高考数学压轴题常考题型
高考数学压轴题常考题型 20 组类型1二次函数
2复合函数
3创新性函数
4抽象函数
5导函数（极值，单调区间）--不等式
6函数在实际中的应用
7函数与数列综合
8数列的概念和性质
9Sn与an的关系
10创新型数列
11数列与不等式
12数列与解析几何
13椭圆
14双曲线
15抛物线
16解析几何中的参数范围问题
17解析几何中的最值问题
18解析几何中的定值问题
19解析几何与向量
20探究性问题
1.二次函数
1. 对于函数2
()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠，若存在实数0x ，使00
()f x x =成立，则称0x 为()f x 的
不动点．
（1）当2,2a b ==-时，求()f x 的不动点；
（2）若对于任何实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；
（3）在(2)的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且直线
21
21y kx a =+
+是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．
分析 本题考查二次函数的性质、直线等基础知识，及综合分析问题的能力
函数与方程思想
解：
2
()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠， （1）当2,2a b ==-时，
2
()24f x x x =--． 设x 为其不动点，即224x x x --=，则2
2240x x --=．所以121,2x x =-=，即()f x 的不动点是1,2-. （2）由()f x x =得2
20ax bx b ++-=.
由已知，此方程有相异二实根，所以
2
4(2)0a b a b ?=-->，即2480b ab a -+>对任意b R ∈恒成立． 20,16320
b a a ∴?<∴-<，02a ∴<<．
（3）设
1122(,),(,)
A x y
B x y ，直线
21
21y kx a =+
+是线段AB 的垂直平分线，1k ∴=-．
记AB 的中点
00(,)
M x x ，由(2)知
02b x a =-
．
212()20,b f x x ax bx b x x a =?++-=∴+=-
M 在
21
21y kx a =+
+上，212221b b a a a ∴-=+
+
化简得：
211
21
42=-
=-
≥=
++
a b a a a
，当
2a =
时，等号成立．
即
,44b b ??≥-
∴∈-+∞?????
例2 已知函数()2
42f x ax x =+-，若对任意1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++??<
???．
（Ⅰ）求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）对于给定的实数a ，有一个最小的负数
()
M a ，使得
(),0x M a ∈????
时，
()44
f x -≤≤都成立，
则当a 为何值时，
()
M a 最小，并求出
()
M a 的最小值．
解：（Ⅰ）∵()()121222f x f x x x f ++??- ???2
2212121122222x x x x ax bx c ax bx c a b c +++++++????=++- ? ?????
()2
1204a x x =-
-<，
∵
12
x x ≠，∴0a >．∴实数a 的取值范围为(
)
0,+∞．
（Ⅱ）∵()2
2
24422f x ax x a x a a ??=+-=+-- ???，显然()02f =-，对称轴20x a =-<。
（1）当424a --<-，即02a <<时，
()2,0M a a ??∈- ?
??，且()4f M a =-????． 令2
424ax x +-=-
，解得
2x a -=
，
此时
()
M a 取较大的根，即
(
)2M a a -+=
=
，∵02a <<，∴
(
)1
M a =
>-．
（2）当
424a --
≥-，即2a ≥时，
()2
M a a <-
，且()4f M a =????． 令2
424ax x +-=，解
得
x =
，此时
()
M a 取较小的根，即
