高一数学之抽象函数专题集锦-含详细解析

高一数学之抽象函数专题集锦

一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）

1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(?2)，f(?π)，f(3)的大小顺序是( )

A. B. C.

D.

2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x +2)关于x =?2对称，若f(?2)=1，则f(x ?2)≤1的x 的取值范围

是( )

A. [?2,2]

B. (?∞,?2]∪[2,+∞)

C. (?∞,0]∪[4,+∞)

D. [0,4]

3. 已知函数y =f(x)定义域是[?2,3]，则y =f(2x ?1)的定义域是( )

A. [0,5

2]

B. [?1,4]

C. [?1

2,2]

D. [?5,5]

4. 函数f(x)在(?∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=?1，则满足?1≤f(x ?2)≤1的x 的取值范围是

( )

A.

B.

C. [0,4]

D. [1,3]

5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(?∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x ?1)?0的x 的取值范围是( )

A. [?1,1]∪[3,+∞)

B. [?3,?1]∪[0,1]

C. [?1,0]∪[1,+∞)

D. [?1,0]∪[1,3]

6. 已知f(x)={

x 2+4x x ≥0 ,

4x ?x 2

, x <0

若f(2?a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (?2 , 1)

B. (?1 , 2)

C. (?∞ , ?1)?(2 , +∞)

D. (?∞ , ?2)?(1 , +∞)

7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2?x)=f(x)，且在[1,+∞)上为增函数，则下列关系式正确的是

A. f(?1)

B. f(0)

C. f(0)=f(2)

D. f(?1)

8. 设函数f(x)={x 2?6x +6,x ?0

3x +4,x <0

，若互不相等的实数x 1,x 2,x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3

的取值范围是( )

A. (11

3,6]

B. (203,26

3)

C. (203,26

3]

D. (11

3,6)

9. f(x)是定义域在(?2,2)上单调递减的奇函数，当f(2?a)+f(2a ?3)<0时，a 的取值范围是( )

A. (0,4)

B. (0,5

2)

C. (12,5

2)

D. (1,5

2)

10. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1+ x 2>0，则f (x 1)+ f (x 2)的值( )

A. 恒为负值

B. 恒等于零

C. 恒为正值

D. 无法确定正负

11. 已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调增加，则f(2x ?1)

3)的x 取值范围是( )

A. (13,2

3).

B. [13,2

3)

C. (12,2

3)

D. (12,2

3]

12. 已知函数y =f(x)定义域是[?2,3]，则y =f(2x ?1)的定义域是( )

A. [0,5

2]

B. [?1,4]

C. [?1

2,2]

D. [?5,5]

13. 若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)+f(x +1

3)的定义域为( )

A. [?13,2

3]

B. [?13,1

2]

C. [0,1

2]

D. [0,1

3]

14. 已知函数f(x)={x 2+4x(x ?0)

4x ?x 2

(x <0)

，若f (2?a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (?∞,?1)∪(2,+∞) B. (?1,2)

C. (?2,1)

D. (?∞,?2)∪(1,+∞)

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

15. 设偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x ?1)≤f(1)的x 的取值范围是_____． 16. 已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x ?1)

3)的x 的取值范围是 ． 17. 奇函数f(x)的定义域为[?5,5]，当x ∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是

______________．

18. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x +4)=f(x ?2).若当x ∈[?3,0]时，f(x)=6?x ，则

f(919)=______．

三、解答题（本大题共15小题，共180.0分）

19. 设函数f(x)是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)．

(1)求f(0)； (2)证明f(x)奇函数； (3)解不等式．

20.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1∈D,x2∈D，有f(x1?x2)=f(x1)+f(x2)．

(Ⅰ)求f(1?)的值；

(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性并证明；

(Ⅲ)如果f(4)=1，f(3x+1)+f(2x?6)≤3，且f(x)在(0,+∞)上是增函数，求x的取值范围．

21.已知函数f(x)=ax2+b

x ，且f(1)=2，f(2)=5

2

．(Ⅰ)确定函数f(x)的解析式，并判断奇偶性；

(Ⅱ)用定义证明函数f(x)在区间(?∞,?1)上单调递增；

(Ⅲ)求满足f(1+2t2)?f(3+t2)<0的实数t的取值范围．

22.定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)，且f(3)=6，

(1)求f(0)，f(1)；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；

(3)若对于任意x∈[1

2

,3]都有f(kx2)+f(2x?1)<0成立，求实数k的取值范围．

23.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0,+∞)时，f(x)=x2?2x．

(1)写出函数y=f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围．

24.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意a,b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成

立，

证明：(Ⅰ)函数y=f(x)是R上的减函数；

(Ⅱ)函数y=f(x)是奇函数.

