

∴需0)3)(3(442

2

2

4

2>-+-=?m t t t m (**)

且有3

3

,32222212221+-=+=+t m t y y t mt y y (***)-------10分 (***)代入(*)得023222=?+-mt m m t ,∴1)(2

=mt ,

由题意0

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1

2,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线

60x y -+=相切,过点P (4,0)且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点。

(1)求椭圆C 的方程; (2)求OB OA ?的取值范围;

(3)若B 点在于x 轴的对称点是E ,证明:直线AE 与x 轴相交于定点。

(2)解:由题意知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为(4)y k x =-

由2

2(4)1

4

3y k x y x =-???+=??得:2222(43)3264120k x k x k +-+-= 4分 由2222(32)4(43)(6412)0k k k ?=--+->得:21

4

k <

设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则22121222

326412

4343

k k x x x x k k -+==++, ① 6分 ∴22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++

17. 若椭圆1E : 2222111x y a b +=和椭圆2E : 22

22221x y a b +=满足2211(0)a b m m a b ==>,则称这两个椭圆相似,

m 是相似比.

(Ⅰ)求过(2,6)且与椭圆22

142

x y +=相似的椭圆的方程; (Ⅱ)设过原点的一条射线l 分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于A 、B 点(点A 在线段OB 上). ①若P 是线段AB 上的一点,若OA ,OP ,OB 成等比数列,求P 点的轨迹方程; ②求OA OB g 的最大值和最小值.

(Ⅱ) ① 当射

线l

的斜率不存在时(0,(0,A B ±,

设点P 坐标P(0,0)y ,则2

04y =,02y =±.即P(0,2±). ………………5分

当射线l 的斜率存在时,设其方程y kx =,P(,)x y 由11(,)A x y ,22(,)B x y 则

112

211142y kx x y =???+

=?? 得2

122212412412x k k y k ?=??+??=?+?

||OA ∴=

同理||OB =

………………………7分

又点P 在l 上,则y k x

=,且由2

2222222222

2

8(1)

8(1)8()12212y k x y x x y y k x y x

++++===+++, 即所求方程是22

184

x y +=. 又Q (0,2±)适合方程,

故所求椭圆的方程是22

184x y +=. ………………9分 ②由①可知,当l 的斜率不存在时

,||||4OA OB ==g

,当l 的斜率存在

时,222

8(1)4

||||41212k OA OB k k +==+++g ,

4||||8OA OB ∴<≤g , ………………11分

综上,||||OA OB g 的最大值是8,最小值是4. ………………12分

18.(本小题满分12分)已知长方形ABCD ,22=AB ,BC=1。以AB 的中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.

(Ⅰ)求以A 、B 为焦点,且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;

(Ⅱ)过点P (0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M ,N 两点,是否存在直线l ,使得弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由。

(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为)0(2≠+=k kx y . 设M ,N 两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x .

联立方程:???=++=4

22

2

2y x kx y 消去y 整理得,048)21(2

2=+++kx x k

有2

21221214

,218k

x x k k x x +=+-

=+ ………………7分 若以MN 为直径的圆恰好过原点,则ON OM ⊥,所以02121=+y y x x ,…………8分 所以,0)2)(2(2121=+++kx kx x x ,

04)(2)121212=++++x x k x x k ( 所以,04211621)1(42

2

22=++-++k

k k k 即021482

2

=+-k

k , ……………………9分 得2,22

±==k k . ……………………10分

所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y .………………11分

所在存在过P (0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点。 …12分

19.(本小题满分12分)

如图,直线l :y=x+b 与抛物线C :x 2

=4y 相切于点A 。

(1) 求实数b 的值;

(11) 求以点A 为圆心,且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.

【解析】(I )由24y x b

x y

=+??=?得2440x x b --= (*)

因为直线l 与抛物线C 相切,所以2

(4)4(4)0b ?=--?-=,解得1b =-………………4分

双曲线

题组一

双曲线的定义及标准方程

1.(2010·汕头一模)距离为2,则双曲线方程为

( )

A .x 2-y 2=1

B .x 2-y 2=2

C .x 2-y 2= 2

D .x 2-y 2=12

解析:由题意,设双曲线方程为x 2a 2-y 2

a 2=1(a >0),

则c =2a ,渐近线y =x ,∴|2a |

2

=2,∴a 2=2.