(
)2M a a -=
=
，
∵2a ≥，∴
(
)3
M a =
≥-． 当且仅当2a =时，取等号．
∵31-<-，∴当2a =时，
()
M a 取得最小值－3．
2 复合函数
1．已知函数
()
f x 满足
()()1
2log 1a a f x x x a -=
--，其中0>a ，且1≠a 。
（1）对于函数()
f x ，当
()
1,1x ∈-时，
()()2110
f m f m -+-<，求实数m 的取值范围；
（2）当
()
,2x ∈-∞时，
()4
f x -的取值范围恰为(
)
,0-∞，求a 的取值范围。
解：
0)((1)(log 1
2
>--=
-a x x a a x f a 且)1≠a
设
x
t a log =，则t
a x = ∴
)(1)(2t t a a a a t f ---=
∴ )(1)(2
x
x a a a a x f ---=
当)1,0(∈a 时，∵ 012<-a a
x a ↓ x a -↑ ∴ )(x f y =在其定义域上↑ 当),1(+∞∈a 时，∵ 012>-a a
，x a ↑，x a -↓ ∴ )(x f y =在其定义域上↑
∴ 0>?a 且1≠a ，都有)(x f y =为其定义域上的增函数
又∵
)()(1)(2
x f a a a a
x f x x -=--=
-- ∴ )(x f 为奇函数
（1）∵ 当)1,1(-∈x 时，0)1()1(2<-+-m f m f ∴
)1()1()1(2
2-=--<-m f m f m f ∴ ?????-<-<
1122
m m m m m
（2）当)2,(-∞∈x 时，∵ 4)()(-=x f x F 在)2,(-∞上↑，且值域为)0,(-∞∴ 04)2()2(=-=f F
4)1(122
2
=-?-a a a a 411242=-?-a a a a a a 412=+ ∴ 32±=a
例 2. 函数
()
f x 是
()2
1101x y x R =
-∈+的反函数，()g x 的图象与函数
431x y x -=-的图象关于直线1-=x y 成轴对称图形，记()()()F x f x g x =+。
（1）求
()
F x 的解析式及其定义域；（2）试问
()
F x 的图象上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB
恰好与y 轴垂直？若存在，求出A 、B 的坐标；若不存在，说明理由。
解：（1）
11102-+=
x y 12110+=+y x y y x +-=1110 y y x +-=11lg ∴ )11(11lg )(<<-+-=x x x x f
∵ )(x g 的图象与
134--=
x x
y 的图象关于直线1-=x y 成轴对称图形
∴ 1)(+x g 的图象与
1231134--=+--=
x x
x x y 的图象关于直线x y =对称
即：1)(+x g 是
123--=
x x
y 的反函数 x y xy 23-=-
3)2(+=+y x y
23++=
y y x ∴ 23
1)(++=+x x x g ∴
21)(+=
x x g
∴
)11(21
11lg
)()()(<<-+++-=+=x x x x x g x f x F
（2）假设在)(x F 的图象上存在不同的两点A 、B 使得y l AB ⊥轴，即R c ∈?使得方程c x x x =+++-2
1
11lg
有两不等实根
设
12
111++-=+-=
x x x t ，则t 在（1-，1）上↓且0>t ∴
t t x +-=
11，3121++=+t t x ∴ R c ∈?使得方程c
t t t =+++31
lg 有两不等正根
32
)1(31lg ++-=++-
=t c t t c t
设)lg()(t t h =，
32
)1()(++
-=t c t ?
由函数图象可知：R c ∈?，方程
32
)1(lg ++
-=t c t 仅有唯一正根∴ 不存在点A 、B 符合题意。
3. 设R a ∈且e a ,0≠为自然对数的底数，函数f （ x ）
.2)(,12x x e x a x g x e =
--=
（1）求证：当1≥a 时，)()(x g x f ≤对一切非负实数x 恒成立； （2）对于（0，1）内的任意常数a ，是否存在与a 有关的正常数0
x ，使得
)
()(00x g x f >成立？如
果存在，求出一个符合条件的
x ；否则说明理由.