25.已知f(x)是定义在[?1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a,b∈[?1,1]，且a+b≠0时，有f(a)+f(b)

>0恒成立．

a+b

(1)用定义证明函数f(x)在[?1,1]上是增函数;

)

(2)解不等式：f(x+1

2

(3)若f(x)≤m2?2m+1对所有x∈[?1,1]恒成立，求实数m的取值范围．

26.定义域为R的函数f(x)满足，对任意的m，n∈R有f(m+n)=f(m)f(n)，且当x>0时，有0

f(4)=1

．

16

(1)求f(0)；(2)证明：f(x)在R上是减函数；

f(x2)恒成立，求实数a的取值范围．

(3)若x>0时，不等式f(x)f(ax)>1

4

)=1，如果对于0 27.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(1

2

f(y)，

(1)求f(1)；(2)解不等式f(?x)+f(3?x)≥?2。

28.已知函数f(x)对一切x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)．

(1)求证：f(x)是奇函数．(2)若f(?3)=a，试用a表示f(12)．

29.已知周期函数y=f(x)的图象如图所示，

(1)求函数的周期；(2)画出函数y=f(x+1)的图象；(3)写出函数y=f(x)的解析式．

30.设f(x)是定义在R上的函数，且对于任意x,y∈R恒有f(x+y)=f(x)f(y)，且当x>0时，0

证明：(1)f(0)=1，且x<1时，f(x)>1；

(2)f(x)是R上的单调减函数．

31.(1)已知f(x)的定义域为[?2,1]，求函数f(3x?1)的定义域；

(2)已知f(2x+5)的定义域为[?1,4]，求函数f(x)的定义域．

32.设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(?∞,0)上递增，且f(2a2+a+1)

围．

33.定义域为R的函数f(x)满足：对任意的m,n∈R有f(m+n)=f(m)?f(n)，且当x>0时，有0

f(4)=1

．

16

(Ⅰ)证明：f(x)>0在R上恒成立；(Ⅱ)证明：f(x)在R上是减函数；

(Ⅲ)若存在正数x使不等式4f(x)f(ax)

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用：比较大小，考查转化思想和判断能力，属于基础题．

运用偶函数的定义，可得f(?2)=f(2)，f(?π)=f(π)，再由f(x)在[0,+∞)上为增函数，即可得到所求大小关系．

【解答】

解：f(x)为定义在R上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，

可得f(?2)=f(2)，f(?π)=f(π)，

由2<3<π，可得f(2)

即f(?2)

故选：B．

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查抽象函数的单调性以及奇偶性，函数的图象变换，求解不等式，关键是分析f(x)的奇偶性．

根据题意，分析可得函数f(x)为偶函数，结合函数的单调性分析可得f(x?2)≤1?f(|x?2|)≤f(|?2|)?|x?2|≤2，解可得x的取值范围，即可得答案．