∴双曲线方程为x 2-y 2=2. 答案:B

2.已知双曲线的两个焦点为F 1(-10,0)、F 2(10,0),M 是此双曲线上的一点,且满足1MF u u u u r ·2

MF u u u u r

=0,|1MF u u u u r |·|2MF u u u u r |=2,则该双曲线的方程是 ( )

A.x 29-y 2=1 B .x 2

-y 2

9=1 C.x 23-y 27=1 D.x 27-y 2

3

=1 解析:∵

1MF u u u u r ·2MF u u u u r =0,∴1MF u u u u r ⊥2MF u u u u r

,∴MF1⊥MF2,

∴|MF1|2+|MF2|2=40,

∴(|MF1|-|MF2|)2=|MF1|2-2|MF1|·|MF2|+|MF2|2=40-2×2=36, ∴||MF1|-|MF2||=6=2a ,a =3, 又c =10,∴b2=c2-a2=1, ∴双曲线方程为x2

9-y2=1.

答案:A

题组二

双曲线的几何性质

3.(2009·宁夏、海南高考)双曲线x 24-y 2

12=1的焦点到渐近线的距离为 ( )

A .23

B .2 C. 3 D .1

解析:双曲线x24-y2

12=1的焦点为(4,0)或(-4,0).渐近线方程为y =3x 或y =-3x.由双曲线的对

称性可知,任一焦点到任一渐近线的距离相等,d =|43+0|

3+1=2 3.

答案:A

4.(2010·普宁模拟)已知离心率为e 的曲线x 2a 2-y 2

7=1,其右焦点与抛物线y 2=16x 的焦点重合,则e 的

值为 ( ) A.34 B.42323 C.43 D.234 解析:抛物线焦点坐标为(4,0),则a2+7=16, ∴a2=9,∴e =c a =43.

答案:C

5.(2009·江西高考)设F 1和F 2为双曲线x 2a 2-y 2

b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点,若F 1,F 2,P (0,2b )是正三

角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 ( ) A.32 B .2 C.5

2

D .3

解析:|PO|

|F1O|

=tan60°,

2b c =3?4b2=3c2?4(c2-a2)=3c2?c2=4a2?c2

a2=4?e =2. 答案:B

6.(2010·广州模拟)已知点F 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点,点E 是该双曲线的右顶点,过

F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( )

A .(1,+∞)

B .(1,2)

C .(1,1+2)

D .(2,1+2)

解析:如图,要使△ABE 为锐角三角形,只需∠AEB 为锐角,由双曲线对称性知△ABE 为等腰三角形,从而只需满足∠AEF<45°.

又当x =-c 时,y =b2

a

, ∴tan ∠AEF =

|AF||EF|=b2

a(a +c)

<1, ∴e2-e -2<0, 又e>1,∴1

题组三

直线与双曲线的位置关系

7.(2010·西安调研)过点P (4,4)且与双曲线x 216-y 2

9=1只有一个交点的直线有 ( )

A .1条

B .2条

C .3条

D .4条 解析:如图所示,满足条件的直线共有3条.

答案:C

8.设双曲线x 29-y 2

16=1的右顶点为A ,右焦点为F ,过点F 作平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲

线交于点B ,则△AFB 的面积为________.

解析:由题意知,A(3,0),F(5,0),渐近线斜率k =±4

3,

则直线方程为y =4

3(x -5),

代入x29-y216=1,得x =175,

∴y =-3215,即B(175,-3215),

∴S △AFB =12×2×3215=32

15

.

答案:3215

9.(2010·德州模拟)P 为双曲线x 2

-y 15=1右支上一点,M 、N 分别是圆(x +4)2+y 2=4和(x -4)2+y 2=1

上的点,则|PM |-|PN |的最大值为________.

解析:双曲线的两个焦点为F1(-4,0)、F2(4,0),为两个圆的圆心,半径分别为r1=2,r2=1,|PM|max =|PF1|+2,|PN|min =|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=5.

答案:5

10.(1)已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x 2+y 2=10相交于点P (3,-1),若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程;

(2)已知双曲线的离心率e =52,且与椭圆x 213+y 2

3=1有共同的焦点,求该双曲线的 方程.

解:(1)切点为P(3,-1)的圆x2+y2=10的切线方程是3x -y =10. ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称, ∴两渐近线方程为3x±y =0.