分析：本题主要考查函数的单调性，导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．分类讨论、化归（转化）思想方法
解：（1）当
,121)()(,02x e x x a x g x f x ++≤
?≤≥时令)
1()(12)(2x x e a x x h e x x a x h -='?++=
0,1≥≥x a ),0[)(,0)(+∞?≥'∴在x h x h 上单调递增，
)()(1)0()(x g x f h x h ≤?=≥
（2）
011
2)()(002000<-++?>x e
x x a x g x f （1），
需求一个0x ，使（1）成立，只要求出
11
2)(2-++=
x e
x x a x t 的最小值，满足,0)(min )ln ,0()1 ()(a e a x x t x -- ='在 上↓ 在上),ln (+∞-a ↑，1 )1ln (ln 2)ln ()(2min -+-+=-=∴a a a a a t x t 只需证明)1,0(01)1(ln ln 22 ∈<-++a a a a a 在内成立即可， 令 ) (0)(ln 2 1)(1)1ln (ln 2)(22a a a a a a a a ????>='?-+-+= 为增函数 ,01)1ln (ln 20)1()(2 <-+-+? = 0))((min <∴x t ，故存在与a 有关的正常数)10(ln 0<<-=a a x 使（1）成立。 3.创新型函数 1.在R 上定义运算 ()()1 :43p q p c q b bc ??=- --+（b 、c 为实常数）。记()212f c χχ=-， ()22f b χχ=-，R χ∈.令 ()()() 21f f f χχχ=?. （Ⅰ）如果函数()f χ 在1χ=处有极值4 3- ,试确定b 、c 的值； （Ⅱ）求曲线() y f χ=上斜率为c 的切线与该曲线的公共点； （Ⅲ）记 ()()() |11g x f x x '=-≤≤的最大值为M .若M k ≥对任意的b 、c 恒成立，试示k 的最大值。 解：∵ ()()()()()2321211 33433f x f x f x x c x b bc x bx cx bc =?=- --+=-+++∴()22f x x bx c '=-++ （Ⅰ）由()f x 在1x =处有极值4 3- ，可得 ()()112014 133f b c f b c bc '?=-++=? ?=-+++=-??，解得11b c =??=-?或13b c =-??=? 若1 1b c ==-，，则()()2 22110 f x x x x '=-+-=--≤，此时() f x 没有极值； 若1 3b c =-=，，则()()() 22313f x x x x x '=--+=--+。 当x 变化时， () f x 、 () f x '的变化情况如下表： ∴当1x =是，()f x 有极大值4 3- ，故1 3b c =-=，即为所求。 （Ⅱ）设曲线() y f x =在x t =处的切线的斜率为c ， ∵ ()22f x x bx c '=-++，∴22t bt c c -++=，即2 20t bt -=。解得0t =或2t b =。 若0t =，则 ()0f bc =，得切点为( ) 0,bc ，切线方程为y cx bc =+； 若2t b =，则()34233f b b bc =+，得切点为342,33b b bc ??+ ?? ?，切线方程为343y cx bc b =++。 若32321 303x bx cx bc cx bc x bx -+++=+?-=，解得120x x ==，33x b =， 则此时切线y cx bc =+与曲线 () y f x =的公共点为( ) 0,bc ，( ) 3,4b bc ； (2)若32332314 340 33x bx cx bc cx bc b x bx b -+++=++?-+=， 解得122x x b ==，3x b =-，此时切线3 43y cx bc b =++与曲线()y f x =的公共点为342,33b b bc ??+ ???，34,3b b ? ?- ???。 综合可知，当0b =时，斜率为c 的切线与曲线 () y f x =有且只有一个公共点( ) 0,0；当0b ≠，斜率为 c 的切线与曲线()y f x =有两个不同的公共点，分别为()0,bc 和()3,4b bc 或342,33b b bc ?? + ???，34,3b b ? ?- ???。 （Ⅲ）()()()2 2g x f x x b b c '==--++ (1)当 1 b >时，函数()y f x '=的对称轴x b =位于区间[1,1]-外，()f x '在[1,1]-上的最值在两端点处取 得，故M 应是 () 1g -和 () 1g 中较大的一个。 ∴ ()()211121244 M g g b c b c b ≥+-=-+++--+≥>，即∴2M > (2)当 1() b y f x '≤=时，函数得对称轴x=b 位于区间[1,1]-之内 此时max{(1),(1),()}M g g g b =- 由 2 (1)(1)4,()(1)(1)0f f b f b f b ''''--=-±=≥有 若10,max{(1),()}b g g b '''-≤≤≤≤∴≤-则f (1)f (-1)f (b), g(-1) 于是2 111 max{(1),()}((1)())((1)())(1)222M f f b f f b f f b b ''''''=-≥+≥-=- 若01b ≤≤，则 ，max{(1),()}g g b ∴≤-g(1) 于是 21111 max{(1),()}((1)())((1)())(1)2222M f f b f f b f f b b ''''''=-≥-+≥--=+> 综上，对任意的b 、c 都有 12M ≥ 而当， 10,2b c ==时，2 1()2g x x =-+在区间[1,1]-上的最大值12M = 故M K ≥对任意的b ，c 恒成立的k 的最大值为1 2 。 