【解答】

解；根据题意，f(x+2)关于x=?2对称，则f(x)为偶函数，且f(?2)=f(2)=1，

则f(x?2)≤1?f(|x?2|)≤f(|?2|)，

又f(x)在(0,+∞)单调递增，

所以|x?2|≤2，解可得0≤x≤4；

故选：D．

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查函数定义域的求解，是基础题，

根据函数定义域之间的关系得?2≤2x?1≤3，计算得结论．

【解答】

解：因为函数y=f(x)定义域是[?2,3]，

所以?2≤2x?1≤3，解得?1

2

≤x≤2．

因此函数y=f(2x?1)的定义域为[?1

2

,2]．

故选C．

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于较易题．

由题干中函数的单调性及奇偶性，可将不等式?1≤f(x?2)≤1化为?1≤x?2≤1，即可解得答案．【解答】

解：∵函数f(x)为奇函数，

若f(1)=?1，则f(?1)=?f(1)=1，

又∵函数f(x)在(?∞,+∞)上单调递减，?1≤f(x?2)≤1，

∴f(1)≤f(x?2)≤f(?1)，

∴?1≤x?2≤1，

解得：1≤x≤3，

所以x的取值范围是[1,3]．

故选D．

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查运算求解及逻辑推理能力，难度一般．

根据题意，不等式xf(x?1)?0可化为{x?0

f(x?1)?0或{x?0

f(x?1)?0，从而利用奇函数性质及函数的单调性求解即可．

【解答】

解：根据题意，不等式xf(x?1)?0可化为{x?0

f(x?1)?0或{

x?0

f(x?1)?0,

由奇函数性质得，f(x)在上单调递减，

所以{x?0

x?1?0

x?1?2

或{

x?0

x?1?0

x?1??2

，解得1?x?3或?1?x?0．

满足xf(x?1)?0的x的取值范围是x∈[?1,0]∪[1,3]．

故选D．

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同(偶函数对称区间上的单调性相反)的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于基础题.由题意可先判断出f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)=x2+4x=(x+2)2?4在(0,+∞)上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f(x)在(?∞,0)上单调递增，从而可比较2?a2与a的大小，解不等式可求a的范围

【解答】

解：由题可得f(0)=0，

当x<0时，?x>0，f(?x)=x2?4x=?f(x)，

同理可得，当x>0时，f(?x)?f(x)，

∴f(x)是定义在R上的奇函数，

∵f(x)=x2+4x=(x+1)2?4在(0,+∞)上单调递增，

根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f(x)在(?∞,0)上单调递增，

∴f(x)在R上单调递增，

∵f(2?a2)>f(a)，

∴2?a2>a，

解不等式可得，?2

故选A．

7.【答案】C

【解析】 【分析】

本题主要考查函数的对称性以及单调性，属于基础题．

根据题意得知函数图象关于x =1对称，则有f (?1)=f (3)，f(0)=f(2)，利用函数单调性即可求解． 【解答】

解：∵函数f (x )满足f(2?x)=f(x)，

∴f [2?(1+x )]=f (1+x )，即f(1?x)=f(1+x) ∴函数图象关于x =1对称， ∴f (?1)=f (3)，f(0)=f(2)， ∵f(x)在[1,+∞)上为增函数，

∴f(0)=f(2)

故选C ．

8.【答案】D

【解析】 【分析】

本题主要考查分段函数及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．

先作出函数f(x)={x 2?6x +6,x ?0

3x +4,x <0的图象，不妨设x 1

x 3=6，且x 1是图中线段AB 上的点对应的横坐标，从而有：?7

3

解：函数f(x)={x 2?6x +6,x ?0

3x +4,x <0

的图象，如图，

不妨设x1

则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，

且x1是图中线段AB上的点对应的横坐标，

故x B

3

则x1+x2+x3的取值范围是：?7

3

+6

即x1+x2+x3∈(11

3

,6)．

故选D．

9.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性和奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于一般题．

将条件f(2?a)+f(2a?3)<0转化为f(2?a)

【解答】

解：∵f(2?a)+f(2a?3)<0，

∴f(2?a)

∵f(x)是奇函数，

∴f(2?a)

∵f(x)是定义域在(?2,2)上单调递减函数，

∴{2?a>?2a+3

?2

?2<2?a<2

，解得1

2

，

∴a的取值范围是(1,5

2

)，

【解析】由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x?1+ x?2>0，可知x?1>?x?2，f(x?1)

11.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性与奇偶性.属于基础题．

由函数f(x)是偶函数可得f(x)=f(|x|)，利用偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调增加，且满足f(2x?1)

3

)，可

得|2x?1|<1

3

，从而可求x的取值范围．

【解答】

解：∵函数f(x)是偶函数，

∴f(x)=f(|x|)，

∵偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调增加，满足f(2x?1)