设所求双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0).

∵点P(3,-1)在双曲线上,代入上式可得λ=80, ∴所求的双曲线方程为x2809-y2

80=1.

(2)在椭圆中,焦点坐标为(±10,0),

∴c =10,又e =c a =10a =5

2,∴a2=8,b2=2.

∴双曲线方程为x28-y2

2

=1.

11.已知双曲线C :x2

4

-y2=1,P 是C 上的任意点.

(1)求证:点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数; (2)设点A 的坐标为(3,0),求|PA|的最小值. 解:(1)证明:设P(x1,y1)是双曲线上任意一点, 该双曲线的两条渐近线方程分别是 x -2y =0和x +2y =0,

点P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是|x1-2y1|5和|x1+2y1|

5

.

它们的乘积是|x1-2y1|5·|x1+2y1|

5

22

11

45

x y =4

5

. ∴点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.

(2)设P 的坐标为(x ,y),则

|PA|2=(x -3)2+y2=(x -3)2+x2

4-1

=54(x -125)2+45

. ∵|x|≥2,∴当x =125时,|PA|2的最小值为45,

即|PA|的最小值为25

5

.

12.(文)已知椭圆C 1的方程为x 24+y 2

=1,双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点,而C 2的左、

右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程;

(2)若直线l :y =kx +2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ,且OA u u u r ·

OB u u u r

>2(其中O 为原点),求k 的取值范围.

解:(1)设双曲线C2的方程为x2a2-y2

b2=1,

则a2=4-1=3,c2=4, 由a2+b2=c2,得b2=1, 故C2的方程为x2

3

-y2=1.

(2)将y =kx +2代入x2

3-y2=1,得

(1-3k2)x2-62kx -9=0.

由直线l 与双曲线C2交于不同的两点,得

??

?

1-3k2≠0,

Δ=(-62k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)>0,

∴k2≠1

3

且k2<1.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x 1+x2=62k

1-3k2,x1x2=-91-3k2

.

∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2) =(k2+1)x1x2+2k(x1+x2)+2=3k2+7

3k2-1

.

又∵OA u u u r ·

OB u u u r

>2,得x1x2+y1y2>2, ∴3k2+7

3k2-1>2, 即

-3k2+93k2-1

>0,解得1

3<k2<3,

由①②得1

3<k2<1,

故k 的取值范围为(-1,-

33)∪(3

3

,1). (理)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为(3,0). (1)求双曲线C 的方程;

(2)若直线:y =kx +m(k≠0,m≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ,且线段MN 的垂直平分线过点A(0,-1),求实数m 的取值范围.

解:(1)设双曲线方程为x2a2-y2

b2=1(a>0,b>0).

由已知得a =3,c =2. 又a2+b2=c2,得b2=1. 故双曲线C 的方程为x2

3-y2=1.

(2)联立????

?

y =kx +m x23-y2=1整理得

(1-3k2)x2-6kmx -3m2-3=0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点,

∴?

????

1-3k2≠0

Δ=12(m2+1-3k2)>0, 可得m2>3k2-1且k2≠1

3. ①

设M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为B(x0,y0). 则x1+x2=6km 1-3k2,x0=x1+x22=3km

1-3k2,

y 0=kx0+m =m

1-3k2.

由题意,AB ⊥MN ,

∵kAB =m

1-3k2+13km 1-3k2

=-1

k (k≠0,m≠0).

整理得3k2=4m +1. ② 将②代入①,得m2-4m>0,∴m<0或m>4. 又3k2=4m +1>0(k≠0),即m>-1

4.

∴m 的取值范围是(-1

4

,0)∪(4,+∞).

备注:

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圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式:2121 tan 1k k k k α-= + (3)弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离:12AB x =- = 或12AB y y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程:cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程: 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?