例2．设函数 ()1(0) 11[][[][x x f x x x x x x += >?]++]+1 ,其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如 1 [2]=2,[]0,[1.8]1 3==. (Ⅰ)求3() 2f 的值; (Ⅱ)若在区间[2,3)上存在x,使得()f x k ≤成立,求实数k 的取值范围; (Ⅲ)求函数()f x 的值域. 解:(Ⅰ)因为32[]1,[]0 23==,所以32 31323(). 3232212[][][][]12323f + ==?+++ (Ⅱ)因为23x ≤<,所以1 []2,[]0 x x ==, 则 11()() 3f x x x =+. 求导得211 ()(1)3f x x '=-,当23x ≤<时,显然有()0f x '>, 所以()f x 在区间[2,3)上递增, 即可得()f x 在区间[2,3)上的值域为510 [,) 69, 在区间[2,3)上存在x,使得()f x k ≤成立,所以 56k ≥ (Ⅲ)由于()f x 的表达式关于x 与1 x 对称,且x >0,不妨设x ≥1. 当x =1时,1x =1,则 ()1 12f = ; 当x >1时,设x = n +α,n ∈N*,0≤α<1. 则[x ]= n,10 x ?? =????,所以 ()1 ()1n n f x f n n ααα++ +=+=+ ()1g x x x =+ 设,'21 ()10,g x x =-> ()g x 在[1,+∞)上是增函数,又1n n n α≤+<+, 11n n n n n n αα1 ∴+ ≤++<+1+++1, 当2x ≥时, ()()1111,,2 11n n n n n f x I n n n n ? ? +++ ??+∈=∈≥?? ++??? ??*N 当(1,2)x ∈时, ()15 (1, 4f x I ∈)= 故(1,)x ∈+∞时,()f x 的值域为I1∪I2∪…∪In ∪… 设 ()() 2 2111111,11111n n n n n n n a b n n n n n + ++++====+++++, 则 [) ,n n n I a b =. ()() 12 12n n n a a n n n +--= ++, ∴当n ≥2时,a2= a3< a4<…< an <… 又bn 单调递减,∴ b2> b3>…> bn >… ∴[ a2,b2)= I2? ≠I3? ≠I4? ≠…? ≠In ? ≠ [)[)1112225510,1, ,,,469I a b I a b ? ???====????? ??? ∴ I1∪I2∪…∪In ∪…=I1∪I2 =5510551,,,46964? ?????=????????????. 综上所述,()f x 的值域为15 5,264?? ???? ???? ? ? 例3.我们用 } ,,,m in{21n s s s 和 } ,,,m ax {21n s s s 分别表示实数 n s s s ,,,21 中的最小者和最大者. （1）设}cos ,min{sin )(x x x f =，}cos ,max{sin )(x x x g =，]2,0[π∈x ，函数)(x f 的值域为A ，函数 )(x g 的值域为B ，求B A ； （2）提出下面的问题：设1a ，2a ，…，n a 为实数，R x ∈，求函数 ||||||)(2211n n x x a x x a x x a x f -++-+-= （ R x x x n ∈<<< 21）的最小值或最大值．为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，先解决两个 特例：求函数|1||1|3|2|)(--+++=x x x x f 和|2|2|1|4|1|)(-+--+=x x x x g 的最值。得出的结论是： )}1(),1(),2(m in{)]([min f f f x f --=，且)(x f 无最大值；)}2(),1(),1(m ax {)]([max g g g x g -=，且)(x g 无最 小值．请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由； （3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）． 解：（1） ??????-=22,1A ，??????-=1,22B ，∴ ? ?? ???-=22,22B A ． （2）若选择学生甲的结论，则说明如下， ?????? ?>+≤<-+-≤<----≤--=1,6311,4512,22,63)(x x x x x x x x x f ，于是)(x f 在区间]2,(--∞上是减函数，在]1,2[--上是减函数，在]1,1[-上是增函数，在),1[+∞上是增函数，所以函数)(x f 的最小值是)}1(),1(),2(min{f f f --，且函数)(x f 没有最大值． 若选择学生乙的结论，则说明如下， ?????? ?>+-≤<+-≤<-+-≤-=2 ,121,9511,131, 1)(x x x x x x x x x g ，于是)(x g 在区间]1,(--∞上是增函数，在]1,1[-上是增函数，在] 2,1[上是减函数，在),2[+∞上是减函数． 