2022-2023学年河南省南阳市高三上学期期终质量评估(期末考试)数学(理)试卷含答案

2022年秋期高中三年级期终质量评估

数学试题（理）

注意事项：

1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效

2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．

4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．

第I 卷选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若集合{}

2230A x x x =--≤∣，{}

2log 1B x x =≤∣，则A B ⋃＝（ ） A ．［－1，3]

B ．(,3]-∞

C ．（0，2]

D ．（0，3]

2．已知复数z 满足(i 1)2i z -=，则 z （ ）

A ．1

B C

D ．2

3．从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形

的概率是（ ） A ．

1

4

B ．

13

C ．

12

D ．

34

4．已知向量(4,2a =-，(1,5)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影是（ ）

A ．

B ．－1

C ．1

D

5．已知x ∈R ，y ∈R ，若:|1||2|1p x y ++-≥，2

2

:2440q x y x y ++-+≥，则p 是

q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1

F ，2F 点M 在C 的右支上，直线1F M 与C 的左支交于点N ，若1F N b =，且2||MF MN =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．13

y x =±

B ．3y x =±

C ．12

y x =±

D ．2y x =±

7．设f （x ）是定义在R 上且周期为4的奇函数，当02x ≤≤时，,01

()2,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩

，

令g （x ）＝f （x ）＋f （x ＋1），则函数y ＝g （x ）的最大值为（ ） A ．1

B ．－1

C ．2

D ．－2

8．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛

⎫

=-> ⎪⎝

⎭在[]0,π上单调递增，且2()3

f x f π

⎛⎫

≥-

⎪⎝⎭

恒成立，则ω的值为（ ） A ．2

B ．

32

C ．1

D ．

12

9．已知抛物线2

:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于点A ，B （A 在x 轴上方），与抛物线准线交于点M ．若|BM |＝2|BF |，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．60°

B ．30°或150°

C ．30°

D ．60°或120°

10．对于函数()sin x

f x x x e =+-，[0,]x π∈，下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）有唯一的极大值点 B ．函数f （x ）有唯一的极小值点 C ．函数f （x ）有最大值没有最小值

D ．函数f （x ）有最小值没有最大值

11．如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列

前n 项和为n S ，设n b ={}n b 中的整数项依次取出组成新的数列记为{}n c ，则2023c 的值为（ ）

A ．5052

B ．5057

C ．5058

D ．5063

12．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a ，b ，c 分别是ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且2

2

()6b a c --=，

cos sin 2cos 6A C B π⎛

⎫=- ⎪⎝⎭

，若点P 为ABC △的费马点，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（ ） A ．－6

B ．－4

C ．－3

D ．－2

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．上级将5名农业技术员分派去3个村指导农作物种植技术，要求每村至少去一人，一人只能去一个村，则不同的分派种数有______．（数字作答）

14．如图，△ABC 内接于椭圆，其中A 与椭圆右顶点重合，边BC 过椭圆中心O ，若AC 边上中线BM 恰好过椭圆右焦点F ，则该椭圆的离心率为______．

15．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、泰、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P －ABCD 为一个阳马，其中PD ⊥平面ABCD ，若DE PA ⊥，DF PB ⊥，

DG PC ⊥，且PD ＝AD ＝2AB ＝4，则几何体EFGABCD 的外接球表面积为______．

16．已知函数1

()ln (0)mx x f x x mx x e

+=

-+>的值域为[0,)+∞，

则实数m 取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚） 17．（本题满分12分）

已知数列{}n a 是各项均为正数．．

的等差数列， n S 是其前n 项和，且()()

122

n n n a a S -+=．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若89n

n n b a ⎛⎫

=⋅ ⎪⎝⎭

，求

n b 取得最大值时的n ． 18．（本题满分12分）

在2022年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以1胜3平6负进9球失19球的成绩惨败出局．甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得－1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为1