22 222b b p a a 椭圆:;双曲线:;抛物线: (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是( ) A 、双曲线; B 、双曲线的一支; C 、两条射线; D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时,S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时,S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?) (6)、记住焦半径公式:(1)00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为 “左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ,1342 22 2=+y x ;两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什 么?如果有两个参数怎么办? 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,

数学曲线方程及圆锥曲线典型例题解析

数学曲线方程及圆锥曲线典型例题解析 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

曲线方程及圆锥曲线典型例题解析 一.知识要点 1.曲线方程 (1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下: 化” (2)求曲线方程的常见方法: 直接法:也叫“五步法”,即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。 转移代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点,另一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的关系,然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法:就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。 参数法:根据题中给定的轨迹条件,用一个参数来分别动点的坐

标,间接地把坐标x,y联系起来,得到用参数表示的方程。如果消去参数,就可以得到轨迹的普通方程。 2.圆锥曲线综合问题 (1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类:一类是有关长度和面积的最值问题;一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用,要注意观察、分析图形的特征,将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法: 设圆锥曲线C∶f(x,y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1,y1)、 B(x2,y2)两点,则弦长|AB|为: 若弦AB过圆锥曲线的焦点F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|. 在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关系,再利用代数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围。 (2)对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断方法。 (3)实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型,随着高考改革的深入,同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题,如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测,以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 (1)若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围; (2)若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. (1)由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-,则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立, 而()()2 '21f x x =--+,其最大值为1. 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? (2)当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b = 当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立. ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-, 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )((0>a )的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点,且|AB|=2,αββα-=-)()(f f .

【整理】圆锥曲线的综合经典例题(有答案解析)

经典例题精析 类型一:求曲线的标准方程 1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点 横坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨:先确定椭圆标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用 待定系数法确定、(定量). 解析: 方法一:因为有焦点为, 所以设椭圆方程为,, 由,消去得, 所以 解得 故椭圆标准方程为 方法二:设椭圆方程,,, 因为弦AB中点,所以, 由得,(点差法) 所以 又

故椭圆标准方程为. 举一反三: 【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直, 且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方 程. 【答案】依题意设椭圆标准方程为(), 并有,解之得,, ∴椭圆标准方程为 2.根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)与双曲线有共同的渐近线,且过点; (2)与双曲线有公共焦点,且过点 解析: (1)解法一:设双曲线的方程为 由题意,得,解得, 所以双曲线的方程为 解法二:设所求双曲线方程为(),

将点代入得, 所以双曲线方程为即 (2)解法一:设双曲线方程为-=1 由题意易求 又双曲线过点,∴ 又∵,∴, 故所求双曲线的方程为. 解法二:设双曲线方程为, 将点代入得, 所以双曲线方程为. 总结升华:先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定、.在第(1)小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第(2)小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程. (1)求双曲线的方程,关键是求、,在解题过程中应熟悉各元素(、、、及 准线)之间的 关系,并注意方程思想的应用. (2)若已知双曲线的渐近线方程,可设双曲线方程为 (). 举一反三: 【变式】求中心在原点,对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)一渐近线方程为,且双曲线过点.

高中数学经典例题

高中数学经典例题讲解高中数学经典例题讲解典型例题一例1下列图形中,满足唯一性的是 (). A.过直线外一点作与该直线垂直的直线 B.过直线 外一点与该直线平行的平面C.过平面外一点与平面平行的直 线D.过一点作已知平面的垂线分析:本题考查的是空间线线 关系和线面关系,对定义的准确理解是解本题的关键.要注意空间垂直并非一定相关.解:A.过直线外一点作与这条直线垂直的直线,由于并没有强调相交,所以这样的垂线可以作无数条.事实上这无数条直线还在同一个平面内,这个平面为该直线的一个垂面.B.过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行,但可以作无数个平面和该直线平行.C.过此点作平面内任一直线的平行线,这条平行线都平行于平面.所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条..过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条.假设空间点、平面,过点有两条直线、都垂直于,由于、为相交直线,不妨设、所确定的平面为 ,与的交线为,则必有,,又由于、、都在平面内,这样在内经过点就有两条直线和直线垂直,与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾.故选D.说明:有关“唯一性”结论的问题,常用反证法,或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明.在本书中,过一点作已知平面的垂线有且仅有一条,同时,过一点作

已知直线的垂面也是有且仅有一个.它们都是“唯一性”命题,在空间作图题中常常用到.典型例题二例2 已知下列命题:(1)若一直线垂直于一个平面的一条斜线,则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影;(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行;(3)若平面外的两条直线,在这个平面上的射影互相垂直,则这两条直线互相垂直;(4)若两条直线互相垂直,且其中的一条平行一个平面,另一条是这个平面的斜线,则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直.上述命题正确的是(). A.(1)、(2) B.(2)、(3) C.(3)、(4) D.(2)、(4)分析:本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用.应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件,同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形.解:(1)已知直线不一定在平面内,所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系; - 1 - 高中数学经典例题讲解(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直,所以它们之间也平行;(3)根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直,但不能进一步说明直线和直线垂直;(4)根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念,不难证明此命题的正确性.故选D.说明:(3)中若一直线与另一直线的射影垂直,则有另一直线必与这一直线的射影垂直.如E、FGBC在