所以函数)(x g 的最大值是)}2(),1(),1(max{g g g -，且函数)(x g 没有最 小值． （3）结论： 若021>+++n a a a ，则)} (,),(),(m in{)]([21min n x f x f x f x f =； 若 21>+++n a a a ，则 =max )]([x f )} (,),(),(m ax {21n x f x f x f ； 若 21=+++n a a a ，则 )} (,),(),(m in{)]([21min n x f x f x f x f =， =max )]([x f )} (,),(),(m ax {21n x f x f x f 以第一个结论为例证明如下： ∵ 21>+++n a a a ，∴ 当],(1x x -∞∈时， ) ()()(221121n n n x a x a x a x a a a x f +++++++-= ，是减函数， 当),[+∞∈n x x 时， ) ()()(221121n n n x a x a x a x a a a x f +++-+++= ，是增函数 当 ] ,[1n x x x ∈时，函数)(x f 的图像是以点))((11x f x ，))(,(22x f x ，…，)) (,(n n x f x 为端点的一系列互相 连接的折线所组成， 所以有 )} (,),(),(m in{)]([21min n x f x f x f x f =． 4.抽象函数 1. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0,21 ］,都有 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0. (1)求f(21)、f(41 );(2)证明f(x)是周期函数；(3)记an=f(n+n 21),求). (ln lim n n a ∞→ 解：(1)因为对x1,x2∈［0,21］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)=) 2()22(x f x x f =+≥0,x ∈［0,1］ 又因为f(1)=f(21+21)=f(21)·f(21)=［f(21)］2，f(21)=f(41+41)=f(41)·f(41)=［f （41 ）］2 又f(1)=a>0∴f(21)=a 2 1,f(41)=a 41 证明：(2)依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x ∈R. 又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x),x ∈R ∴f(－x)=f(2－x),x ∈R. 将上式中－x 以x 代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. 解：(3)由(1)知f(x)≥0,x ∈［0,1］ ∵f(21 )=f(n · n 21)=f(n 21+(n －1) n 21)=f(n 21)·f((n －1)·n 21) =……=f(n 21)·f(n 21)·……·f(n 21)=［f(n 21)］=a 21 ，∴f(n 21)=a n 21. 又∵f(x)的一个周期是2 ∴f(2n+n 21)=f(n 21),因此an=a n 21 ，∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a n a n n n 例2. 定义在R 上的函数f(x)满足：对任意实数m ，n ，总有，且当x>0时， 0 （1）判断f(x)的单调性；（2）设 ， ，若为空集B A ?，试确定a 的取值范围。 解：（1）在中，令 ，得 ，因为 ，所以。 在中，令 因为当 时， ，所以当 时 而 ，所以 又当x=0时，，所以，综上可知，对于任意，均有 。 设，则 所以 所以 在R 上为减函数。 （2）由于函数y=f(x)在R 上为减函数，所以 即有 ，又 ，根据函数的单调性，有 由φ=?B A ，所以直线 与圆面无公共点。因此有，解得 。 5.导函数——不等式 1. 已知函数 ()e x f x kx x =-∈R ， （Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ， ()0 f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1 2 (1)(2) ()(e 2)()n n F F F n n +*>+∈N ． 分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力。 解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-． 由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞， ． （Ⅱ）由()() f x f x -=可知 () f x 是偶函数． 于是 ()0 f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0x f x k '=-=得ln x k =． ①当(01]k ∈，时， ()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表： 由此可得，在[0)+∞， 上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又1 1e k k >∴<<，．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+， 12()()F x F x ∴=121212121 21212()()e e e e e e 2e 2 x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+， 11 (2)(1)e 2 ()(1)e 2.n n F F n F n F ++->+>+ 由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+ 故1 2 (1)(2) ()(e 2)n n F F F n n +*>+∈N ，． 