概率论与数理统计修订版第三章练习答案郝志峰,谢国瑞
概率论与数理统计第三章习题
率分布。
，试写出命中次数的概标的命中率为目；设已知射手每次射击射击中命中目标的次数指示射手在这三次独立以本空间上定义一个函数验的样本空间；试在样作为试验，试写出此试察这些次射击是否命中三次独立射击，现将观一射手对某目标进行了7.0.1
。
出的废品数的概率分布前已取个，求在取得合格品之不再放回而再取来使用，若取得废品就个这批零件中任取个废品，安装机器时从个合格品、一批零件中有1139.2
11880
54
99101112123)3(132054
109112123)2(132
27
119123)1(12
9
)0(3
210191911011111121121311019111121121311119112131121
9=
???=???===
??=??===
?=?===
==C C C C C C C C P C C C C C C P C C C C P C C P ξξξξξξ，，，可能取值为：代表废品数，则解：令
.1188054132054132271293210
???
? ??的分布列为
所以，ξ
废品数的概率分布。
况，求出取得）取后放回两种不同情）取后不放回；（个，试分别就（件，每次取个废品，现从中任取混有个同类型的一堆产品内设在2113210.3 .008.0096.0384.0512.03210
008.0)3(096.0)2(384.0)1(512.0)0(32102210)2()1()0(2
1013
1101
22
1101211018231101
22
1101
8133
1101831022183101228310383
10
2
2
18310122831038???
? ??=???
? ??===???? ?????? ??===???
?
?????
? ??===???? ??==????
? ?????==?====的分布列为
所以，，，，有
，，，，则可能取值有：）设废品数为（的分布列为
所以，，，，，的可能值有：代表废品数，则）令解：（ηηηηηηξξξξξξC C P C C C C C P C C C C C P C C P C C C C C C C C C C C P C C C P C C P
格品数的概率分布。两次调整之间生产的合即要进行调整，试求在次品就立，若在生产过程中出现次品的概率是自动生产线经调整后出p .4
n
pq n n P n P pq
P P p
P P =+========})1({)(}{)1(}{)0(件是次品次生产正品，第两次调整之间前正品，再是一件次品两次调整之间生产一件一件次品两次调整之间生产的是，则
解：令合格品数为ξξξξ
.1321032
p q pq pq pq pq
p n n
-=???
?
?
?，其中的分布列为
所以，
ξ
概率分布。
，试求击中目标次数的分别为概率次，甲、乙击中目标的对同一目标各射击甲、乙两人分别独立的21,1.5p p
???
? ?
?
-+---==-+-==--==212121212
1212121)
1()1()1)(1(210)2()1()1()1()1)(1()0(2
10p p p p p p p p p p P p p p p P p p P 的分布列为
所以，，，的取值为则为击中目标次数，
次，令立对同一目标各射击一解：甲、乙二人分别独ξξξξξξ
为分布律。
，取何值能使
）试问下式的（的值；试确定，，且已知
，，，所有的可能值是）已知随机变量（
,2,132)(2,,2,1)(211.6=??
?
??=====k c k P c a N
k N
a
k P N k
ηξξ
.2
1
122
3
2
132132lim 321321)(2;111)(11
1111
1
=
=-
??????????
?
??-=???
??=??? ??======-∞→∞
=∞
=∞
===∑∑∑∑
∑c c c k P a N
a
k P n n k
k k
k k N
k N k ，从而＝所以，，而，则知
）由概率的规范性，可（，从而，则知
）由概率的规范性，可解：（ηξ
。
为偶数的概率的分布律，并求出次数序号，试写出验
表示首次取得成功的试，以成功的概率为设在某种试验中，试验p ξξξ4
3
.7
.511615414341141141lim 43414141434343143431)4()2(,2,143431434314343143321
;4
3431)(;
43431)3(;
43431)2(;
4
3
)1(212
)
1(25
33
1212
=?=?
?
? ??-???????????
??-?=???
?????+???
??+??? ??+=+???? ??-+???? ?
?
-=+=+===???
?
? ?????? ??-???? ??-???? ??-??
?? ?
?
-==???? ?
?
-==???? ??
-====-∞→--n n k k P P P k k k P P P P
ξξξξξξξξξξ为偶数时，，的分布列为
所以，，，的取值为验次数序号，从而代表首次取得成功的试解：令
贝努利试验描述之。
重字数，试用察该书某一页上的错别页的任何一页上，现考在字等可能的出现个错别字，设每个错别页的书，共有一本n 500100500.8 ).500
1
,
100(~500
499
5001B q p ξ别字字数上错出现没有影响，故该页该页对其他错别字是否由于错别字是否出现在不出现在该页，出现在该页，而以概率解：每个错别字以概率==
重贝努利试验描述之。
型的人数，试用人，考察带，要从该地区任意选出、、、依次为四种血型人数的百分比人群中这等四型，设已知某地区、、、人类的血型可粗分成n AB AB B A O 1005.025.03.04.0.9 ).
05.0,10(~1005.0B AB p AB p AB AB AB ξ血型的人数
重贝努利试验，带的成是成功概率为型的概率，而问题可说是任取一人，其血型为型。这样型或者非只有两个可能结果：每个人血型可不予区分，故在此时血型的人数，其他血型解：由于只关心=
）有多数设备在使用。
（个设备在使用；）至少有（个设备在使用；）最多有（个设备在使用；）恰有（的概率：
一时刻下列事件使用相互独立，求在同，又设各个设备是否被的概率是被使用设在任一时刻每个设备个同类型的供水设备，某建筑物内装有42322212.05.10
.