高考圆锥曲线典型例题(必考)

椭 圆 典例精析 题型一 求椭圆的标准方程 【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为45 3 和 25 3 ,过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25+3y 2 10=1或3x 210+y 2 5 =1. 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时,常用待定系数法,但是当焦点所在坐标轴不确定时,需要考虑两种情形,有时也可设椭圆的统一方程形式:mx 2+ny 2=1(m >0,n >0且m ≠n );(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时,经常用到椭圆的定义及解三角形的知识. 【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上,抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1,C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点),并记录其坐标(x ,y ).由于记录失误,使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上,也不在抛物线C 2上.小明的记录如下: 据此,可推断椭圆C 1的方程为 . x 212+y 2 6 =1.

题型二 椭圆的几何性质的运用 【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F 1PF 2=60°. (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关. 【解析】(1)e 的取值范围是[12,1).(2)2 1 F PF S =12mn sin 60°=3 3 b 2, 【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形,求解有关问题时,要注意正、余弦定理,面积公式的使用;求范围时,要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用,如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|+|PF 2|2)2 ,|PF 1|≥a -c . 【变式训练2】 已知P 是椭圆x 225+y 2 9=1上的一点,Q ,R 分别是圆(x +4)2 +y 2 =1 4 和圆 (x -4)2+y 2=1 4上的点,则|PQ |+|PR |的最小值是 .【解析】最小值 为9. 题型三 有关椭圆的综合问题 【例3】(2010全国新课标)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的 左、右焦点,过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且|AF 2|,|AB |,|BF 2|成等差数列. (1)求E 的离心率;

[高考数学]高考数学函数典型例题

?0x时,总有 00 ?01}的四组函数如下: ①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;

③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2(x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ) 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块,其中一块是梯形,记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 , 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 。 34 .( 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35.(20XX 年高考江苏卷试题 14)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长) 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . (Ⅰ)若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .

圆锥曲线常见综合题型整理(供参考)

【知识点梳理】 一、直线与圆锥曲线的位置关系 注意:直线与椭圆、抛物线联立后得到的方程一定是一元二次方程(二次项系数a 不为0),但直线与双曲线联立后得到的不一定是一元二次方程,因此需分类讨论。 即: 1. 一次方程,只有一个解,说明直线与双曲线相交,只有一个交点,此时直线与渐进性平行; 2. 二次方程,?? ???>?=??≠且a 此外,在设直线方程时,要注意直线斜率不存在的情况。 二、直线与圆锥曲线相交的弦长公式 设直线l :y=kx+n ,圆锥曲线:F(x,y)=0,它们的交点为P 1 (x 1,y 1),P 2 (x 2,y 2), 且由???+==n kx y y x F 0),(,消去y →ax 2+bx+c=0(a ≠0),Δ=b 2 -4ac >0。 则弦长公式为: 4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ?-+?+=-?+=。 三、用点差法处理弦中点问题 设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为),(11y x A 、),(22y x B ,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 【典型例题】 题型一 直线与圆锥曲线的交点问题 例 1 k 为何值时,直线2y kx =+和曲线22 236x y +=有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?

高考数学百大经典例题 曲线和方程(新课标)

典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ,的点都在曲线C 上”不正确,那么以下正确的命题是 (A )曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ,. (B )坐标满足方程()0=y x f ,的点有些在C 上,有些不在C 上. (C )坐标满足方程()0=y x f ,的点都不在曲线C 上. (D )一定有不在曲线C 上的点,其坐标满足方程()0=y x f ,. 分析:原命题是错误的,即坐标满足方程()0=y x f ,的点不一定都在曲线C 上,易知答案为D . 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系. 分析:“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件,二者缺一不可.其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”,即纯粹性;“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”,即完备性.这是我们判断方程是不是指定曲线的方程,曲线是不是所给方程的曲线的准则. 解:如下图所示,过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ,因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ,所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上.但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上,因此方程1=y 不是直线l 的方程,直线l 只是方程 1=y 所表示曲线的一部分. 说明:本题中曲线上的每一点都满足方程,即满足纯粹性,但以方程的解为坐标的点不都在曲线上,即不满足完备性. 典型例题三