2

，乙每次踢球命中的概率为23，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率1

5

，且各次踢球互不影响，

（1）经过一轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望；

（2）若经过两轮踢球，用2p 表示经过第2轮踢球后甲累计得分高于乙累计得分的概率，求

2p ．

19．（本题满分12分）

如图，四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，2

ABC BAD π

∠=∠=

，PB ⊥底面ABCD ，

1

12

PB AB AD BC ===

=，设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．

（1）证明：l ⊥平面P AB ；

（2）设Q 为l 上的动点，求PD 与平面QAB 所成角的正弦值的最大值． 20．（本题满分12分）

已知函数2

()ln f x a x x ax =-+． （1）当a ＝1时，求证：()0f x ≤；

（2）若函数f （x ）有且只有一个零点，求实数a 的取值范围． 21．（本题满分12分）

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，离心率为1

2

，其左右焦点分别为1

F ，2F ，点A （1，－1）在椭圆内，P 为椭圆上一个动点，且1||PF PA +的最大值为5． （1）求椭圆C 的方程；

（2）在椭圆C 的上半部分取两点M ，N （不包含椭圆左右端点），且122FM F N =，求四边形12F F NM 的面积．

选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．【选修4－4：坐标系与参数方程】（10分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (sin x y ϕ

ϕϕ

=⎧⎨

=⎩为参数）

， （1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C 极坐标方程； （2）若点A ，B 为曲线C 上的两个点且OA OB ⊥，求证：22

11

||||

OA OB +为定值． 23．【选修4－5：不等式选讲】（10分）

已知存在0x ∈R ，使得0024x a x b +--≥成立，a ，b +∈R ． （1）求a ＋2b 的取值范围；

（2）求22

a b +的最小值．

2022年秋期高中三年级期终质量评估数学（理）

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

13．150 14．

1

3 15．20π 16．21,e ∞⎛

⎤- ⎥⎝

⎦ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【解析】

（1）当1n =时，()()

1111122a a S a -+==，解得：12a =或者11a =-，

因为0n a >，故12a =． 方法一：因为()

()122

2

n n n n a a n a S ++=

=

，所以

()()()2122

2

n n n n a a a +-+=

，

又0n a >，即可得1n a n =+．

方法二：当2n =时，()()2222

1222

a a S a -+=+=

，易得：23a =．

因为数列{}n a 是等差数列，故1n a n =+．

（2）由（1）知，()819n n b n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，故()1

1829n n b n ++⎛⎫

=+⋅ ⎪

⎝⎭

．

18799n

n n n b b +-⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭

， 当7n <时，1n n b b +>；

当7n =时，1n n b b +=； 当n >7时，1n n b b +<；

故数列{}n b 的最大项为7b ，8b ，即7n =或8 18．【解析】

（1）记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立， 由题意得：()1121?255P A ⎛⎫=

⨯-= ⎪⎝⎭，()211

1323

P B ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， 甲的得分X 的可能取值为－1，0，1，

()()()

()211

11535

P X P AB P A P B ⎛⎫=-===-⨯= ⎪⎝⎭，

()()()()()()()

21218011535315

P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫==+=+=

⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

()()()()

214

115315

P X P AB P A P B ⎛⎫====

⨯-=

⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为：

所以()411015151515

E X =-⨯

+⨯+⨯= （2）根据题意，经过第2轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况有三种； 分别是：甲两轮中第1轮得0分，第2轮得1分； 或者甲第1轮得1分，第2轮得0分； 或者甲两轮各得1分，

于是：()()()()()201101p P X P X P X P X P X ⎡⎤==⋅=+=⋅=+=⎣⎦

8448416

151515151545

⎛⎫=

⨯+⨯+= ⎪⎝⎭ 19．【解析】

（1）证明：因为PB ⊥底面ABCD ，所以PB BC ⊥． 又底面ABCD 为直角梯形，且2

ABC BAD π

∠∠==，所以AB BC ⊥．

因此BC ⊥平面PAB ．

因为BC AD ∥，BC ⊄平面PAD ， 所以BC ∥平面PAD ．

又由题平面PAD 与平面PBC 的交线为l ， 所以l BC ∥，故l ⊥平面PAB ．

（2）以B 为坐标原点，BC 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 则()0,0,0B ，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()0,0,1P ，

由（1）可设(),0,1Q a ，则(),0,1BQ a =．设(),,n x y z =是平面QAB 的法向量，

则00

n BQ n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00ax z y +=⎧⎨=⎩，可取()1,0,n a =-