05792.094208.01)2(1)2(2543)4(26272
.0)8.0()2.0()8.0()2.0(1)
1()0(1)2()3(94208.0)8.0()2.0()8.0()2.0()8.0()2.0()
2()1()0()2()2(2048
.0)8.0()2.0()2()1()
2.0,5(~521041155005322
541155005322
53225=-=≤-=>>=--==-=-=≥=++=====≤=??===ξξξξξξξξξξξξξξξP P C C P P P C C C P P P P C q p C P B ，从而
即，，，应取使用，故超过半数以上的设备在有多数设备在使用，即＋＋，由题意，显然，，，，＝代表设备使用的个数，解：设
次试验。
）共进行（次试验；）共进行（出信号的概率：情况下，指示灯发就要发出信号，求下列次或更多次时，指示灯发生，若，当在进行多次试验时率为在一次试验中发生的概设事件523133.0.11A A
16308
.0)7.0()3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()3(5435)
5()4()3()3()2(027
.0)7.0()3.0()3(33)
3()3()1()3.0,(~055514452335033
3==≥=+=+==≥=====≥C C C P A P P P P C P A P P n B A ＋＋次
次和次、可发生信号，则事件次，要指示灯发出因为试验进行次
只能出现则事件，次，要指示灯发出信号因为试验只进行发生的次数，由题意代表事件解：设ξξξξξξξξξξ
秤不够用？
小时内平均有多少时间）的结果配秤，一天）若按（（合适？
）该店配备几台秤较为（互独立。试问：分钟，各人何时用秤相为内用秤的时间名售货员平均在一小时名售货员，据统计，每某商店有8121154.12
（小时）
＝间就为
小时内，秤不够用的时间内秤不够用，而在的时，那么还有台秤的平均使用率为，每小时，由题；
因秤不够用而影响业务秤过度闲臵，也不致常台秤，这样既不使，从而可配人的概率接近过故同时用秤的人数不超货员数，则代表一小时内用秤的售解：设4064.08)9492.01(81)9492.01(9492.02)1()2(295.029492
.0)2()1()0()2(2109.04341)2(4219.04341)1(3164
.025*******)0()1()
41,4(~2
2
243
1
144
4
?-?-==+=+==≤=??
? ????? ??===??
? ????? ??====??
?
????? ??==ξξξξξξξξξP P P P C P C P C P B
件次品？为什么？
其中是否必有件来检验，问
取，今从其大批产品中任是
已知某厂产品的次品率11010
1
.13 件次品。
的机会会遇到有十件检查，约
，可见，如果经常任抽品的概率为件是次件产品其中任取，两者有区别，可算出产品中次品出现的频率率是在这十件
，任查十件产品的次品品的概率为解：任取一件产品为次1%74.383874.0)9.0)(1.0(11010
1
9110≈=C p
.
7447.0)7.0()3.0()7.0()3.0(1)1()0(1)2()
2(;2965.0)7.0()3.0(2)3.0,8;2(2))1((2.7.2)1()1()3.0,8(~83210711
88008622
8=--==-=-=≥===+==+C C P P P C p B p n ent k Th p n B ξξξξξξ次的可能性最大的值最大，故击中时，
，取，由二项分布的，显然，，，，，＝则代表击中目标的次数，解：设
，概率是多少？
）最大可能有几件次品（件次品的概率；
）至少有（件次品的概率；）只有（件产品中：，问在它生产的某厂产品的次品率为312111000005.0.15
1755
.0!
55)5(5)3(9933
.0!
051)0(1)1()2(0337
.0!
15
)1()1(5
)(~)0005.0,1000(~1000,,2,1,05
55
05≈==≈-==-=≥≈=====---e P e P P e P np P p n B ξξξξλλξξξξ件次品，其概率为最多可能有，很小，从而很大，显然，显然，代表产品为次品的件数解：设
。
时维修的概率不超过发生故障时不能得到及维护人员，才能使设备多少人去处理，则至少要配需台，每台发生故障时均）若有设备（概率；
的障而不能得到及时维修台设备，有设备发生故人负责维护）若由（立，试问：，各台设备情况相互独率是每台设备发生故障的概，人力资源），根据检验转，配多了会造成浪费有时会影响设备正常运的维修人员（配少了运转，需配备适当数量为了保证设备能够正常01.011002201101.0.16 次的概率。）求至少击中目标（；
大？并求出相应的概率）击中几次的可能性最（，试问：击中目标的概率均为次独立的射击，设每次进行2213.08.14
.
01.049963.041009963
.0)4()3()2()1()0(0153
.0!
41)4(0613.0!31)3(1839.0!21)2(3679.0!11)1(3679.0!01)0(1
)(~10010100)2(01755
.0!
12.0!02.01)1()0(1)2(2
.0)(~201020)1(1
41
31211102.012.00概率不超过而不能得到及时维修的才能使得设备发生故障个维修人员，，所以应派在台同时发生故障的概率台设备中，有故在；
；；
；，
，显然，，，障的台数，台设备中，同时发生故代表设－，显然，，，，障的台数，台设备中，同时发生故代表一人负责的设解：==+=+=+=+=∴≈==≈==≈==≈==≈=====≈-==-=-=≥===-------ηηηηηηηηηηλληξηξξξλλξξξP P P P P e P e P e P e P e P np P e e P P P np P
的概率。
小于次数不次测量，求误差过大的，现在独立的进行了误差的概率是因而导致带过大测量测量，已知由于各种原设要对某一物理量进行310005.0.17
最大。为何值时，概率的泊松分布，问服从参数为设随机变量)(.18m P m =ξλξ
.
)(1)(][)()1()()1()()1()()2()()1()()1()1()()!