例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系. 分析:该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析. 解:方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等.但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =,例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3,但它不满足方程x y =.因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程,到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹. 说明:本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”,即满足完备性,而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”,即不满足纯粹性.只有两者全符合,方程才能叫曲线的方程,曲线才能叫方程的曲线. 典型例题四 例 4 曲线4)1(2 2 =-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点,求k 的取值范围.有一个交点呢?无交点呢? 分析:直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点,就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解,也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式?分别满足0>?、0=?、0?即0)52)(12(<--k k ,即 25 21<--k k ,即21k 时,直线与曲线没有公共点. 说明:在判断直线与曲线的交点个数时,由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数 与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同,所以如果上述一元方程是二次的,便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数,但如果是两个二次曲线相遇,两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同,所以遇到此类问题时,不要盲目套用上例方法,一定要做到具体问题具体分析. 典型例题五

(完整word版)圆锥曲线经典练习题及答案

一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄,则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3 (C ) I (D ) 2. 设F 为抛物线 c : y 2=4x 的焦点, 曲线 k y= ( k>0)与C 交于点P , PF 丄x 轴,则k= x (B )1 3 (C)— 2 (D )2 3?双曲线 2 x C : T a 2 y_ 1(a 0,b 0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为 '、3,贝U C 的 焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4 D. 4?已知椭圆 C : 0)的左右焦点为 F i ,F 2,离心率为 丄3,过F 2的直线l 3 交C 与A 、 B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3,则 C 的方程为() 2 A. x_ 3 B. 2 x 2彳 xr y 1 C. 2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2 线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2 a 1( a 0, b 0)的一条渐近线平行于直线 I : y 2x 10,双曲 2 B — 20 2 为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为( 也 1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧, c 3x 2 1 C.— 25 占 八、、 的焦点, uu uuu OA OB A 、2 (其中O 为坐标原点),则 - 1^/2 8 7.抛物线 =X 2的准线方程是 4 (A) y (B) 2 (C) ) D M 辽 .100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是( ) x 1 (D)

怎样学好圆锥曲线

怎样学好圆锥曲线(解析几何的高考热点与例题解析)圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系,从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始. 高考中它依然是重点,主客观题必不可少,易、中、难题皆有.为此需要我们做到: 1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石,高考中的题目都涉及到这些内容. 2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹,此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法:定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等. 3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题,因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查. 4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程. (1)方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线,因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,就简化解题运算量. (2)用好函数思想方法 对于圆锥曲线上的一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时就很有效. (3)掌握坐标法 坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法,因此要加强坐标法的训练. 考点一求圆锥曲线方程 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题。 解决这类问题常用定义法和待定系数法。 ●思路方法:一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤。 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,

圆锥曲线经典例题及总结(全面实用)

圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1(0a b >>)。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B 异号)。 (3)抛物线:开口向右时2 2(0)y px p =>,开口向左时2 2(0)y px p =->,开口向上时 22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 (2)双曲线:由x 2,y 2 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中,a 最大,2 2 2 a b c =+,在双曲线中,c 最大,2 2 2 c a b =+。

圆锥曲线历年高考题附答案解析

数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题: 1. (2006全国II )已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2 =1的一条渐近线方程为y =43x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )32 2. (2006全国II )已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆 x 23+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 3.(2006全国卷I )抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A .43 B .75 C .85 D .3 4.(2006高考卷)已知双曲线2239x y -=,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( ) B. C. 2 D. 4 5.(2006卷)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 6.(2006卷)曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的( ) (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7.(2006高考卷)若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4 8.(2006卷)直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题: 9. (2006全国卷I )双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。 10. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设

圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有!)

