2017-2018学年高中物理第八章气体第3节理想气体的状态方程教学案新人教版选修3-3

第3节 理想气体的状态方程

1.理想气体：在任何温度、任何压强下都遵从气体实

验定律的气体，实际气体在压强不太大、温度不太低时可看作理想气体。 2．理想气体状态方程：

p 1V 1T 1＝p 2V 2T 2或pV

T

＝C 。 3．适用条件：一定质量的理想气体。

一、理想气体 1．定义

在任何温度、任何压强下都严格遵从气体实验定律的气体。 2．理想气体与实际气体

在温度不低于零下几十摄氏度、压强不超过大气压的几倍时，可以把实际气体当成理想气体来处理。

如图8-3-1所示。

图8-3-1

二、理想气体的状态方程 1．内容

一定质量的某种理想气体，在从一个状态变化到另一个状态时，压强跟体积的乘积与热力学温度的比值保持不变。

2．公式

p 1V 1T 1＝p 2V 2T 2或pV

T

＝C (恒量)。 3．适用条件

一定质量的理想气体。

1．自主思考——判一判

(1)实际气体在常温常压下可看作理想气体。(√)

(2)一定质量的理想气体从状态1变化到状态2，经历的过程不同，状态参量的变化不同。(×)

(3)pV T

＝C 中的C 是一个与气体p 、V 、T 有关的常量。(×) (4)一定质量的气体，体积、压强不变，只有温度升高。(×) (5)一定质量的气体，温度不变时，体积、压强都增大。(×) (6)一定质量的气体，体积、压强、温度都可以变化。(√) 2．合作探究——议一议

(1)在实际生活中理想气体是否真的存在？有何意义？

提示：不存在。是一种理想化模型，不会真的存在，是对实际气体的科学抽象。 (2)对于一定质量的理想气体，当其状态发生变化时，会不会只有一个状态参量变化，其余两个状态参量不变呢，为什么？

提示：不会。根据理想气体状态方程，对于一定质量的理想气体，其状态可用三个状态参量p 、V 、T 来描述，且pV T

＝C (定值)。只要三个状态参量p 、V 、T 中的一个发生变化，另外两个参量中至少有一个会发生变化。故不会发生只有一个状态参量变化的情况。

(3)在理想气体状态方程的推导过程中，先后经历了等温变化、等容变化两个过程，是否表示始末状态参量的关系与中间过程有关？

提示：中间过程只是为了应用学过的规律(如玻意耳定律、查理定律等)，研究始末状态参量之间的关系而采用的一种手段，结论与中间过程无关。

理想气体状态方程的应用

1．理想气体状态方程的分态式

(1)一定质量的理想气体的pV T 值，等于其各部分pV T 值之和。用公式表示为pV T ＝p 1V 1T 1＋

p 2V 2

T 2

＋…＋

p n V n

T n

。 (2)一定质量理想气体各部分的pV T

值之和在状态变化前后保持不变，用公式表示为

p 1V 1T 1＋p 2V 2T 2＋…＝p 1′V 1′T 1′＋p 2′V 2′

T 2′

＋… (3)当理想气体发生状态变化时，如伴随着有气体的迁移、分装、混合等各种情况，使

用分态式会显得特别方便。

2．气体密度方程

p 1ρ1T 1＝p 2

ρ2T 2

对于一定质量的理想气体，在状态(p 1 、V 1、T 1)时密度为ρ1，则ρ1＝m V 1

。在状态(p 2、

V 2、T 2)时密度为ρ2，则ρ2＝m V 2。将V 1＝m ρ1、V 2＝m ρ2代入状态方程p 1V 1T 1＝p 2V 2T 2得p 1ρ1T 1＝p 2

ρ2T 2

，

此方程与质量无关，可解决变质量问题。

3．应用状态方程解题的一般步骤

(1)明确研究对象，即一定质量的理想气体；

(2)确定气体在始末状态的参量p 1、V 1、T 1及p 2、V 2、T 2； (3)由状态方程列式求解； (4)讨论结果的合理性。

[典例]

如图8-3-2所示，一水银气压计管顶距槽内水银面950 mm ，由于管内混入气泡致使读数不准，温度为t ＝0 ℃、大气压为760 mmHg 时，气压计读数h 1＝740 mmHg 。