1()1(!
)(1
最大，同时使得或是整数时，最大；当，使非整数时，从而，当，，达到最大值；，＝，＝；，，，解：m P m m m P m k P k P k P k k P k P k P k k P k P k P k k
k P k P e k k P e k k P k k
=-====↓
=-=<=<=-==↑=-=>=>=
-==∴
-=
-===---ξλλλξλλξξξλξξξλξξξλλξξλξλξλ
λ
.
111041.0.19ξξE 要调整设备的次数，求天表示件，就要调整设备，以次品多于产品进行检验，如发现件次，每次随机抽查，检验员每天抽检一产品的次品率为
.
2规定 k 途客车一20.p k 概率个乘客在终点站下车的。求有哪一站下车是等可能的个站中的，每个乘客在这的泊松分布随机变量参数为设始发时车上乘客数是不停。
，一个站若无人下车可途中只可下客不能上客个站，沿途可停长ξλ.!2)|2()()2(.)|2(P )1
,(~1.1
1,1
,4,3,2,!
)(2
2
/22
22∑∞
=---==========-=??==
=m k m m m k e m P m P P q p C m k
m B m k p k q k
k m m e m P m λλ
λξηξηξηηηλξ则由全概率公式。则
，点站下车的乘客数为重伯努利试验。设在终的服从客数看作
可把在终点站下车的乘站下车是独立的，因此则每个乘客是否在终点为
不在终点站下车的概率车的概率为，所以乘客在终点站下个站中下车是等可能的在。由于每个乘客
个，则为解：设始发时车上人数。）
新工艺有效的概率多大？（令件次品。问新工艺有效一天出了工艺生产，结果的可能无效。现采用新的泊松分布，但也有成为可能使的工艺，则有的泊松分布，若采用新为品件数某生产流水线一天出次""225.0375.05.21===A λξλξ
.
89.0)
()|2()()|2()
()|2()2|(.
!
5)|(5;!
3)|(3;25.0)(,;75.0)(""5
3==+===========--A P A P A P A P A P A P A P k e A k P k e A k P A P A A P A k k ξξξξξξξξ则有贝叶斯公式的泊松分布，服从参数为品件数旧工艺有效情况下，次新工艺无效，即
的泊松分布，服从参数为情况下次品件数新工艺有效新工艺无效为，则新工艺有效解：令
次的概率。
生故障不超过的概率相同，求每天发次故障次故障与发生天内发生服从泊松分布。已知一数某设备一天发生故障次121.22τ.
3)1()0()1(2),2()1(!
)(,2--==+==≤======e P P P P P k e k P k τττλ
λττλτλλ
（可得。由的泊松分布从参数为解：设发生故障次数服
.
41321301136
1
331012
.232ηξηξξE E a a
a a ）用两种方法算出（的分布列；）（；
）（的值；）（试求：的分布列为
已知-=???
????
?--
310
30118151051)1(610513)1(3
10
30118513307051)1()4(301151307518301~1)3(5
3
30113151151061)1(51)2()2(301115151615131
012~15
1130113613)1(22
=
?+?+?-+?+?=-==
?+?+?+?-=????
??-∴-==
?+?+?+?-+?-=???
? ??--==++++
ξηηηξηξξE E E E a a a a 因此，从而解：
.
)53(3.03.04.0202~.2422ξξξξξD E E E ，，，试求设已知
+???
?
??-
76
.2)(4.1353)53(8.23.023.004.0)2(2.03.023.004.0)2(222
2
222=-==+=+=??+?-=-=??+?-=ξξξξξξξE E D E E E E ＋＋解：
达到最大值。
取何值时，使试问的分布列为
设随机变量ξξD p q p ???
? ??01.25 .
4
1
214
1)21()(0101max 222222==+--=-=-==?+?==?+?=ξξξξξξD p p p p E E D p
q p E p q p E 时，所以，当从而，解：
.
32268.26ξξE ，求球数为从袋中取球时，所得白次第球，取出后不放回。在个白球。每次从袋中取个黑球、个球，袋中有
.
21
)2(*2)1(*1)0(*0;
28
1
)()|2()()|2()()|2()2(;
2812
)()|1()()|1()()|1()1(;2815
)()|0()()|0()()|0()0(;0)|2(,0)|1(,1)|0(,143
)(;
0)|2(,2
1
)|1(,21)|0(,74)(3;61
)|2(,32)|1(,61
)|0(,143)(4424
2
44
82226241
324234
81236242
22
41
21224224846==+=+====+=+=====+=+====
=+=+=================================ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξP P P E C P C P B P B P A P A P P C P C P B P B P A P A P P C P C P B P B P A P A P P C P C P C C C P C C C C P C B P C C B P C C B P C C C B P B C C A P C C C A P C C A P C C A P A 由全概率公式，
表示，第三种情况两黑两白用表示，黑一白用第二种情况表示，用个黑球
情况。第一种情况个球，这四个球有三种经取出解：第三次取球时，已
27.一台仪器有3个元件，各个元件发生故障与否相互独立，且发生故障的概率分别为 0.2，0.3，0.4.求发生故障元件总数ξ的E ξ和ξD 。
.
61.0)(;42.1)3(*3)2(*2)1(*1)0(*0;9.0)3(*3)2(*2)1(*1)0(*0;
024.0)()()()()3(;188.0)()2(;452.0)()()()()1(;
336.0)()()()()0(.4.0)(,3.0)(,2.0)(.,,..32102222222=-===+=+=+====+=+=+=======++===++=++==========ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξE E D P P P P E P P P P E C P B P A P ABC P P BC A C B A C AB P P C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P P C P B P A P C B A P P C P B P A P C B A 相互独立，因而，三个元件发生故障与否记为三个元件发生故障分别，，，，则数为解：设发生故障的元件
的期望值。
万元。试求一周利润
次以上的故障就要亏损次或没有利润了，若发生次故障就万元，发生次故障仍可生利万元，发生则机器可产生利润个工作日无故障，若一周生故障的概率是设一部机器在一天内发2332511052.0.28
).