所以cos ,3n PD n PD n PD

⋅-=

=

⋅

设PD 与平面QAB 所成角为θ，

则sinθ==

因此：当0

a>

≤（当且仅当1

a=时等号成立）又当0

a≤时，易知不符合题意．

所以PD与平面QAB

所成角的正弦值的最大值为

3

．

20．【解析】（1）()

()()

2211

121

21

x x

x x

f x x

x x x

---

-++

=

'=-+=

故f（x）在（0，1）上是单调增加的，在（1，＋∞）上是单调减少的．

所以()()

max

10

f x f

==，即()0

f x≤

（2）当a＝0时，()2

f x x

=-，不存在零点

当0

a≠时，由()0

f x=得

2

1ln x x

a x

+

=，()

0,

x∞

∈+

设()2

ln x x

g x

x

+

=，则()3

12ln x x

g x

x

--

'=

令()12ln

h x x x

=--，易知()

h x在()

0,∞

+上是单调减少的，且()10

h=．故()

g x在()

0,1上是单调增加的，在()

1,∞

+上是单调减少的．

由于

2

1

1

1

1

e

g

e

e

-+

⎛⎫

=<

⎪

⎝⎭⎛⎫

⎪

⎝⎭

，()11

g=，且当1

x>时，()0

g x>

故若函数()

f x有且只有一个零点，则只须

1

1

a

=或

1

a

<

即当(){}

,01

a∞

∈-⋃时，函数()

f x有且只有一个零点．

21．【解析】

（1）由题意知：

1

2

c

a

=，即2

a c

=，

又由椭圆定义可得：()

12

2

PF PA a PA PF

+=+-

2

225

a AF a

≤+==，

又∵222a b c =+，且52

a ≤， 故可得：2a =

，b =

1c =．

即椭圆C ：的方程为：22

143

x y += （2）延长1F M 交椭圆于点P ，由122FM F N =， 根据椭圆的对称性可得112F M PF =．

设()11,M x y ，()22,P x y ，则()22,N x y --．显然，10y >． 设直线PM 的方程为1x my =-，

联立221

14

3x my x y =-⎧⎪

⎨+=⎪⎩得，()2234690m y my +--=，

∴122

634m

y y m +=+① 122

934

y y m =-

+②

又

1

12FM PF =，得122y y =-③

由①②③得，m =

得直线PM

的方程为15

x y =

-

20y -+=， 设2F 到直线PM 的距离为d ，

则由距离公式得：3

d =

=

，

又由弦长公式得：

12PM y =-=

=

将m =278

PM =， 设四边形12F F NM 的面积为S ，

易知1127228S PM d =

⋅⋅=⨯= 【选做题】 22．【解析】

（1）因为2cos sin x y ϕ

ϕ

=⎧⎨

=⎩，

所以曲线C 的直角坐标方程为2

214

x y +=． 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，

所以，曲线C 的极坐标方程为：22

43sin 1

ρθ=

+

（2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫

+

⎪⎝

⎭

2124

3sin 1ρθ=

+，2

224

3cos 1ρθ=

+，

所以2222

12

1111

||||OA OB ρρ+=+ ()()2

2

3cos 13sin 154

4

θθ+++==．

即2211||||OA OB +为定值5

4

23．【解析】

（1）由题知：()()2222x a x b x a x b a b a b +--≤+--=+=+， 因为存在0x R ∈，使得0024x a x b +--≥，所以只需24a b +≥， 即2a b +的取值范围是[

)4,∞+． （2）方法一：

由（1）知24a b +≥，因为,a b R +∈，不妨设22t a b =+， 当2b ≥时，224t a b =+>，

当02b <<时，有2

2

2

(42)t b a b -=≥-，

整理得，2

2

81651616555t b b b ⎛

⎫≥-+=-+ ⎪⎝

⎭，此时t 的最小值为165；

综上：22a b +的最小值为16

5

．

方法二：

令222

t a b =+，不妨设cos a t θ=，sin b t θ=，

因为24a b +≥

，所以4cos 2sin t θθ≥

≥+，所以：216

5t ≥，

即22

a b +的最小值为

165

．