(1)当温度t ＝27 ℃时，气压计读数为h 2＝750 mmHg ，此时大气压强是多少？ (2)用公式表示出任一温度t ℃和管内水银柱高h 时，对该气压计的修正值Δh 。

图8-3-2

[解析] 选取管上端封闭的气体为研究对象，分别写出在温度为0 ℃和27 ℃两种状态下的状态参量，然后应用理想气体状态方程求解。

(1)管内气体在t 1＝0 ℃时的状态参量为：

p 1＝760 mmHg －740 mmHg ＝20 mmHg ， V 1＝(950－740)S ＝210S ， T 1＝273 K ；

管内气体在27 ℃时的状态参量为：

V 2＝(950－750)S ＝200S ， T 2＝300 K ；

由理想气体状态方程

p 1V 1T 1＝p 2V 2

T 2

得：

p 2＝p 1V 1T 2T 1V 2＝20×210S ×300273×200S

mmHg≈23 mmHg。

所以在t ＝27 ℃时的大气压强为：

p 0＝750 mmHg ＋23 mmHg ＝773 mmHg 。

(2)管内气体在任一温度t ℃时的状态参量为：

p 3＝Δh mmHg ， V 3＝(950－h )S ， T 3＝(273＋t )K 。

由理想气体状态方程

p 1V 1T 1＝p 3V 3

T 3

得： 20×210S 273＝Δh 950－h

S

273＋t ，

所以气压计的修正值为

Δh ＝15.38273＋t 950－h mmHg 。

[答案] (1)773 mmHg (2)

15.38273＋t

950－h

mmHg

理想气体状态方程的应用要点

(1)选对象：根据题意，选出所研究的某一部分气体，这部分气体在状态变化过程中，其质量必须保持一定。

(2)找参量：找出作为研究对象的这部分气体发生状态变化前后的一组p 、V 、T 数值或表达式，压强的确定往往是个关键，常需结合力学知识(如力的平衡条件或牛顿运动定律)才能写出表达式。

(3)认过程：过程表示两个状态之间的一种变化方式，除题中条件已直接指明外，在许多情况下，往往需要通过对研究对象跟周围环境的相互关系的分析才能确定，认清变化过程是正确选用物理规律的前提。

(4)列方程：根据研究对象状态变化的具体方式，选用气态方程或某一实验定律，代入具体数值，T 必须用热力学温度，p 、V 的单位需统一，但没有必要统一到国际单位，两边一致即可，最后分析讨论所得结果的合理性及其物理意义。

1．已知湖水深度为20 m ，湖底水温为4 ℃，水面温度为17 ℃，大气压强为1.0×105

Pa 。当一气泡从湖底缓慢升到水面时，其体积约为原来的(取g ＝10 m/s 2,

ρ＝1.0×103 kg/m 3

)( )

A ．12.8 倍

B ．8.5 倍

C ．3.1 倍

D ．2.1 倍

解析：选C 对气泡内气体：在湖底处p 1＝p 0＋ρgh ，

V 1，T 1＝277 K

在水面时，p 2＝p 0，

V 2，T 2＝290 K

由理想气体状态方程：p 1V 1T 1＝p 2V 2

T 2

代入数据得V 2V 1＝p 1T 2

p 2T 1

≈3.1

故C 对。

2.如图8-3-3所示，粗细均匀的、一端封闭一端开口的U 形玻璃管，当t 1＝31 ℃、大气压强p 0＝1 atm 时，两管水银面相平，这时左管被封闭气柱长l 1＝8 cm 。求：

图8-3-3

(1)当温度t 2等于多少时，左管气柱长l 2为9 cm?

(2)当温度达到上问中温度t 2时，为使左管气柱长l 3为8 cm ，则应在右管再加多高的水银柱？

解析：(1)取左管中气体为研究对象，初状态p 1＝1 atm ＝76 cmHg ，T 1＝t 1＋273 K ＝304 K ，V 1＝l 1S ＝(8 cm)·S (设截面积为S )，因为左管水银面下降1 cm ，右管水银面一定上升1 cm ，则左右两管高度差为2 cm ，因而末状态p 2＝(76＋2)cmHg ＝78 cmHg ，V 2＝(9 cm)·S 。由p 1V 1/T 1＝p 2V 2/T 2，代入数据解得T 2＝351 K ，从而知t 2＝78 ℃。