(..)(....)()()()(...)(...)(...)().,(~,,,万元＋＋＋，，显然障的次数，代表一周内机器发生故解：令126505792022048004096053276801005792
02101320480802025240960802015132768
0802005020551032415=?-???=∴==-=-=-=≥≈????
? ??==≈????
? ??==≈????? ??===ξξξξξξξξξξξE P P P P P P P B
概率论与数理统计第三章课后习题答案
习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+
ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<1.5}； （4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有
概率论习题第三章答案
第三章连续型随机变量 3、1设随机变量 ξ 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率: 。 )()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。 ）（解：)0(1)()4(); (1)()3(); 0()(P 2); ()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ 3、2函数x 211 F(x)+=就是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果 在其它场合恰当定义。 在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞ <<∞-x x x 解:(1)F(x)在),(∞-∞内不单调,因而不可能就是随机变量的分布函数; (2)F(x)在)0∞，（内单调下降,因而也不可能就是随机变量的分布函数; (3)F(x)在） ，（－0∞内单调上升、连续且,若定义 ???≥<<∞=01 0)()(~x x X F x F － 则)(~ x F 可以就是某一随机变量的分布函数。 3、3函数 sinx 就是不就是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为 []。，）；（，）；（，）（?? ??????????πππ230302201 解:(1)当?? ????∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=?πxdx ,所以 sinx 可以就是某个随机变量的分布密度; (2) 因为12sin 0≠=?πxdx ,所以sinx 不就是随机变量的分布密度; (3) 当 ?????? ∈23, ππx 时,sinx<=0所以sinx 不就是随机变量的分布密度。 3、4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x) 证明:对任意的a>0,有
概率论与数理统计习题及答案第三章
习题3-1 1. 而且12{P X X =. 求X 1和X 2的联合分布律. 解 由12 {0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律
(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1和X 2 不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解 从7只球中取4球只有354 7 =C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红 球有j 只(余下为白球4i j -- 只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1{0,2}35 35 P X Y C C C ====,111322 6{1,1}35 35 P X Y C C C ====, 121322 6 {1,2}35 35 P X Y C C C ====,202322 3 {2,0}35 35 P X Y C C C ==== , 211 322 12{2,1}35 35P X Y C C C ==== ,220 322 3{2,2}35 35P X Y C C C === = , 301 322 2 {3,0}3535P X Y C C C === =, 310 322 2 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<<
概率统计第三章答案
概率统计第三章答案 概率论与数理统计作业8 (§ 3.1?§ 3.3 ) 一、填空题 1.X,Y 独立同分布X L03 2：3，则P(X+YW1)=?E(XY)=4? 2.设X的密度函数为5= 2(10x) 0其它1，则 2 E(X) = 1/3,E(X ) = 1/6 . 3.随机变量X的分布率为P|0；00303，则E(X) = -0.2 ________ , 2 E(3X 5)= 13.4 ________________ 。 4.已知随机变量X的分布列为P ( X=m )= 1 , m = 2,4,…,18,20 ”则 E( X ) = ___________
5.对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为P I，第二台仪器发生故障的概率为P2 ?令X表示测试中发生故障的仪器数，则 E x A P1 P2 二、计算题 1.连续型随机变量X的概率密度为 a f(x)= kx穿",「0)又知 E(X)=0.75 ，求k 和 a 的值。 0 其它 解：由［3 (x dx = Jkx a dx = 1,得_^=1, . o a 1 又E(X)匚0.75，则有xf xdx 二：x kx a dx =0?75,得—= 0.75, 0 a 2 故由上两式解得k=3,a=2?