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1(0a b >>)。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B 异号)。 (3)抛物线:开口向右时2 2(0)y px p =>,开口向左时2 2(0)y px p =->,开口向上时 22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 (2)双曲线:由x 2,y 2 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中,a 最大,2 2 2 a b c =+,在双曲线中,c 最大,2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例):①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两 个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ;④准线:两条准线2a x c =±; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<, e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。 (2)双曲线(以22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)为例):①范围:x a ≤-或,x a y R ≥∈;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),两个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ,虚轴长为2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠;④准线:两条准线2a x c =±; ⑤离心率:c e a =,双曲线?1e >,等轴双曲线 ?e =e 越小,开口越小,e 越大,开口越大;⑥两条渐近线:b y x a =±。 (3)抛物线(以2 2(0)y px p =>为例):①范围:0,x y R ≥∈;②焦点:一个焦点(,0)2 p ,其中p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴0y =,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);

圆锥曲线之轨迹问题例题习题(精品)

x 专题:圆锥曲线之轨迹问题 一、 临阵磨枪 1?直接法(五部法):如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些 几何条件简单明了且易于表达,我们只须把这种关系“翻译”成含 x,y 的等式就得到曲线 的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。 2?定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线 的定义),则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。 3?坐标转移法(代入法):有些问题中,其动点满足的条件不便于等式列出,但动点是随 着另一动点(称之为相关点)而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的, 或是可分析的, 这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标, 根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方 程,这种求轨迹的方法坐标转移法,也称相关点法或代入法。 4. 参数法:有时求动点应满足的几何条件不易求出,也无明显的相关点,但却较易发现 (或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间 等)的制约,即动点坐标(x, y )中的x, y 分别随另一变量的变化而变化, 我们可以把这个变 量设为参数,建立轨迹的参数方程,这种方法叫做参数法,如果需要得到轨迹的普通方程, 只要消去参变量即可。 5. 交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题常可 通过解方程组得出交点含参数的坐标, 再消去参数得出所求轨迹方程,此种方法称为交轨法。 二、 小试牛刀 1. _________________________________________________________________________ 已知M (-3,0),N ( 3,0) PM PN 6,则动点P 的轨迹方程为 ______________________________ 析:Q MN PM PN ???点P 的轨迹一定是线段 MN 的延长线。 故所求轨迹方程是 y 0(x 3) 圆所引的切线长相等,则动点 P 的轨迹方程为 __________________________ 析:???圆O 与圆o 外切于点M (2,0) ?两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等, 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线,其方程为 x 2 2 2 x y 一 3.已知椭圆 — 亍1(a b 0) ,M 是椭圆上一动点,F i 为椭圆的左焦点,贝U 线段MF i a b 的中点P 的轨迹方程为 _____________________________ 析:设P (x, y ) M (x °,y °)又F , ( c,0)由中点坐标公式可得: 2 2.已知圆0的方程为x 2 2 y 2,圆0的方程为x 2 y 8x 10 0 ,由动点P 向两

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-。 (1)若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2 2sin cos t t t -+ t 的取值范围; (2)若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. (1)由()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-,则 ()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02(2)323(2)0 a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-+ ∈恒成立, 而()()2 '21f x x =--+,其最大值为1. 故2 2sin cos 1t t t -+ ≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? (2)当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b = 当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立. ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-, 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22 4a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3)((0>a )的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、)) (,(ββf B

(完整版)高考圆锥曲线题型归类总结(最新整理)

)直接法:直接利用条件建立之间的关系; 和直线的距离之和等于 ),端点向圆作两条切线

的距离比它到直线的距离小于 :和⊙:都外切,则动圆圆心 代入转移法:动点依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,则可先用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨 是抛物线上任一点,定点为,分所成的比为 参数法:当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。 过抛物线的焦点作直线交抛物线于

?OA OB ⊥?121K K ?=-?0OA OB ?= ?12120 x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”?? >0; ?1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系(或);?120K K +=12K K = ④“共线问题” (如: 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法); AQ QB λ= ?(如:A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等);? ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系;? ⑥“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式的合理选择);?六、化简与计算;七、细节问题不忽略; ①判别式是否已经考虑;②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想: 1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式; 2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解; 3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明 5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决; 6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验; 7、思路问题:大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来,即可自然而

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

圆锥曲线经典题型 一.选择题(共10小题) 1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离 心率的范围是() A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是() A.B.C. D. 3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为() A.B. C.D. 4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D. 5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此 双曲线的离心率的取值范围是() A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞) 6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()

A.B.C.D.2 7.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的 左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x 8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心 率的取值范围是() A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2) 9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是() A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 10.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为() A.B.C.D. 二.填空题(共2小题) 11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是. 12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为. 三.解答题(共4小题)

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