2. 设 3 ()3x f x = ，对任意实数t ，记2 32()3t g x t x t =- （Ⅰ）求函数8()() y f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）求证：（ⅰ）当0x >时， ()() t f x g x ≥对任意正实数t 成立； （ⅱ）有且仅有一个正实数 x ，使得 800()() t g x g x ≥对于任意正实数t 成立。 分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知 识分析和解决问题的能力．分类讨论、化归（转化）思想方法 （I ）解： 316433x y x =-+ ． 由 2 40y x '=-=，得2x =±．因为当(2)x ∈-∞-，时，y '>0， 当(22)x ∈-， 时，0y '<，当(2)x ∈+∞，时，0y '>， 故所求函数的单调递增区间是(2)-∞-， ，(2)+∞，，单调递减区间是(22)-，． （II ）证明：（i ）方法一： 令2332()()()(0)33t x h x f x g x t x t x =-=-+>，则223 ()h x x t '=-， 当0t >时，由()0h x '=，得1 3 x t =，当13 ()x x ∈+∞， 时，()0h x '>， 所以()h x 在(0)+∞， 内的最小值是1 3 ()0h t =．故当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二： 对任意固定的0x >，令2 3 2()()(0) 3t h t g x t x t t ==->，则1 1 3 32()()3h t t x t -'=-， 由()0h t '=，得3t x =．当30t x <<时，()0h t '>；当3t x >时，()0h t '<， 所以当3t x =时，()h t 取得最大值3 31()3h x x =．因此当0x >时，()()f x g x ≥对任意正实数t 成立． （ii ）方法一： 8 (2)(2)3t f g = =．由（i ）得，(2)(2)t t g g ≥对任意正实数t 成立． 即存在正实数02 x =，使得 (2)(2) x t g g ≥对任意正实数t 成立． 下面证明 x 的唯一性： 当02x ≠，00x >，8t =时，300()3x f x =， 0016 ()43x g x x =-， 由（i ）得，30016 433x x >-，再取30t x =，得30 300()3x x g x =， 所以30 3 000016()4()33x x x g x x g x =-<=，即02x ≠时，不满足00()()x t g x g x ≥对任意0t >都成立． 故有且仅有一个正实数 02 x =，使得 00()0() x t g x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：对任意 00 x >， 0016()43x g x x =- ， 因为0()t g x 关于t 的最大值是30 13x ，所以要使00()()x t g x g x ≥对任意正实数成立的充分必要条件是： 3 00161433x x - ≥，即200(2)(4)0x x -+≤， ① 又因为00 x >，不等式①成立的充分必要条件是 02 x =，所以有且仅有一个正实数02 x =， 使得 00()() x t g x g x ≥对任意正实数t 成立． 3. 定义函数f n( x )＝(1＋x)n ―1, x ＞―2，n ∈N* (1)求证：f n ( x )≥ nx ； (2)是否存在区间[ a ，0 ] (a ＜0)，使函数h( x )＝f 3( x )－f 2( x )在区间[a ，0]上的值域为[ka ，0]?若存在，求出最小实数k 的值及相应的区间[a ，0]，若不存在，说明理由. 分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．分类讨论、数形结合思想方法 解：(1)证明：f n( x )－nx ＝(1＋x)n －1－nx ， 令g( x )＝(1＋x)n －1－nx , 则g'( x )＝n[(1＋x)n ―1―1]. 当x ∈(－2，0)时， g'( x )＜0,当x ∈(0，＋∞）时，g'( x )＞0， ∴g( x )在x ＝0处取得极小值g( 0 )＝0，同时g( x )是单峰函数， 则g( 0 )也是最小值.∴g( x )≥0, 即f n ( x )≥nx (当且仅当x ＝0时取等号). 注：亦可用数学归纳法证明. (2)∵h( x )＝f 3( x )－f 2( x )＝x( 1＋x )2 ∴h'( x )＝(1＋x)2＋x ·2(1＋x)＝(1＋x)(1＋3x) 令h'(x)＝0, 得x ＝－1或x ＝－1 3 ， ∴当x ∈(―2，―1)，h'(x)＞0；当x ∈(―1，―1 3)时，h'(x) ＜0； 当x ∈(－1 3 ,＋∞)时，h'(x)＞0. 故作出h(x)的草图如图所示，讨论如下： ①当－13≤a ＜0时，h(x)最小值h(a)＝ka ∴k ＝(1＋a)2≥4 9 ②当－43≤a ≤－13时 h(x)最小值h(a)＝h(－13)＝－427＝ka k ＝－427a ∴19≤k ≤4 9 ③当a ＝－43时 h( x )最小值h( a )＝a(1＋a)2＝ka k ＝(1＋a)2≥19，a ＝－4 3时取等号. 综上讨论可知k 的最小值为19，此时[a ，0]＝[－4 3 ，0]. 例4. 已知 )(22)(2 R x x a x x f ∈+-= 在区间]1,1[-上是增函数。 （1）求实数a 的值组成的集合A ； （2）设关于x 的方程 ()1 f x x = 的两个非零实根为1x 、2x 。试问：是否R m ∈?，使得不等式 ||1212x x tm m -≥++对A a ∈?及]1,1[-∈t 恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由。 分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．函数方程思想、化归（转化）思想方法 解：（1）∵ =)(x f )(222R x x a x ∈+- ∴ 222)2(2)2()2(2)(+?--+='x x a x x x f 2 22)2() 2(2+---=x ax x ∵ )(x f 在]1,1[-上↑ ∴ )(x f '0)2() 2(22 22≥+---=x ax x 对]1,1[-∈?x 恒成立 即]1,1[-∈?x ，恒有022 ≤--ax x 成立 设2)(2 --=ax x x g ∴ ???-=∴≤--=≤≤-∴≤-=-]1,1[01)1(1101)1(A a g a a g （2） x x a x x f 1 22)(2 =+-= 022=--ax x ∵ 082 >+=?a ∴ 1x 、2x 是方程022=--ax x 的两不等实根，且a x x =+21，221-=x x ∴ ]3,22[84)(||2 2122121∈+=-+=-a x x x x x x ∵ ||1212x x tm m -≥++对A a ∈?及]1,1[-∈t 恒成立 ∴ 312 ≥++tm m 对]1,1[-∈?t 恒成立 设 )2()(2 -+?=m t m t h ，]1,1[-∈t ∴ 0)(≥t h 对]1,1[-∈?t 恒成立 ∴ ???≥-≤≥-≤??? ???≥-+=≥--=-122 102)1(02)1(2 2 m m m m m m h m m h 或或 ∴ ),2[]2,(+∞?--∞∈?m 满足题意 5. 已知函数 )0)(ln()(>+=a a e x f x 。 （1）求函数)(x f y =的反函数)(1 x f y -=和)(x f 的导函数)(x f '； （2）假设对)]4ln(),3[ln(a a x ∈?，不等式0))(ln(|)(|1 <'+--x f x f m 成立，求实数m 的取值范围。 分析：本题主要考查反函数的概念及基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．化归（转化）思想方法 解：（1）)ln(a e y x += y x e a e =+ a e e y x -= )ln(a e x y -= ∴ )ln()(1a e x f x -=- ∵ )ln(a e y x += ∴ a e e x f x x +=')( （2）∵ )]4ln(),3[ln(a a x ∈?，0))(ln(|)(|1 <'+--x f x f m 成立 ∴ x x x x e a e a e e a ex m +=+-<--ln ln |)ln(| ∴ x a e a e m x a e x x x -+<--<-+-)ln()ln(])[ln( 设x a e a e x g x x ++--=)ln()ln()(， x a e a e x h x x -++-=)ln()ln()()]4ln(),3[ln(a a x ∈ ∴ )]4ln(),3[ln(a a x ∈?恒有)()(x h m x g <<成立 1)(++--='a e e a e e x g x x x x ∵ )]4ln(),3[ln(a a x ∈ ∴ ]4,3[a a e x ∈ ∴ a e e a e x x x +<<-<0 ∴ 1>-a e e x x ，10<+ ∴ 0)(>'x g ，）x g (在)]4ln(),3[ln(a a 上↑ ∴ m a g x g <=))4(ln()(max 即m a a a <+-)4ln()5ln()3ln( )512 ln( a m > ∵ 0 1)(>-++-='a e e a e e x h x x x x ∴ )(x h 在)]4ln(),3[ln(a a 上↑ ∴ ))3(ln()(min a h x h m =< )3ln()4ln()2ln(a a a m -+< ) 38 ln(a m < ∴ m 的取值范围是)) 38ln(),512(ln(a a 6.设函数) ,1,(11)(N x n N n n x f n ∈∈??? ??+= 且. (Ⅰ)当x=6时,求n n ? ?? ??+11的展开式中二项式系数最大的项; (Ⅱ)对任意的实数x,证明2) 2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f '' (Ⅲ)是否存在N a ∈,使得a n ＜ ∑-??? ?? +n k k 111＜n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由. （Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是 3 35 6 3 120 1C n n ??= ??? （Ⅱ）证法一：因 ()()22 112211n f x f n n ???? +=+++ ? ? ???? ≥11211n n n ?? ?? =+?+ ? ??? ?? 121n n ??>+ ? ?? 1121ln 12n n ????>++ ? ?????()'1121ln 12n f x n n ???? ≥++= ? ????? 证法二： 因 ()()22 112211n f x f n n ????+=+++ ? ???? ?≥11211n n n ???? =+?+ ? ????? 