2.对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。如果发现次品，则立即停止检查而认为这批产品不合格；如果连续检查5个产品，都是合格品，则也停止检查而认为这批产品合格。设每批产品的次品率为p,求每批产品抽查样品的平均数。解：设随机变量X表示每批产品抽查的样品数，则：P( X =m ) = pq m」(m =1,2,3,4); P( X = 5) = pq4 q5二q4 ( p q = 1) ???X的概率分布表如下: EX = p 2pq 3pq2 4 pq3 5q4 = 5 TO p 10 p2_5p3 p4 3 ?设二维随机变量X, Y的联合密度函数为I 21 2 2 . f(x，y)J匸x y X —y —1 [0其它 1)求EX，EY 及EXY ；
概率论与数理统计修订版第三章练习答案郝志峰,谢国瑞
概率论与数理统计第三章习题 率分布。 ，试写出命中次数的概标的命中率为目；设已知射手每次射击射击中命中目标的次数指示射手在这三次独立以本空间上定义一个函数验的样本空间；试在样作为试验，试写出此试察这些次射击是否命中三次独立射击，现将观一射手对某目标进行了7.0.1 。 出的废品数的概率分布前已取个，求在取得合格品之不再放回而再取来使用，若取得废品就个这批零件中任取个废品，安装机器时从个合格品、一批零件中有1139.2
11880 54 99101112123)3(132054 109112123)2(132 27 119123)1(12 9 )0(3 210191911011111121121311019111121121311119112131121 9= ???=???=== ??=??=== ?=?=== ==C C C C C C C C P C C C C C C P C C C C P C C P ξξξξξξ，，，可能取值为：代表废品数，则解：令 .1188054132054132271293210 ??? ? ??的分布列为 所以，ξ 废品数的概率分布。 况，求出取得）取后放回两种不同情）取后不放回；（个，试分别就（件，每次取个废品，现从中任取混有个同类型的一堆产品内设在2113210.3 .008.0096.0384.0512.03210 008.0)3(096.0)2(384.0)1(512.0)0(32102210)2()1()0(2 1013 1101 22 1101211018231101 22 1101 8133 1101831022183101228310383 10 2 2 18310122831038??? ? ??=??? ? ??===???? ?????? ??===??? ? ????? ? ??===???? ??==???? ? ?????==?====的分布列为 所以，，，，有 ，，，，则可能取值有：）设废品数为（的分布列为 所以，，，，，的可能值有：代表废品数，则）令解：（ηηηηηηξξξξξξC C P C C C C C P C C C C C P C C P C C C C C C C C C C C P C C C P C C P
概率统计第三章答案
概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第三章 多维随机变量及其分布 教学要求： 一、了解多维随机变量的概念，了解二维随机变量的分布函数； 二、了解二维离散型随机变量分布律的概念，理解二维连续型随机变量概率密度的概念； 三、理解二维随机变量的边缘概率分布； 四、理解随机变量的独立性概念； 五、会求两个独立随机变量的简单函数的分布（和、极大、极小）. 重点：二维离散型随机变量的联合分布律及二维连续型随机变量的边缘概率密度，随机变 量的独立性. 难点：边缘分布，随机变量的独立性，随机变量的函数的分布. 练习一 二维随机变量及其分布 1．填空题 (1)设二维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则 =≤}{a X P ()+∞,a F ； =≥}{d Y P ()d F ,1∞+-； =≤<≤<},{d Y c b X a P ),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F +--. (2)设二维连续型随机变量),(Y X 的概率密度为),(y x f ，则其分布函数),(y x F = ?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ),(；若G 是xoy 平面上的区域，则点),(Y X 落在G 内的概率，即 }),{(G Y X P ∈??=G dxdy y x f ),( （3）若二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ) 1)(1(),(22y x A y x f ++= )0,0(>>y x ， 则系数A = ,4 2 π= <}1{X P 2 1. （4）设二维随机变量),(Y X 的分布函数(),3arctan 2arctan ,?? ? ??+??? ? ?+=y C x B A y x F
概率论第三章习题答案
第三章练习题 一、单项选择题 1．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 Y X 1 2 3 1 2 101 103 102 101 102 101 则P{XY=2}=（ C ）A ．5 B ．10 C ．2 D ．5 2．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ? ??≤≤≤≤=,,0; 10,10,4),(其他y x xy y x f 则当0≤y ≤1时，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度为f Y ( y ) 1 =(,)4f x y dx xydx +∞ -∞ ==? ?= （ D ） A ．x 21 B ．2x C ．y 21 D ．2y 3．设随机变量X ，Y 相互独立，其联合分布为 1+9 α 12 1 +9 α 1+18β 116=+9918 α?? ??? 则有（ B ） A ．92 ,91==βα B ．91,92==βαC ．32,31==βα D ．3 1,32==βα 二、填空题 1.设随机变量X ，Y 相互独立，且P{X ≤1}=21，P{Y ≤1}=3 1 ， 则P{X ≤1,Y ≤1}=_ 1 6 __. 2.已知二维随机变量(X ,Y )的分布律为 0 2 5 0 0.1 0.1 0.3 Y X
1 0.25 0 0.25 则P (X ≤0,Y =2)＝___0.1___. 3．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 Y X 1 2 3 1 2 61 121 81 81 41 4 1 则P{Y=2}=____ 4 _______. 4．设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=? ??≤≤≤≤其他02 y 0,1x 0xy ， 则X 的边缘概率密度f x (x)= 2 (,)f x y dy xydy +∞ -∞ ==? ?_____2x___________． 三、计算题 1．设二维随机变量(X ，Y )只能取下列数组中的值：(0，0)，（-1，1），（-1，3 1 ），（2，0）， 且取这些值的概率依次为61，31，121，12 5 .（1）写出(X ，Y )的分布律； （2）分别求(X ，Y )关于X ，Y 的边缘分布律. (1) {} {} 1351112 3 121166551212 71112 12 3 01-10 00020 1 j i X Y P Y y P X x == (2) 13711 12 12 3 1 X P 5 5112 6 12 10 2 Y P - 2．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为?? ???>>=+.,0;0,0,e ),()-(其他y x y x f y x （1）分别求（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘概率密度； f x (x)= ()0 (,),0x y x f x y dy e dy e x +∞ ∞ -+--∞ ==>? ? f Y ( y ) ()0 = (,),0x y y f x y dx e dx e y +∞ ∞ -+--∞ ==>? ? （2） 问：X 与Y 是否相互独立，为什么？ () ()()(,)x y x y X Y f x y e e e f x f y -+--==?=?,因此相互独立 3.设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 0.7 0.4 0.2 0.4 （1）求(X ，Y )分别关于X ,Y 的边缘分布律；(2)试问X 与Y 是否相互独立，为什么？