3

)，

∴|2x?1|<1

3

，

则?1

3<2x?1<1

3

，

解得1

3

3

．

故选A．

12.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查函数定义域的求解，是基础题．

根据函数定义域之间的关系得?2≤2x?1≤3，计算得结论．【解答】

解：因为函数y=f(x)定义域是[?2,3]，

所以?2≤2x?1≤3，解得?1

2

≤x≤2，

因此函数y=f(2x?1)的定义域为[?1

2

,2]．

【解析】 【分析】

本题考查抽象函数的定义域，注意函数的自变量的取值范围，属于基础题．

由函数f(x)的定义域可得0≤2x ≤1，且0≤x +1

3≤1，求出x 的范围就是函数f(2x)+f(x +1

3)的定义域． 【解答】

解：因为函数f(x)的定义域为[0,1]，

则0≤2x ≤1，且0≤x +1

3≤1，即0≤x ≤1

2，且?1

3≤x ≤2

3， 解得0≤x ≤1

2，

所以函数f(2x)+f(x +1

3)的定义域为[0,1

2]. 故选C ．

14.【答案】C

【解析】 【分析】

本题主要考查了分段函数单调性的应用，属于基础题．

解决此题的关键是根据f(x)的解析式得到f(x)在R 上为增函数，进而建立关于a 的不等式求解． 【解答】

解：f(x)={x 2+4x =(x +2)2?4,x ≥0,

4x ?x 2=?(x ?2)2+4,x <0,

由f(x)的解析式可知f(x)在(?∞,+∞)上是单调增函数， 由f(2?a 2)>f(a)得2?a 2>a ， 即a 2+a ?2<0， 解得：?2

15.【答案】[0,1]

【解析】 【分析】

本题考查函数的奇偶性、单调性，根据函数单调性解不等式，属基础题．

由f(x)为偶函数且在[0,+∞)上单调递增，便可由f(2x ?1)≤f(1)得出|2x ?1|≤1，解该绝对值不等式便可得出x 的取值范围． 【解答】

解：∵f(x)为偶函数，

∴由f(2x ?1)≤f(1)得，f(|2x ?1|)≤f(1)， 又f(x)在[0,+∞)上单调递增， ∴|2x ?1|≤1，解得0≤x ≤1； ∴x 的取值范围是[0,1]． 故答案为[0,1]．

16.【答案】13

3

【解析】 【分析】

本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题． 【解答】

解：f (x )为偶函数， 由f (2x ?1)

3)得

f (|2x ?1|)

3

)

又f (x )在[0,+∞)上单调递增， |2x ?1|<1

3解得：1

3

3，

所以x 的取值范围是(13,2

3)．

17.【答案】(?2,0)∪(2,5)

【解析】

【分析】本题主要考查了函数的奇偶性，函数图像的应用，属于基础题．

由已知得f(x)的图象关于原点对称，原不等式可化为{x <0,f(x)<0或{x >0,

f(x)<0,由图像可得结果．

【解答】解：由已知得f(x)的图象关于原点对称， 原不等式可化为{x <0,f(x)<0或{

x >0,

f(x)<0, 则由图象可知?2

18.【答案】6

【解析】

【分析】

本题考查函数值的计算，涉及函数的奇偶性与周期性，关键是求出f(?1)的值．属于基础题．

由f(x+4)=f(x?2).可推出函数f(x)的周期为6，从而f(919)=f(153×6+1)=f(1)，即可得出答案．【解答】

解：由f(x+4)=f(x?2).则f(x+6)=f(x)，

∴f(x)为周期为6的周期函数，

f(919)=f(153×6+1)=f(1)，由f(x)是定义在R上的偶函数，则f(1)=f(?1)，

当x∈[?3,0]时，f(x)=6?x，f(?1)=6?(?1)=6，

∴f(919)=6，

故答案为6．

19.【答案】解：(1)由题设，令x=y=0，

恒等式可变为f(0+0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0；

(2)证明：令y=?x，

则由f(x+y)=f(x)+f(y)得f(0)=0=f(x)+f(?x)，

即f(?x)=?f(x)，

故f(x)是奇函数；

(3)∵1

2f(x2)?f(x)>1

2

f(3x)，

f(x2)?f(3x)>2f(x)，

即f(x2)+f(?3x)>2f(x)，

又由已知f(x+y)=f(x)+f(y)得：f(x+x)=2f(x)，

∴f(x2?3x)>f(2x)，

由函数f(x)是增函数，不等式转化为x2?3x>2x，即x2?5x>0，

∴不等式的解集{x|x<0或x>5}．

【解析】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．

(1)利用已知条件通过x=y=0，直接求f(0)；

(2)通过函数的奇偶性的定义，直接证明f(x)是奇函数；

(3)利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等式1

2f(x2)?f(x)>1

2

f(3x)的解集即可．

20.【答案】解：(Ⅰ)令x1=x2=1，有f(1×1?)=f(1)+f(1)，得f(1?)=0；

(Ⅱ)令x1=x2=?1，得f(?1)=0，

令x1=?1,x2=x，有f(?x)=f(?1)+f(x)，

∴f(?x)=f(x)，所以f(x)为偶函数；

(Ⅲ)f(4×4?)=f(4)+f(4)=2，f(16×4)=f(16)+f(4)=3，∴f(3x+1)+f(2x?6)≤3，即f[(3x+1)(2x?6)]≤f(64)，∵f(x)在(0,+∞)上是增函数，