(2)在78 ℃情况下，气柱长从9 cm 减小到8 cm ，体积减小，压强一定增大，即压强大于78 cmHg ，故要往右管加水银。由p 1V 1/T 1＝p 3V 3/T 3，且V 1＝V 3，T 2＝T 3有：p 3＝p 1T 3/T 1＝76×(273＋78)/(273＋31)cmHg ＝87.75 cmHg ，故应在右管加水银柱(87.75－76)cm ＝11.75 cm 。

答案：(1)78 ℃ (2)11.75 cm

理想气体三种状态变化的图像

一定质量的气体不同图像的比较 名称

图像

特点

其他图像

等温

线

p-V

pV＝CT(C为常量)即

pV之积越大的等温线

对应的温度越高，离原

点越远

p-

1

V

p＝

CT

V

，斜率k＝CT，

即斜率越大，对应的温

度越高

等容

线

p-T

p＝

C

V

T，斜率k＝

C

V

，即

斜率越大，对应的体积

越小

p-t

图线的延长线均过点

(－273,0)，斜率越大，

对应的体积越小

等压

线

V-T

V＝

C

p

T，斜率k＝

C

p

，即

斜率越大，对应的压强

越小

V-t

V与t成线性关系，但

不成正比，图线延长线

均过点(－273,0)，斜

率越大，对应的压强越

小

[典例] 一定质量的理想气体由状态A变为状态D，其有关数据如图8-3-4甲所示，若状态D的压强是2×104 Pa。

图8-3-4

(1)求状态A的压强。

(2)请在乙图中画出该状态变化过程的p -T 图像，并分别标出A 、B 、C 、D 各个状态，不要求写出计算过程。

[思路点拨]

由V -T 图得A 、B 、C 、D 温度和体积→理想气

体状态方程→A 、B 、C 、D 的压强→描点、

连线

[解析] (1)据理想气体状态方程：

p A V A T A ＝p D V D

T D

， 则p A ＝p D V D T A V A T D ＝2×104×4×2×1021×4×10

2

Pa ＝4×104

Pa 。

(2)A →B 等容变化、B →C 等温变化、C →D 等容变化，根据理想气体状态方程可求得各状态的参量。p -T 图像及A 、B 、C 、D 各个状态如图所示。

[答案] (1)4×104

Pa (2)见解析图

一般状态变化图像的处理方法

基本方法，化“一般”为“特殊”，如图8-3-5是一定质量的某种气体的状态变化过程

A →

B →

C →A 。

图8-3-5

在V -T 图线上，等压线是一簇延长线过原点的直线，过A 、B 、C 三点作三条等压线分别表示三个等压过程p A ′

B →

C 温度升高，体积减小，压强增大，C →A 温度降低，体积增大，压强减小。

1.如图8-3-6所示，A 、B 是一定质量的理想气体在两条等温线上的两个状态点，这两点与坐标原点O 和对应坐标轴上的V A 、V B 坐标所围成的三角形面积分别为S A 、S B ，对应温度分别为T A 和T B ，则( )

图8-3-6

A ．S A >S

B T A >T B B ．S A ＝S B T A

C ．S A

D ．S A >S B T A

解析：选C 由图像可知：三角形的面积等于p 与V 乘积的12，所以S A ＝12p A V A S B ＝1

2p B V B

在A 点所在的等温线中，其上各点的pV 乘积相同，因为p 与V 成反比，所以p A V A

2.如图8-3-7所示，一定质量的气体从状态A 经状态B 、C 、D 再回到状态A 。问AB 、BC 、

CD 、DA 是什么过程？已知气体在状态A 时的体积是1 L ，则在状态B 、C 、D 时的体积各为多

少？并把此图改为p -V 图。

图8-3-7

解析：AB 过程是等容升温升压过程，BC 过程是等压膨胀过程，CD 过程是等温膨胀过程，

DA 过程是等压压缩过程。

现求A 、B 、C 、D 各点的体积：已知V A ＝1 L ，V B ＝1 L(等容过程)，由V C T C ＝V B

T B

(等压过程)，得V C ＝T C V B T B ＝? ????900×1450L ＝2 L ；由p D V D ＝p C V C (等温过程)，得V D ＝V C p C p D ＝? ????