概率论第三章题库
第三章 多维随机变量及其分布 一、选择题 1、（易）设任意二维随机变量（X ，Y ）的两个边缘概率密度函数分别为f X (x )和f Y (y )，则以 下结论正确的是（ ） A.? +∞ ∞-=1)(dx x f X B. ? +∞ ∞ -= 2 1 )(dx y f Y C. ? +∞ ∞ -=0)(dx x f X D. ? +∞ ∞ -=0)(dx y f Y 2、（易）设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ,则X ~（ ） A. 211(,)N μσ B. 221(,)N μσ C. 2 12 (,)N μσ D. 2 22(,)N μσ 3、（易）设二维随机变量(X ，Y )服从区域D ：x 2 +y 2 ≤1上的均匀分布，则(X ，Y )的概率密度为（ ） A. f(x ，y)=1 B. 1(,)0, x y D f x y ∈?=? ?， （,）,其他 C. f(x ，y)=1 π D. 1 (,)0, x y D f x y π?∈?=???， （,）,其他 4、（中等）下列函数可以作为二维分布函数的是（ ）. A .1,0.8,(,)0, .x y F x y +>?=? ?其他 B .?????>>??=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ??= ∞-∞ ---y x t s dsdt e y x F ),( D .? ????>>=--. , 0, 0,0,),(其他y x e y x F y x 5、（易）设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为f (x ，y )=?????<<<<,, 0; 20,20,41 其他y x 则P{0 习 题 三 1．（１）盒子中装有３只黑球，２只红球，２只白球，在其中任取４只球．以Ｘ表示取到黑球的只数，以Ｙ表示取到红球的只数．求Ｘ和Ｙ的联合分布律．（２）在（１）中求Y}-3P{X 3},Y P{X 2X},P{Y Y},P{X <=+=>． ２．设随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?<<<<--=其他,0,42,20),6(),(y x y x k y x f （１） 确定常数k ． （２）求3}Y 1,P{X <<． （３）求 1.5}P{X <． （４）求4}Y P{X ≤+． ３．设随机变量)Y X,(具有分布函数 ?? ?>>+--=----其他,0,0,0,1),(F y x e e e y x y x y x 求边缘概率密度． ４．将一枚硬币掷３次，以Ｘ表示前２次出现Ｈ的次数，以Ｙ表示３次出现Ｈ的次数．求Ｘ，Ｙ的联合分布律以及)Y X,(的边缘分布律． ５．设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?≤≤≤≤-=其他,0,0,10), 2(8.4),(x y x x y y x f 求边缘概率密度． ６．设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?≤≤=其他,0,1,),(22y x y cx y x f (1)确定常数C. (2)求边缘概率密度. 7.设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?<<=-其他,0,0,),(y x e y x f y 求边缘概率密度. 8.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在区间)1,0(上服从均匀分布,Y 的概率密度为 ?????≤>=-.0,0,0,2 1)(2Y y y e y f y 求X 和Y 的联合概率密度. 9.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为 ?? ?≤≤=.,0,10,1)(X 其他x x f ???>=-.,0,0,)(Y 其他y e y f y 求随机变量Y X Z +=的概率密度. 10. 设随机变量X 和Y 相互独立,且具有相同的分布,它们的概率密度均为 ?? ?>=-.,0,1,)(1其他x e x f x 求随机变量Y X Z +=的概率密度. 11. 设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?????>>+=+-其他,0,0,0,)(2 1),()(y x e y x y x f y x (1) 问X 和Y 是否相互独立? (2) 求Y X Z +=的概率密度. 12. 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为 ?? ?≤>=-.0,0,0,)(t t e t t f t 设各周的需求量是相互独立的．求 （１） 两周的需求量的概率密度． （２） 三周的需求量的概率密度． 第三章测试题 1箱子里装有12件产品,其中两件是次品.每次从箱子里任取1件产品,共取两次(取后不放回).定义随机变量X Y ，如下: 0X=1???，若第一次取出正品，若第一次取出次品 0Y=1??? ，若第二次取出正品，若第二次取出次品 (1)求出二维随机变量X Y （，）的联合分布律及边缘分布律； （2）求在Y=1的条件下，X 的条件分布律。 解 （2） 2 设二维随机变量 X Y （，）的概率密度Cy(2-x),0x 1,0y x, f(x,y)=0,.≤≤≤≤??? 其他 （1）试确定常数C ；（2）求边缘概率密度。 解 （1）1)(=??+∞∞-+∞∞-dy dx x f 即1)2(100=??-x dxdy x Cy x ，5 12 = ∴C 3设X Y （，）的联合分布律为： 求（1）Z X Y =+的分布律；（2）V min(X ,Y )=的分布律 （2） 4设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 的概率密度为： y 212Y e ,y 0 f (y )0,y 0 -??>=? ≤?? （1）求X 和Y 的联合概率密度； （2）设含有a 的二次方程为2 a 2Xa Y 0++=，试求a 有实根的概率。 解 （1）X 1,0x 1 f (x )0,other <<<==∴-other y x e y f x f y x f y Y X , 00,10,21)()(),(2 （2）2 a 2Xa Y 0++=有实根，则0442≥-=?Y X ，即求02 ≥-Y X 的概率 ?-=??=??=≥---≥-1 01 00 20 2 2 22 121),(}0{dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x y y x 3413.0)0()1(211 2 2=Φ-Φ=?- dx e x π ，π23413.010 22=?