∴{(3x+1)(2x?6)>0

(3x+1)(2x?6)≤64或{

(3x+1)(2x?6)<0

?(3x+1)(2x?6)≤64

,

?{x>3,或x

3

?7

3

≤x≤5

或{

?1

3

x∈R

,

∴3

3≤x

3

或?1

3

所以x的取值范围为{x|3

3≤x

3

或?1

3

【解析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性等，属于中档题．

(Ⅰ)赋值，令x1=x2=1，有f(1×1)=f(1)+f(1)，由此可解得f(1)的值；

(Ⅱ)令x1=?1,x2=x，有f(?x)=f(?1)+f(x)，进而得出f(?x)=f(x)，从而得出结论；(Ⅲ)结合f(x1?x2)=f(x1)+f(x2)和函数的单调性，列出不等式组，可求解x的范围．

21.【答案】解：(Ⅰ)∵函数f(x)=ax2+b

x ，且f(1)=2，f(2)=5

2

，

∴{4a+b

2

=5

2

a+b=2

,∴a=b=1,

∴f(x)=x2+1

x

；

f(?x)=?x2+1

x

=?f(x)，所以f(x)是奇函数；(Ⅱ)证明：任取x1,x2∈(?∞,?1)，且x1

则f(x1)?f(x2)=x12+1

x1?x22+1

x2

=(x1?x2)(x1x2?1)

x1x2

，

∵x11∴x1x2?1>0，

∵x1?x2<0∴f(x1)?f(x2)<0即f(x1)

所以f(x)在区间(?∞,?1)上单调递增；

(Ⅲ)∵f(x)在区间(?∞,?1)上单调递增，且f(x)为奇函数，

∴f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，

∵f(1+2t2)?f(3+t2)<0得f(1+2t2)1，3+t2>1

∴1+2t2<3+t2，解得?√2

故关于t的不等式的解集为{t|?√2

【解析】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性的定义以及单调性的应用，属于中档题．

(Ⅰ)，由f(1)=2，f(2)=5

代入解析式，求得a，b，即可得到解析式，再由奇函数的定义判断奇偶性；

2

(Ⅱ)任取x1,x2∈(?∞,?1)，且x1

22.【答案】解：(Ⅰ)取x=0，得f(0+y)=f(0)+f(y)，

即f(y)=f(0)+f(y)，∴f(0)=0，

∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)，

又∵f(3)=6，

∴3f(1)=6，

∴f(1)=2；

(Ⅱ)取y=?x，得f(0)=f[x+(?x)]=f(x)+f(?x)=0，

∴f(?x)=?f(x)，

∴函数f(x)是奇函数；

,3]上恒成立，

(Ⅲ)∵f(x)是奇函数，且f(kx2)+f(2x?1)<0在x∈[1

2

,3]上恒成立，

∴f(kx2)

2

又∵f(x)是定义域在R的单调函数，且f(0)=0

∴f(x)是定义域在R上的增函数．

,3]上恒成立．

∴kx2<1?2x在x∈[1

2

∴k<(1

x )2?2(1

x

)在x∈[1

2

,3]上恒成立．

令g(x)=(1

x )2?2(1

x

)=(1

x

?1)2?1，

由于1

2≤x≤3，∴1

3

≤1

x

≤2．

∴g(x)min=g(1)=?1，

∴k

则实数k的取值范围为(?∞,?1)．

【解析】本题给出抽象函数，求特殊的函数值并讨论函数的单调性与奇偶性，考查了抽象函数的理解与处理、函数的单调性与奇偶性和不等式恒成立问题的处理等知识，属于较难题．

(Ⅰ)取x=0代入函数满足的等式，整理可得f(0)=0.再根据3=1+2=1+1+1，结合定义和f(3)=6，算出f(1)=2；

(Ⅱ)以?x取代y，代入函数满足的等式，可得f(x)+f(?x)=0，由此可得f(x)是奇函数；

(Ⅲ)根据函数是单调函数且f(0)

转化为kx2<1?2x在x∈[1

2

,3]上恒成立，最后采用变量分离的方法结合换元法求函数的最小值，可算出k的取值范围．

23.【答案】解：(1)当x∈(?∞,0)时，?x∈(0,+∞)．

因为y=f(x)是奇函数，

所以f(x)=?f(?x)=?[(?x)2?2(?x)]=?x2?2x，

所以f(x)={x2?2x,x≥0,?x2?2x,x<0.