2×31L ＝6 L 。改

画为p -V 图如下图所示。

答案：见解析

1．(多选)关于理想气体，下列说法中正确的是( )

A ．理想气体的分子间没有分子力

B ．理想气体是严格遵从气体实验定律的气体模型

C ．理想气体是一种理想化的模型，没有实际意义

D ．实际气体在温度不太低、压强不太大的情况下，可看成理想气体

解析：选ABD 人们把严格遵从气体实验定律的气体叫做理想气体，故B 正确。理想气体分子间没有分子力，是一种理想化的模型，在研究气体的状态变化特点时忽略次要因素，使研究的问题简洁、明了，故A 正确，C 错误。在温度不太低、压强不太大时，实际气体可看成理想气体，故D 正确。

2．(多选)对一定质量的理想气体，下列状态变化中不可能的是( ) A ．使气体体积增加而同时温度降低 B ．使气体温度升高，体积不变，压强减小 C ．使气体温度不变，而压强、体积同时增大 D ．使气体温度降低，压强减小，体积减小

解析：选BC 对于理想气体，满足公式pV T

＝C 。若体积增加而温度降低，只要压强也变小，公式就成立，A 选项是可能的；若温度升高，体积不变，压强应是变大的，B 选项是不可能的；若温度不变，压强与体积成反比，不可能同时增大，C 选项不可能；压强减小，体积可能减小，可能变大，D 选项可能。

3．一定质量的理想气体，在某一平衡状态下的压强、体积和温度分别为p 1、V 1、T 1，在另一平衡状态下的压强、体积和温度分别为p 2、V 2、T 2，下列关系正确的是( )

A ．p 1＝p 2，V 1＝2V 2，T 1＝1

2T 2

B ．p 1＝p 2，V 1＝1

2V 2，T 1＝2T 2

C ．p 1＝2p 2，V 1＝2V 2，T 1＝2T 2

D ．p 1＝2p 2，V 1＝V 2，T 1＝2T 2 解析：选D 根据理想气体状态方程

p 1V 1T 1＝p 2V 2

T 2

判断可知D 正确。 4．(多选)一定质量的理想气体，初始状态为p 、V 、T ，经过一系列状态变化后，压强仍为p ，则下列过程中可以实现的是( )

A ．先等温膨胀，再等容降温

B ．先等温压缩，再等容降温

C ．先等容升温，再等温压缩

D ．先等容降温，再等温压缩

解析：选BD 根据理想气体的状态方程pV T

＝C ，若经过等温膨胀，则T 不变，V 增加，p 减小，再等容降温，则V 不变，T 降低，p 减小，最后压强p 肯定不是原来值，A 错；同理可以确定C 也错，正确选项为B 、D 。

5.如图1中A 、B 两点代表一定质量理想气体的两个不同的状态，状态A 的温度为T A ，状态B 的温度为T B ；由图可知( )

图1

A ．T

B ＝2T A B ．T B ＝4T A

C ．T B ＝6T A

D ．T B ＝8T A

解析：选C 对于A 、B 两个状态应用理想气体状态方程p A V A T A ＝p B V B T B 可得：T B T A ＝p B V B p A V A ＝3×4

2×1

＝6，即T B ＝6T A ，C 项正确。

6．(多选)一定质量的某种理想气体经历如图2所示的一系列过程，ab 、bc 、cd 和da 这四个过程在p -T 图上都是直线段，其中ab 的延长线通过坐标原点O ，bc 垂直于ab ，cd 平行于ab ，由图可以判断( )

图2

A ．ab 过程中气体体积不断减小

B ．bc 过程中气体体积不断减小

C ．cd 过程中气体体积不断增大

D ．da 过程中气体体积不断增大

解析：选BCD 四条直线段只有ab 是等容过程，A 错误；连接Ob 、Oc 和Od ，则Ob 、Oc 、

Od 都是一定质量的理想气体的等容线，依据p -T 图中等容线的特点(斜率越大，气体体积越

小)，比较这几条图线的斜率，即可得出V a ＝V b ＞V d ＞V c ，故B 、C 、D 都正确。

7．贮气筒内压缩气体的温度为27 ℃，压强是20 atm ，从筒内放出一半质量的气体后，并使筒内剩余气体的温度降低到12 ℃，求剩余气体的压强为多大。

解析：以容器内剩余气体为研究对象，它原来占有整个容器容积的一半，后来充满整个