∴-dx e x 概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布 习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律. （X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }= 35147 2222=C C C P {X=1, Y=1 }=356 47 221213=C C C C P {X=1, Y=2 }= 3564 7 1 2 2213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353 472 223=C C C P {X=2, Y=1 }= 35124 712 1223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353 47 2 223=C C C P {X=3, Y=0 }= 35247 1233=C C C P {X=3, Y=1 }=352 47 1233=C C C P {X=3, Y=2 }=0 习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为 ?? ?<<<<--=其它 , 0, 42,20), 6(),(y x y x k y x f （1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1< ?? ????????<<<<=42,20),(y x y x D o 解：（1）∵??? ? +∞∞-+∞ ∞ ---= = 20 12 )6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴8 1= k （2）8 3 )6(8 1)3,1(32 1 ? ?= --= < 第3章 多维随机变量及其分布 一、选择题 1．设,X Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为()(),X Y F x F y ，则()m i n ,Z X Y =的 分布函数是（ ） (A) ()()()max ,Z X Y F z F z F z =???? (B) ()()()min ,Z X Y F z F z F z =???? (C) ()()()111Z X Y F z F z F z =---???????? (D) ()()Z Y F z F y = 2．设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N(0,1) 和 N(1,1)，则 （A ）2 1)0(=≤+Y X P （B ）2 1)1(=≤+Y X P （C ）2 1)0(=≤-Y X P （D ）2 1)1(=≤-Y X P 3．设二维随机变量(),X Y 服从于二维正态分布，则下列说法不正确的是（ ） (A) ,X Y 一定相互独立 (B) ,X Y 的任意线性组合12l X l Y +服从于一维正态分布 (C) ,X Y 分别服从于一维正态分布 (D) 当参数0ρ=时，,X Y 相互独立 4．,ξη相互独立且在[]0,1上服从均匀分布，则使方程220x x ξη++=有实根的概率为（ ） (A) 1 (B) 12 (C) 0.4930 (D) 4 5．设随机变量,X Y 都服从正态分布，则（ ） (A) X Y +一定服从正态分布 (B) ,X Y 不相关与独立等价 (C) (),X Y 一定服从正态分布 (D) (),X Y -未必服从正态分布 6．设随机变量X, Y 相互独立，且X 服从正态分布),0(21σN ，Y 服从正态分布),0(22σN ，则 概率)1|(|<-Y X P （A ）随1σ与2σ的减少而减少 （B ）随1σ与2σ的增加而减少 （C ）随1σ的增加而减少，随2σ的减少而增加 （D ）随1σ的增加而增加，随2σ的减少而减少 7．设),(Y X 的联合概率密度为： ?? ?<+=, , 0; 1,/1),(22他其y x y x f π 则X 与Y 为 （A ） 独立同分布 （B ）独立不同分布 （C ）不独立同分布 （D ）不独立不同分布 8．设X i ~ N (0 , 4), i =1, 2, 3, 且相互独立, 则 ( ) 成立。 《概率论与数理统计》习题及答案 第 三 章 1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。 解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 1 1()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=L 2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个 数X 的分布列。 解 从a b +个球中任取r 个球共有r a b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有k r k b a C C -，所以X 的分布列为 ()k r k b a r a b C C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+L ， 此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。 3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1 (1,2,3)1 i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。 解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。则 1231111 (0)()23424 P X P A A A === ??= ， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1111211136 23423423424 = ??+??+??= ， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1211131231123423423424 = ??+???+??=， 第三章测试题 1、已知随机变量,ξη的分布列分别为 求(),()E D ξξ 2、设随机变量(,)ξη的分布列为 求(),(),(),(|1),(|1),(),(),(,),E E E E E D D Cov ξηξηξηξηηξξηξηρ=-=。 3、设随机变量ξ的概率密度函数为1|1|,02 ()0, x x f x --<=? ≤?， 2Y e ξ ξ-=+，21Z ξ=-， 求(),()E Y E Z 。 10、设随机变量(,)ξη的协方差矩阵为4339-?? ?-?? ，求ξηρ。 11、设随机变量(,)ξη的概率密度函数为212, 01(,)0,y y x f x y ?≤≤≤=? ?其它 ，求 (),(),(),(),(,),E E D D Cov ξηξηξηξηρ。 12、设随机变量(,)ξη的概率密度函数为,01,0(,)0, cxy x y x f x y <<<?? =??- 概率论与数理统计作业8（§3.1～§3.3） 一、填空题 1. Y X ,独立同分布 323110//P X ，则()().XY E ,Y X P 9 4 951==≤+ 2. 设X 的密度函数为2(1)01 ()0 x x f x -<=? ?其它 又知()0.75E X =， 求k 和a 的值。 解：由 (),dx kx dx x f a 11 ==?? +∞ ∞ -得 ,a k 11 =+ 又 ()0.75E X =，则有 (),.dx kx x dx x xf a 75010 =?=?? +∞ ∞ -得 ,.a k 7502 =+ 故由上两式解得k =3,a =2. 2. 对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。如果发现次品，则立即停止检查而认为这批产品不合格；如果连续检查5个产品，都是合格品，则也停止检查而认为这批产品合格。设每批产品的次品率为p ，求每批产品抽查样品的平均数。 解：设随机变量X 表示每批产品抽查的样品数，则: ∴X 的概率分布表如下： 3．设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为 ()?????≤≤=其它，0 1 42122 y x y x y x f 1）求()X E ，()Y E 及()XY E ； 2）求X 与Y 的边缘密度函数； 解：1）()() ;dx x x dy y x x dx dxdy y ,x xf EX x 08214 2111731 2 112=-=? == ???? ?