(2)当x∈[0,+∞)时，f(x)=x2?2x=(x?1)2?1，最小值为?1；

当x∈(?∞,0)时，f(x)=?x2?2x=1?(x+1)2，最大值为1．

所以据此可作出函数y=f(x)的图象(如图所示)，

根据图象得，若方程f(x)=a恰有3个不同的解，则实数a的取值范围是(?1,1)．

【解析】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，函数的零点与方程的根的关系以及数形结合思想，属于中档题．

(1)利用奇函数的定义即可求出x <0的解析式，再写成分段函数形式即可； (2)作出函数y =f(x)的图象，根据图象即可确定a 的取值范围．

24.【答案】证明：(Ⅰ)设x 1>x 2，则x 1?x 2>0.而f(a +b)=f(a)+f(b)，

∴f(x 1)=f(x 1?x 2+x 2)=f(x 1?x 2)+f(x 2)

(II)由f(a +b)=f(a)+f(b)得f(x ?x)=f(x)+f(?x)， 即f(x)+f(?x)=f(0)， 而f(0)=0， ∴f(?x)=?f(x)， 即函数y =f(x)是奇函数．

【解析】本题主要考了抽象函数的单调性和奇偶性，属于中档题．

(Ⅰ)设x 1>x 2，∴f(x 1)=f(x 1?x 2+x 2)=f(x 1?x 2)+f(x 2)

25.【答案】证明：(1)设任意x 1，x 2∈[?1,1]，且x 1

∵f(x)是定义在[?1,1]上的奇函数，

∴f(x 2)?f(x 1)=f(x 2)+f(?x 1)

∵x 1

f(x 2)+f(?x 1)x 2+(?x 1)

>0，

∵x 2+(?x 1)=x 2?x 1>0，

∴f(x 2)+f(?x 1)>0，即f(x 2)>f(x 1)， ∴函数f(x)在[?1,1]上是增函数．

解：(2)由(1)和不等式f(x +1

2)

2≤1

?1≤1?x ≤1x +1

2<1?x

，解得0≤x <1

4，

∴不等式的解集是[0,1

4)；

(3)由(Ⅰ)得，f(x)最大值为f(1)=1，

所以要使f(x)≤m2?2m+1对所有x∈[?1,1]恒成立，

只需1≤m2?2m+1恒成立，解得m≤0或m≥2，

得实数m的取值范围为m≤0或m≥2．

【解析】(1)设任意x1，x2∈[?1,1]，且x1

a+b

>0得

f(x2)+f(?x1)

x2+(?x1)

>0，判断出符号后，由函数单调性的定义证明结论成立；

(2)根据函数的单调性和定义域列出不等式组，求出不等式组的解集；

(3)由函数的单调性求出f(x)的最大值，由恒成立列出不等式，求出实数m的取值范围．

本题考查定义法证明抽象函数的单调性，奇函数的性质，以及恒成立问题转化为求最值，考查转化思想，化简、变形能力．

26.【答案】(1)证明：令m=0,n=2

可得f(0+2)=f(0)f(2)，

当x>0时，0

所以f(0)=1

(2)证明：设x>0，则?x<0

则有f(0)=f(x?x)=f(x)f(?x)?，

即

1

f(x)

=f(?x)?

又当x>0时，有0

所以x∈R，有f(x)>0恒成立

任取实数x1,x2∈R，且x1

则有x2?x1>0

从而可得0

又f(x2)=f[x1+(x2?x1)]=f(x1)f(x2?x1)

(3)解：令m=n=2,

可得f(2+2)=f(2)f(2)=1

16?f(2)=1

4

，

f(x)f(ax)>1

4

f(x2)可化为f(x)f(ax)>f(2)f(x2)，所以f(x+ax)>f(2+x2)，