而 ()'11221ln 1n f x n n ???? =++ ? ? ???? 故只需对11n ??+ ?? ?和1ln 1n ??+ ???进行比较。 令 ()() ln 1g x x x x =-≥，有 ()'111x g x x x -=- =，由1 0x x -=，得1x = 因为当01x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x <<+∞时，()'0g x >，()g x 单调递增，所以在1x =处()g x 有极小值1 故当1x >时， ()()11 g x g >=，从而有ln 1x x ->，亦即ln 1ln x x x >+> 故有111ln 1n n ????+>+ ? ?????恒成立。所以()()()'222f x f f x +≥，原不等式成立。 （Ⅲ）对m N ∈，且1m > 有2 012111111m k m k m m m m m m C C C C C m m m m m ??????????+=++++ +++ ? ? ? ? ??? ?????? ?? ()() ()()2 111121111112!! ! k m m m m m m k m m m k m m m ---+-??? ????=++++ + + + ? ? ??? ?? ?? 11112111121111112!!!k m m k m m m m m m --?????????? ??=+ -++ ---+ + -- ? ??? ? ? ? ?? ???????? ? ? 11 1122!3! !!k m <++++ ++ () () 111 122132 11k k m m <+ +++ + +??-- 1111 11 12122311k k m m ????????=+-+-+ +-++- ? ? ? ?--?????? ?? 133m =- < 又因()102,3,4,,k k m C k m m ?? >= ??? ，故1213 m m ? ?<+< ??? ∵1213 m m ? ?<+< ???，从而有11213k n k n n k =??<+< ???∑成立， 即存在2a =，使得11213k n k n n k =?? <+< ???∑恒成立。 6.函数在实际中的应用 1. 两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧 上选择一点C 建造垃圾处理 厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时， 对城A 和城B 的总影响度为0.065. （1）将y 表示成x 的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和 城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由。 解:（1）如图,由题意知AC ⊥BC,22 400BC x =-, 224 400k y x x = +-其中当x =y=0.065,所以k=9 所以y 表示成x 的函数为 2249(020)400y x x x = +<<- 设 22 ,400m x n x ==-,则 400 m n +=,49 y m n = +,所以 494914911()[13()](1312)40040040016m n n m y m n m n m n +=+=+=++≥+= 当且仅当49n m m n =即240 160n m =??=?时取”=”. 下面证明函数 49 400y m m = + -在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. 设0 1211224949()400400y y m m m m -= +-+-- 12124499 ( )()400400m m m m =-+---211212124()9()(400)(400)m m m m m m m m --=+-- 21121249 ()[ ](400)(400)m m m m m m =----12122112124(400)(400)9()(400)(400)m m m m m m m m m m ---=---, 因为0 m m -->4×240×240 9 m1m2<9×160×160所以1212 12124(400)(400)90 (400)(400)m m m m m m m m --->--, 所以 12122112124(400)(400)9() 0(400)(400)m m m m m m m m m m ---->--即12y y >函数 49400y m m =+-在(0,160)上为减函数. 同理,函数 49 400y m m = + -在(160,400)上为增函数,设 160 1211224949 ()400400y y m m m m -= +-+--12122112124(400)(400)9()(400)(400) m m m m m m m m m m ---=--- 因为1600 m m --<4×240×240, 9 m1m2>9×160×160 所以 1212 12124(400)(400)90 (400)(400)m m m m m m m m ---<--, 所以 1212 2112124(400)(400)9() (400)(400) m m m m m m m m m m ----<--即12 y y <函数 49400y m m = + -在(160,400)上为增函 高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；高考数学中的放缩技巧
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