--+∞ ∞ -+∞∞ - ()() ;dx x x dy y x y dx dxdy y ,x yf EY x 9 7 4742111821 21 1 2=-=? ==???? ? --+∞ ∞ -+∞ ∞ - ()()() ;dx x x dy y x xy dx dxdy y ,x xyf XY E x 0474 2111931 2 11 2=-=? ==???? ? --+∞ ∞ -+∞ ∞ - 2）当时，1≤x ()()() ;x x ydy x dy y ,x f x f x X 62 21 8 214212 -=== ? ? +∞ ∞ - 当时，1≥x ().x f X 0= 当时，10≤≤y ()();y ydx x dx y ,x f y f y y Y 25 22 7 421=== ? ? - ∞ +∞ - 当时，或01<>y y ().y f Y 0= X ) m X (P =4 q 5 21p pq 4 3 2 pq 3 pq ；),,,m (pq )m X (P m 43211===-) q p (1=+4 545q q pq )X (P =+==4 324325101055432p p p p q pq pq pq p EX +-+-=++++=∴()() ?? ? ??>≤-=∴. x ,;x ,x x x f X 10182162 1. 设随机变量X 的分布列为 解：()2E X +10.100.220.4=?+?+? 30.140.22+?+?= ()E X 10.120.200.4=?+?+? 10.120.21+?+?= ()22E X +30.160.220.4=?+?+? 30.160.2 3.8+?+?= 2. 设随机变量X 的分布列为： {}Λ3,2,1,1===-k pq k X P k ,其中p 为常 数，01p <<，1q p =-。 求(),()E X D X 。 解：1 1()k k E X kpq +∞ -== ∑()1 11k k k q q +∞ -==-∑ 11 1 k k k k kq kq +∞+∞ -===-∑∑ ()01 1k k k k k q kq +∞+∞ ===+-∑∑ 01111k k q q p +∞ == = =-∑ 2 2 1 1()k k E X k pq +∞ -==∑ ()112 1 1k k k k k k pq kpq +∞ +∞ --===-+∑∑ ()()1 2 2 111k k k k k k q k k q p +∞ +∞ -===---+ ∑∑ ()()1 2 111k k k k k k q k k q p +∞+∞ === +--+ ∑∑ 1 12k k kq p +∞ ==+ ∑ 1121k k q kpq p p +∞-==+∑221q p p =+ 所以，() ()22()D X E X E X =- 222 211q q p p p p = +-= 3.设随机变量X 的概率密度函数为 1 ()exp{}2x f x μλλ -= -，其中0λ>为常数，求()E X 。 解：1e d 2x EX x x μ λ λ --+∞ -∞ = ? ()11e d e d 2211e d e d 22x x t t x x x t t x μ μ λ λ λλμμλ λ μμλλ --- - +∞ +∞ -∞-∞ - -+∞ +∞-∞-∞=-+=+=?? ??注：关于绝对收敛性 01e d 211e d e d 2211e d e d 22x x x t t x x x x x t x t x μ λ μ μ λ λ λλ λ μμ λ λ μμ λλ --+∞ -∞ --- -+∞ +∞ -∞-∞ --+∞ +∞-∞ ≤-+=+=+? ? ? ? ? λμ=+ 或 1e d 2x x x μ λ λ -- +∞ -∞ ? ||1e d ()2t x t t t μ λμλ +∞ --∞ -=+= ? 当0μ≥时 ()|| e d e d t t t t t t μλ λμλμ+∞ - --∞ -∞ +=-+? ? ()()00 e d e d t t t t t t μλ λμλμ+∞-- ++++? ? 概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第三章 多维随机变量及其分布 教学要求： 一、了解多维随机变量的概念，了解二维随机变量的分布函数； 二、了解二维离散型随机变量分布律的概念，理解二维连续型随机变量概率密度的概念； 三、理解二维随机变量的边缘概率分布； 四、理解随机变量的独立性概念； 五、会求两个独立随机变量的简单函数的分布（和、极大、极小）. 重点：二维离散型随机变量的联合分布律及二维连续型随机变量的边缘概率密度，随机变 量的独立性. 难点：边缘分布，随机变量的独立性，随机变量的函数的分布. 练习一 二维随机变量及其分布 1．填空题 (1)设二维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则 =≤}{a X P ()+∞,a F ； =≥}{d Y P ()d F ,1∞+-； =≤<≤<},{d Y c b X a P ),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F +--. (2)设二维连续型随机变量),(Y X 的概率密度为),(y x f ，则其分布函数),(y x F = ?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ),(；若G 是xoy 平面上的区域，则点),(Y X 落在G 内的概率，即 }),{(G Y X P ∈??=G dxdy y x f ),( （3）若二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ) 1)(1(),(2 2y x A y x f ++= )0,0(>>y x ， 则系数A = ,4 2 π= <}1{X P 2 1. （4）设二维随机变量),(Y X 的分布函数(),3arctan 2arctan ,?? ? ??+??? ? ?+=y C x B A y x F 则常数 A = 2 1 π， B = 2π， C =2 π . 第三章 离散型随机变量 率分布。 ，试写出命中次数的概标的命中率为目；设已知射手每次射击射击中命中目标的次数指示射手在这三次独立以本空间上定义一个函数验的样本空间；试在样作为试验，试写出此试察这些次射击是否命中三次独立射击，现将观一射手对某目标进行了7.0.1 .343.0441.0189.0027.03210 027.0)7.01()()0()0(189 .0)7.01()7.01(7.03) (3)1()1()1()1(441 .0)7.01(7.07.03) (3)2()2()2()2(343.0)7.0()()3()3()(0 )(1 )()()(2)()()(3)(} ,,,{)},,(),,,(),,,(), ,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(3 ,2,1332183217653214323321187654321821321321321321321321321321??? ? ??=-======-?-??===+=+====-???===+=+===================Ω==的分布列为 所以，，则 简记为将，，则 代表击中目标的次数，令则次射中”，“第解：设ξξξξξξξξξξξξξξωξωξωξωξωξωξωξωξωξξωωωA A A P P P A A A P P P P P A A A P P P P P A A A P P P A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A i i A i i i Λ 。 出的废品数的概率分布前已取个，求在取得合格品之不再放回而再取来使用，若取得废品就个这批零件中任取个废品，安装机器时从个合格品、一批零件中有1139.2概率论第三章练习题
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